求极限的方法总结__小论文

求数列极限的方法总结

数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **

指导教师 ****

摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同

的方面罗列了它的几种求法。

关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多

样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法

还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代

换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的

四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要

重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。

还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对

任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a

是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞

→lim . 例1: 按定义证明0!

1lim

=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

令1/n<ε,则让n>ε

1即可, 存在N=[ε

1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立, 所以0!

1lim =∞→n n . 2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.

例2: 求n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<

b b b b b a a a a a n n n n --=++++--=++++++111,1111

212 ,

原式=a b b a b b a a n n n n --=--=----+∞→+∞→11111111lim 11lim 11, 3. 利用夹逼性定理求极限 若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞

→∞→lim lim ,则有a Yn n =∞

→lim . 例3:求{

21n

n +}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有

n n

n n n n 221122=≤+<, 而01→n ,02→n

,由夹逼性定理得 01lim 2=+∞→n n n .

4．换元法

通过换元将复杂的极限化为简单.

例4.求极限2

1lim +-∞→n n n a a ，此时 解：若 有 ，令 则

5.单调有界原理

例5.证明数列

有极限，并求其极限。 证： 令

，易知｛｝递增，且 我们用归纳法证明

≤2. 显然。 若≤２ 则。

故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在

中两边取极限得 即

解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，

从而

6.先用数学归纳法,再求极限.

例6:求极限n

n n 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ 解:1

212126543210+<-⋅⋅⋅⋅

n 212654321-⋅⋅⋅⋅

设*S =1

225432+⋅⋅⋅n n 则有S<*S S 2=S*S

21+n 而1210+<

21lim =+∞→n n 再由夹逼性定理,得 n

n n 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→ =0 7.利用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ,e x

x x =++∞→)11(lim . 例7:求x x x

)21(lim ++∞→ 解: 原式=222)11()21(lim e e e x

x x x x =⋅=+⋅++∞→ 8.利用等价无穷小来求极限

将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.

例8:求11

sin 1lim 2--++→x x e

x x 解:当0→x 的时候,0sin →x x ,2sin ~1sin 1x x x x -+. 而此时,2~12x e x -,所以

原式=2

12sin lim 20=→x x x x 9.用洛必达法则求极限.适用于型和∞

∞00 例9:求20cos 1lim x

x x -→ 解: 是0

0待定型. 20cos 1lim x

x x -→=212sin lim 0=→x x x 10.积分的定义及性质

例10:求)0(321lim 1

>++++++∞→p n n p p

p p p n 解: )0(321lim 1>++++++∞→p n n p p p p p n =∑=+∞→n i p n n

i n 1)(1lim 设p x x f =)(,则)(x f 在[0,1]内连续, ],1[,1n

i n i n i n x i i -∈==∆ξ取 所以, p i n

i f )()(=ξ 所以原式=1

110+=⎰p dx x p

11.级数收敛的必要条件.

设,,11是收敛的再证等于所求极限的表达式∑∑∞

=∞=n n n n u u 据必要条件知所求表达式的

极限为0.

例11:求n

n n n!lim +∞→ 解:设n n n n n u !1=

∑∞=,则11)11(1lim lim 1<=+=+∞→++∞→e n

u u n n n n n 所以该级数收敛,所以n n n

n!lim +∞→=0 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数

的恒等变形。

例12. 求0sin 5sin 3lim sin 2x x x x

→- 解：

法一：原式=0sin 525sin 32353lim 15sin 22

3sin 2222x x x x x x x x x →⎡⎤⋅⋅-⋅⋅=-=⎢⎥⎣⎦ 法二：原式=00053532cos sin 2cos 4sin 2cos 422lim lim lim 1sin 22sin cos 2cos x x x x x x x x x x x

x x x →→→+-=== 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。

例13：求(1)lim 2

x

x x →∞-的值 解：奇数列为1lim 2

x x →∞-=0 偶数列为1lim 2

x x →∞=0 所以(1)lim 2

x

x x →∞-=0 14．利于泰勒展开式求极限。 例14.求)lim(545545x x x x --+

解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--++∞→5151)11()11(lim x x x x (令t=x 1) =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++→51510)1()1(1lim t t t t =t t o t t o t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++)(511)(511=52 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。

利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数

的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。

例15：求21lim sin x x x

→∞的值