伯努利方程(伯努利原理)小谈

伯努利方程（伯努利原理）小谈

材料科学与工程学院 材型1602 李傲奇 学号：201614020207

摘要：参考课本及网络资料，加上一些自己的理解，进行伯努利方程（伯努利原理）的介绍和推导，并运用其解释一些实际问题。

关键词：伯努利 伯努利方程（伯努利原理） 理想流体 流体运动 实际应用

正文：

一、简介：丹尼尔·伯努利，(Daniel Bernoulli 1700～1782)瑞士物理学家、 数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、伦理学、医学。1721年取得医学 硕士学位。伯努利在25岁时(1725)就应聘为 圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到 瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授，1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选 英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号，最著名的成就为提出了伯努利方程（伯努利原理）。

二、原理内容：丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”：在稳定流体中，沿同一流线单位体积流体的动能，重力势能，与该处的压强之和为常量。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利原理往往被表述为p +12

ρv 2+ρgh =C （C 为常数），这个式子被称为伯努利方程。式中p 为流体中某点的压强，v 为流体该点的流速，ρ为流体密度，g 为重力加速度，h 为该点所在高度，C 是一个常量。它也可以被表述为p 1+12ρv 12+ρgh 1=p 2+12ρv 22+ρgh 2。（Ps ： 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。）

三、推导证明：使用伯努利定律必须符合以下假设，即理想流体必须满足的条件，方可使用：

•

定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。 •

不可压缩流:密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(M)<0.3。 •

无摩擦流:摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。 • 流体沿着流线流动:流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。

现有一符合上述假设的流体，如图所示：

可得如下公式---流体因受力所得的能量：12mv 22−12mv 12=12ρA 2v 2∆tv 22−12

ρA 1v 1∆tv 12 流体因引力做功所损失的能量：p 1A 1v 1∆t −p 2A 2v 2∆t +ρgA 1v 1∆tℎ1−ρgA 2v 2∆tℎ2=12ρA 2v 2∆tv 22−12ρA 1v 1∆tv 12 流体所得的动能可以改写为：ρA 1v 1∆tv 1

22+ ρgA 1v 1∆tℎ1+p 1A 1v 1∆t =ρA 2v 2∆tv 2

22+ρgA 2v 2∆tℎ2+p 2A 2v 2∆t

根据能量守恒定律:流体因受力所得的能量+流体因引力做功所损失的能量=流体最终所得的动能。

A 2v 2=A 1v 1=C （C 为常数）

合各式最终得到：12ρv 2+ρgh +p =C （C 为常数）即为伯努利方程。

四、应用推广：其实伯努利方程在日常生活中还是比较常见的，下面就利用伯努利原理解释一些生活中的现象。

①球类比赛中的"旋转球"具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同

造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。

再考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，

至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转

球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲

②在漏斗宽大处放一小球，用手抵住，在小口中吹气同时放开，小球上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小，

故小球不会落下，只会在漏斗中跳跃。在漏斗宽大处放一小球，用手抵住，在小口中吹气同时放开，小球上方

的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小，故小球不会落下，只会在漏斗中跳跃。

③喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空

气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。

参考文献：㈠：刘又文彭献编著《理论力学》高等教育出版社

㈡：百度百科之伯努利方程（伯努利原理）

㈢：知乎问答社区