江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
因此
．
故选.
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
利用数列的函数特性逐一分析四个选项即可得到答案．
【解答】
解：，若一个常数列是等比数列，则这个数列的各项都为一个相等的常数且不为，则公比一定为，故该选项正确；
，同一个数在数列中能重复出现，例如常数列，故该选项错误；
，数列的第项为，第项为，第项大于第项恒成立，故该选项正确；
求的值；
若（其中），设，求的最小值．
22.已知数列的前项和满足：为常数，且，．
求的通项公式；
设，若数列为等比数列，求的值；
在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高二上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
14.已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则的值为________．
15.已知数列满足，前项和，则________.
16.已知数列通项公式为.
若，则数列最小项的值为________；
若数列为单调递增数列，则的取值范围是________.
四、解答题
17.等差数列中，，.
A.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为
B.同一个数在数列中不能重复出现
C.数列是递增数列
D.数列通项的表达式是唯一的
10.设数列为等差数列，下列数列为等差数列的有( )
A.B.C.D.
11.关于等差数列和等比数列，下面四个选项中正确的是( )
A.若数列的前项和，则数列为等差数列
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试(三)数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。
江苏省泰州市泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B.CD.3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.米B.米C.米D.米5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.或6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）A.3B.2C.1D.07.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交()()0,3,P Q -30 60 120 1502224240x y mx y m m ++-+-=m 0m <12m <1m >-2m ≥M ()()120,3,0,3F F -M 2212516x y +=2212516y x +=2212516y x -=2212516x y -=y x m =+x =m m =m ≥m ≤m <<11m -<≤m =P 22:(2)(1)4O x y -+-=()()1,2,2,2A B --6AP BP ⋅=P :10l x y +-=O ()0y kx x =≥l l x于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）A.B. C. D.8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）A.某一边上的中线所在直线的方程为B.某一条角平分线所在直线的方程为C.某一边上的高所在直线的方程为D.某一条中位线所在直线的方程为10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点M x y N MN =k 3223121322:16O x y +=12,2F ⎛-+ ⎝E :2160l x y -+=E O ,A B AB EO M MF ∣32ABC V ()()()1,2,1,0,3,4A B C -ABC V 2y =2y =20x y +=210x y -+=sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=()1,2P x y 30x y +-=()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 11y x --(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭O 224x y +=O (),P a b O A B OP AB D P 40x y ++=AB ()1,1--B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点和直线.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求过的中点与垂直的直线的方程.16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆的方程；（2）当的方程.17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.PA PB ⋅P 2232x y +=PA PB 22ax by a b +=+OP OD ()1,4A -22:(2)(3)1C x y -+-=22112x y m m+=--y m P 22(1)(1)1x y -+-=()()0,0,2,0O B PO ()()1,3,5,7A B --:34200l x y +-=A l 1l ,A B l 2l ()1,2A -()2,0B -l A ,M N270x y ++=22(3)20x y -+=210x y --=A MN =l ABO 1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN V MN k（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18.（17分）如图，圆C ：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知为圆上三点.（1）若直线过点，求面积的最大值；（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.k MN M N ､AMN V ()2210x a x y ay a -++-+=C y C 4a =C x ,M N M N 222:O x y r +=M ,A B ANM BNM ∠∠=()0,3,,A B C 22:9O x y +=BC ()0,2ABC V D ()22(1)43x y y ++=≠-AD AB AC =+AB AC数学学科答案（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C 2.【答案】C 3.【答案】B【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.4.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为.PQ k ==()0180θθ≤<tan k θ==120θ=120 M ()()120,3,0,3F F -106>M 5,3,4a c b =====y 2212516y x+=y r 222()x y r r ++= ∴()6,3-221536(3),,2r r r ∴+-+=∴=∴221522524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(),4t -244,t t =∴=±∴故选：C.5.【答案】D【解析】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，综上可得，或，故选：D 6.【答案】B【解析】设点，则，由，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7.【答案】B0x =≥()221,0x y x +=≥y x m =+0x y m -+=1d m =m =y x m =+0x y m -+=11m -<≤11m -<≤m =(),P x y ()()1,2,2,2AP x y BP x y =+-=+-AP BP ⊥()()22212(2)3466AP BP x x y x y x y ⋅=+++-=++-+= 22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭P 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭52P 22:(2)(1)4O x y -+-=59222+=51222-=1922<<P【解析】如图，设点关于直线的对称点为：则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即为入射点，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.故，O l ()11,A x y ()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩1111x y =⎧⎨=⎩()1,1A ()0y kx x =≥l 1k ≠-10y kx x y =⎧⎨+-=⎩111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1,,11k P P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭AP 111111APkk k k k -+==-+AP ()111y x k-=-0y =1x k =-()1,0M k -0x =11y k =-10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN =22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1136k k +=23k =32k =32k =y 23k =故选：B.8.【答案】B【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0，故点的轨迹是以为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】对于A ，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A 正确；对于B ，由A 知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即.(),M x y :AOE MOA V V OA OM OEOA=2||OA OE OM =⋅2222||16||OEOA OM OM x y ==+22221616,x y E x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭E :2160l x y -+=2215(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,x y )M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22115(21)20224⎛⎫-+++-=> ⎪⎝⎭F MF =-=BC ()2,2()1,2A -BC 2y =2y =A ∠2y =A ∠2y =(),2M a AB 1y x =-+10x y +-=直线的方程为：，即，则到直线的距离为：则到直线的距离为：因为，故B 错误；对于C ，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C 错误；对于D ，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D 正确；故选：AD.10.【答案】AD【解析】对于A ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A 正确.对于B ：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B 错误.对于C ：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，AC ()1212y x -=+250x y -+=(),2M a AB 1d (),2M a AC 2d 12d d ≠()4212040,1,23121131AC AB CB k k k ---====-==-----AC ()2122y x x =--=-+BC ()2,2E AC ()1,3F AB ()310,1,210FD D k -==-FD 12y x -=210x y -+=θ[]tan sin 1,1θα=-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-10x y -+=20x y +-=1,1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-y kx =()1,2P 2k =2y x =1x ya a+=()1,2P 3a =30x y +-=所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C 错误；对于D ：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，Q 点，点是线段（含端点）上任一点，，或的取值范围是.故D 正确.故选：AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C ，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A 正确，，()1,2P x y 30x y +-=2y x =()1,1Q 11y x --PQ k ()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 13123Q 4,12134AQ BQ k k ++==-==-+34k ∴≥14,1y k x -≤-∴-(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭OP AB P ,PA PB OP 22ax by a b +=+0OPbx ay -=(,4)P m m --P A O B OP 2222442222m m m m x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2240x y mx m y +-++=224x y +=AB ()440mx m y -++=()440m y x y -++=y x =440y +=1x y ==-AB ()1,1--()()2222PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OP OB OP OA OB OP OA OB⋅=-⋅-=⋅+-⋅-⋅=⋅+-- ()2222232cos 2842cos 1812OA OB AOP OP AOP OP OP OP=⋅∠+-=∠-+-=+-由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B 错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C 正确，设，则，，所以，故D 正确，故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】或，答案不唯一13.【答案】14.【解析】设，取四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2232OP OP +≥ 2232OP OP = 2OP = P 22x y +=PA PB OP OP 0bx ay -=22ax by a b +=+0bxay -=PAPB 22ax by a b +=+AOP θ∠=cos OA OP θ=cos OD OA θ=2cos 4cos OA OP OD OA OA θθ===4(y =34130x y +-=)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),,C m n PO =22222()()x y x m y n ⎡⎤⇒+=-+-⎣⎦()22224420x mx y ny m n ⇒-+-++=1111,,,2222m n C ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭)PO PC PB =+≥=15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.（2）的中点坐标为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，所以圆，因此圆的方程为；选②：因为圆与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为所以圆的方程为.（2）两种选择圆的方程都是，当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得显然当过点的动直线存在斜率时，设为，直线方程为，因为，所以有，即方程为：.34200x y +-=34-1l l ∥134k =-()3314y x -=-+3490x y +-=,A B ()2,2-2l l ⊥243k =()4223y x +=-43140x y --=A 270x y ++=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(3)20x y -+=210x y --=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(1)(2)20x y ++-=()2,0B -l 2x =-2x =-22(1)(2)20x y ++-=2y =(22+--=()2,0B -l k ()220y k x kx y k =+⇒-+=MN =22132024k ⎛+⨯=⇒= ⎝3460x y -+=综上所述：直线的方程为或.17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，设到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.18.