求极限的方法总结__小论文
极限的计算毕业论文范文
1.极限计算1.左极限：Lim{x→0-}e^(1/x)=Lim{x→0-}e^(4/x)=0. Lim{x→0-}sinx/|x|=-1==> Lim{x→0-}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}=1 2.右极限：Lim{x→0+}e^(-1/x)=Lim{x→0-}e^(-4/x)=0 Lim{x→0+}sinx/|x|=1==> Lim{x→0+}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}= =Lim{x→0+}{e^(-3/x)][1+2e^(-1/x)]/[1+e^(-4/x)]+sinx/|x|}= =1。
==》Lim{x→0}{[2+e^(1/x)]/[1+e^(4/x)]+sinx/|x|}=1。
2.举例总结求极限的方法,我要写论文,格式要好点,好的追加分我大一摘要：数学分析很多概念都离不开极限，而求数列或函数的极限，是数学学习中遇到的比较困难的问题。
本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
？关键词：数列极限，函数极限，柯西准则，洛必达法则，泰勒展式，迫敛法则？？1？数列极限？？1。
1数列极限的（？-N）定义？设{na}为数列，a为定数。
若对任给的正数？，总存在正整数？N，使得当n>N时有？∣na—a∣N时，所有的点na，即无限多个点？123,,,NNNaaa？？？…都落在开区间（a-?,a ？）内，而只有有限个点（至多只有N个）在这区间以外。
？丽水学院2012届学生毕业论文？？2？注1？？上面定义中正数？可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式∣na—a∣N时，不等式1!n=1(1)(2)1nnn？？≤1n。
3.极限概念数学论文材料二：极限在高等数学中，极限是一个重要的概念。
极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
首先介绍刘徽的"割圆术"，设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。
浅谈极限的求解方法毕业论文
浅谈函数极限求解方法学生：智年指导老师：守江三峡大学理学院摘要：极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however, Taylor shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only besummarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics , and thus simplify the calculation关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式；单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law; integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
浅谈极限的求解方法毕业论文
浅谈极限的求解方法毕业论文1000字一、引言极限是微积分中最基本的概念之一，也是微积分理论的重要组成部分。
求极限可以帮助我们对函数的性质有更全面的了解，进而掌握一些更深入的微积分及数学分析知识。
本文将从定义、性质和求解方法三个方面进行讨论，希望能够帮助读者深入理解极限的概念和应用。
二、极限的定义在微积分中，极限是用来描述一个函数在某一点处的趋势性质的。
一般来说，我们将自变量不断逼近某一个值时，对应的函数值是否会逐渐趋近于一个确定的数，就称这个数为函数在该点的极限。
严格来说，极限的定义应该满足以下要求：（1）函数在无穷远点时也应有极限；（2）左极限等于右极限；（3）如果函数有极限，那么极限值应该是唯一确定的。
三、极限的性质（1）极限的唯一性：如果一个函数在某一点处有极限，那么它的极限值应该是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设一个函数f在某一点x0处有两个不同的极限L1和L2，那么我们就可以得到一个矛盾。
如果L1≠L2，那么我们就可以找到一个足够小的邻域，使得f(x)与L1的距离和f(x)与L2的距离之和小于某一个正数e。
但这与L1和L2不相等的前提矛盾，即假设不成立。
（2）局部有界性：如果一个函数在某一点x0处有极限，那么它在该点的某个邻域内是有界的。
因为如果函数在x=x0处有极限，那么意味着随着x越来越靠近x0，f(x)与L的差距会越来越小，也就是说函数值的范围将会越来越集中在一个很小的区域内。
（3）保号性：如果一个函数在某一点x0处有极限且不等于0，那么在该点的某个邻域内，函数与极限值之间的关系将会有一个明确的规律。
具体来说，如果极限值L>0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终大于0；如果极限值L<0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终小于0。
四、极限的求解方法(1)初值法：初值法又称数列逼近法，是一种基本的极限求解方法。
这个方法的具体过程是，我们先找到一个充分靠近极限的初始点，然后不停地不断逼近目标值，直到误差达到所需精度。
论文极限求法总结范文
论文极限求法总结范文摘要：本文针对论文求法时的极限问题进行总结和分析。
首先，介绍了论文极限求法的背景和意义，并阐明了求法的不可避免性和必要性。
其次，探讨了论文求法过程中常遇到的问题及解决方法，包括资源限制、时间限制、方法选择等。
最后，总结了论文求法过程中需要注意的几个方面，如充分利用现有资源和技术手段、明确问题与目标、合理规划时间和任务等。
通过本文的总结和分析，旨在帮助广大学术研究者更好地解决论文求法时的极限问题，提高论文质量。
关键词：论文；求法；极限；问题；解决方法一、引言在学术研究领域，论文撰写是一项必不可少的工作。
而在撰写论文的过程中，一般都涉及到求法的环节，即寻找相关数据、理论、实验等，用以支持论文的结论或论证。
然而，在实际求法过程中，我们会面临一些困难和极限问题，如限制条件、时间压力、困难方法选择等。
为了更好地解决这些问题，提高论文的质量，本文将总结和分析论文求法中的一些极限问题及解决方法。
二、论文求法中的常见问题及解决方法1. 资源限制在论文求法过程中，资源的限制是常见的问题之一。
例如，研究资金有限、设备技术条件有限、实验样本数量有限等。
