数学---福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高二下学期期末联考(理)

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福建省晋江市安溪一中养正中学惠安一中泉州实验中学四校高二下学期期末考试数学理试题缺答案

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2017 级高二下学期期末考联考试卷
考试科目：理科数学满分：150 分考试时间：120 分钟
命题者：苏灿强审核者：周彩瑛、连春蔚、刘彬辉
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程
为 y = 0.7x + 0.35 ，则下列结论错误的是
A. 线性回归直线一定过点 (4.5,3.5) B. t 的取值必定是 3.15
C. 产品的生产能耗与产量呈正相关 D. A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7
A． a b c
B． c b a
C． b c a
D． b a c
4. 设随机变量 X 服从正态分布 N(4, 2 ) ，若 P( X m) = 0.4 ，则 P( X 8 − m) =
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．与的值有关
5. 如表提供了某厂节能降耗改造后,在生产 A 产品过程中记录的产量 x 吨与相应的生产能耗 y 吨
BD 的斜率之和 kAD + kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
20．（12 分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10 天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元．分别记录其 10 天内的销售件数，得到如下频数表：

2017年福建省泉州市养正中学、惠安一中联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016-2017学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}2．（5分）已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣1或﹣D．24．（5分）角α的终边过函数y=log a（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4 D．55．（5分）函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．68．（5分）使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．9．（5分）已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）=（）A．B．﹣1 C．D．111．（5分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m 在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．14．（5分）多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．15．（5分）已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0，）恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2）p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．19．（12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=，（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．[坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，∴∁M N={0}．故选：C．2．（5分）已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【解答】解：当x＞1时，，∴p：∀x＞1，为假命题；对于q，当x＜3时，x3＜3x；当x=3时，x3=3x；当x＞3时，x3＜3x ．∴命题q：∃x∈R，x3＞3x为假命题，则￢q为真命题．∴p∨（￢q）为真命题．故选：B．3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣1或﹣D．2【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得4=f（1﹣b），当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，故选：A．4．（5分）角α的终边过函数y=log a（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4 D．5【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα==，cosα==，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．5．（5分）函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）2=﹣xsin（x2）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除BC，当x=时，f（）=sin，∵0＜＜π，∴sin＞0，∴f（）＞0，故排除D，故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．（5分）使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．【解答】解：要使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，只需要满足ωx=2，∵0≤x≤1，∴．∴ω的最小值为．故选：A．9．（5分）已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，因为E、F分别为AB、AD的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD，所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，因为三棱锥A﹣BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，在等边三角形ABC中，因为F为AD的中点，所以CF为边AD上的高，所以CF=同理∴CF=CE=在三角形CEF中：cos∠CEF==．所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为．故选：B．10．（5分）=（）A．B．﹣1 C．D．1【解答】解：==2•=2sin30°=1，故选：D．11．（5分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=．①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，f′（x）=lnx+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；故当x=时，函数f（x）取最小值﹣+m，又由f（e）=e+m，f（）=﹣+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（﹣+m），解得：m∈，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．14．（5分）多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）cm3．