【答案】（1）或（2）存在，【解析】（1）因为由，可得由题意得l 3450x y -+=2x =-()()1212121:,,,1,4241414MN k k k k l y kx M N k k ⎛⎫--+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭14:MN y kx b =+MN 11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142k b =⋅+142k b =-1:42MN k l y kx =+-()()1,1,1,0A B :OA y x =:1AB x =142k y kx y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩()()21412141k x k k y k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩1421k y kx x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩1214x k y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()()212121,,1,41414k k k M N k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11,22OP BP k k ==-1122k -≤≤131,22k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2132144k k AN +-=-=M AN d ()()212314141k k d k k --=-=--()()2113223(23)22441321k k k S AN d k k ---=⋅=⨯⨯=--()()()()21414(1)111111132184184k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-==+-+≥+=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1141k k =--12k =S 14225440x x y y -+-+=220x x y -+=224x y +=()22010x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩20,y ay a -+=，所以或，故所求圆的方程为或.（2）Q 令，得，即，求得，或，所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而.因为的斜率之和为而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19.解：（1）方法一设直线的方程为将代入得，令，则当，即时，方法二直线过点面积等于面积的一半设到直线的距离为，则2Δ()40a a =--=4a =0a =C 225440x x y y -+-+=220x x y -+=4a =∴0y =2540x x -+=()()140x x --=1x =4x =()()1,0,4,0M N 222:O x y r +=AB x AB ()1y k x =-222x y r +=()22222120k x k x k r +-+-=()()1122,,,A x y B x y 2221212222,11k k r x x x x k k-+==++NA NB ､()()()()()()122112121214144444k x x x x y y x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦+=----()()()()()2222122112212222821414258258111k r k r x x x x x x x x k k k ----+--=-++=⨯-⨯+=+++ANM BNM ∠∠=NA NB ､1212044y y x x +=--228201r k-=+24r =AB x ANM BNM ∠∠=NA NB ､22:4O x y +=ANM BNM ∠∠=BC ()()11222,,,,y kx B x y C x y =+2y kx =+229x y +=()221450k x kx ++-=12112ABC S x x =⋅⋅-==V 21k t +=1ABC S t ==≥V 1t =0k =ABC V BC ()0,2,ABC ∴V OBC V O BC d (]0,2d ∈设，则当，即时，（2）设直线和直线的斜率之积为，设，则①，因为为圆上，所以化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线上的动点所以，展开得，将①代入得，化简得，将②代入得1124ABC OBC S S BC d d ==⋅==V V (]20,4t d =∈ABC S =V 4t =2d =ABC V AB AC ()0m m ≠()()()112200,,,,,B x y C x y D x y 121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--()()22122221233y y m x x --=,B C 222:O x y r +=222211229,9x y x y +=+=()()()()22122221233,99y y m y y --=--()()()()122123333y y m y y --=++()()2121223191m y y y y m +=-+--AD AB AC =+ ()()()112200,3,3,3x y x y x y -+-=-()1212,3D x x y y ++-D ()22(1)43x y y +-=≠-()()22121224x x y y +++-=()()()2222112212121222444x y x y x x y y y y +++++-++=()()()12121229933240y y y y y y m++--+-+=()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=，整理得因为，所以，从而又，所以()()()()()()2121223119239101m m y y m y y m m ⎡⎤+⎢⎥+-+--++++=-⎢⎥⎣⎦()212501m m y y m +⋅+=-1233y y +-≠-120y y +≠250m m +=0m ≠15m =-。
高二数学10月阶段检测试题
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1) 6,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(32,2)的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．xyOPQA20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ∆面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为ca ＝22，a 2c = 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分 ⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21=x 212， 所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2． 所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1， 令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎨⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为(－4k1 + 2k 2，－1－2k 21＋2k 2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分 20. 解：（1）由题意：21,c c a ==，则2,1,1a b c ==，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-， 22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k --=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkkk k k -+=⨯--+，……10分 同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMk k k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k -=⨯+⨯++2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分 221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==⨯-+21221t t =⨯+ ……14分则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。
江苏省泰兴中学高二数学10月阶段检测试题
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数lo g (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.(1) 1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点2)的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程；（第19题图）（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为c a ＝22，a2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1⨯ x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2= 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为(－4k 1 + 2k 2，－1－2k21＋2k2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)⨯(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分20. 解：（1）由题意：1,c c a ==，则1,1a b c ===，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-，22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k--=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkk k k k -+=⨯--+，……10分同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMk k k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k -=⨯+⨯++ 2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==⨯-+21221tt =⨯+ ……14分则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。
江苏省泰州市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题Word版含答案
江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于----------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是---------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <03．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为-( )A ．13-=n n a B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =-----------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 26．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为----------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为-------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．228．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A ． (n ＋1)3 B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ．(2n ＋1)2＋1二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( ) A ．6 B ．12 C ．－6 D ．－1210．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( ) A ．a 4=0 B ． S 1=S 6 C ． S n 的最大值为S 3 D ．|a 3|<|a 5|11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( )A ．若59S S =，则必有140S =B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有56S S >D ．若67S S >，则必有78S S >12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ． 14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．15．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a ． 16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．（1）求{a n }的通项公式；（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ．18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<019．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T +=（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ．20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T .21．在①22430a b b ++=，②44a b =，③327S =-这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-（*n ∈N ），是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）22．已知公比为整数的正项．．等比数列{}n a 满足：3454a a -=-，10193a a =． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于-------------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 答案 B 解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x >3或x <－1}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}．2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是------------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D 解析 特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，a ＋b <0，故选D. 3．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =---------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为--( )A ．13n n a -= B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =--------------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 2【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质转化得2226454a a a a ==，化简求得q 的值. 【详解】由2226454a a a a==，得2252414a q a ==，又0q >，所以12q =.故选：B .6．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为--------------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为--------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．22【解析】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选C.【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A ． (n ＋1)3 B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ． (2n ＋1)2＋1【答案】A 【详解】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝()221nn a n ++，得4(S n －1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4a n ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，即()3311n n n a a n -+=，所以a n ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,a n ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3 点睛：本题主要考查数列通项与前n 项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( )A ．6B ．12C ．－6D ．－12 答案：AC10．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( )A ．