溶质运移及其基本微分方程
【MODFLOW】第二讲 地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型
Dxx
C x
y
Dyy
C y
x
C
ux
y
C uy
I
基本方程
3.含水层中地热迁移规律控制方程
热对流扩散机理
c
T t
x
xx
T x
y
yy
T y
x
cw
wT
ux
y
cwwT uy
f
Fourier定律
基本方程 18
二、溶质运移数学模型：绪论
随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严 重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问 题题，迫切需要解决：
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维 流微分方程。考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱 体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |x
(vx (H
Z )y) |xx
(vx (H Z )y) x
|
x
y方向流入-流出
(vy (H
Z )x) |y
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
23
二、溶质运移数学模型
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因
x方向流出
( v ) | x (xx, y,z,t) yzt
9
一、地下水运动基本方程
3、三维流基本微分方程（续1）
土壤溶质运移模型
土壤溶质运移模型土壤溶质运移模型是研究土壤中溶质迁移、分布和转化的数学模型，它在农业、环境科学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍土壤溶质运移模型的基本原理、应用领域以及相关研究进展。
一、基本原理土壤溶质运移模型的基本原理是利用数学方程描述土壤中溶质的输运过程。
这些方程通常是基于质量守恒定律和动量守恒定律建立的，考虑到土壤水分运动、扩散、吸附、降解等因素。
通过解析或数值计算方法，可以模拟出溶质在土壤中的分布、迁移和转化规律。
二、应用领域土壤溶质运移模型在农业、环境科学等领域得到了广泛应用。
在农业方面，它可以用于评估农药、化肥等农业投入品对土壤和水体的污染风险，指导农田管理措施的制定。
在环境科学领域，土壤溶质运移模型可以用于预测地下水中污染物的传输速率和范围，提供科学依据用于地下水保护和污染防治。
三、研究进展近年来，土壤溶质运移模型研究取得了许多进展。
一方面，模型的建立变得更加精确，考虑到了更多土壤特性、水力参数和垂直流动等因素。
另一方面，模型的应用范围也得到了拓展，可以模拟多种污染物在土壤中的行为。
此外，随着计算机技术的发展，模型的计算效率和准确性也得到了提高。
土壤溶质运移模型是研究土壤中溶质迁移、分布和转化的重要工具，它可以有效预测土壤污染的风险和影响范围。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适用的模型，并结合实地调查和实验数据对模型进行参数校正。
随着模型不断完善和发展，相信它将在农业和环境科学的实践中发挥更大的作用。
注意：本文所涉内容仅用于描述土壤溶质运移模型的基本原理、应用领域和研究进展，禁止进行商业化宣传、联系方式公布及其他与主题无关的内容。
请根据需要自行进行补充和修改，以满足具体需求。
溶质运移及其基本微分方程
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
Ds ( ) D0
或
Dsb
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子摘要：一、引言二、一维非饱和溶质垂向运移控制方程的概念和原理三、计算例子的具体步骤和过程四、计算结果的分析和讨论五、结论正文：一、引言在环境科学和工程领域，溶质在土壤中的运移是一个重要的研究课题。
其中，一维非饱和溶质垂向运移控制方程是描述溶质在土壤中运移过程的一个基本方程。
本文将通过一个计算例子，详细介绍一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算过程和方法。
二、一维非饱和溶质垂向运移控制方程的概念和原理一维非饱和溶质垂向运移控制方程，是描述非饱和土壤中溶质沿垂直方向运移的偏微分方程。
其基本原理是质量守恒和达西定律。
质量守恒定律表达了溶质运移过程中质量的守恒，即溶质的输入等于输出与累积量的和。
达西定律则表达了溶质在非饱和土壤中的运移速度与溶液的浓度成正比。
三、计算例子的具体步骤和过程为了计算一维非饱和溶质垂向运移控制方程，我们需要首先确定方程的边界条件和初始条件。
边界条件通常包括两种：一是溶质在土壤表面的输入，二是溶质在土壤底部的输出。
初始条件则是溶质在土壤表面的浓度。