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：cm315．（5分）已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．【解答】解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，∴f（x）在R上是增函数，∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，∴a+b=2．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0，）恒成立，则实数m的取值范围为[﹣，+∞）．【解答】解：由f（x）=sinx﹣x可知，f（x）定义域为R，且为奇函数；∵f'（x）=cosx﹣1≤0，则f（x）在R上单调递减；f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0 即：f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）；根据函数单调性有：cos2θ+2msinθ＜2m+2 ①；sinθ=t∈（0，1），1﹣t＞0，①式则：1﹣t2+2mt＜2m+2；⇒﹣1﹣t2＜2m（1﹣t）；⇒m＞=﹣[（1﹣t）+﹣2]∵u=（1﹣t）+﹣2 在（0，1）上单调递减，u（0）=1∴m ﹣故答案为：[﹣，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2）p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解答】解∵不等式x2﹣x+（m﹣m2）＜0⇒（x﹣m）•[x﹣（1﹣m）]＜0…（2分）（1）当时，m＜1﹣m，∴集合B={x|m＜x＜1﹣m}．…（4分）（2）依题意得B⊊A，…（5分）∵A={x|﹣1≤x≤2}，①当m＜时，B={x|m＜x＜1﹣m}，此时；…（7分）②当m=时，B=∅，有B⊊A成立；…（9分）③当m＞时，B={x|1﹣m＜x＜m}，此时；…（11分）综上所述，m的取值范围是﹣1≤m≤2…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．∴周期T=，由=，可得ω=2．∴f（x）=2sin（4x﹣），∴f（）=2sin（4×﹣）=2sin=1…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x﹣），则g（x）=2sin（4x+4m﹣），∵（，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，∴2sin（4×+4m﹣）=0，解得：4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，当k=1时，m取得最小值…10分本题此时g（x）=2sin（4x+），由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z…12分19．（12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=，（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【解答】解：（1）当t=20时，f（t）=240，则有240=20k+400；解得，k=﹣8；当0＜t≤10时，f（t）=﹣t2+26t+80是单调递增的，且f（10）=240；当10＜t≤20时，f（t）=240；当20＜t≤40时，f（t）=﹣8t+400是单调递减的，且f（20）=240；故讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；（2）由f（t）=﹣t2+26t+80=185解得，t=5或t=21（舍去）；由f（t）=﹣8t+400=185解得，t=26.875；故学生的注意力至少达到185的时间有26.875﹣5=21.875＜24；故老师不能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1）设平面PCD的法向量是…（3分）…（4分）又…（5分）（2）解：由点N是线段CD上的一点，可设…（7分）平面PAB的一个法向量为设MN与平面PAB成θ角，则…（8分）令1+λ=t∈[1，2]当…（11分）∴当点N是线段CD上靠近点C的三等分点时，MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值为．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+，则f'（1）=a+1，f（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1），代入（2，3），得3=1+a，即a=2；（2）存在k=1符合题意，证明如下：令，当x∈（0，1]时，φ（x）＜0，φ（2）=＞，∴φ（1）φ（2）＜0．可得∃x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，φ′（x）=lnx++，当x∈（1，2）时，φ′（x）＞1+＞0；当x∈[2，+∞）时，φ′（x）=lnx++＞0．即x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0．φ（x）在（1，+∞）上单调递增．可得φ（x）=0在（1，2）有唯一实根．∴存在k=1使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点；（3）∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，则m≤h max（x）．由（2）知，函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点x0 ．当x∈（0，x0）时，f（x）＜g（x），x∈（x0，+∞）时，f（x）＞g（x），∴h（x）=，当x∈（0，x0]时，若x∈（0，1]，h（x）=f（x）≤0，若x∈（1，x0]，h′（x）=lnx+＞0，h（x）在（1，x0]上单调递增，∴0＜h（x）≤h（x0），当x∈（x0，+∞）时，h′（x）=，可得x∈（x0，2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．∴x∈（x0，+∞）时，h（x）≤h（2）=，且h（x0）＜h（2）．可得．∴时，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立．[坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1），消去参数可得x﹣y=1直线l的极坐标方程为…．（3分）由．得ρcos2θ=sinθ⇒ρ2cos2θ=ρsinθ得y=x2（x≠0）…..（5分）（2）设P（x0，y0），则点P到直线l的距离为当…..（8分）当P 到直线l 的距离最小，最小…．（10分）[不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0．（Ⅰ）证明f （x ）+f （﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a |+|﹣﹣a | =|x ﹣a |+|+a |≥|（x ﹣a ）+（+a ）|=|x +|=|x |+≥2=2．（Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a |+|2x ﹣a |，a ＜0．当x ≤a 时，f （x ）=a ﹣x +a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a +a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x时，f （x ）=x ﹣a +2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞），不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0，则a 的取值范围是（﹣1，0）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用(原卷版)

