第十届“新希望杯”全国数学大赛高一年级组A卷参考答案

第十届“新希望杯”高一A 卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．C
2．B
3．A .4．C 5．A 6．D 7．C 8．B
二、填空题（每小题6分，共48分）
9．(2-，6) 10．138⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
11．6
12．1
1(1)2
3
n
n --⋅⋅
13．2
141
15．()1,7 16．π
三、解答题（17题、18题14分，19题16分，20题18分）
17．解：（1）对集合A 由2
280x x --+>，解得(42)A =-，
；
对集合B 有2
111
y x x =++-+，则1y ≥或1y ≤-，(1221)B ⎤⎡=-∞--+∞⎦⎣
，，.
故(42212212)A B ⎤⎡=----⎦⎣
，，.
（2）∵R ðA =][(42)-∞-+∞，，
，由2
(4)()0z az a
+-≤知0a ≠.
当0a >时，由22(4)()0z z a +-
≤知224C a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，不满足C ⊆R ðA ；
当0a <时，由22(4)()0z z a +-
≥知]22(4)C a ⎡=-∞-+∞⎢⎣
，，. 欲使C ⊆R ðA ，则2
2
2a ≥，10a -≤<. 综上整数1a =-.
18．解：（1）观察可得点(01)(31)(05)A B C ，，，，，，经过变化后在45斜坐标系中的对应点1(0)2A '，、1(3)2
B '，、 5
(0)2
C '，，所以有(3,0)(0,2)(3,2)A B A C B C ''''''===-，，，
同时32A B A C ''''==，. 新坐标系xOy '中两坐标系夹角为45，则边A B ''上的高为
2
2sin 45
=
故△A B C '''的面积13222
A B C S A B '''∆''=
=（2）∵点D 分A B ''所成的比为λ，且由0>λ， ∴A D
DB '=
'
λ，即33(
0)(0)11A D DB ''==++，，，λλλ.
分别化简(1)(2)=(6(1)2(2))x A D B C '''=+-++-+，λλλλ；
3(3)(2(3))1
y B D A C '''=+-=-
-+，λλλ. ∵0x y ⋅>，∴[]23
6(1)()2(2)2(3)(2)(223)01
+-
-+-=--->+λλλλλλ. 由2
2230--<λλ
<<
λ
0<<λ19．解：(1)∵()g x 的函数图象与x 轴的一个交点坐标为(3,0)-，∴ 1()()(3)g x a x x x =-+，其中1x 是与x 轴
的另一个交点横坐标.
又24211(1)((5)4(1))g x a x x x x +=+-+-，2x -整除2(1)g x +， 所以2x =是方程4211((5)4(1))0a x x x x +-+-=的一个解，0a ≠， 则11164(5)4(1)0x x +-+-=，即15x =，进一步有()(5)(3)g x a x x =-+. 已知(4)7g =，那么可得1a =-，函数2()(1)16g x x =--+. 而()g x 的函数图象是由函数()f x 按向量(1,16)m =平移后得到的， 则22()(11)1616f x x x =--++-=-. (2)对任意的x ，都有()16g x n x -≤恒成立，
当0n =时，2()(1)1616g x x =--+≤，成立，满足条件；
当0n >时，2(2)10x n x -+--≤恒成立，则2(2)40n ∆=--≤，解得04n <≤； 当0n <时，2(2)10x n x -++-≤恒成立，则2(2)40n ∆=+-≤，解得40n -≤<， 综上所述实数n 的取值范围为44n -≤≤.
20．解：（1）根据C n m 的定义可得C 2
(1)2n
n n -=，而2(1)(32)
12
n n n -+=-+C 2n ，
∴C 21n n S +=21(1)(32)(1)2
n n n n S n S --+--= C 2
n n S 2
1(1)()n n n S S -+--，
∴C 2n
1()n n S S +-2
1(1)()n n n S S -=--，进而有递推关系式21212(1)
C n n n a n n a n
+-+==
. 已知11a =，利用“迭乘”原理得12111
12(1)222
1(1)2(1)
1
n n n
n n n a a a n n a a n a a a n n ++-+⨯=
⋅⋅=⋅⋅=+⋅-. 故通项公式12n n a n -=⋅，经检验当1n =时，也满足此式.
（2）存在.理由如下： 由(1)知12112122322n n n S a a a n -=++
+=+⨯+⨯+
+⋅，①
231222232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯+
+-⋅+⋅，②
用②-①可得12
3
1
1
12(12)1(2222)2
1212
n n n n n S n n -----=--+++
++⋅=--+⋅-
(1)21n n =-⋅+.
显然{}n S 是单调递增的，又891793,4097S S ==，故存在k ∈N *，使得任意n k ≥，都有2014n S >，并且k 的最小值为9.。