确定边界条件和初始条件后，我们可以通过数值方法求解该偏微分方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法的基本思想都是将连续的空间离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，然后求解该代数方程组。
四、计算结果的分析和讨论计算结果可以帮助我们了解溶质在土壤中的运移规律。
通过对计算结果的分析，我们可以得出溶质在土壤中的浓度分布，以及随时间的变化情况。
此外，我们还可以通过计算结果，评估不同边界条件和初始条件对溶质运移的影响，为实际工程应用提供参考。
五、结论一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算，对于理解溶质在土壤中的运移过程具有重要意义。
溶质运移模型数值分析
＋
ａ『
的各种定解问题来描述（ 参见文献 ［，］ ， 中 Ａ 为河床断面， 为流量）Ｄ 为弥散系数 ， １２ 等）其 Ｑ ， Ｃ是某组分子 在 ．断面处 时刻的浓度， ２ ｇ Ｓ表示各种源 、 汇项的代数和 在复杂情况下 ， Ｓ是 Ｃ的线性或非线性函数 ， 但在
河
南
科
学
第２卷 第 ３ Ｏ 期
本文在§１ 试图利用积分变换方法， 中， 寻求理想化条件下的简化模型（．） ０２的近似精确解（ 即理论上的近似解 析解） 的表达式。在 § 中， ２ 首先建立模型（．） ０１的古典差分格式， 给出模型（． 和（．） ０１ ０２的数值算例。 ）
１ 模型 《 ． ） ０ ２ 的积 分变换方法和近似解 析解
上式化 为
ｆ “ Ｄ嚣， ＋ ＝
｛（户 。（ｔ－ ｂ ， ０ ） ｃ ，ｅ出＝／ ， Ｊ ｏ）ｐ ｔ ｐ （３ １） ・
｝。户 ｉ ｃ。） ・ 。 ） （， ｔ （， Ｊ 。ｔ ０ ｄ
常微 分方程
Ｄ
嚣一 ＝ “ 一 ｏ
的通解 为
一
）＝
其中 ｅ ｃ ＝１ ， ｝ ， ｒ（ ｆ ） 一 ｒ（ ）而为误差函数。 证 明： ０２ 两端 同乘以 ， 将（ ． ） 并在 ０ ｏ 到ｏ范围内对时间 ｔ 求积分 ， 得到
＝
等 “
（ 一“
．
ｃ（ ．
ｚ
由（ ．） １２得
户 令 ＝ Ｄ
（户＝ｏ￣ ）， ）ｆ Ｃ ， ， （ｄ ｅ
两类模型在生物化学基因控制 、 口动力学系统和多孔介质物理学等方面都有许多应用背景 。因此， 人 已有许 多文献对它们作了定性分析和数值方法上的研究（ 见文献 ［ —６ 及其相关引用文献 等） 然而， ４ ］ 作为溶质运 移模型， 当地下水水流速度 Ｉ Ｉ “ 很小（ 亦即弥散项起主要作用） ， 时 可采用通常的差分方法进行数值计算。
第五节 溶质运移问题的简单解析解
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程共34页
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
20
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
4
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
1
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
16
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
17
六、水动力弥散方程
18
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
第6章 土壤溶质与溶质运移
2. 分子（或离子）扩散 分子（或离子）扩散是指气相或液相内部由于分子的不 规则热运动即布朗运动和分子之间的相互碰撞而引起 的质量运移。 土壤溶液中的溶质浓度并不总是均匀的。只要浓度梯度 存在，分子扩散就会发生。分子扩散导致溶质从浓度 高的区域向浓度低的区域运动，从而使溶液浓度趋于 均匀。在一个静止的水体中，由于分子扩散而引起的 溶质质量运移通量可由Fick’s first law描述。在一维条 件下，它可表达为：
土壤溶质研究范围： 土壤溶质 肥料运移: N(NO3-、NH4+)、P(H2PO4-)、K+ 等 盐分运移: Cl- 、 CO3 2 - 、 SO42- 、Br- 、Ca2+ 、 Mg2+ 、 Na+等 污染物迁移: 非水相流体(Light and Dense non-aqueous phase liquids (LNAPLs and DNAPLs)： 汽油, TCA、甲苯、煤焦油等 小生物实体(Biologic entities )： 病毒(viruses), 细菌(bacteria) 辐射元素(Radioactive elements)： 镭(Ra)、铍(Be)、氦(He)等天 然放射性物质 重金属元素 ： 汞(Hg)、铅(Pb)、铜(Cu)等 柴油, 润滑油、碳氢化合物； 溶剂、工业洗涤剂、三氯乙烯TCE、四氯乙烯PCE、三氯甲烷
J dis = − Ddis ∂c ∂z (4.66)
目前很难在实验室或田间试验中明确地区分开分子（离 子）扩散和机械弥散的影响，因此一般将机械弥散和 分子扩散这两种现象合并而统称为水动力弥散现象。 机械弥散系数和分子扩散系数合并为一个参数即水动 力弥散系数或扩散弥散系数DH：