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。

有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法。

是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。

分类讨论思想在数学问题具有明显的。

逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。

解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。

也是高考常考查的知识点。

【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。

若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。

这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。

【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】（202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。

2024届福建省四校联考高三下学期返校考数学试题及答案

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考考试科目：数学满分： 150分考试时间：120分钟第Ι卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =( )A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,42.若复数a +3i2+i是纯虚数，则实数a =( )A.-23B.23C.-32D.323.在△ABC 中，D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ,M 是线段AD 的中点，设BM=xAB +yAC ，则( )A.x -y =-12B.x +y =-12C.x -y =12D.x +y =124.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L =L 0D GG 0，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为( )(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.11B.22C.227D.4815.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点为F 1、F 2,P 为椭圆C 上一点，∠PF 1F 2=π3，则△PF 1F 2的面积为( )A.3B.1C.3D.236.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =2A ，a ，b ，c 成等差数列，则cosC =( )．A.18B.34C.-12D.457.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右顶点为A 、B ，点P 、Q 均在C 上，且关于x 轴对称.若直线AP 、BQ 的斜率之积为-14，则该双曲线的离心率为( )A.72B.62C.52D.28.已知正数a ,b ,c 满足e a =b =lnc ,e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( )A.a +c <2bB.a +c >2bC.ac <b 2D.ac >b 2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知A ，B 是直线y =32与函数f x =sin ωx +π6ω>0 图象的两个相邻交点，若|AB |=π6，则ω的值可能是( )A.2B.4C.8D.1010.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，则( )A.存在唯一点P ，使得D 1P ⊥B 1CB.存在唯一点P ，使得直线D 1P 与平面ABCD 所成的角取到最小值C.若DP =12DB ，则三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8πD.若异面直线D 1P 与A 1B 所成的角为π4，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分11.学校食堂每天中午都会提供A ，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此反复.记某同学第n 天选择A 套餐的概率为A n ，选择B 套餐的概率为B n .一个月(30天)后，记甲､乙､丙三位同学选择B 套餐的人数为X ，则下列说法中正确的是( )A.A n +B n =1 B.数列A n -25是等比数列C.E X =1.5D.P X =1 ≈36125第ΙΙ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置.12.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b,圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为.（只需写出一个满足条件的实数即可）13.梯形ABCD中，AD⎳BC，AB⊥AD，AD=AB=1，BC=2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为.14.若过点(1,0)可以作曲线y=ln(x+a)的两条切线，则实数a的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：AB⊥AD，AD∥BC．(1)要经过平面CC1D1D内的一点P和棱BB1将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？(借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明)(2)若AD=AB=2，BC=AA1=1，当点P在点C处时，求直线AP与平面CC1D1D所成角的正弦值．16.（15分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X．(1)若该质点共移动2次，位于原点O的概率.(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望．17.（15分）有n 2n ≥4 个正数，排成n 行n 列的数表：a 11a 12a 13a 14...a 1n a 21a 22a 23a 24...a 2n a 31a 32a 33a 34...a 3n a 41a 42a 43a 44...a 4n ..................a n1a n2a n3a n4...a nn,其中a ij 表示位于第i 行，第j 列的数.数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等.已知a 24=1，a 42=18，a 43=316.(1)求公比.(2)求a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn .18.