针对这些问题，我们可以通过以下方法解决：充分利用现有资源，合理分配、优先选择最重要的资源；与他人或团队合作，共享资源，分担成本；寻找替代资源或方法，发挥创造力。
2. 时间限制时间限制是论文求法过程中的另一个常见问题。
在学术研究领域，时间通常是有限的，特别是在申请研究项目和撰写学位论文的过程中。
面对时间压力，我们可以尝试以下方法：明确问题和目标，合理规划时间和任务，合理安排工作进度；在繁忙的工作之余，合理安排休息和娱乐，保持身心健康；合理调整工作策略，提高效率，挤出更多的时间。
3. 方法选择在进行学术研究时，方法选择是一个非常关键的问题。
不同的方法可能会有不同的优势和局限性。
为了选择合适的方法，我们可以采取以下策略：充分了解所研究领域的主流方法和新兴方法；分析问题、目标和数据等特定要求，根据实际情况选择适合的方法；参考类似研究的方法和经验，不断总结、改进。
单调性求极限方法总结(论文)
0 引言单调性是函数和数列的一个重要性质,在求函数和数列的极限问题中有着重要的应用.因此,对单调性方法的研究和归纳就显得非常重要.本文主要从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法，进而利用单调有界函数（或数列）必存在极限原理来求极限，并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广，得到新的命题及推论，并利用单调性证法对其进行加以证明。
1利用微分法证明单调性求极限例1 证明：()'lim n fx →∞存在，并求极限值。
证明：（1）证明()'lim n f x →∞存在。
事实上，因为()f x 在()0,+∞上可导且单增，所以()'0f x ≥，即()'f x 有下界。
设()f x 在()0,+∞上单调递增且为有界的连续函数，又()f x 在()0,+∞内有二阶导数，且()"0f x <又因为()()"'0f x f x <⇒递减，综上知()'lim n f x →∞存在，设为L（2）求L 。
由()'0f x ≥()'lim 0n f x L →∞⇒=≥，现证L=0，若不然，()'0f x L →>，由极限的保号性，存在N ，若x N >时，有()'12f x >，在[],N x 上应用微分中值定理，有 ()()()()''f x f N f x N ξ-=- ()N x ξ<<()()()12f x f N x N >+-→∞ （N 固定，当x →∞） 当()f x 在()0,+∞单增有上界极限存在矛盾。
所以只有()'lim n f x →∞=0例2 设()f x 在()1,+∞上连续可微，且()()'211f x f x =+ 求证()lim x f x →∞存在。
证明：单调性：由当1x ≥时，11ln 1x x⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以()()'0f x f x ≥⇒在()1,+∞单增有界性：由已知()'f x ≤()111111111ln 111ln 1ln 11xxe x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<<+⇒⋅+≤≤++⇒≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x ≤）()'3212f x x ⇒<==≤由()'f x 的表达式可见()'f x 可积，且由积分单调性知()()()()()3'21111111112xxf x dx x dx f x f f x f -≤=≤⇒-≤⇒≤+⎰⎰()()1,x ∈+∞ 所以()lim x f x →∞存在。
分析方法论文求极限的方法的论文 求极限几种特殊的方法与技巧
分析方法论文求极限的方法的论文求极限几种特殊的方法与技巧摘要】本文主要归纳了求极限的几种特殊方法。
【关键词】极限单调有界性夹逼准则无穷小导数定义泰勒公式中值定理一、利用单调有界性准则单调有界性准则：单调有界数列必存在极限例 1 ：证明数列{Xn}收敛,其中X1=1,=(Xn+),n=1,2,…,并求极限Xn.证明：∵=(Xn+)≥·2·= ∴|Xn|有界又∵=(Xn+)≤(1+)=1 ∴{Xn}单调递减，从而Xn=b存在在=(Xn+)两边取极限得b=(b+),解得b=,从而Xn=二、利用两边夹定理两边夹定理(夹逼准则)：如果函数f（x）、（x）、g（x）满足下列条件：(1)f（x）≤（x）≤g（x）(2)lim f（x）=lim g （x）=A ，那么lim （x）=A例2：求极限解：∵≤≤=, ==0 ==0，∴原式=0三、利用等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量，且有：，存在，则也存在，且有=.常见的等价无穷小量(x0)有:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例3:求极限.解:∵∴==1注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”四、利用导数定义求极限导数定义：(1）f′(x0）=(2)f′(x0）=例4：求极限解：∵e0=1,根据导数定义有原式====（eu)u=0=1五、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)上述展开式中的符号都有:例5：求极限:求解:利用泰勒公式，当有于是=从而原式===-六、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f（x）满足如下条件：(I)f（x）在闭区间[a,b]上连续；(II)f （x）在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点,使得.此式变形可为:f(b)-f(a)=f′()(b-a),(a,b).例6:求解:令，在应用中值定理得==-(),()故当n时，一0，可知原式=-()==1.参考文献[1] 邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程.[2] 陈传璋《数学分析》第二版(上册).[3] 同济大学应用数学系编，微积分（上册）.资料仅供参考!!!。
极限求解方法及应用论文
极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。
首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。
极限可以分为左极限和右极限。
设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。