DH = Ddif + Ddis
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
实验4数值微积分应用实训 - 浅谈MATLAB在溶质运移的对流-扩散中的应用
Dd*
ﾶ2C ﾶx2
-
vx
ﾶC ﾶx
=
ﾶC ﾶt
（7）
式（7）左端第一项描述了质量扩散运移，第二项描述了质量的对流运移。也可以对对流-扩
散方程应用无量纲分析，定义无量纲浓度 C + = C Ce ，这里 Ce 为特征浓度，上标“+”表示
无量纲数，因此对流-扩散方程的无量纲形式可写为
�+2C +
-
vL Dd*
-divJ
=
ﾶ(Cn) ﾶt
（1）
对于对流-扩散水流系统，其质量通量可以表示为
Jx
=
-nDd*
ﾶC ﾶx
+ vxCn
Jy
=
-nDd*ﾶC ﾶy+ vyCn式中， viCn －对流项通量。
如果介质为各项同性，则
Jz
=
-nDd*
ﾶC ﾶz
+
vzCn
J = -nDd* gradC + vCn
式中， v －线性地下水流速，其分量分别为 vx 、 vy 、 vz 。
透速度稳定后，在土柱顶部瞬时加入浓度 0.1mol / L 的 NaCl 溶液，记时间为 t = 0 此时
阀门 4 可适当控制供水量，使水位保持稳定同时开始记录传感器上的浓度变化，待进水到
两分钟的时候，再将进水装置中的 NaCl 溶液迅速更换为蒸馏水此时土壤盐分在土柱中的
弥散过程就可以根据对流弥散方程利用 MATLAB 进行编程而解出。
在n+1维空间 u, x1, x2,xn 中是一曲面，称它为方程的积分曲面。
2 齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程
对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。如
第十章-溶质运移基本理论
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
移理论及模型.中国地质大学出版社, 1996.
第十章 溶质运移基本理论
水动力弥散系数—尺度效应
目前的研究方法有： （1）确定性方法
从微观尺度研究溶质在空隙介质中运移的物理机制，重新检验对流－ 弥散基本方程的可行性，尤其是空隙介质中引入Fick扩散定律的可靠性。
（2）随机方法 其基本依据是含水层非均的事实。在非均质含水层的物理性质、水力
性质和溶质运移性质按某种随机模型分布的假定下，建立溶质运移随机方 程和水动力弥散系数的表达式。
4、中深部埋藏的咸水对上层淡水的影响的问题；特别是在开采条件下咸淡水的相 互作用规律。如我国华北平原为改造咸水体的“抽咸换淡”问题。 5、水文地球化学找矿；通过研究弥散晕的扩展及运移规律，协助我们找到“污染 源”——金属矿床。 6、土壤盐渍化改造； 7、石油开采问题。一是用水注入油田，将石油从空隙中驱替出来；二是注入可溶 性溶剂，减小石油的粘滞性，将石油和溶剂一起抽出。
u = u' = q / n
α组分的质点流速相对于平均流速有一个偏差，这个偏 差定义为组分质点的质量扩散速度：
uˆα = uα − u
4
基本参数
（5）流体的通量：流体通过单位面积时的流体质量称为质 量通量。用流体的密度和流速的乘积表示。
α组分的质量通量 Jα = ρα uα
α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量
M = As /V
As：固体颗粒的总表面积； V：所研究的多孔介质的体积 ；
地下水溶质运移常用解析解
地下水溶质运移常用解析解2013年9月目录1 一维迁移问题的解析解 (1)1.1 定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解 (1)1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解 (1)1.4短时注入污染物问题的一维解析解 (2)1.5瞬时注入污染物问题的一维解析解 (2)2 二维迁移问题的解析解 (3)2.1点源连续注入污染物问题的二维解析解 (3)2.2点源连续注入含有一级化学反应问题的二维解析解 (4)2.3点源瞬时注入的二维解析解 (4)2.4点源瞬时注入含有一级化学反应的二维解析解 (4)2.5面源连续注入的二维解析解 (5)2.6面源瞬时注入的二维解析解 (5)3三维迁移问题的解析解 (6)3.1点源瞬时注入的三维迁移问题解析解 (6)3.2立方体源瞬时注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.3点源连续注入的三维迁移问题的解析解 (6)3.4 点线面体源下的三维迁移解析解库 (7)参考文献：《多孔介质污染物迁移动力学》，王洪涛，高等教育出版社，2008年3月第一版。
1 一维迁移问题的解析解1.1 定浓度注入污染物的一维解析解exp 2L c ux c erfc erfc D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：x —距注入点的距离；m ； t —时间，d ；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度，mg/L ； C 0—注入的示踪剂浓度，mg/L ； u —水流速度，m/d ；D L —纵向弥散系数，m 2/d ； erfc （）—余误差函数。