a 4=0B ． S 1=S 6C ． S n 的最大值为S 3D ．|a 3|<|a 5|【答案】AB 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+3(a 1+4d)=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 所以a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，故A 正确;因为S 6−S 1=5a 4=0，所以S 1=S 6，故B 正确;由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故C 不正确;因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，故D 不正确．故选：AB ．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( ) A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有56S S > D ．若67S S >，则必有78S S >【解答】解：根据题意，依次分析选项：A ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，则a 7+a 8＝0，S 14＝＝＝0，A 正确；B ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，又由a 1＞0，则有S 7是S n 中最大的项，B 正确；C ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，而a 6的符号无法确定，故S 5＞S 6不一定正确，C 错误；D ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，又由a 1＞0，必有d ＜0，则a 8＝S 8﹣S 7＜0，必有S 7＞S 8，D 正确； 故选：ABD ．12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅ D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【解析】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =，所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，综上选项,,A B D 是正确的. 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) 14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．215．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n，则其通项公式为=n a ．2n16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．【答案】{x |x ＜－2或x ＞2}【解析】分类去绝对值，分别求解不等式取交集，最后取并集．【详解】∵－x 2＋|x |＋2＜0，等价于2020x x x <⎧⎨-⎩－＋＜或2020x x x ≥⎧⎨+⎩－＋＜ 2020x x x <⎧⎨+->⎩或2020x x x ≥⎧⎨-->⎩∴x ＜﹣2或x ＞2∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． 故答案为{x |x ＜－2或x ＞2}．【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．(本题10分)（1）求{a n }的通项公式； (本小题4分，答案错不得分)（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ． (本小题6分) 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (4分)(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1. (6分，答案错不得分，没有化简扣2分)18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本题12分)（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0阶段 (本小题4分) （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本小题8分) (1)注：答案错本小题不得分，答案对没有写集合或区间扣2分(2)注：每种情况讨论2分，小结2分；没有写小结扣2分，答案对没有写集合或区间扣2分 解 (1)不等式的解集为1{|1}2x x x <->或. (4分)答案对没有写集合或区间最后总扣2分 (2)当a >0时，不等式可化为1()a x a-(x －1)<0 ，故1()x a-(x －1)<0 (2分)当0<a <1时，1a >1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)当a ＝1时，不等式的解集为∅. (2分)当a >1时，1a <1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)综上，当0<a <1时，解集为1{|1}x x a <<；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集1{|1}x x a<<.(2分)19．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T += (本题12分)（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (本小题4分)（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ． (本小题8分)解：（1）由22n n n T +=，得当n ≥2时，221(1)(1)22n n n n n n n a T T n -+-+-=-=-=， 11a =适合上式，则n a n =； (2分)由136,0b b ==，得公差31331b b d -==--，则6(1)(3)3n 9n b n =+-⨯-=-+； (2分) (1)注：求n a n =种没有讨论n=1和n ≥2或没有检验n=1扣2分（2）由（1）知，92,1429,29,5n n n n n n c a b n c n n -≤≤⎧=+=-+∴=⎨-≥⎩．当1≤n ≤4时，279282n nS n n n +-=⨯=-； (3分) 当5n ≥时，1234561234122()n n n S c c c c c c c c c c c c c c =+++----=+++----即2242(8)832n S S n n n n =--=-+， (3分)228,14832,5n n n n S n n n ⎧-≤≤∴=⎨-+≥⎩． (2分) (2)注：每种情况讨论3分，小结2分；没有写小结扣2分，答案没有合并同类项扣2分 20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . (本题12分) （1）求n a 及n S ； (本小题6分) （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T . (本小题6分) (2)注：求对Tn 得4分；没有求Tn 直接求T 100答案错本小题不得分。
江苏省泰州市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题 含答案
江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于----------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是---------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <03．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为-( )A ．13-=n n a B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =-----------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 26．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为----------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为-------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．228．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A ． (n ＋1)3 B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ．(2n ＋1)2＋1二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( ) A ．6 B ．12 C ．－6 D ．－1210．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( ) A ．a 4=0 B ． S 1=S 6 C ． S n 的最大值为S 3 D ．|a 3|<|a 5|11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( )A ．若59S S =，则必有140S =B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有56S S >D ．若67S S >，则必有78S S >12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅ D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ．14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．15．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a ． 16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．（1）求{a n }的通项公式；（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ．18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<019．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T += （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ．20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T .21．在①22430a b b ++=，②44a b =，③327S =-这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-（*n ∈N ），是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）22．已知公比为整数的正项．．等比数列{}n a 满足：3454a a -=-，10193a a =． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高二上学期数学第一次月考试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，则∁R A 等于-------------------------------------------------------------------------( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x <－1}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥3} 答案 B 解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x >3或x <－1}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}．2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是------------------------------------------------------------( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D 解析 特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，a ＋b <0，故选D. 3．在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列第6项6a =---------------------------------------------( ) A ．6 B ． 8 C ．12 D ． 16 4．下列四个图形中，黑色．．三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为--( )A ．13n n a -= B ．nn a 3=C ． n a n n 23-=D ． 3231-+=-n a n n5．已知正项．．等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =--------------------------------------------( ) A ． 12± B ． 12C ．D ． 2【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质转化得2226454a a a a ==，化简求得q 的值. 【详解】由2226454a a a a==，得2252414a q a ==，又0q >，所以12q =.故选：B .6．数列}{n a 的通项公式是)12()1(--=n a nn ，则该数列的前100项之和为--------------------------------( ) A ．200- B ．100- C ． 200 D ． 1007．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为--------------------------------------------------------------------------------------------( ) A ．7B ．13C ．16D ．22【解析】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16.故选C.【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＋(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ． (n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ． 8n 2D ． (2n ＋1)2＋1【答案】A 【详解】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝()221nn a n ++，得4(S n －1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4a n＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，即()3311nn n a a n -+=，所以a n ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,a n ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3 点睛：本题主要考查数列通项与前n 项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于---------------------------( )A ．6B ．12C ．－6D ．－12 答案：AC10．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是------------------------( )A ．a 4=0B ． S 1=S 6C ． S n 的最大值为S 3D ．|a 3|<|a 5|【答案】AB 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+3(a 1+4d)=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 所以a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，故A 正确;因为S 6−S 1=5a 4=0，所以S 1=S 6，故B 正确;由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故C 不正确;因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，故D 不正确．故选：AB ．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是--------------------( ) A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有56S S > D ．若67S S >，则必有78S S >【解答】解：根据题意，依次分析选项：A ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，则a 7+a 8＝0，S 14＝＝＝0，A 正确；B ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，又由a 1＞0，则有S 7是S n 中最大的项，B 正确；C ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，而a 6的符号无法确定，故S 5＞S 6不一定正确，C 错误；D ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，又由a 1＞0，必有d ＜0，则a 8＝S 8﹣S 7＜0，必有S 7＞S 8，D 正确； 故选：ABD ．