（17分）已知抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点P (4,4).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程.(2)设O 为原点，直线y =kx +2与抛物线C 交于M ,N （异于P )两点,过点M 垂直于x轴的直线交直线OP 于点T ，点H 满足MT =TH.证明:直线HN 过定点.19.（17分）已知函数f (x )=exlnx ，g (x )=x -1e2-1．(1)证明：对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)若关于x 的方程f (x )=m 有两个不等实根x 1，x 2，证明：1+m <|x 2-x 1|<21+m ．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年春高三返校联考数学参考答案题号123456答案A C BDAA题号7891011答案CBAD BCDABD1.答案:A解析：由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .2.答案：C解析：a +3i 2+i =(a +3i )(2-i )5=2a +3+(6-a )i 5，则2a +3=0，有a =-32.3.答案：B解析：因为D 是线段BC 上一点，满足BD =2DC ，所以AD =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，又M 是线段AD 的中点，所以AM =12AD =16AB +13AC，所以BM =BA +AM =-AB +16AB +13AC =-56AB +13AC，所以x =-56,y =13，故x +y =-12.4.答案：D解析：由于L =L 0D G G 0，所以L =0.5×D G 22，依题意0.45=0.5×D 2222⇒D =910，则L =0.5×910G22，由L =0.5×910 G 22<0.05得910 G 22<110，lg 910 G 22<lg 110,G 22lg 910<-1，G ⋅lg9-lg10 <-22，G ⋅lg10-lg9 >22,G >22lg10-lg9，G >221-2lg3=221-2×0.4771=220.0458≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.5.答案：A解析：P 为短轴上的顶点.6.答案：A解析：因为C =2A ，所以B =π-3A ．又因为a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ．根据正弦定理可得：2sinB =sinA +sinC ，即2sin 3A =sinA +sinC ，展开得：2sin2AcosA +2cos2AsinA =sinA +sinC ，进一步得：sin2A 2cosA -1 =sinA 1-2cos2A ，因为sinA ≠0，可得8cos 2A -2cosA -3=0，又易知A 为锐角，所以cosA =34，则cosC =2×34 2-1=18，故A 正确.7.答案：C解析：设P (x 1,y 1),Q (x 1,-y 1),则y 1x 1+a ∙-y 1x 1-a =-14,-y 12x 12-a 2=-14,b 2a 2=14,e =52.8.答案：B解析：由题设a >0，则b >1，且a =lnb ,c =e b ，则a +c =lnb +e b ，令f (x )=lnx +e x -2x 且x >1，故f (x )=1x+e x -2，令g (x )=1x +e x -2，则g (x )=e x -1x2在(1,+∞)上递增，故g (x )>g (1)=e -1>0，所以g (x )=f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -1>0，所以f (x )在(1,+∞)上递增，故f (x )>f (1)=e -2>0，即lnx +e x >2x 在(1,+∞)上恒成立，故a +c >2b ，A 错，B 对；对于ac ,b 2的大小关系，令h (x )=e x lnx -x 2且x >1，而h (1)=-1<0，h (e )=e e -e 2>0，显然h (x )在(1,+∞)上函数符号有正有负，故e x lnx ,x 2的大小在x ∈(1,+∞)上不确定，即ac ,b 2的大小在b ∈(1,+∞)上不确定，所以C 、D 错.9.答案：AD解析：设函数f (x )的最小正周期为T,则AB =16T 或者AB =56T ，即2π6ω=π6或10π6ω=π6，解得ω=2或ω=10，10.答案：BCD解析：对于A 选项：正方形BCC 1B 1中，有BC 1⊥B 1C ，正方体中有AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，AB ⊥B 1C ，又BC 1∩AB =B ，BC 1,AB ⊂平面ABC 1D 1，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，只要D 1P ⊂平面ABC 1D 1，就有D 1P ⊥B 1C ，P 在线段AB 上，有无数个点，A 选项错误；对于B 选项：D 1D ⊥平面ABCD ，直线D 1P 与平面ABCD 所成的角为∠D 1PD ，D 1D =2，∠D 1PD 取到最小值时，PD 最大，此时点P 与点B 重合，B 选项正确；对于C 选项：若DP =12DB，则P 为DB 中点，△PBC 为等腰直角三角形，外接圆半径为12BC =1，三棱锥P -BB 1C 外接球的球心到平面PBC 的距离为12BB 1=1，则外接球的半径为2，所以三棱锥P -BB 1C 外接球的表面积为8π，C 选项正确；对于D 选项：以D 为原点，DA ,DC ,DD 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 10,0,2 ，A 12,0,2 ，B 2,2,0 ，P x ,y ,0 0≤x ≤2,0≤y ≤2 ，则有D 1P =x ,y ,-2 ，A 1B =0,2,-2 ，有cosD 1P ,A 1B =D 1P ⋅A 1BD 1P ⋅A 1B=2y +4x 2+y 2+4⋅8=cosπ4=22，化简得x 2=4y ，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确.11.答案：ABD解析：由于每人每次只能选择A ，B 两种套餐中的一种，所以A n +B n =1，所以A 正确，依题意，A n +1=A n ×14+1-A n ×12，则A n +1-25=-14A n -25 n ≥1,n ∈N ，又n =1时，A 1-25=23-25=415，所以数列A n -25 是以415为首项，以-14为公比的等比数列，所以A n -25=415×-14 n -1,A n =25-1615×-14 n ,B n =1-A n =35+1615×-14 n ，当n >30时，B n ≈35，所以X ∼B 3,35,P X =1 =C 13×35×25 2=36125,E X =95，12.答案：符合2<b <32即可13.答案：7π3解析：如下图所示：由题意可知，四边形ABCD 是直角梯形，且AB 为直角腰，AB =AD =1，BC =2.