同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。
当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。
极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。
极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。
它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。
求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。
下面我将介绍几种常用的求极限的方法。
一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。
如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。
三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。
通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。
四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。
具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。
通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。
五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。
通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。
在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。
求极限及几种方法论文
求极限的几种方法崔令坤摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。
关键词：高等数学，极限方法能力。
定义:设函数()x f y =在点o x 的某个去心邻域内有定义，即存在()0lim x x f x A →=1.用极限定义求极限例1：（1） 用N ε-放法证明:1x =(2) 设12...lim nnx x x x x A n →∞+++=（1）证明：0ε∀>1ε< 记1α=此式可改写成：()()()221111 (2)1nnn n n n n n ααααα+++==++++≥+ 用到了二项展开式 得：0α<<≤=当1n >时至此要αε<ε< 即 241n ε>+故令241N ε=+，则n N >1αε=< 2） 证明：当A 为有限数时，1212......n nx A x A x A x x x A n n-+-++-+++-≤因为lim n x x A →∞=，故10,0N ε∀>∃> 使得，当n>N 时有2n x A ε-<从而，上式121 (2)n x A x A x A n N n n ε-+-++--≤+注意：这里112...N x A x A x A -+-++- 已为定数，因而20N >，当2n N >时，112 (2)2N x A x A x Aε-+-++-<于是，令{}12max ,N N N =，则n N >时12 (222)n x x x n N A n n εεεε++--<+<+=2.用Cauchy 准则证明极限： 例：设23sin1sin 2sin 3sin (2222)n n nx =++++试证{}n x 收敛， 证明：因为对0p ∀>有12111 (222)n p n n n n px x ++++-≤+++ 11111111111...12222212n p n n n+-+⎛⎫⎪⎛⎫+++≤=< ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭0ε∀>，（只要1n ε<（即n ε>）），故令1N ε=，则n N >时，有n p n x x ε+-<，(){}0n p x ∀>收敛从而，结论得证。
论文极限求法总结范文
摘要：极限是高等数学中的重要概念，求极限的方法也是数学分析和应用数学中的基本技能。
本文旨在总结常见的极限求法，包括直接求极限、夹逼法、洛必达法则、等价无穷小替换法、无穷小代换法等，并对其适用条件和应用进行简要分析。
关键词：极限；求极限方法；直接求极限；夹逼法；洛必达法则一、引言极限是高等数学中的核心概念之一，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
求极限的方法是解决各种数学问题的基础，因此，掌握各种极限求法对于学习高等数学具有重要意义。
二、常见的极限求法1. 直接求极限直接求极限是最基本的极限求法，适用于直接观察出极限值的情况。
对于一些简单的函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以直接求出其极限。
2. 夹逼法夹逼法是一种常用的极限求法，适用于当函数在无穷远处趋于某一值时。
具体来说，如果存在函数f(x)和g(x)，满足以下条件：（1）f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)，对于所有的x > a或x < b成立；（2）lim(x→a) f(x) = A，lim(x→b) g(x) = A，则lim(x→a) h(x) = A。
3. 洛必达法则洛必达法则适用于“0/0”型或“∞/∞”型的未定式。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在x = a处可导，且满足以下条件：（1）lim(x→a) f(x) = 0，lim(x→a) g(x) = 0；或（2）lim(x→a) f(x) = ∞，lim(x→a) g(x) = ∞，则lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x)的导数。
4. 等价无穷小替换法等价无穷小替换法适用于在求极限过程中，需要将复杂函数替换为简单函数的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在x = a处可导，且满足以下条件：（1）lim(x→a) f(x) = 0，lim(x→a) g(x) = 0，则f(x)和g(x)可以替换为它们的等价无穷小。
求极限的方法总结--小论文