12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有-----------------------------------( )A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅ D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【解析】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12nn aS -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =，所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，综上选项,,A B D 是正确的. 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．根据数列前几项的值，写出数列1，－3,5，－7,9，…一个通项公式a n ＝ ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)14．等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22740x x ++=的两个根,则47a a ⋅= ．215．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a ．2n16. 不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________．【答案】{x |x ＜－2或x ＞2}【解析】分类去绝对值，分别求解不等式取交集，最后取并集． 【详解】∵－x 2＋|x |＋2＜0，等价于2020x x x <⎧⎨-⎩－＋＜或2020x x x ≥⎧⎨+⎩－＋＜ 2020x x x <⎧⎨+->⎩或2020x x x ≥⎧⎨-->⎩∴x ＜﹣2或x ＞2∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． 故答案为{x |x ＜－2或x ＞2}．【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．四．解答题：本题共6题，共70分．17．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92．(本题10分)（1）求{a n }的通项公式； (本小题4分，答案错不得分)（2）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ． (本小题6分) 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (4分)(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1. (6分，答案错不得分，没有化简扣2分)18．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本题12分)（1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0阶段 (本小题4分) （2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (本小题8分) (1)注：答案错本小题不得分，答案对没有写集合或区间扣2分(2)注：每种情况讨论2分，小结2分；没有写小结扣2分，答案对没有写集合或区间扣2分解 (1)不等式的解集为1{|1}2x x x <->或. (4分)答案对没有写集合或区间最后总扣2分(2)当a >0时，不等式可化为1()a x a -(x －1)<0 ，故1()x a-(x －1)<0 (2分)当0<a <1时，1a >1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)当a ＝1时，不等式的解集为∅. (2分)当a >1时，1a <1，不等式的解集为1{|1}x x a<<. (2分)综上，当0<a <1时，解集为1{|1}x x a <<；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集1{|1}x x a<<.(2分)19．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中1131,6,0a b b ===，记{}n a 前n 项和为2,.2n n n nT T += (本题12分)（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (本小题4分)（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S ． (本小题8分)解：（1）由22n n nT +=，得当n ≥2时，221(1)(1)22n n n n n n n a T T n -+-+-=-=-=， 11a =适合上式，则n a n =； (2分)由136,0b b ==，得公差31331b b d -==--，则6(1)(3)3n 9n b n =+-⨯-=-+； (2分) (1)注：求n a n =种没有讨论n=1和n ≥2或没有检验n=1扣2分（2）由（1）知，92,1429,29,5n n n n n n c a b n c n n -≤≤⎧=+=-+∴=⎨-≥⎩．当1≤n ≤4时，279282n nS n n n +-=⨯=-； (3分)当5n ≥时，1234561234122()n n n S c c c c c c c c c c c c c c =+++----=+++----即2242(8)832n S S n n n n =--=-+， (3分)228,14832,5n n n n S n n n ⎧-≤≤∴=⎨-+≥⎩． (2分) (2)注：每种情况讨论3分，小结2分；没有写小结扣2分，答案没有合并同类项扣2分 20．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . (本题12分) （1）求n a 及n S ； (本小题6分) （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和n T . (本小题6分) (2)注：求对Tn 得4分；没有求Tn 直接求T 100答案错本小题不得分。
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月月考考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2021>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知函数f(x)=x2−2x对任意的x∈R，不等式f(x)>−mx−1恒成立，则m的取值范围是（）A.[−2,1]B.(−1,0)C.(0,4)D.[1,5)3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4. 已知a>0,b>0，且3a+4b=7，则9a+3b +42a+b的最小值为（）A.43 12B.4112C.257D.2375. 已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(√22, 1) B.(12, 1) C.(0, √22) D.(0, 12)6. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为()A.3B.4C.2√3−2D.92二、多选题若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是（）A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1 a2=b1b2C.a12−a22<b12−b22D.a1−a2<b1−b2对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k−1，a k<a k+1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”，在数列{a n}中，若a n=|n+9n−8|，则数列{a n}的“谷值点”为( )A.2B.3C.5D.7三、填空题已知“x2−x−2>0”是“2x+p>0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．已知关于x的不等式x2−3ax+2a2<0的解集为{x|1<x<2}，则实数a的值为________.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=12(a n+1a n)，则S10=________.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)恒过定点A(1, 2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．四、解答题已知两个等差数列{a n}，{b n}，其中a1=1，b1=6，b3=0，记{a n}前n项和为T n，T n=n22+n2．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+b n，设S n=|c1|+|c2|+|c3|+⋯+|c n|，求S n．如图，已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且2F1F2=PF1+ PF2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120∘，△PF1F2的面积．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由于数列{a n}是等比数列，所以S n=a1⋅1−q n1−q.由于1−q n1−q >0，所以S2021=a1⋅1−q20211−q>0⇔a1>0,所以“a1>0”是S2021>0的充要条件．故选C.2.【答案】C【考点】一元二次不等式与一元二次方程不等式恒成立问题【解析】将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题，根据台的大小进行求解．【解答】解：因为f(x)=x2−2x，故不等式f(x)>−mx−1恒成立，等价于x2+(m−2)x+1>0恒成立，故只需Δ=(m−2)2−4<0，解得m∈(0,4)．故选C．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴ {a 1+(a 1+3d)+(a 1+6d)=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得a 1=13.5，d =−1，∴ 小满日影长为a 11=13.5+10×(−1)=3.5（尺）． 故选C . 4. 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a >0,b >0，且3a +4b =7， 所以9a+3b +42a+b=17[(a +3b)+(2a +b)](9a +3b +42a +b ) =17[13+9(2a+b )a+3b +4(a+3b )2a+b ]≥257，当且仅当9(2a+b )a+3b=4(a+3b )2a+b，即a =2125，b =2825时，等号成立．故选C. 5.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率平面向量数量积的运算 【解析】由∠F 1PF 2为钝角，得到PF 1→⋅PF 2→<0有解，转化为c 2>x 02+y 02有解，求出x 02+y 02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P(x 0, y 0)，则|x 0|<a ， 又F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，又∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→⋅PF 2→<0有解，即(−c −x 0, −y 0)⋅(c −x 0, −y 0)=(−c −x 0)(c −x 0)+y 02<0，即有c 2>x 02+y 02有解，即c 2>(x 02+y 02)min ． 又y 02=b 2−b 2a 2x 02，∴ x 02+y 02=b 2+c 2a 2x 02∈[b 2, a 2)， 即(x 02+y 02)min =b 2．故c 2>b 2，c 2>a 2−c 2，∴c 2a2>12，即e >√22. 又0<e <1， ∴√22<e <1.故选A ． 6. 【答案】 B【考点】 等比中项等差数列的前n 项和【解析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即(1+2d)2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【解答】解：∵ a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴ a 32=a 1a 13，∴ (1+2d)2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n +n(n−1)2×2=n 2， ∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n +1)2−2(n +1)+9n +1=n +1+9n +1−2≥2√(n +1)×9n+1−2=4，当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n =2，且2S n +16a n +3取到最小值4.故选B ． 二、多选题【答案】 A,B【考点】不等式性质的应用 椭圆的离心率椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：依题意，e =c 1a 1=c 2a 2，即√1−(b 1a 1)2=√1−(b2a2)2，所以b1a 1=b2a 2，所以a1a 2=b1b 2，因此B 正确；又a 1>a 2，所以椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，因此A 正确； 设b 1a 1=b 2a 2=m ，其中0<m <1，则有(a 12−b 12)−(a 22−b 22)=(1−m 2)(a 12−a 22)>0，即有a 12−b 12>a 22−b 22，则a 12−a 22>b 12−b 22，因此C 错误； (a 1−b 1)−(a 2−b 2)=(1−m)⋅(a 1−a 2)>0，即有a 1−b 1>a 2−b 2，则a 1−a 2>b 1−b 2，因此D 错误． 故选AB ． 【答案】 A,D【考点】 数列的应用 【解析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，得a 1=2，a 2=32，a 3=2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， ∴ 2，7是数列{a n }的“谷值点”， 3，5不是数列{a n }的“谷值点”. 故选AD . 三、填空题【答案】 (−∞, −4] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】利用不等式的性质，结合必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：由2x +p >0，得x >−p2，令A ={x|x >−p2}.由x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，令B ={x|x >2或x <−1}， 由题意知A ⊆B ， 即−p2≥2，解得p ≤−4，∴ 实数p 的取值范围是(−∞, −4]． 故答案为：(−∞, −4]． 【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用． 【解答】解：因为关于x 的不等式x 2−3ax +2a 2<0的解集为{x|1<x <2}， 所以方程x 2−3ax +2a 2=0的两根是1，2， 所以{1−3a +2a 2=0,4−6a +2a 2=0,解得a =1． 故答案为：1． 【答案】 √10【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】本题考查等差数列的判断． 【解答】解：当n =1时，S 1=12(a 1+1a1)=a 1，解得a 1=1，S 1=1，当n ≥2时S n =12(S n −S n−1+1Sn −S n−1)，整理可得S n 2−S n−12=1，∴ S n 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴ S n 2=1+(n −1)×1=n . ∵ {a n }是正项数列，∴ S n =√n ，∴ S 10=√10． 故答案为：√10． 【答案】√5+2 【考点】椭圆的准线方程 椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)，可得1a 2+4b 2=1，利用椭圆几何量之间的关系，设a 2c =1t ，等式可转化为t 2a 4−(t 2+1)a 2+5＝0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解：设椭圆的焦距为2c ，同时可设a 2c=1t，∴ c =ta 2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴1a2+4b 2=1，∴ b 2+4a 2=a 2b 2，∴ 5a 2−c 2=a 2(a 2−c 2)，∴ 5a 2−(ta 2)2=a 2[a 2−(ta 2)2]， ∴ t 2a 4−(t 2+1)a 2+5=0，∴ Δ=(t 2+1)2−20t 2≥0时，方程有解， ∴ t 2−2√5t +1≥0，∴ t ≥√5+2，或0<t ≤√5−2， ∴ 0<1t ≤√5−2，或1t ≥√5+2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴ 椭圆的中心到准线x =a 2c>1，∴ 椭圆的中心到准线的距离的最小值√5+2. 故答案为：√5+2. 四、解答题 【答案】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【考点】 数列的求和等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式（1）由T n =n 22+n2，结合a n ＝T n −T n−1求得n ≥2时的通项公式，验证a 1＝1适合，即可求解a n ；由b 1＝6，b 3＝0，得公差d ，再由等差数列的通项公式可得{b n }的通项公式； （2）由（1）知，c n ＝a n +b n ＝9−2n ，分类写出|c n |，然后分类利用等差数列的前n 项和求S n ． 【解答】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意知c =1，F 1F 2=2，所以4=PF 1+PF 2=2a ，所以a =2， 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)在△PF 1F 2中，PF 2=2a −PF 1=4−PF 1．由余弦定理，得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2cos 120∘，即(4−PF 1)2=PF 12+4+2PF 1，所以PF 1=65,所以S △PF 1F 2=12F 1F 2⋅PF 1⋅sin 120∘=12×2×65×√32=3√35．【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知c=1，F1F2=2，所以4=PF1+PF2=2a，所以a=2，所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y23=1.(2)在△PF1F2中，PF2=2a−PF1=4−PF1．由余弦定理，得PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos120∘，即(4−PF1)2=PF12+4+2PF1，所以PF1=65,所以S△PF1F2=12F1F2⋅PF1⋅sin120∘=12×2×65×√32=3√35．试卷第11页，总11页。
