电工基础相量法基础

6-1 复数
在分析线性正弦稳态电路时，如果直接使用正 弦量的解析式或波形图会使计算繁琐，如果用称为 相量的复数表示正弦量，分析方法大为简化。学习 相量法必须了解复数的四种表示形式和运算法则。
1.复数的四种表示形式
数学上规定 j ? ? 1 叫虚数单位。
复数表示形式
代数形式
三角形式
指数形式
极坐标形 式
6-1 复数
?代数形式
A = a +jb
复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=aIm[A]=b
?三角形式
A=|A|(cos?பைடு நூலகம்jsin ?)
复数A的模 幅角
两种表示法的关系
??a ? A cos?
? ??
b
?
A sin?
? ?
A
?
a2 ? b2
?
b
?? ? arctg
?
a
6-1 复数
?指数形式 A=|A| ej?
欧拉公式ej?= cos?+jsin ? 三角形式
?极坐标形式
A=|A|? ?
要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转 换关系，这对复数的运算非常重要。
6-1 复数
2.复数的运算
(1) 加减运算 —— 采用代数形式比较方便。
若 A 1= a1 +jb1 A 2= a2 +jb2
则 A 1? A 2= (a1? a2)+j(b1? b2)
6-2 正弦量
正弦交流电基本知识
?正弦交流电： 大小和方向都随时间按 正弦规律 变
化的电动势、 电压和电流统称为正弦交流电， 简
称交流电。
?正弦交流电的方向
ui
+ _
? _
+
_u
+
R _ _u
R
?t
?
正半周
负半周
“+”表示电流(或电压)为正值，称为正半周， 电流(或电压)的实际方向与参考方向一致。
例6-1 设复数A1=4+j3，A2=6? 135?，计算A1+A2，A1? A2
本例说明进行复数的加减运算时 应先把极坐标形式转为 代数形式
例6-2 计算复数 220? 35? ? ?17 ? j9??4 ? j5?? ？
20.62? 14.04?
本例说明进行复数的乘除运算时 应先把代数形式转为 极坐标形式
? 任意复数 A 乘或除复数 ej? ， 相当于 A 逆时 针或顺时针旋转一个角度 θ，而模不变。故把 ej?称为旋转因子。
Im
A?ej?
? A
0
Re 故+j, –j, – 1 都可以看成旋转因子。
6-1 复数
3.复数运算定理
实数
定理1： ReK[A]= KReA[]，ImK[A]=KImA[ ]
幅值
角频率
初相位
(1)幅值 (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
当 sin(? t ? ? i ) ? 1时，有i ? I m ? imax 当 sin(? t ? ? i ) ? ? 1时，有i ? ? I m ? ? imax
最大值与最小值之差 imax ? imin ? 2Im ,称为正弦量的峰--峰值
即实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以 在复平面上按平行四边形法 用向量的相加和相减求得。
Im A2
复数和 复数差
0
几何运算 过程复杂
O(∩_∩)O
A1 Re
6-1 复数
(2) 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便
若A1=|A1| ej? 1=|A1|? ?1 A2=|A2| ej? 2==|A2|? ?2
? ? A1 ?A2 ? A1 A2 e j??1?? 2 ? ? A1 A2 ? ?1 ? ? 2
? ? A1 ?
A2
A1 e j??1?? 2 ? ? A2
A1 ? A2
?1 ? ?2
即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。 除法运算满足模相除，辐角相减 .
6-1 复数
（3）旋转因子
复数ej? =1? ?是模为1幅角为?的复数。
?i O
2? ? t
6-2 正弦量
例 已知： i ? sin ?1000 t ? 60 ? ?
幅度：
I m ? 1A
I ? 1 ? 0.707A 2
电路中按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦量。 通过正弦交流电流学习正弦量知识
瞬时值表达式： i(t)=Imsin( ? t+? i)
波形
周期T ：重复变化一次所需的时间。
单位：s，秒
i
T
频率f ：每秒重复变化的次数。
? i/?
O
t
单位：Hz，赫(兹)
6-2 正弦量
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imsin( ? t+ ? i)
主要内容 相量法是分析正弦交流电路的简便有效方法。主 要有复数、正弦量、相量应用、基本元件伏安特性 和基尔霍夫定理的相量形式。重点是正弦量的相位 差和有效值、基本元件电压电流的相量形式，两者 关系的相量形式、电路定理的相量形式。
学习要求：了解复数基本知识；理解 正弦量的相位差和有效值；熟练掌握基本 元件电压电流相量形式，理解两者关系的 相量形式，知道电路定理的相量形式。
6-2 正弦量
(2) 角频率?
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
? ? 2? f ? 2?
T
单位： rad/s ，即弧度 / 秒
我国电力系统的电压为正弦量，频率为 50Hz
(3) 初相位 ? i 反映正弦量的计时起点。
三个要素：幅值、 角频率、初 i T
相位。可以描述一个正弦量。
Im
i(t)=Imsin( ? t+ ? i)
?交流电的产生
图（ a）为一最简单的交流 发电机，它按电磁感应产生 交流电。标有N、S的为两 个静止磁极。 磁极间放置 一个可以绕轴旋转的铁心， 铁心上绕有线圈a、b、b′ 、 a′ ，线圈两端分别与两个铜 质滑环相连，滑环经过电刷 与外电路相连。外力带动线 圈转动就有交流电产生。
6-2 正弦量
1. 正弦量 本书用sine表示正弦量
6-2 正弦量
?正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换； 便于运算； 有利于电器设备的运行。
?交、直流电路比较：
① 交、直流电的 I、U、E、P 具有相同的物理意义；
② 基本定律定理一样，网络分析的方法理论一样。
③ 交流电是变的，其瞬时值符合 KCL、KVL ，但有效值
不符合 。
6-2 正弦量
定理2： ReA[1+A2]= RAe1[]+ReA2[]； A1I+mA2[]= ImA[1]+ImA[2]
定理3： 若A1=A2
则ReA[1]= RAe2[]， ImA[1]= ImA[2]
进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式； 进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
6-1 复数