求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **指导教师 ****摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim . 例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可, 存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立, 所以0!1lim =∞→n n . 2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a . 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限b b b b b a a a a a n n n n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=abbabbaannnn--=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim11,3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且aZnXnnn==∞→∞→limlim,则有aYnn=∞→lim.例3:求{21nn+}的极限.解: 对任意正整数n,显然有nnnnnn221122=≤+<,而01→n,02→n,由夹逼性定理得1lim2=+∞→nnn.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim+-∞→nnn aa，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。
极限概念论文总结报告
极限概念论文总结报告
本论文总结报告旨在探讨极限概念的重要性和应用。
极限概念是微积分中的基础概念之一，也是数学中的重要理论之一。
它在各个领域中都有广泛的应用，例如物理学、工程学和经济学等。
首先，我们将引入极限的定义和性质。
极限的定义是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的值趋近于某个确定值。
这一定义可以推广到多维空间和多重极限的情况。
而极限的性质包括唯一性、有界性和保号性等。
这些性质使得极限在数学推导和计算中非常有用。
然后，我们将介绍极限的计算方法。
计算极限涉及到一系列的极限运算法则，如极限的四则运算法则和复合函数的极限法则。
掌握这些计算方法可以帮助我们更准确地求解各种极限问题。
接下来，我们将探讨极限的应用。
在物理学中，极限概念被广泛应用于描述和推导各种物理量的变化规律，如速度、加速度和力等。
在工程学中，极限概念是设计和优化各种工程结构和系统的关键因素，如材料的强度和稳定性分析等。
在经济学中，极限概念被用来研究市场的供需关系和市场均衡等问题。
最后，我们将讨论极限概念的未来发展方向。
随着科学技术和数学理论的不断进步，极限概念也将进一步发展和应用于更多领域。
例如，在人工智能领域中，极限概念可以用于优化算法和模型的性能，并提高机器学习和深度学习的效果。
综上所述，极限概念在数学和各个科学领域中均具有重要的地位和应用。
通过理解极限的定义和性质，掌握极限的计算方法，以及应用极限概念解决实际问题，我们可以更好地理解自然界和人类社会的运行规律。
希望本论文能对读者对极限概念的理解和应用提供一定的帮助。
数列极限计算函数极限的方法论文
数列极限计算函数极限的方法论文求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。
求极限的方法很多，针对学生的实际情况，本文从一类计算方法总结如下。
一、问题的提出引例1：计算（）n3。
解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2。
本例中数列极限（1+）=e许多学生认为是由于（1+）n=e，但这种想法似是而非，严格地讲这是由（1+）x=e得出来的，同一个类型的例子基本上都是这样，由此可见x=e这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。
引例2：证明（1+）x=e。
证：对于任意的x>1，有（1+）[x] +∞时，不等式左右两侧表现两个数列的极限（1+）n=e与（1+）n+1=e，再利用函数极限的夹逼定理得到（1+）x=e。
接下来我们重点了解一下能不能从数列极限（1+）n=e求函数极限（1+）[x]=e 。
研究数列极限和函数极限时，许多学生会想到海涅定理，根据海涅定理，（1+）[x]=e的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n }都有。
当xn=n时，数列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。
当xn=n2时，数列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是数列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。
但是当 xn=时，数列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，显然数列{（1+）n}是数列{（1+）[xn]}的子列，因此从逻辑上我们就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接将{（1+）[xn]} 认为是{（1+）n}的子列，则明显错误的。
二、得到的重要结果通过上面的分析，我们就可以提出下面的定理。
定理1 设f（x）在[a，+∞]上有定义，（a>0），如果存在数列{xn }，{yn }满足对于任意x>=a，当n0，由于 xn= yn=a，所以存在n∈n+ （假设n≥a），当n>n时，就会有x-ax时，总可以找到满足 n0>n 且n0≤x≤n0+1，由条件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-a≤f（x）-a≤yn-a，于是f（x）-a≤max{xn-a，yn-a}<ε。
毕业论文《求函数极限的若干方法》