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试数学试卷答案及解析
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.9 B.13 C.10 D.112. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−13. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.√−a <√−b B.a 2>ab C.1a<1bD.a 2<b 24. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2−n +1 B.n 2+1C.(n −1)2+1D.2n5. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−1,+∞) B.[−2,+∞) C.(−3,+∞)D.(−92,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.9 B.12 C.25 D.368. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22020−4B.22021−4C.22022−4D.22023−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x 2+116x 2B.y =x√1−x 2，x ∈[0,1]C.y =x 2x 4+1D.y =x +4x+2，(x >−2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.S n =3n−1 B.{S n }为等比数列 C.a n =3n−1 D.{a n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.12B.14C.34D.54三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】由题意得到数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2，利用等差数列通项请假记录. 【解答】解：由a 1=3，a n+1−a n =2可得：数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2， ∴ a n =3+2(n −1)=2n +1， ∴ a 5=11. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2.故选B . 3.【答案】 B【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：对于A ，∵ a <b <0，∴ −a >−b >0，∴ √−a >√−b >0，因此A 不正确； 对于B ，∵ a <b <0，∴ a 2>ab ，因此B 正确； 对于C ，∵ a <b <0，∴ 1a >1b ，因此C 不正确； 对于D ，∵ a <b <0，∴ a 2>b 2，因此D 不正确． 故选B . 4.【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，移项可得，a n+1−a n =2n ，进行叠加，从而求出a n ； 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ， ∴ a n+1−a n =2n ， a 2−a 1=2， a 3−a 2=4， ⋯a n+1−a n =2n ， 进行叠加可得，a n+1−a 1=2+4+6+⋯+2n =n(2+2n)2=n(n +1)，∴ a n+1=1+n(n +1)，∴ a n =n(n −1)+1=n 2−n +1. 故选A . 5.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答】解：若x =1，则x 2−4x +3=0，是充分条件， 若x 2−4x +3=0，则x =1或x =3，不是必要条件. 故选A ． 6.【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】此题暂无解析【解答】解析：∵{a n}递增，∴a n+1−a n>0，∴(n+1)2+b(n+1)−(n2+bn)>0，∴2n+1+b>0，∴b>−2n−1(n∈N∗)，∴b>(−2n−1)max=−3，即b>−3．故选C.7.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意得到4a +1b=1，则a+b=(a+b)(4a+1b)，利用基本不等式求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，a+4b=ab，∴4a +1b=1，∴a+b=(a+b)(4a +1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba⋅ab=9，当且仅当4ba =ab，即a=6，b=3时等号成立.故a+b的最小值为9.故选A.8.【答案】C【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】首先利用关系式的组合求出数列{a n+b n}是以a1+b1＝2，以2为公比的等比数列，数列{a n b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+√a n2+b n2，b n+1=a n+b n−√a n2+b n2，a1=1，b1=1，∴a n+1+b n+1=2(a n+b n)，a1+b1=2.∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=(a n+b n)2−(a n2+b n2)=2a n b n，∴a n b n=2n−1．∴c n=2n(1a n+1b n)=2n⋅a n+b na nb n=2n⋅2n2n−1=2n+1，则数列{c n}的前n项和=4(2n−1)2−1=2n+2−4.所以S2020=22022−4，故选C.二、多选题【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，A，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C，电路图中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D，电路图中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A，y=x2+116x2≥2√116=12，当且仅当x=±12时取等号，y的最小值是12，无最大值；B，y2=x2(1−x2)≤(x2+1−x22)2=14，y≥0，∴y≤12，当且仅当x=√22时取等号，∴y的最大值为12；C，x=0时，y=0．x≠0时，y=1x2+1x2≤12，当且仅当x=±1时取等号，y的最大值为12；D，y=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，(x>−2)，当且仅当x=0时取等号，y的最小值为2，无最大值.故选BC.【答案】A,B【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】首先求出S n，再求a n，即可判断.【解答】解：∵a n+1=2S n(n∈N∗)，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，又：S1=a1=1≠0，∴{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，故B正确；∴S n=3n−1，故A正确；当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，又当n=1时，不符合上式，∴a n={1，n=1，2×3n−2， n≥2.故CD错误.故选AB.【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．【解答】解：由x+y=1，y>0得y=1−x>0，解得x<1且x≠0，①当0<x<1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1，=12x +x2−x=x+2−x4x+x2−x，=14+(2−x4x+x2−x)≥14+2×12=54，当且仅当2−x4x =x2−x即x=23时取等号；②当x<0时，12|x|+|x|y+1=−(12x+xy+1)，=−(12x+x2−x)=2−x+x−4x+−x2−x=−14+(2−x−4x+−x2−x)≥−14+1=34，当且仅当2−x−4x=−x2−x即x=−2时取等号．综上可得，原式最小值34，可能值为34，54.故选CD.三、填空题【答案】(−2,2]【考点】函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=(a−2)x2+2(a−2)x−4，当a−2>0即a>2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；当a−2=0即a=2时，不等式变为−4<0，恒成立；当a−2<0即a<2时，函数为开口向下的抛物线，要使(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，即要Δ<0，即4(a−2)2+16(a−2)<0，化简得：4(a+2)(a−2)<0，解得：−2<a<2．综上，使不等式恒成立的a的取值范围是(−2, 2]．故答案为：(−2, 2].【答案】∃x0≥2，x02<4【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02<4．故答案为：∃x0≥2，x02<4．【答案】3n−2n−1−1【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】利用递推关系，构造等比数列，即可求出通项公式.【解答】解：由递推关系得，a n+1+1=2(a n+1)+3n，所以a n+1+1−3n+1=2(a n+1−3n)，而a1+1−31=−1≠0，则数列{a n+1−3n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1−3n=−2n−1，故a n=3n−2n−1−1.故答案为：3n−2n−1−1.【答案】√2−1 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m−2，y=n−1，∵x，y均为正实数，且x+y=1，∴m>2且n>1,(m−2)+(n−1)=1，即m+n=4，∴x2x+2+y2+1y+1=(m−2)2m+(n−1)2+1n=m2−4m+4m+n2−2n+2n=m+4m−4+n+2n−2=(m+n)+4m+2n−6=4m+2n−2=m+nm+m+n2n−2=(1+nm)+(m2n+12)−2=nm+m2n−12≥2√nm⋅m2n−12=√2−12，当且仅当nm =m2n时取等号，∴x2x+2+y2+1y+1取得最小值是√2−12.故答案为：√2−12.四、解答题【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】解：(1)当x≤0，不等式显然成立；当x≥1时，不等式可化为x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，即1≤x≤2；当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0，由于x2−x+2=(x−12)2+74>0，则当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0恒成立.综上，不等式的解集为{x|x≤2}．(2)令p的解集为A，q的解集为B，由(1)知A={x|x≤2}，由题意知B⊆A.方程x2−(3m−1)x−3m=0的两根为−1和3m.当−1=3m，即m=−13时，B=⌀，B⊆A显然成立；当−1>3m，即m<−13时，B={x|3m<x<−1}，B⊆A显然成立；当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立，则3m ≤2，即m ≤23. 综上m ≤23．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ≤0，不等式显然成立；当x ≥1时，不等式可化为x 2−x −2≤0⇒−1≤x ≤2，即1≤x ≤2； 当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0， 由于x 2−x +2=(x −12)2+74>0，则当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0恒成立. 综上，不等式的解集为{x|x ≤2}． (2)令p 的解集为A ，q 的解集为B ，由(1)知A ={x|x ≤2}，由题意知B ⊆A .方程x 2−(3m −1)x −3m =0的两根为−1和3m . 当−1=3m ，即m =−13时，B =⌀，B ⊆A 显然成立；当−1>3m ，即m <−13时，B ={x|3m <x <−1}，B ⊆A 显然成立； 当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立， 则3m ≤2，即m ≤23.综上m ≤23．【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【考点】全称量词与存在量词 函数恒成立问题 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【答案】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ，∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ， ∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ， ∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【考点】 数列的应用基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【答案】解：(1)由S 1=a 1=a 1−a 12=0得a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=na n 2−n−12a n−1，故(n −2)a n =(n −1)a n−1， 故当n >2时，a n =n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a 2=(n −1)p ，由于n =2时a 2=p ，n =1时a 1=0，也适合该式，故对一切正整数n ， a n =(n −1)p . (2)S n =n(a n −a 1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n −1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1 n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．【考点】数列与不等式的综合数列与函数的综合数列的求和等差关系的确定等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S1=a1=a1−a12=0得a1=0，当n≥2时，a n=S n−S n−1=na n2−n−12a n−1，故(n−2)a n=(n−1)a n−1，故当n>2时，a n=n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a2=(n−1)p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=(n−1)p.(2)S n=n(a n−a1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n−1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．。
2020-2021学年江苏省泰州中学高二下二次质检文科数学卷