1.2初始浓度不为零时定浓度注入污染物的一维解析解01exp 2i i L c c ux erfc erfc c c D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭式中：c i —初始时刻多孔介质中污染物浓度；mg/L ； 其余参数含义同上。
1.3含有一级化学反应问题时定浓度注入的一维解析解污染物在迁移的同时还发生衰变反应，且符合一级反应动力学过程，反应常数为λ，则：0()()exp exp 222L L c u w x u w x c erfc erfc D D ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪=+⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭w =式中参数含义同上。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
二、水动力弥散
水动力弥散现象
多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
5
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分 由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一 由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
的质量就会发生变化，而且抽水与注水导致源汇项的变
化不同。当抽水时：
I W C n
表示失去的溶质
孔隙率
为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
七、源汇项：抽水与注水
当注水时
若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）
W I C0 n
C C W D Cu C ij i 0 t x x x n i j i
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
18
六、水动力弥散方程
19
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
1） 放射性密度与化学、生物化学反应 2） 吸附与解吸 3） 抽水与注水
20
七、源汇项：放射性生物化学反应
若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂， 则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身 的放射性衰变的影响。
x y t
11
控制方程：质量守恒定理（续）
其中： 经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
Hale Waihona Puke x y z t 得： 将上式左右两端同除以
地下水污染模拟预测评估工作指南
第三章 地下水污染概念模型构建 ..................................... 6 3.1 资料收集与评述...............................................6 3.2 主要污染指标识别.............................................6 3.3 水文地质条件概化.............................................7 3.4 污染状况概化.................................................8
7
3.3.4 地下水运动状态概化 对评估区地下水运动状态进行概化，确定含水层组水流为稳 定流或非稳定流、二维水流或三维水流、以及是否存在越流补给 等情况。 裂隙、岩溶含水介质中水流运动概化要视具体情况而定。在 局部溶洞发育处或宽大裂隙中，水流运动一般为非线性流或紊 流，不能应用达西定律，但对于发育较均匀的裂隙、岩溶含水层 中的地下水运动，可概化为达西流，按照松散孔隙含水层水流运 动的方式处理。在大区域上，北方岩溶水运动近似满足达西定律， 含水介质可概化为非均质、各向异性。
附录 A (资料性附录) 资料需求与技术方法 ............................. 22 附录 B (资料性附录) 地下水数学模型 .................................35 附录 C (资料性附录) 地下水模型参数 .................................46 附录 D (规范性附录) 评估成果表达示例 ............................... 60
Richards
