二次函数同步辅导讲义

二次函数同步辅导讲义

目录

第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法 (1)

【总结归纳】 (1)

【精选例题】 (2)

【课后作业】 (7)

第二讲二次函数的图象和性质 (10)

【知识归纳】 (10)

【精选例题】 (12)

【课后作业】 (18)

第三讲二次函数与一元二次方程 (20)

【知识归纳】 (20)

【精选例题】 (21)

【课后作业】 (30)

第四讲二次函数的应用 (32)

【知识归纳】 (32)

【精选例题】 (33)

【课后作业】 (42)

第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法

【知识归纳】

要点一、二次函数的概念

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④

（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

要点二、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x、y对应也就是说：

1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；

2、满足二次函数解析式的每一组(,)

x y的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。

要点三、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系

交点式

因式分解一般式

配方法

顶点式图像与轴交点图像与轴交点图像的顶点

要点四、待定系数法求函数关系式

1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；

2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；

3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。

4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。 要点五、配方法

其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2

2

2

2()a ab b a b ±+=±。 配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；

3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。

【精选例题】

（一）二次函数的概念

例1、

（1） 函数y=（m ＋2）x

＋2x －1是二次函数，则m= ．

（2）下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2

；④y=＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析： （1）

2y ax bx c =++中，只有二次项系数0a ≠时，才是二次函数，22220m m ∴-=+≠且，故答

案为2m =；

（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合

2y ax bx c =++且0a ≠，所以答案为B 。

前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0. 牛刀小试：

1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y =（m －2）x

是二次函数．

3．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4

B ．y=－x 2

C ．y=

D ．y=（x ＋1）（x －2）

2

2-m x 121

x

2

2-m 31

52-x

（二）根据等量关系列二次函数关系式

例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解析：

等量关系：增加的面积=新正方形面积—原正方形面积，则2

2

(5)5y x =+-整理得2

10y x x =+ 前思后想：

根据实际情境列函数关系式，跟方程应用题一样，先找等量关系，再用代数式分别表示各个量，根据等量关系即可列出函数关系式。 变式：

1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．

2、已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．

3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．

牛刀小试：

1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x 元，请你得出每天销售利润y （元）与售价x （元）的函数表达式．

2、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP =x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．