2020-2021学年江苏省泰州中学高二下二次质检文科数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,4,0,4,2,4U M N ===，则()U C MN =_________． 2．函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________. 3．设集合{}{}|03,|02M x x N x x =<≤=<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的____________条件.4．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”或“假”）．5．幂函数经过点⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______. 6．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．7．设函数()()3,055,5x x f x f x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，那么()2013f =____________． 8．已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-⋅，若()f x 在[1,1]-上是单调减函数，则实数a 的取值范围是_________________．9．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '->，且()03f =，则不等式()41x f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ___________．10．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是 _________（参考数据：0.0075lg 20.301,10 1.017≈≈）．11．已知函数()()3cos 2sin 2,,4f x x x x a f f x π⎛⎫''=++=⎪⎝⎭是()f x 的导函数，则过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为__________．12．已知函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若关于x 的方程()()1f x k x =+有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________．13．曲边梯形由曲线21,0,1,2y x y x x =+===所围成，过曲线[]()211,2y x x =+∈上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为___________.14．已知函数()()2lg ,0{64,0x x f x x x x -<=-+≥，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．二、解答题15．已知集合()(){}|3350A x x x a =---<，函数()2lg 514y x x =-++的定义域为集合B ．（1）若4a =，求集合A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围． 16．已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.17．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且24006,(040)()740040000(40)x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. (Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.18．已知函数()()()2ln ,f x x g x f x ax bx ==++，其中函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性．19．已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[]4,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．已知函数()()2ln ,f x x ax b x a b R =++∈． （1）若1b =且()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值及单调区间；（2）若1b =-，()0f x ≥对0x >恒成立，求a 的取值范围；（3）若2a b +≥-且()f x 在()0,+∞上存在零点，求b 的取值范围．参考答案1．{}1,3【解析】试题分析： 由于}4,2,0{=⋃N M ，则()U C MN =}3,1{考点：集合的运算2．()0,1【解析】 函数的定义域为()0,∞+，且：()211'x f x x x x-=-=， 求解不等式：210x x-<， 结合函数的定义域可得：01x <<，则函数()212f x x lnx =-的单调递减区间为()0,1. 3．必要不充分【解析】试题分析： 由于集合M 真包含集合N ，所以“a M ∈”是“a N ∈”的必要不充分条件. 考点：充要条件4．真【解析】试题分析：“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是“若实数a 满足，则” ，显然否命题“若实数a 满足，则”是真命题 考点：四种命题，命题真假的判断.【易错点晴】本题考查四种命题和命题真假的判断，首先正确书写一个命题的否命题，然后判断真假．也可直接写出一个命题的逆命题，再判断真假，由于一个命题的逆命题和否命题是互为逆否命题的，而互为逆否命题的两个命题同真假．特别需要注意区别命题的否定和命题的否命题，二者容易混淆.5．12y x -=【解析】设幂函数为y x α=，代入点⎛ ⎝⎭，所以1222,α-==所以12α=-，12y x -=，填12y x -=．6．【详解】设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．7．27【解析】试题分析： )5()(,5-=≥x f x f x ，说明5≥x 时，可按周期为5进行计算，)35402()2013(+⨯=f f273)3(3===f考点：分段函数求值8．3[,)4+∞【解析】试题分析：在上上是单调减函数，，[]1,1-，设，，则.考点：导数的应用，一元二次方程的根的分布.9．()0,+∞【解析】试题分析： 构造函数x x x x x ex f x f e e x f e x f x g e x f x g 1)()()1)(()()(,1)()(2--'=+-'='+=， 由于()()1f x f x '->，则0)(>'x g ，)(x g 在R 上为增函数，又41)0()0(0=+=e f g ，把()41x f x e >-化为41)(>+x ex f ，即4)(>x g ，解得0>x . 考点：导数的应用，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.【方法点晴】本题为近年来考试热点，这个函数是怎样构造出来的？先看条件()()1f x f x '->，可以发现构造函数式应由x e x f 、)(构成的分式，求导后分子才能产生)()(x f x f -'这样的差值，再结合所要解的不等式()41x f x e >-，即41)(>+x e x f ，构造函数xe xf xg 1)()(+=，问题得以解决，同样条件给出)()(x f x f +'时，构造函数式应由x e x f 、)(的乘积构成的式子去解决.10．1.7%【解析】试题分析： 设原来人口为a ，每年人口平均增长率是x ，则a x a 2)1(40=+，2)1(40=+x ，两边取常用对数得：2lg )1lg(40=+x ，0075.0403010.0402lg )1lg(≈==+x ，则017.11010075.0≈=+x ，==017.0x 1.7%.考点：增长率问题，对数计算.11．3203410x y x y --=-+=或【解析】试题分析： x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率23m k =，则2311m m n =--，又3m n=，则21-=m ，81=n ，得出切线方程)21(4381+=-x y ，即0143=+-y x考点：导数的几何意义.12．1270,24k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 【解析】 试题分析：如图，先画出函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩的图象，由于)1(+=x k y 为过定点)0,1(-斜率为k 的直线，可见在y 轴右侧，当直线介于x 轴与OA 之间是直线)1(+=x k y 与)(x f 的图象有两个交点，21=OA k ，则210<<k ，另外在y 轴左侧，先求出过)0,1(-与3x y =相切的直线的斜率，因为23x y ='，设切点为),(3t t ，23t k =，切线方程为)(323t x t t y -=-，过)0,1(-，则32333t t t --=-，取23-=t ，得=k 427，当直线介于过)0,1(-与x 轴垂直的直线和切线之间时，直线)1(+=x k y 与)(x f 的图象有两个交点，此时427>k ，综上：1270,24k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，考点：函数图象的交点.【易错点晴】13．)413,23( 【解析】试题分析：设)1,(2+a a P ])2,1[(∈a ，12+=x y ，x y 2='∴，点P 处的切线方程为a a y 2)1(2=+-)(a x -，1=x 时，122++-=a a y ；2=x 时，142++-=a a y ；所求梯形的面积413)23(1)1412(21222+--=⨯++-++-=a a a a a S ，])2,1[(∈a ，当23=a 时，413max =S ，此时P 点的坐标为)413,23(. 考点：导数的几何意义.【易错点晴】本题考查导数的几何意义，考查梯形面积的计算以及配方法求二次函数的最值，有关求最值的问题，特别是实际应用问题，首先求谁的最值就要把谁利用题目中的已知数据和变量（自变量）表示出来，建立函数模型后，再求最值，求最值的方法很多，如配方法，均值不等式，求导法等等,要灵活使用.14．172,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：函数()f x 的图像如图所示，因为2264(3)5x x x -+=--，所以关于x 的方程()()210f x bf x -+=在(0,4]上有2个根．令()t f x =，则方程210t bt -+=在(0,4]上有2个不同的正解，所以204240{(4)1610(0)10b b f b f <<∆=->=-+≥=>，解得1724b <≤．考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．15．（1）{}|37A B x x ⋂=<<，（2）72|33a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：（1）{}{}|317,|2x 7A x x B x =<<=-<<，则{}|37A B x x ⋂=<<；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则A B ⊆， ①353a +=，即23a =-时，A =∅，成立， ②353a +≠，即23a ≠-时，由A B ⊆得：2357a -≤+≤，则7233a -≤≤且23a ≠-． 综上：a 的取值范围为72|33a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 16．（1）2；（2）(1，3].【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围.【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].【点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.17．(Ⅰ) 2638440(040)40000167360(40)x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（Ⅱ）见解析. 【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时，()()400001640168360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. （2）①当040x <≤时，()26326104W x =--+，所以()max 326104W W ==； ②当40x >时，40000168360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760.18．（1）21b a =--，（2）当0a =时，函数()g x 在0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在0,1上单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在()0,+∞上单调递增；当12a >时，函数()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 【解析】试题分析：（1）依题意得()2ln g x x ax bx =++， 则()12g x ax b x=++'． 由函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴得：()1120g a b '=++=，∴21b a =--．（2）由（1）得()()()()22211211ax a x ax x g x x x'-++--==． ∵函数()g x 的定义域为()0,+∞，∴当0a =时，()1x g x x-=-'． 由()0g x '>，得01x <<，由()0g x '<，得1x >，当0a >时，令()0g x '=，得1x =或12x a =， 若112a <，即12a >， 由()0g x '>，得1x >或102x a <<， 由()0g x '<，得112x a<<； 若112a >，即102a <<， 由()0g x '>，得12x a>或01x <<，由()0g x '<，得112x a <<． 若112a=，即12a =，在()0,+∞上恒有()0g x '≥． 综上可得：当0a =时，函数()g x 在0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在0,1上单调递增， 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在()0,+∞上单调递增； 当12a >时，函数()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 19．（1）22a -≤≤，（2）322a <<，（3）91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【解析】 试题分析：（1）()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩, 由()f x 在R 上是增函数，则2222a a aa -⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，即22a -≤≤，所以a 的取值范围为22a -≤≤．（2）由题意得对任意的实数[]1,2x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[]1,2x ∈恒成立， 即111,x a x a x x x -<-<-<，得11x a x x x-<<+， 故只要1x a x -<且1a x x<+在[]1,2x ∈上恒成立即可， 在[]1,2x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x +的最小值大于a 即可， 而当[]1,2x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[]1,2x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<． （3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不等的实数根；则当(]2,4a ∈时， 由()()()222,2,x a x x a f x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ， 得在x a ≥时，()()22f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[),x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为())[),2,f a a +∞=+∞⎡⎣，在x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为()22,4a ⎛⎤+-∞ ⎥ ⎥⎝⎦，()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为()222,4a a ⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦； 由存在(]2,4a ∈，方程()()2f x tf a ta ==有三个不相等的实根，则()2222,4a ta a ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭， 即存在(]2,4a ∈，使得()221,8a t a ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭即可，令()()2214488a g a a a a +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 只要使()()max t g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，()()()max 948g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭； 同理可求当[)4,2a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．（1）3a =-，()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）[)1,a ∈-+∞，（3）1b ≥-；【解析】 试题分析：（1）若1b =，则()()2221ln ,x ax f x x ax x f x x ++'=++=， 由()0f x '=得3a =-，故()()()211x x f x x --'=， 当102x <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当112x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． （2）当1b =-时，()221x ax f x x+-'=， 令()221g x x ax =+-易知()g x 在()0,+∞上有且仅有一个零点设为0x ， 则当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()00,x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，故()f x 在()0,x +∞单调递增， 所以()()20000min ln f x f x x ax x ==+-， 又()2000210g x x ax =+-=即()200min 1ln f x x x =--， 依题意2001ln 0x x --≥即200ln 10x x +-≤，易知()2ln 1h x x x =+-在()0,+∞单调递增， 且()10h =，故001x <≤， 又0012a x x =-随0x 增大而减小 所以[)1,a ∈-+∞．说明：此题若用分离参数法同样给分．（3）()f x 在()0,+∞存在零点⇔2ln 0x ax b x ++=，在()0,+∞上有解ln b x x a x⇔--=在()0,+∞上有解， 又2a b +≥-即2a b ≥--， 故ln 2b x x b x--≥--即()22ln 0x b x b x -++≤在()0,+∞上有解 令()()22ln P x x b x b x =-++，则()()()12x x b P x x--'=， ①当0b >时，()110P b =--<，故()0P x ≤有解，②当0b ≤时，易知()P x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 110P x P b ==--≤，所以10b -≤≤，综上1b ≥-。