题目求极限的若干方法学生苗波年级 2012级专业数学与应用数学南京机电学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 (1)关键词 (1)1.定义法 (2)2.利用极限四则运算法则 (3)3.利用夹逼性定理求极限 (3)4.利用两个重要极限求极限 (4)5.利迫敛性来求极限 (4)6.用洛必达法则求极限 (5)7.利用定积分求极限 (6)8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 (6)9.利用变量替换求极限 (7)10.利用递推公式计算或证明序列求极限 (7)11.利用等价无穷小量代换来求极限 (8)12.利用函数的连续性求极限 (9)13.利用泰勒公式求极限 (10)14.利用两个准则求极限 (10)15.利用级数收敛的必要条件求极限 (12)16.利用单侧极限求极限 (13)总结 (13)参考文献 (14)外文摘要 (15)求极限的若干方法范秀龙摘 要:在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。
本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。
由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余关键词：夹逼准则；单调有界准则； 洛必达法则；微分中值定理；一·极限的定义性质及作用学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
数学分析极限论文
数学分析中求极限的方法总结熊伟 1303090119 数学0901摘要：数学分析是以极限为工具来研究函数的学科，掌握求极限的方法对学习数学分析有很大帮助，然而求极限的题型多变，技巧性强，本文总结了几种一般的求极限方法，并对专用于求数列极限和函数极限以及两者通用的方法进行归类总结，同时为每种方法相应的举例对方法加以说明.关键词：极限 、数列极限 、函数极限 、方法 、总结在我们所学过的数学分析中有数列极限和函数极限两种，我将用于专门求数列极限或函数极限，两者通用的方法进行了如下归纳.1 求数列极限的方法定义法 这是求数列极限最基本的方法.设{n x }是数列，A 为常数，0>∀ε，∃正整数N ，当N n >有ε<-A x n 成立，称{n x }以A 为极限或{n x }收敛于A ，记作A x n n =∞→lim .[1]例1 证明0)1(lim=-∞→nnn 证明：0>∀ε，取1]1[+=εN ,则当N n >时，有ε<--0)1(nn0)1(lim=-∴∞→n n n 2 求函数极限的方法2.1 定义法 设)(x f y =在)(00x O 内有定义，A 为常数，0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，称)(x f 在0x 点收敛于A ，记作A x f x x =→)(lim 0.[1]例2 求证211lim=--→x x x x证明：0>∃δ，取εδ=，则当δ<-<10x 时，有ε<-<+-=-=---1111211x x x x x x2.2 两个重要极限的应用.1sin lim0=→x x x e xx x =+∞→)11(lim例3 求)0,(sin sin lim 0≠→n m nx mx x 解：原式n mnx nx nx mx mx mx x ==→sin **sin lim 0例4 求n n n )111(lim ++∞→ 解：原式=11])111[(lim ++∞→++n nn x n =1lim1])111[(lim ++∞→∞→++n nn x n n e = 3 以下方法求数列极限和函数极限均适用，方法均以数列为例举出，将n x 和n y 相应的替换为)(x f 和)(x g 可得求函数极限的方法. 3.1 利用极限的夹逼准则求极限. 例5 求)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：设原式的=A ， 那么122+≤≤+n n A n n n 又 1lim2=+∞→nn n n ,11lim2=+∞→n n n1)12111(lim 222=++++++∴∞→nn n n n3.2利用极限的四则运算，此法一般参杂在其他方法中使用. 例6 求)(lim 2n n n n -+∞→解：∞→n lim (n n +2-n)=∞→n limnnn n ++2=)111(lim ++∞→n n =2. 3.3利用泰勒公式求极限，在含有xe ，正余弦的极限中注意此方法. 例7 求)1(11sin lim 2x x e x x ----=→解： )(!2122x o x x e x+++= )(sin 2x o x x += )(21)1(222x o x x +-=- ∴2!21sin 22x x x e x==-- )(2)1(1222x o x x +=-- 1021021lim )(21)(21lim)(2)(2lim )1(11sin lim 0222202222020=++=++=++=----∴→→→→x x x xx xx o x x o x o x x o x x x e 3.4利用洛必达法则求解，首先介绍使用洛必达法则的前提. 必须是00或∞∞型才能用洛必达法则，若是∞-∞，∞*0，00，∞1，0∞等待定型，则用通分，取倒数或取对数的方法将其转化为00或∞∞型. 例8 求xx xx x x sin cos lim0--→解:原式3)sin cos 2(lim sin cos sin sin lim cos 1sin cos 1lim 000=+=++=-+-=→→→xxx x x x x x x x x x x x x此外，还有一个简便的方法，在我们了解函数图像大体趋势时，可根据函数图像上升或下降的速度来判断极限是0还是∞.应注意的是，当函数x 无限趋近于某一数时，这两个函数图像同增或同减.以上是我总结的几种求极限的方法。
求函数极限的方法总结论文
求函数极限的方法总结论文利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
几种求极限方法的总结(论文型-常规版)