1. Richards 方程是由谁提出的？是用来干嘛的？Richards 方程最先是由Richards 这个人在1931年研究流体通过多孔介质中毛细管传导作用时推导出来的[1]。
对于各向同性的土壤、不可压缩的液体、三维情形的非饱和水流运动的控制方程即Richards 方程： ()()()K K K y x z t x y z ψψψθθθθ⎡⎤∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++∂∂∂∂ (1)式中：θ为含水量， t 为时间，K 为渗透系数，ψ为非饱和土壤的总土水势，x ，y ，z 表示坐标轴方向。
2. 非饱和土壤水分运动方程几种形式描述非饱和土中水的流动控制方程一般采用 Richards 微分方程。
对于一维非饱和土壤水分运动问题，Richards 方程常常表示为3种标准的形式:基于压力水头，基于含水率和基于位置坐标形式。
(1) 以负压水头h 为因变量的基本方程[2]： 2()w w h K h h K h z gm t z h z ρ∂⎡⎤∂⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦=-∂∂∂∂ (2)式中：w ρ为水的密度，g 为重力加速度，2w w m S θ∂=∂为土壤含水量θ与基质吸力s 关系曲线的斜率，h 为负压水头（基质势），t 为时间，K 为渗透系数，z 为土壤的深度。
(2) 以含水率θ为因变量的基本方程[2]：()()D K z t z z θθθθ∂⎡⎤∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦=+∂∂∂ (3)式中：θ为含水量，t 为时间，D 为扩散率，z 为土壤的深度，K 为渗透系数。
其中()()m d D K d ψθθθ=， m ψ为基质势。
(3) 以位置坐标z 为因变量的基本方程[2]： 当d dtθ=0时，可以得到如下的水分运动方程： ()()D z z K t z θθθθ⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦-=+∂∂∂ (4)式中，符号意义同上。
该方程主要用于解析或半解析方法对非饱和土流动的求解。
土壤水动力学考题以及答案doc
1.土壤水基质势, P14。
土壤水的基质势是由于土壤基质对土壤水分的吸持作用引起的。
单位数量的土壤水分由非饱和土壤中的一点移至标准参考状态, 除了土壤基质作用外其他各项维持不变, 则土壤水所做的功即为该点土壤水分的基质势。
2.土壤水吸力, P18。
3.土壤水吸力是土壤基质势和溶质势的负数, 在研究田间土壤水分运动时, 溶质势一般不考虑, 因此, 一般所说的土壤水吸力指土壤基质的吸力。
4.导水率, P29非饱和土壤的导水率K又称为水力传导度, 由于土壤中部分孔隙为气体所填充, 故其值低于该土壤的饱和导水率。
土壤水扩散率, P38。
非饱和土壤水的扩散率)(θC的比值。
K和比水容量)(θD为导水率)(θ5.比水容量, P196.土壤水分特征曲线斜率的倒数即单位基质势的变化引起的含水量变化, 称为比水容量。
7.稳定蒸发P1338.在蒸发的起始阶段, 表土的蒸发强度不随土壤含水率降低而变化,称为稳定蒸发阶段。
9.土壤水分入渗P77土壤水分入渗是指水分进入土壤的过程。
10.零通量面P5211.土壤中任一点的土壤水分通量由达西定律给出, 当水势梯度时, 该处的通量q＝0, 则称该处的水平面为零通量面ZFP。
土壤入渗特性曲线受哪些因素的影响？各影响因素如何对其产生影响？ P20土壤水分特征曲线受土壤质地、土壤机构、温度和土壤中水分变化的过程等因素的影响。
（1）一般说, 土壤的粘粒含量愈高, 同一吸力条件下土壤的含水率愈大, 或同一含水率下其吸力值愈高。
这是因为土壤中粘粒含量增多会使土壤中的细小孔隙发育的缘故。
（2）土壤愈密实, 则大孔隙数量愈减少, 而中小孔径的孔隙愈增多, 因此, 在同一吸力值下, 干容重愈大的土壤, 相应的含水率一般也要大些。
（3）温度升高时, 水的粘滞性和表面张力下降, 基质势相应的增大, 或说土壤水吸力减小, 在低含水率时, 这种影响表现的更加明显。
（4）对于同一土壤, 即使在恒温条件下, 由土壤脱湿过程和土壤吸湿过程测得的水分特征曲线也是不同的。
溶质运移理论
溶质运移理论
几个概念
浓度 C（体积浓度）
——单位体积水体中所含污染物的质量
M C lim V 0 V
单位：mg/L或g/L 量纲：[ML-3]
稀释度 S
——反映纳污水体被污染的程度 S= 1: 未稀释 样品总体积 S 样品中所含污水体积 S=∞: 未污染
例：为水质研究的一项内容，需要评估一种新型荧光染剂的 扩散特性。为完成该任务，需要在实验水箱（h＝40cm）中做 染剂研究。在深度20cm 处释放100g 染剂（在水箱区域内均 匀地扩展）并且观察它随时间的演化。水箱中染剂浓度的垂 直剖面在下图中给出；x 轴代表深度，y 轴代表荧光计读数。 试求：
1 扩散的基本原理
菲克定律（Fick’s law） ——在各向同性的介质中，在一定方向上单位时间内通过
单位面积扩散输运的物质与断面上的浓度梯度成正比，并
且是反梯度方向的。