江苏省泰州中学2021学年上学期高二年级10月月度质量检测数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知数列 通项公式为 ，则
A 35B C D 11
2 对于常数m、n，“mn＞0”是“方程m2﹣ny2＝1的曲线是双曲线的”（ ）
A．当 时，点 的取值范围是________
14 过点（3，-1）且与双曲线 有公共渐近线的双曲线标准方程是_________
15若数列 满足 ，则称数列 为调和数列已知数列 为调和数列， 且 则 ______
16 已知 ， 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上异于顶点的任意一点，点 是 内切圆的圆心，过 作 于 ， 为坐标原点，则 的取值范围为________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 在等差数列 中，已知 ， ，
（1）求出首项 与公差 ，并写出通项公式；
（2） 中有多少项属于区间
18已知命题满足的方程 表示双曲线，命题q：实数m满足的方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆
（1）若命题的取值范围；
（2）若 ＋ ＝1表示的焦点在y轴上的椭圆成立，
A． B． C． D．
8 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 ,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为
A．1B．2C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
,b,c成等差数列，则 可能成等差数列
D 若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列
2020-2021学年江苏省泰州中学高二上学期10月质量检测数学试题解析
2020-2021学年江苏省泰州中学高二上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（）A ．35B ．11-C ．35-D ．11答案：A直接将6n =代入通项公式可得结果. 解：因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 点评：本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.2．对于常数mn 、，“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C方程221mx ny -=即为221x y m n-=，故该方程表示双曲线等价于11,m n 同号，即0mn >．所以“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线”的充分必要条件．选C ．3．若抛物线2x ay =的准线与椭圆2214x y +=相切，则a ＝（）A ．﹣4或4B ．4C ．﹣8或8D ．8答案：A先写出抛物线的2x ay =准线方程，再利用已知条件得到14a-=±，即可得出结果. 解：因为抛物线2x ay =的准线方程为4a y =-，若抛物线2x ay =的准线与椭圆2214x y +=相切，则144aa -=±⇒=±， 故选：A. 点评：本题主要考查了抛物线的性质.属于容易题.4．《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（） A ．15.5尺 B ．12.5尺C ．10.5尺D ．9.5尺答案：A利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果. 解：从冬至起，日影长依次记为12312,,,,a a a a ，根据题意，有14737.5a a a ++=， 根据等差数列的性质，有412.5a =， 而12 4.5a =，设其公差为d ，则有11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115.51a d =⎧⎨=-⎩，所以冬至的日影子长为15.5尺， 故选A. 点评：该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前n 项和的有关量的计算，属于简单题目.5．已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2527=⋅a a a ，则37112810a a a a a a ++++的值为（） A ．1314B ．1213C ．1112D ．13答案：B设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，根据等差数列的通项公式化简2527=⋅a a a 可得110a d =-，再根据等差数列的通项公式可求得37112810a a a a a a ++++的值.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，由2527=⋅a a a 得2111(4)()(6)a d a d a d +=++，整理得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-，所以37112810a a a a a a ++++1131812123171313a d d a d d +-===+-. 故选：B. 点评：本题考查了等差数列通项公式基本量的运算，属于基础题.6．设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22||||AF BF +的最小值为（） A ．20 B ．21C ．22D ．23答案：C由题意得，4,a b ==，再由双曲线的定义可得2128AF AF a -==，2128BF BF a -==，所以2211()16AF BF AF BF +-+=，再由,A B 两点的位置特征可得AB 是双曲线的通径时，AB 最小，从而可得答案 解：解：由题意得，4,a b ==由双曲线的定义可得2128AF AF a -==，2128BF BF a -==， 所以2211()16AF BF AF BF +-+=，由于过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，可得11AF BF AB +=，当AB 是双曲线的通径时，AB 最小，即有221122()16AF BF AF BF AF BF AB +-+=+-=，所以2222212161616224b AF BF AB a ⨯+=+≥+=+=，故选：C 点评：此题考查两条线段和的最小值的求法，考查双曲线的定义的应用，属于中档题7．P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（）A ．B ．4C D ．2答案：B根据椭圆的定义，结合已知、直角三角形的判定方法、勾股定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 解：因为P 是椭圆上一点，1F ，2F 分别为左、右焦点，则122PF PF a +=，而12PF PF a -=，则132PF a =，212PF a =．又因为点P 到原点O 的距离为焦距的一半，即12PO OF OF ==，故三角形12PF F 为直角三角形，则2221212PF PF F F +=，即()22231222a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2258c a =，所以e = 故选：B 点评：利用点P 到原点O 的距离为焦距的一半判断出三角形12PF F 为直角三角形是关键，利用勾股定理得a ，c 的关系再计算离心率．8．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．2D ．2.5答案：A设小球圆心，双曲线上的点的坐标，求出点到球心的距离的平方2r ，根据2r 在(0,1)处取到，即求清洁钢球能擦净凹槽的最底部时只需对称轴在1y =的左边，进而求出0y 的范围，求出半径的范围． 解：解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以12y ，02y ， 所以0211r <-=， 故选：A ．点评：考查函数的单调性的应用，圆与双曲线的的综合应用，属于基础题． 二、多选题9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 答案：ABC利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可 解：对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC 点评：本题考查抛物线的几何性质的应用,考查直线与抛物线的的交点个数问题,考查抛物线的定义的应用,考查数形结合思想和运算能力 10．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 答案：BCD根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 解：A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a =1，b =2，c =3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 点评：本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 11．下列判断中正确的是（）A ．在ABC 中，“60B =”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列” B ．“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件 C ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D ．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∉，210x x ++≤”. 答案：AC根据三角形内角和定理以及等差数列的定义可知选项A 正确；当56A π=，6B π=时，可得选项B 错误；当a b <且0c时，推不出22ac bc <；当22ac bc <时，可以推出22ac bc <，故C 正确；命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”，故D 错误.解：对于选项A ，若,,A B C 成等差数列，则2B A C =+，又180A B C ++=，所以2180B B =-，所以60B =；若60B =，则180601202A C B +=-==，所以,,A B C 成等差数列.故在ABC 中，“60B =”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”是正确的； 对于选项B ，当56A π=，6B π=时，满足A B >，但是1sin sin 2A B ==，故选项B错误；对于选项C ，当a b <且0c时，推不出22ac bc <；当22ac bc <时，2()0a b c -<，因为20c >，所以0a b ->，即a b >.故“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件是正确的；对于选项D ，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”，故D 错误. 故选：AC. 点评：本题考查了利用等差中项判断等差数列，考查了全称命题的否定，考查了充要条件、必要不充分条件，属于中档题.12．已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（）A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 答案：ABD 解：M 的坐标为(,)x y ，直线AP 的斜率为()11AP y k x x =≠-+，()11BM yk x x =≠- 由已知得，()111y ym x x x ⨯=≠±+- 化简得点M 的轨迹方程为()2211y x x m+=≠±-，对A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；对B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示椭圆，故B 正确；对C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；对D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示双曲线线，故D 正确；故选：ABD. 点评：本题考查曲线的轨迹方程、直线的斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意轨迹要挖去不符合要求的点.三、双空题13．已知命题p ：x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤，命题q ：[]0,3x ∃∈，使得不等式220x x m -+≥成立，若命题p 为真命题，则实数m 的最小值为________;若命题p 和命题q 有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________. 答案：131m -≤<（1）利用函数tan y x =单调性可解出实数m 的取值范围；（2）先求出命题q 为真命题时实数m 的取值范围，再分析命题p 、q 中一个是真命题，一个是假命题，即可的得出实数m 的取值范围. 解：（1）因为tan y x =在[0,]4x π∈是单调递增函数，且01y ≤≤，所以命题p ：x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤是真命题时，1m ≥，所以m 的最小值是1；（2）命题q 为真命题时，即[]0,3x ∃∈，使得不等式220x x m -+≥成立， 得22m x x ≥-，令2()=(1)1f x x --+，因为[]0,3x ∈，[]2(1)4,0x --∈-，所以3()1f x -≤≤，所以实数3m ≥-，当命题p 为真命题q 为假命题时，即1<3m m ≥⎧⎨-⎩不等式组无解，当命题p 为假命题q 为真命题时，即13m m <⎧⎨≥-⎩，31m -≤<，命题p 和命题q 有且仅有一个是真命题，实数m 的取值范围是31m -≤<， 故答案为：①1；②31m -≤<. 点评：本题考查利用命题的真假、利用复合命题的真假求参数问题，解题的关键就是要确定简单命题的真假，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 四、填空题14．过点（3，-1）且与双曲线2213x y -=有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.答案：22162x y -=利用待定系数法设出所求双曲线标准方程，再将点（3，-1）代入可解得结果.解：设与双曲线2213x y -=有公共渐近线的双曲线标准方程是223x y λ-=(0)λ≠，因为双曲线223x y λ-=过(3,1)-，所以29(1)3λ--=，即2λ=，所以所求双曲线的标准方程为22162x y -=.故答案为：22162x y -=.点评：本题考查了利用待定系数法求共渐近线的双曲线方程，属于基础题. 15．若数列{}n a 满足111+-=n nd a a （*,n N d ∈为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，12320300,++++=b b b b 且378+=b b 则16=b ______.答案：26由调和数列的定义可得{}n b 是公差为d 的等差数列，再由等差数列的性质和求和公式，即可得出结果. 解：由数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，可得11111 11n n n n b b d b b +++-=-=（n N ∈，d 为常数），∴{}n b 是公差为d 的等差数列， 又12320300b b b b ++++=，∴120203002b b +⨯=，∴12030b b +=， 又378+=b b ，∴54b =，∴51612030b b b b +=+=，∴1626b =， 故答案为：26. 点评：本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的定义和性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题.16．已知12,F F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF △内切圆的圆心，过F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则OM 的取值范围为________. 答案：()03，延长2PF ，与1F M 交于点N ，连接OM ，由已知得PQ 平分12F PF ∠，根据平面几何知识得1PF PN =，点M 是1F N 的中点，由中位线的性质得21211322OM F N F F c =<==，可求得OM 的取值范围. 解：延长2PF ，与1F M 交于点N ，连接OM ，因为点Q 是12F PF △内切圆的圆心，所以PQ 平分12F PF ∠，因为1F M PQ ⊥，所以1PF PN =，所以点M 是1F N 的中点，又因为点O 是12F F 的中点， 所以()()222121111132222OM F N PN PF PF PF F F c ==-=-<==，所以OM 的取值范围为()03，，故答案为：()03，.点评：本题考查椭圆焦点三角形的问题，内切圆的圆心的性质，属于中档题. 五、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知470a =，21100=-a . （1）求出首项1a 与公差d ，并写出通项公式； （2）{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？答案：（1）1100,10==-a d ，10110=-+n a n ；（2）3项.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件列出方程组，解出1,a d ，利用等差数列的公式求解即可；（2）由181010018-≤-+≤n ，求出满足题意的n ，即可得出结果. 