几种求极限方法的总结(常规版)摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 1 用定义求极限[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a〈ε.例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：21n cn n>++=+同时有：211n c n<+=+，于是nc<<由1nn <=+>=.有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12lim lim ⇒al l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-x x ， 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 又,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim x x x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xxxx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦ ∴原式=e xxxxx =+∞→22sin2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)0解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ 7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。
求极限的方法毕业论文.
毕业论文（设计）任务书目录摘要 (5)Astract: (6)一、................................................................. 引言 7二、相关定义与定理 (7)三、极限的几个重要性质 (10)1、收敛数列的一些性质 (10)2、函数极限的相关性质 (10)四、极限的方法与技巧及举例说明 (11)1、................................................... 积分定义法求极限 112、....................................................... 对数法求极限 113、............................................... 利用等价无穷小求极限 124、............................................. 利用两个重要极限求极限 125、......................................... 利用数列与级数的关系求极限 136、............................................... 利用泰勒展开式求极限 137、....................................................... 单调有界定理 14&递推关系法 (15)9、....................................................... 先求和后求限 1510、........................................................ 利用不等式 1611、........................................................ 洛必达法则 1612、中值定理法 (17)13、两边夹法则 (18)14、利用极限的四则运算法则求极限 (18)15、施笃兹（stolz）定理 (19)16、E uler 常数法 (19)五、总结 (20)参考文献 (20)致谢 (21)求极限的方法与技巧龙丽丽摘要:极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数、定积分都是建立在极限概念的基础上的。
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求数列极限的方法总结
数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **
指导教师 ****
摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同
的方面罗列了它的几种求法。
关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多
样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法
还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代
换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的
四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要
重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法
利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对
任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a
是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞
→lim . 例1: 按定义证明0!
1lim
=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n
令1/n<ε,则让n>ε
1即可, 存在N=[ε
1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立, 所以0!
1lim =∞→n n . 2.利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.
例2: 求n
n
n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a . 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限
b b b b b a a a a a n n n n --=++++--=++++++111,1111
212 ,
原式=a b b a b b a a n n n n --=--=----+∞→+∞→11111111lim 11lim 11, 3. 利用夹逼性定理求极限 若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞
→∞→lim lim ,则有a Yn n =∞
→lim . 例3:求{
21n
n +}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有
n n
n n n n 221122=≤+<, 而01→n ,02→n
,由夹逼性定理得 01lim 2=+∞→n n n .
4．换元法
通过换元将复杂的极限化为简单.