①若以AB 为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为1，几何体的体积为V 1=13π+4π+π⋅4π ⋅1=73π；②若以BC 为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，且圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为1，几何体的体积为V 2=π×12×1+13×π×12×1=43π；③若以AD 为轴旋转一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径与高均为1，几何体的体积为V 3=π×12×2-13×π×12×1=53π.因为V 1>V 3>V 2，因此，分别以AB 、BC 、AD 为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为7π3.14.答案：-1<a <0解析：曲线y =ln (x +a )有渐近线x =-a ，且与x 轴交于点A (1-a ,0).结合图像可知，点(1,0)应位于A 与渐近线之间，故有-a <1<1-a ，解得：-1<a <0.15.解析：(1)过点P 作直线EF ⎳CC 1，分别交CD 、C 1D 1于E 、F ，连接BE 、B 1F.(2)以AA 1、AB 、AD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz.则A 0,0,0 ，D 0，0,2 ，D 11,0,2 ，C 0,2,1 ∴P 0,2,1AP =(0,2,1),CD =(0,-2,1),DD 1=(1,0,0).设平面CC 1D 1D 的法向量为n=x ，y ，z ，则n ⋅CD=-2y +z =0n ⋅DD 1=x =0 ，取n=0，1，2 .设直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角为θ,sinθ=cos n ,AP =n ⋅AP n AP=45，所以直线AP 与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值为45.16.解析：(1)质点移动2次，可能结果共有2×2=4种，若质点位于原点O ，则质点需要向左、右各移动一次，共有C 12=2种，故质点位于原点O 的概率P =24=12.(2)质点每次移动向左或向右，设事件A 为“向右”，则A为“向左”.故P (A )=P (A )=12,设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则Y ∼B 6,12，质点到达的数字X =6-2Y,所以P (X =6)=P (Y =0)=C 06126=164,P (X =4)=P (Y =1)=C 1612 6=332，P (X =2)=P (Y =2)=C 2612 6=1564，P (X =0)=P (Y =3)=C 3612 6=516，P (X =-2)=P (Y =4)=C 4612 6=1564，P (X =-4)=P (Y =5)=C 5612 6=332，P (X =-6)=P (Y =6)=C 6612 6=164，所以X 的分布列为：X -6-4-20246P16433215645161564332164E (X )=E (6-2Y )=-2E (Y )+6=-2×6×12+6=0.17.解析：(1)第4行公差为d =a 43-a 42=116，a 44=a 43+116=14.由已知：a 24⋅q 2=14,所以q =±12.又每个数都是正数，所以q =12.(2)因为a 41=116，所以a 4k 是首项为116，公差为116的等差数列.故a 4k =k16.因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以a nk =a 4k ∙12 n -4=12n⋅k.故a nn =12n⋅n ，设a nn 的前n 项和为S n ,S n =a 11+a 22+⋅⋅⋅+a nn =1×12 1+2×12 2+3×12 2+⋅⋅⋅+n ×12n①,12S n =1×12 2+2×12 3+3×12 4+⋅⋅⋅+n ×12n +1②,①-②得12S n =12 1+12 2+12 3+⋅⋅⋅+12 n -n ×12n +1=121-12n 1-12-n ×12 n +1=1-12n -n 2n +1.所以S n =2-n +22n.18.解析：(1)由已知，16=8p ，所以p =2.抛物线C :y 2=4x ，准线方程为x =-1.(2)由y 2=4x y =kx +2 ，消去x ，得ky 2-4y +8=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则k ≠0，Δ>0，且y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k.直线OP 方程为：y =x .所以T (x 1,x 1).又MT =TH ，则T 为MH 中点，所以H (x 1,2x 1-y 1).所以HN :y -y 22x 1-y 1-y 2=x -x 2x 1-x 2.令y =0,则x =x 2-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1-y 2)-y 2(x 1-x 2)2x 1-y 1-y 2=x 2(2x 1-y 1)-y 2x 12x 1-y 1-y 2.又x 1y 2-x 2(2x 1-y 1)=y 21y 24-y 224y 212-y 1=y 1y 24y 1+y 2-y 1y 22 =y 1y 244k -4k=0.所以直线HN 过定点O.19.解析：(1)令h (x )=f (x )-g (x )=exlnx -x -1e2+1，x ∈(0，1)．则h (x )=e (lnx +1)-2x -1e =elnx -2x +e +2e ，h 1e =0．又当x ∈(0，1)时，h (x )=ex-2>e -2>0，所以h (x )在(0，1)上单调递增．所以当x ∈0，1e 时，h (x )<h 1e =0，当x ∈1e ，1 时，h (x )>h 1e =0．所以h (x )≥h 1e=0．故对任意的x ∈(0，1)，都有f (x )≥g (x )．(2)f (x )=e (lnx +1)，当x ∈0，1e时f (x )<0，f (x )单调递减，当x ∈1e ，+∞ 时f (x )>0，f (x )单调递增．又f 1e=-1，lim x →0f (x )=0，f (1)=0，所以-1<m <0．设函数g (x )的图象与直线y =m 的交点的横坐标分别为x 1和x 2.不妨设x 1<x 2，x 1<x 2，则x 1 <x 1<x 2<x 2，所以|x 2-x 1|<|x 2-x 1|．又方程m =x -1e 2-1可化为x 2-2e x +1e 2-1-m =0,其两根为x 1和x 2，所以x 1+x 2=2e ，x 1x 2=1e2-1-m ．所以|x 2-x 1|=(x 1'+x 2')2-4x 1'x 2'=21+m ．故|x 2-x 1|<21+m ．当x ∈0，1e 时，f (x )=exlnx <-ex ,函数f (x )图像在直线y =-ex 的下方.当x ∈1e ，+∞ 时，令k (x )=(e -1)lnx +1x-1,则k (x )=e -1x -1x 2=(e -1)x -1x 2.所以k(x)在(1e,1e-1)上递减，在(1e-1,1)上递增.又k(1e)=k(1)=0.所以当x∈1e，+∞时，k(x)=(e-1)lnx+1x-1<0.故f(x)=exlnx<ee-1(x-1),函数f(x)图像在直线y=ee-1(x-1)的下方.直线y=m与直线y=-ex的交点横坐标分别为x3，与直线y=ee-1(x-1)交点的横坐标为x4,则x3=-me,x4=m-me+1.所以|x2-x1|>x4-x3=m+1.综上，1+m<|x2-x1|<21+m．·7·。

