a3__金融风险的度量__久期、凸性及久期缺口模型

金融风险的度量
——久期、凸性及久期缺口模型
一、久期的概念与推导
1、直观理解 四项投资的现金流（入）如下
t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100 3 100 4 100 5 6 200
100 100
50
100 100
30
100 100
150
100 200
70
100
金融风险管理
赵建群
问题： 如何比较四项投资的风险？
发现：
久期反映了债券价格对市场利率或贴现率变化的敏感程 度
金融风险管理
赵建群
例1：
假定某债券的久期为5年，当市场利率为8%时，该债 券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，该债 券的市场价格将发生怎样的变化？
金融风险管理
赵建群
考察久期公式
D P y P 1 y
当市场利率变化由8%升为9%时，贴现因子（1+y） 的变化比率为(9%-8%)/(1+8%) =0.92593%
4
y)
5
T
CT (1 y)T 1
T
t 1
tCt ((1 y)t1
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dP
P' ( y)
•
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
•
dy
T t 1
tCt (1 y)t
•
dy (1 y)
T
P
Ct
t1 (1 y)t
T t 1
tCt (1 y)t
T t 1
tCt (1 y)t
P
Байду номын сангаас
•
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Excel演示
略
综合上述
久期只是一个经验性、粗略性标识指标
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练习
请对 D 、 2 D
T
T 2
做出分析
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三、久期应用的缺陷
如果不同期限的贴现率不同，则久期的衡量精度下降 如果贴现率（或者说市场基准利率）变化幅度比较大，
则久期的衡量精度下降
D* 1 dP P dy
显然
D D* (1 y)
dP D*dy P
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例2
假定某债券的修正久期为5年，当市场利率为8%时， 该债券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%， 该债券的市场价格将发生怎样的变化？
金融风险管理
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考察 dP D*dy P
有： 市场利率绝对上升量为1%，因此债券的市场价格将
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将 T 以 i 表示 然后对 i 求导 ——情况比较复杂，应该根据 P 和 F 之间的关系进
行讨论 故课本上的结论有误（见P64结论2）
（进一步的讨论留做课后思考题）
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⑤
D 0 y
?
分析：
D
1 (1 y)
1 (1 y)
2 (1 y)2
1 (1 y)2
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
时间跨度相同 各期流量不同
金融风险管理
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t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
时间跨度不同 各期流量不同
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二、久期的性质
①息票债券的久期一般小于债券的到期期限
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
1a1 2a2 TaT a1 a2 aT
T
?
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②零息债券的久期是其到期期限
D
T tCt t1 (1 y)t T Ct
T
•
CT (1 y)T
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④
D 0
?
i
分析：
如果债券价值被认为是可以变化的；假定各期的息票利 率同等变动，则显然，该变化对久期无影响（相当于各 期的权未变
T tCt
tFi
D
t 1 T
(1 y)t Ct
T
t 1
(1 y)t T Fi
t1 (1 y)t
t1 (1 y)t
暗含假定：T、y与i均无关 金融风险管理
2 (1 y )2T 1
2
2
T
1 2
2t
Ct
t1 (1 y )2t1
2
2
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T
dP P' ( y) • dy
tCt
T
• dy
tCt • dy
t1 (1 y )2t1
t1 (1 y )2t (1 y )
2
2
2
2
2
T
tCt
t1 2
(1
y )2t 2
P
•
P• (1
CT
t1 (1 y)t
(1 y)T
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③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期
T tCt
T tFi
D
t1 (1 y)t T Ct
t1 (1 y)t T Fi
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
令
1 a 1 1 y
则有
金融风险管理
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lim
D
lim
1 (1 y)
降低1%×5=5% 因此债券的市场价格将降为120×(1-5%)=144元
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5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
金融风险管理
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P
C0.5 1 y
C1 (1 y )2
C1.5 (1 y )3
C2 (1 y )4
CT 0.5 CT (1 y )2T 1 (1 y )2T
P (1
•
dy y)
T
t 1
Ct (1 y)t
•
P • dy (1 y)
D • Pdy 1 y
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其中
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
称为久期
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考察
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
是一个以
Ct (1 y)t
dy y) 2
T t1
2
tCt (1 y )2t
2
T
t1 2
Ct (1 y
2
)2t
•
P• (1
dy y) 2
D
•
Pdy 1 y
2
T
P(y)'
tCt
t1 (1 y )2t1
2
2
T
P
Ct
t1 (1 y )2t
2
2
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T tCt
t0.5 (1 y )2t
D T
2 Ct
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P
T t 1
Ct (1 y)t
Ct F i
a 1 1 y
aT 1 a (1 a)P Fi
T tCt
D t1 (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
D Fi a 2a 2 3a3 TaT P
a aT 1 TaT 1 TaT 2
Fi
(1 a)2 P
(1 a)P TaFi (1 a)PT Ta 2 Fi Ta(1 a)P (1 a)2 P
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2、（利率敏感性）净资产增加量为
(PA