例4.求极限2
1lim +-∞→n n n a a ，此时 解：若 有 ，令 则
5.单调有界原理
例5.证明数列
有极限，并求其极限。
证： 令
，易知｛｝递增，且 我们用归纳法证明
≤2. 显然。
若≤２ 则。
故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在
中两边取极限得 即
解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，
从而
6.先用数学归纳法,再求极限.
例6:求极限n
n n 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ 解:1
212126543210+<-⋅⋅⋅⋅<n n n S=n
n 212654321-⋅⋅⋅⋅
设*S =1
225432+⋅⋅⋅n n 则有S<*S S 2=S*S<S**S =1
21+n 而1210+<<n S ,01
21lim =+∞→n n 再由夹逼性定理,得 n
n n 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ =0 7.利用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ,e x
x x =++∞→)11(lim . 例7:求x x x
)21(lim ++∞→ 解: 原式=222)11()21(lim e e e x
x x x x =⋅=+⋅++∞→ 8.利用等价无穷小来求极限
将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.
例8:求11
sin 1lim 2--++→x x e
x x 解:当0→x 的时候,0sin →x x ,2sin ~1sin 1x x x x -+. 而此时,2~12x e x -,所以
原式=2
12sin lim 20=→x x x x 9.用洛必达法则求极限.适用于型和∞
∞00 例9:求20cos 1lim x
x x -→ 解: 是0
0待定型. 20cos 1lim x
x x -→=212sin lim 0=→x x x 10.积分的定义及性质
例10:求)0(321lim 1
>++++++∞→p n n p p
p p p n 解: )0(321lim 1>++++++∞→p n n p p p p p n =∑=+∞→n i p n n
i n 1)(1lim 设p x x f =)(,则)(x f 在[0,1]内连续, ],1[,1n
i n i n i n x i i -∈==∆ξ取 所以, p i n
i f )()(=ξ 所以原式=1
110+=⎰p dx x p
11.级数收敛的必要条件.
设,,11是收敛的再证等于所求极限的表达式∑∑∞
=∞=n n n n u u 据必要条件知所求表达式的
极限为0.
例11:求n
n n n!lim +∞→ 解:设n n n n n u !1=
∑∞=,则11)11(1lim lim 1<=+=+∞→++∞→e n
u u n n n n n 所以该级数收敛,所以n n n
n!lim +∞→=0 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数
的恒等变形。
例12. 求0sin 5sin 3lim sin 2x x x x
→- 解：
法一：原式=0sin 525sin 32353lim 15sin 22
3sin 2222x x x x x x x x x →⎡⎤⋅⋅-⋅⋅=-=⎢⎥⎣⎦ 法二：原式=00053532cos sin 2cos 4sin 2cos 422lim lim lim 1sin 22sin cos 2cos x x x x x x x x x x x
x x x →→→+-=== 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。
例13：求(1)lim 2
x
x x →∞-的值 解：奇数列为1lim 2
x x →∞-=0 偶数列为1lim 2
x x →∞=0 所以(1)lim 2
x
x x →∞-=0 14．利于泰勒展开式求极限。
例14.求)lim(545545x x x x --+
解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--++∞→5151)11()11(lim x x x x (令t=x 1) =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--++→51510)1()1(1lim t t t t =t t o t t o t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++)(511)(511=52 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。
利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数
的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。
例15：求21lim sin x x x
→∞的值
解：因为21lim
x x →∞是无穷小量，而limsin x x →∞
是有界变量，所以 21lim sin x x x
→∞还是无穷小量，即 21lim sin x x x
→∞=0 16.利用数列的几何、算术平均值求极限。
数列{n a }有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。
例16
：求n
解：n
n
=n n 设n b =1
n n a a -
，因为知n 所以，所求原式的极限就等于{n b }的极限 即原式=lim n n b →∞=1lim n n n a a →∞
- 17.绝对值中的极限 若)(∞→→n a a n ,则)(∞→→n a a n
例17：求3
1lim
x x →∞的值 解：31lim x x →∞=31lim x x
→∞=0
18.利用黎曼引理
例18：求20cos lim 1a p px dx x
→∞+⎰（a>0） 解：原式=0001cos 2111cos 21lim lim lim ln(1)2(1)21212
a a a p p p px px dx dx dx a x x x →∞→∞→∞+=+=++++⎰⎰⎰ 数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。