X 2 C C qx A DA 质量/时间 2 t x x
质量通量
C dA 扩散通量 Dn n
控制体积CV, 表面积CS
2 物质质量守恒原理
应用实例：电厂温排水充分混合后的温升计算
Cd CV nd A D c s c s t cv
C pT d Cp TV n A d D c v c s c s t
2 物质质量守恒原理
未充分混合河段 排放口
2 物质质量守恒原理
应用实例：河流温升梯度计算 在x＝0处，一条浅河从树木茂密的蔽日区域，流入一个开 放的平原中。一旦进入开阔区域（ x>0 ），河流就开始接 收太阳的辐射， Hs ＝ 800J/(s∙m2) 。已知河流从森林中流出 的时候其温度是常温T0，河流深度h＝1m，宽度b＝10m， 流 速 u ＝ 1m/s 。 扩散系数是均匀的和各项同性的 ， D ＝ 0.1m2/s。求解当x>0时，沿河流的温度梯度∂T/∂x。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
8
一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
溶质运移
图 6-1 在 t 0时，将两块 C 0 和 C C 0 的土块相接后经过不同时间的扩散后的浓度剖面 表 6.1 不同粘土和土壤的水溶液中的选择扩散系数
1，沿海沉积物中的示踪剂
36
3
H 2O 。
2，不同温度下，用 Cl 标记或非标记的膨润土砂混合物。 3，使用
125
I 示踪剂标记或非标记的黏土土塞的压实型膨润土。
2 1
6.2.1 运移机理
溶质随水的运输由溶质通量( JwC )描述，被称为平流或对流。因为溶解物以 一种被动的方式移动，在溶剂通量( Jw )知道的情况下平流通量是容易定量描述 的，水的通量通常是时间和位置的函数。在实验室土柱的溶质运移中， Jw 一般 是常数， 而对于田间土壤溶质运移的研究，有时候需要用近似的一维稳态流来描 述。 宏观水的流量已知或可以测量，但小孔中的水流不易测定，微观速率的不同 导致水流方向上不同溶质的运移。这种运动借助于弥散通量来定量描述，如果水 流稳定且处于饱和土柱入水口溶液的浓度在初始时刻发生突变， 在土柱出口处观 察到的溶质并不会发生同样的突变 (Nielsen 和 Biggar, 1961). 溶质的浓度会随 时间而逐渐变化，这是水动力弥散的结果，表示机械弥散和扩散的综合作用。 我 们先讨论自由溶液的分子扩散和机械弥散然后再讨论土壤溶液的分子扩散和机 械弥散。 6.2.1.1 扩散 分子或离子的扩散是土壤中溶质运移的重要机理， 前提是这个方向上没有水 流或水流很小。溶质分子的净迁移通常是从高浓度向低浓度，这是扩散的结果， 由 Fick 第一定律描述。对于自由或本体溶液，一维下分子扩散引起的通量 [( J dif ( ML2T 1 )] 为：
于是离子的扩散由普通的 Fick 扩散项和考虑了电荷的电迁移项组成。相应的扩 散系数与用 Nernst-Planck 方程描述的离子移动性有关。 为了表征土壤中粒子的扩散，自由溶液中的扩散通常被调整为简化的液相 （用于扩散的一个小的横截面） 和增加了的路径长度。对土壤中扩散的一般处理 可见 olsen 、 Kemper(1968)和 Dye ( 1979)。单位面积土壤的宏观扩散通量可 以写为：
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S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
m s q k ( )( f0 1) z z
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
m s q k ( )( 1) z z
式中 f0 称为选择系数或渗透有效系数。 ∴严格地讲，土壤水分运动和溶质运移是耦 合的。但为了实际应用方便，在 f0 0时，常 独立求解，即先解水分运动方程，将渗流场代 入溶质运移方程，然后求解溶质分布。
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
● 溶质运移基本方程
● 土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移现象（十分复杂） 土壤水携带着溶质一起运移→对流
溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运 移→分子扩散 溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙→ 次小→小，不断被分散并占有越来越大的渗流 区，且每个细孔中运动速度的大小和方向均不 同（→机械弥散）。
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
1）自由水中：分子扩散通量 c （在自由水中） 0 J d D0
z
式中：D0为溶质在自由水体中的扩散系数
c 2） 土壤溶液中： J d Ds z
通量。
3） Ds 的经验公式：
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散