福建省泉州市安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末联考数

福建省泉州市安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．已知集合02x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}0 2.5B x N x =∈≤<，则A B =I （） A ．{}02x x ≤≤ B ． x 0≤x <2 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．函数()x f x x e =⋅的最小值是（）A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在3．设1F 和2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，若1F ，2F ，()0,2P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为A ．2B ．32C ．52D ．34．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12 B ．24 C ．30 D ．325．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点(),x y ：若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为$$1.8y x a =-+，则据此计算残差为0的样本点是（）A ．()5,9B ．()6.5,8C ．()7,6D ．()8,4 6．羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．457．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的56,女性喜爱足球的人数占女性人数的13,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（）人()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．10B ．11C ．12D ．138．已知函数()()21e ,2x f x a x b a b =--∈R ，若()f x 有两个极值点12x x 、，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,1]B ．C ．(0,3)D ．(1,8)二、多选题9．若函数32()31f x ax x x =+-+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是（） A ．3- B ．1- C ．0 D ．210．已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则下列结论正确的是（）A ．xy 的取值范围是(0,9]B ．x y +的取值范围是[2,3)C ．2x y +的最小值是3D ．4x y +的最小值是311．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n P ，下列说法正确的是（）A ．159P =B ．()1126P X == C ．数列35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 D ．n X 的数学期望()1n E X =三、填空题12．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为． 13．在A ，B ，C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5:6:9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为.14．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln x x x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，59a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设(1)n n n b S =-，求{}n b 前2n 项和2n T ．16．已知函数()e ,0x f x ax a =->，(1)若1a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程：(2)若()20,x f x a x >≤-恒成立，求实数a 的取值范围.17．为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(1)求a 的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本的平均数，经计算知 2.39σ≈．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．设函数32()(1),()f x ax a x x g x kx m =-++=+，其中0,,R a k m ≥∈，若任意[0,1]x ∈均有()()f x g x ≤，则称函数()y g x =是函数()y f x =的控制函数”，且对于所有满足条件的函数()y g x =在x 处取得的最小值记为()f x ．(1)若2,()a g x x ==，试问()y g x =是否为()y f x =的控制函数”；(2)若0a =，使得直线()y h x =是曲线()y f x =在14x =处的切线，证明：函数()y h x =为函数()y f x =的控制函数，并求“14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭”的值； (3)若曲线()y f x =在()00(0,1)x x x =∈处的切线过点(1,0)，且[]0,1c x ∈，证明：当且仅当0c x =或1c =时，()()f c f c =．。

2015-2016年福建省泉州市养正中学、安溪一中、惠安一中联考高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析

（Ⅰ）求曲线 y=g（x）在点 P（1，g（1））处的切线 l．（Ⅱ）是否存在常数 a，使 l 也是曲线 y=f（x）的一条切线．若存在，求 a 的值；若不存在，简要说明理由． 19．（12 分）已知点 P 是⊙O：x2+y2=9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，
第3页（共20页）【精品文档，专属】2015-2016 学年福建省泉州市养正中学、安溪一中、惠安一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）
一．选择题（单选题，每题仅一个答案正确，每题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为 7 人，则样本容量为（ A．7 B．15 C．25 ） D．35
二．填空题（每题 5 分，共 20 分）
第2页（共20页）
13．（5 分）已知向量知 =（0，﹣1，1）， =（4，1，0），|λ + |= 0，则 λ= ．．
，且 λ＞
14．（5 分）函数 y=xlnx 的单调递减区间是
15 ．（5 分）在区间（ 0 ， 1 ）内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率为．
21．（12 分）已知椭圆 C：（1）求椭圆 C 的方程；
+
=1 （a＞b＞0）的离心率为
，且过点（1，
）．
（2）设与圆 O：x2+y2= 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线 l 的方程． 22．（12 分）已知函数 f（x）= （Ⅰ）若函数 y=f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值；（Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求 a 的范围；（Ⅲ）当 x≥2 时，记 g（x）=f（x）+（x﹣a）2+（a﹣x）3﹣3+6ex，若 g（x）≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围．，a∈R．

数学---福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、实验中学联考2016-2017学年高二(下)期末试卷(理)