解：解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由470a =，21100=-a ，得4121137020100a a d a a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1100,10==-a d ，1(1)100(1)(10)10110∴=+-=+--=-+n a a n d n n .（2）由181011018n -≤-+≤， 得9.212.8≤≤n ，*n N ∈，10,11,12n ∴=共三项.点评：本题主要考查了等差数列的相关知识.属于较易题.18．已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a +=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程21x m -＋22y m-＝1表示焦点在y 轴上的椭圆.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 答案：（1）()3,4a a ；（2）1338a ≤≤. （1）根据()()340--<m a m a 可解得结果；（2）求出命题q 为真时a 的范围，再将p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系列式可求得结果. 解：（1）若命题p 为真，即方程221(0)34x ya m a m a+=>--表示双曲线，所以()()340--<m a m a ，解得34a m a <<，即()3,4∈m a a .（2）若命题q 为真，即21x m -＋22ym-＝1表示焦点在y 轴上的椭圆成立，则210m m ->->，解得312m <<，记B =3(1,)2. 由(1)知，记A =()3,4a a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，故31342a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩或31342a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤.所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤. 点评：本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了椭圆和双曲线的标准方程，考查了充分不必要条件，考查了根据集合之间的关系求参数的取值范围，考查了转化化归思想，属于中档题.19．已知数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-(*2,n n N ≥∈)，数列{}n b 满足11n n b a =-(*n N ∈)． （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）最大项43a =，最小项31a =-，理由见解析. （1）根据等差数列的定义和递推公式，可化简11n n b b --=，进而证明结果； （2）根据（1）求出数列{}n b 的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项． 解：（1）证明：因为11n n b a =-(*n N ∈)，121n n a a =--(*2,n n N ≥∈)， 所以111111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=-=-----又111512b a ==--， 所以数列{b n }是等差数列. （2）由（1）得，1527(1)122-==-+-=-n n n b n a ，所以2127n a n =+-. 当*4,,≥∈n n N 数列{}n a 单调递减；当*3,,≤∈n n N 数列{}n a 单调递减.又1343,1,35==-=a a a ，当4n ≥时，1n a >. 所以，数列{}n a 的最大项43a =，最小项31a =-. 点评：本题考查数列递推公式的应用，等差数列的证明，数列的函数特性，利用数列的函数特性求出数列的最大值和最小值是解决本题的关键，属于中档题． 20．已知双曲线C()在双曲线上，且抛物线22y px =()0p >的焦点F 与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线lAB 的长度.答案：（1）22193x y -=；2y =；（2）3. （1）设双曲线的方程为22221x y a b -=（0a >，0b >），根据双曲线C和点()在双曲线上，得到关于a ，b 的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.（2）联立直线l 和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段AB 的长度. 解：解：（1）设双曲线的方程为22221x y a b -=（0a >，0b >），由题设3c a =所以3b a =①，又点()在双曲线上，所以221211a b -=②由①②解得29a =，23b =，故双曲线标准方程为22193x y -=；设双曲线的焦距为2c ，因为22212c a b =+=，得23c =， 所以抛物线焦点为()23,0F ， 即23432pp =⇒=，所以抛物线的标准方程为283y x =. （2）设直线()323y x =-交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，联立()232383y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得23203360x x -+=，故122033x x +=，由抛物线定义知12pAF x =+，22p BF x =+， 所以1220332343AB x x p =++=+=. 点评：考查双曲线和抛物线的标准方程的求法以及抛物线焦半径公式的应用，中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.答案：（1）2214x y +=；（2）是，理由见解析.（1）求出a ，b 代入即可；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，求出M ，N 的横坐标，12122121212(1)(1)3()9M N x x x x x x y y k x x k x x ⋅==+++++，利用直线和椭圆联立，由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+，即可求出. 解：（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由2e =得2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值． 点评：本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题，属于中档题．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.答案：（1）22143x y +=；（2）在，x =4. （1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y xx ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可. 解：（1）由题设，12c a =，221914ab +=，且222a bc =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=， 因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ， 所以12122269,3434m y y y y m m --+==++， 设直线AP 的方程为11(2)2y yxx ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--， 则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+， ∴121239222313222++==-+y y x x y y， ∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上. 点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.。
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江苏省泰州中学2020-2021学年第一学年第一学期高二数学试卷2020.10.06一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1. 已知数列{}n a 通项公式为()()211nn a n =--，则6a =（ ）A. 35B. 11-C. 35-D. 112. 对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2﹣ny 2＝1的曲线是双曲线的”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若抛物线x 2＝ay 的准线与椭圆2214x y +=相切，则a ＝（ ）A. ﹣4或4B. 4C.﹣8或8D. 84. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（ ） A. 15.5尺B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺5. 已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2527a a a =⋅，则37112810a a a a a a++++的值为（ ） A.1314B.1213C.1112D.136. 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．237. 已知点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（ ） A ．64B ．104C ．32D ．228. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．2.5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ）A ．若，则B ．以为直径的圆与准线相切 C ．设，则D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条10. 下列命题正确的是（ ）A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C.若a ,b ,c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D. 若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12n n a a ++也是等差数列 11. 下列判断中正确的是（ ）A ．在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B ．“A >B ”是“sinA>sinB”的充要条件C . “a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D. 命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∉，210x x ++≤”.12. 已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13. 已知命题p :x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤， 命题q : []0,3x ∃∈，使得不等式220x x m -+≥成立，若命题p 为真命题，则实数m 的最小值为 ; 若命题p 和命题q 有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________.14. 过点（3，-1）且与双曲线2213x y -=有公共渐近线的双曲线标准方程是_________. 15. 若数列{}n a 满足*111 (,)n nd n N d a a +-=∈为常数，则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，12320300,b b b b ++++=且378b b +=则16b =______.16. 已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在等差数列{}n a 中，已知470a =，21100a =-， （1）求出首项1a 与公差d ，并写出通项公式； （2）{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？18. 已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1 ＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．19. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．20. 已知双曲线C 的离心率为23，点()23,1在双曲线上，且抛物线22y px =（0p >）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 的斜率为3时，求线段AB 的长度.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点1,23T ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上。
（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ,Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.高二数学试卷 2020.10.06一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1. 已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n =--，则6a =（ ）A. 35B. 11-C. 35-D. 11答案：A2. 对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2﹣ny 2＝1的曲线是双曲线的”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 若抛物线x 2＝ay 的准线与椭圆2214x y +=相切，则a ＝（ ）A. ﹣4或4B. 4C.﹣8或8D. 8答案：A4. 《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（ ） A. 15.5尺 B. 12.5尺C. 10.5尺D. 9.5尺答案：A5. 已知等差数列{}n a 的首项和公差均不为0，且满足2527a a a =⋅，则37112810a a a a a a++++的值为（ ） A.1314B.1213C.1112D.13答案：B6. 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．23答案：C7. 已知点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（ ） A ．64B ．104C ．32D ．22答案：B因为P 是椭圆上一点，1F ，2F 分别为左、右焦点，则122PF PF a +=，而12PF PF a -=，则132PF a =，212PF a =．又因为点P 到原点O 的距离为焦距的一半，即12PO OF OF ==，故三角形12PF F 为直角三角形，则2221212PF PF F F +=，即()22231222a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2258c a =，所以10e =． 8. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A．1 B．2C．2D．2.5答案：A清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条答案：ABC10. 下列命题正确的是（ ）A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C.若a ,b ,c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D. 若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12n n a a ++也是等差数列 答案：BCD11. 下列判断中正确的是（ ）A ．在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B ．“A >B ”是“sinA>sinB”的充要条件 C. “a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D. 命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∉，210x x ++≤”. 答案：AC12. 已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点）答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13. 已知命题p :x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤， 命题q : []0,3x ∃∈，使得不等式220x x m -+≥成立，若命题p 为真命题，则实数m 的最小值为 ; 若命题p 和命题q 有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________. 答案：1; 31m -≤<14. 过点（3，-1）且与双曲线2213x y -=有公共渐近线的双曲线标准方程是_________.答案：22162x y -=15. 若数列{}n a 满足*111 (,)n nd n N d a a +-=∈为常数，则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，12320300,b b b b ++++=且378b b +=则16b =______.答案：2616. 已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为________.答案：（03四、解答题：本题共6小题，共70分。