PL )
PA
PL
(DA
PL PA
•
DL
)
•
PA
y 1 y
DG
•
PA
• y 1 y
其中
DG
DA
PL PA
•
DL
为久期缺口
PL 为（利率敏感性）资产负债率 PA
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3、基本结论
由
(
PA
PL
)
DG
•
PA
•
y 1 y
可知：
⑴当 DG 0 ，即资产平均回收期相对较长时，利率 上升将导致净资产价值下降
T
Ct
t1 (1 y )2t
2
2
2
2
2
2
2
2
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P( y)' 1 1 C0.5 2 1 C1 3 1 C1.5 4 1 C2
2 (1 y )2
2 (1 y )3
2 (1 y )4
2 (1 y )5
2
2
2
2
(2T 1) 1 CT 0.5 2T 1 CT
2 (1 y )2T
力争使 DG 0
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五、凸性
1、概念 债券价格变化关于利率变动的更为精确的表达形式
dP P' ( y) • dy 1 P'' ( y) • (dy)2 (0)
2
dP P' ( y) • dy 1 P'' ( y) • (dy)2 2
dP ( 1 dP 1 d 2 P • dy) • P • dy P dy 2P dy 2
T Ct
t1 (1 y)t
对时间 t 的加权和
为权
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或者，可以认为 久期是项目或资产的平均回收期
（基于现金流现值的加权）
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考察
Ct (1 y)t
T Ct
t1 (1 y)t
表示 当期现金流的折现值/总现金流折现值
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3、久期的经济学解释
⑵当 DG 0 ，即负债平均回收期相对较长时，利率上 升将导致净资产价值上升
⑶在利率变化方向不确定的情况下，预防利率风险的比 较好的办法，就是力求使 DG 0
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4、进一步探讨 从久期缺口角度，为了防止利率风险，可行操作包括： 调整利率敏感性资产负债比 调整利率敏感性资产的久期 调整利率敏感性负债的久期
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如果债券价值是不变的，在此前提下假定息票利率的变 化，则意味着总的时长发生变化，于是有以下分析
虽然此时Fi已经被消掉，但是，T却成为i的函数
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令
Ct F i
a 1 1 y
T
P
Ct
t1 (1 y)t
a aT 1
Fi
P
1 a
aT 1 a (1 a)P Fi
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金融风险管理
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在贴现率发生较小变化的情况下，根据Taylor展开式， 可得
dP P' ( y) • dy
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P
C1 1 y
C2 (1 y)2
C3 (1 y)3
C4 (1 y)4
CT (1 y)T
P( y)'
C1 (1 y)2
2
(1
C
2
y)
3
3
(1
C3 y)
4
4
(1
C
T (1 y)T
1 (1 y)T
直观分析
y 1 1 y
1 1 1 1
1 y (1 y)2 (1 y)3
(1 y)T
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进一步的讨论：
令时间连续，且
a 1 1 y
则
T xa xdx
D t0
T a x dx
t0
令 u(x) x v(x) a x
ln a
D T t0 与 y 无关
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于是有
Ct F i
CT F (1 i)
P
T t 1
Ct (1 y)t
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或者 公允价值核算的直观表达：
P
C1 1 y
C2 (1 y)2
C3 (1 y)3
C4 (1 y)4
CT (1 y)T
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问题：
市场利率的变化对债券价格 P 有怎样的影响？
（为了克服上面的第二种缺陷，引入凸性）
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四、久期缺口模型
1、利率敏感性（资产、负债）价值变化与久期
令利率敏感性资产价值为 PA ，
则有
PA PA
DA
y 1 y
其中 DA 为资产的久期
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令利率敏感性负债价值为 PL ，
则有
PL PL
y DL 1 y
其中 DL 为负债的久期
t0.5 (1 y )2t
2
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D dP P
dy 1 y
2
D D* (1 y ) 2
D* 1 dP P dy
dP D*dy P
金融风险管理
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6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
T
1 a
at
Ct
ta (1 y )at
D T
a Ct
t1 (1 y )at
a
a
金融风险管理
将
dP D • Pdy 1 y
变形得 D dP dy P 1 y
或者取其离散形式 D P y
P 1 y
（之所以采用 ≈ ，是因为 dP 的推导采取的是Taylor一阶近似，当 利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
金融风险管理
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考察 D dP dy
P 1 y
或者
D P y P 1 y
所以 该债券的市场价格将 下降
0.92593%×5=4.62963% 即下降为120×(1-0.462963%)=114.44444元
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4、修正久期 定义修正久期：
D* 1 dP P dy
——反映收益率曲线 y 平移一单位引起债券价格变化
的百分比
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比较 D dP dy P 1 y
金融风险管理
赵建群
t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
100 100
30
100 180
150
100 120
70
100
90
总量相同 分量不同
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t
A
B
C
D
1 100
100 100
200
2 100
100
40
50
3 100 4 100 5 6 200
2 (1 y)2
T (1 y)T
T
T
1 (1 y)
1 (1 y)2
1 (1 y)T
lim
T
a
2a2 a
3a3 a2 aT
Ta
T
a (T 1)aT 1 TaT 2
lim T
(1 a)2 a aT 1
(1 a)
lim
T
a a
(Ta T a2 (a
1)aT 1 1)aT 1
1 1 y 1a y
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赵建群
思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？
——久期
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2、久期的推导Ⅰ：利息支付采取一年一次方式 假定某息票债券的基本信息如下：
面值 F 息票率 i 到期日 T
t 第 期末的现金流 Ct
贴现率（即市场基准利率） y