福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、实验中学联考2016-2017学年高二（下）期末试卷（理）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题仅有一个答案正确）1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）计算定积分（1+）dx=（）A．e﹣1 B．e C．e+1 D．1+3．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A．4 B．10 C．20 D．404．（5分）从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个5．（5分）抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣17．（5分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．8．（5分）函数的图象不可能是（）A．B．C．D．9．（5分）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C． D．10．（5分）将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A．B． C． D．11．（5分）已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S 的值最接近的是（）A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.000212．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（﹣1，0）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[6，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣，+∞）D．[1，+∞）二．填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于．14．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.3，则P（ξ＜2）=．15．（5分）设函数f（x）=x3+x，若0≤θ≤时，f（sinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，s，t 是互不相等的正整数，a1=0，则有（s﹣1）a t﹣（t﹣1）a s=0”类比此命题，补充等比数列{b n}相应的一个正确命题：“若{b n}是等比数列，s，t 是互不相等的正整数，．三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=+2（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18．（12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82819．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，且关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．20．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=alnx﹣x．（I）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（II）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．四、选做题请考生在22题中两小题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（1）选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过点P （3，）且倾斜角为π．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求||•||的值．（2）选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣|+|2x+1|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b满足+=m，且|x﹣2|≤a+2b对任意的正实数a，b恒成立，求x的取值范围．参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题仅有一个答案正确）1．A【解析】∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．2．B【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解析】∵（x+lnx）′=1+，∴定积分（1+）dx==（e+lne）﹣（1+ln1）=e．故选：B．3．C【分析】由条件利用二项展开式的通项公式求得含x3y0的系数，即f（3，0）的值．【解析】∵（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：f（3，0）==20，故选：C．4．A【分析】分类讨论，利用排列、组合知识，即可得出结论．【解析】由题意，0在末位时，组成三位数，其中偶数有=12个；0不在末位时，组成三位数，其中偶数有=18个，∴偶数有12+18=30个，故选：A．5．B【分析】抛掷红、黄两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表黄色骰子，当红色骰子的点数为4或6时有12种，两颗骰子的点数之积大于20的种数有4种，根据概率公式可得．【解析】抛掷红、黄两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表黄色骰子，当红色骰子的点数为4或6时有（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共12种，两颗骰子的点数之积大于20的种数有（4，6），6，4），（6，5），（6，6）4种，根据概率公式得，两颗骰子的点数之积大于20的概率P=．故选：B．6．C【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解析】当n=k时，左端=1++，那么当n=k+1时左端=1++++…+=1+++ +…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．7．C【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得线路不能够正常工作的概率，再用1减去此概率，即得所求．【解析】由题意可得，线路不能够正常工作的概率是（1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，故线路能够正常工作的概率是1﹣0.15=0.85，故选：C．8．D【分析】函数的图象是一个随着a值变化的图，讨论a值的不同取值从而得到不同的图象，从这个方向观察四个图象．【解析】当a＜0时，如取a=﹣1，则f（x）=，其定义域为：x≠±1，它是奇函数，图象是A．故A正确；当a＞0时，如取a=1，则f（x）=，其定义域为：R，它是奇函数，图象是B．故B 正确；当a=0时，则f（x）=，其定义域为：x≠0，它是奇函数，图象是C，C正确；故选D．9．A【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．【解析】对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0=ln2．10．A【分析】首先用分步乘法计数原理，分析可得，将5本不同的书全发给4名同学的情况总数，再根据排列组合公式，可得每名同学至少有一本书的分法数，由概率的计算方法可得答案．【解析】将5本不同的书全发给4名同学共有4×4×4×4×4=45种分法，其中每名同学至少有一本书的分法有C52A44，故每名同学至少有一本书的概率是P=，故选A．【点评】本题考查概率的计算，分析时要结合排列、组合的公式，可以减少计算量．11．C【分析】把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k个的矩形的高为sin ，则S表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义求得y=sinx与x=0、x=所围成的面积为1，可得S的值略大于1，结合所给的选项，得出结论．【解析】把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k高为sin ，则S=•（sin+sin+sin+…+sin）表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义，y=sinx与x=0、x=所围成的面积为=﹣cosx=1，故S的值略大于1，结合所给的选项，故选：C．12．A【分析】由不等式＞1恒成立，可知函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，转化为函数的导数大于1在（0，1）内恒成立，把原函数求导后分离参数a，然后利用二次函数的单调性求y=2x2+3x+1在[0，1]上的最大值，则答案可求．【解析】表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（﹣1，0）内，故p+1 和q+1在区间（0，1）内．∵不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（0，1）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1在（0，1）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（0，1）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在（0，1）上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在[0，1]上取最大值为6，∴a≥6．∴实数a的取值范围为[6，+∞）．故选：A．二．填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题卡相应的位置上）13．0.9【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解析】∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．14．0.7【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（ξ＜0）=P（ξ＞2）=0.3，∴P（ξ＜2）=1﹣0.3=0.7，故答案为：0.715．（﹣∞，1）【分析】利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（sinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为sinθ＞m﹣1恒成立，由0≤θ≤，可求得实数m的取值范围．【解析】∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（sinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（sinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴sinθ＞m﹣1（0≤θ≤）恒成立⇔m＜sinθ+1恒成立，由0≤θ≤知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，故m∈（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．16．b1=1，则有=1【分析】仔细分析题干中给出的不等式的结论“若{a n}是等差数列，且a1=0，s、t是互不相等的正整数，则（s﹣1）a t﹣（t﹣1）a s=0”的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：=1成立．【解析】等差数列中的b n和a m可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的（s﹣1）a t可以类比等比数列中的a t s﹣1，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．等差数列中的“a1=0”可以类比等比数列中的“b1=1”．故=1成立；故答案为：b1=1，则有=1成立．三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）由a1=3，a n+1=+2（n∈N*）可得a2=2+，a3=2+，a4=2+=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想：a n=2+，n∈N*．以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边a1=3，右边2+1=3，符合结论；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时结论成立，即a k=2+，那么，当n=k+1时，a k+1==+2=+2=+2，所以，当n=k+1时猜想也成立；根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N*都成立．18．解：（1）完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100…（3分）≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（6分）（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B（3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…（8分）从而分布列为X 0 1 2 3P．…（10分）E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…（12分）19．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+2ax由题意得f′（2）=0，解得a=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）经检验a=3满足条件﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f（x）=﹣x3+3x2﹣4，则f′（x）=﹣3x2+6x﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）令f′（x）=0，则x=0，x=2（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x ﹣1 （﹣1，0）0 （0，1） 1f′（x）﹣0 +f（x）0 ↘﹣4 ↗﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，∴﹣4＜m≤﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）由题意得，f（x）max＞0即可f（x）=﹣x3+ax2﹣4，f′（x）=﹣3x2+2ax=﹣3x（x﹣a）①若a≤0，则当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．∵f（0）=﹣4＜0∴当x＞0时，f（x）＜﹣4＜0∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）②当a＞0时f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣↘f（x）↗﹣4∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（a）=﹣4由﹣4＞0得a＞3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）综上得a＞3．20．解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.2521．解：（I）∵f（x）=alnx﹣x，∴f（x）定义域是（0，+∞）又f′（x）=﹣1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当a=0时，无零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）当a＜0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数，又f（1）=﹣1当x→0时，f（x）→+∞，所以f（x）有唯一的零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（3）当a＞0时，∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，∴f（a）=alna﹣a＜0，则只要lna﹣1＜0，即lna＜1，∴a＜e而a＞0，∴0＜a＜e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）综上所述：所求a的范围是[0，e）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）证明：f（x）有两个相异的零点，又由于x＞0，故不妨令x1＞x2＞0，且有alnx1=x1，alnx2=x2，a（lnx1+lnx2）=x1+x2，a（lnx1﹣lnx2）=x1﹣x2lnx1+lnx2=（x1+x2），lnx1﹣lnx2=（x1﹣x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）要证x1x2＞e2⇔lnx1x2＞2⇔lnx1+lnx2＞2⇔＞⇔＞⇔lnx1﹣lnx2＞⇔ln＞﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又令t=，则t＞1，故只要证明lnt＞，t＞1时恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即lnt﹣＞0在（1，+∞）恒成立，令h（t）=lnt﹣，则h′（t）=＞0，故h（t）在（0，+∞）递增，h（t）＞h（1）=0，故lnt＞在t＞1时恒成立，从而证明x1x2＞e2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四、选做题请考生在22题中两小题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（1）选修4-4：坐标系与参数方程22．解：（Ⅰ）∵直线l过点P （3，）且倾斜角为π，∴直线l参数方程为，即（t为参数）；由ρ=2sin θ，得，即x2+y2﹣2y=0，化为标准方程得x2+（y﹣）2=5；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0．由于△=（﹣3）2﹣4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，∴，又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得|PA||PB|=|t1t2|=4．（2）选修4-5：不等式选讲23．解：（Ⅰ）由已知得f（x）=|x﹣|+|2x+1|=，可知当x=﹣时，函数f（x）取得最小值m=1．（Ⅱ）由（1）知+=1，∴a+2b=（a+2b）•（+）=5++≥5+4=9，当且仅当a=b=3时取等号，即a+2b的最小值为9．∵|x﹣2|≤a+2b对任意的正实数a，b恒成立，∴|x﹣2|≤9，﹣9≤x﹣2≤9，解得﹣7≤x≤11，故x的范围为{x|﹣7≤x≤11}．。

泉州市安溪一中,惠安一中,养正中学,实验中学2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年秋季高三年期中联考考试科目：数学满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z 满足，则（）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，且，则（）C.1D.24.甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自间一所学校的概率为（）A.B.C.D.5.已知，且，则（）A. B. C.D.6.已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数，则满足的实数的取值范围是（）.A. B. C. D.8.双曲线的左、右焦点分别为，，右支上一点满足{}29200A x x x =-+≤{}2log (3)1B x x =-<A B = (,5)-∞[4,5)(,5]-∞(3,5]2(1i)1i z -=+z =1i-1i --1i +1i-+a b ||2a =|2|2a b -= ()a b a -⊥ ||b = 15251235()sin 404cos50cos 40cos θθ︒-=︒⋅︒⋅ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭θ=π3-π6-π6π3()f x R 0x ≥25,0216()11,22xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩()y f x m =-m 51,4⎛⎫⎪⎝⎭50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -+->m 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭(3,)+∞222:1(0)5x y C a a-=>1F 2F P，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为A ，B ，设O 为坐标原点，则的面积为（）.A. B. C.10D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，且，则下列关系式中一定成立的题（）A.B.C. D.10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.若，则对任意的都有B.若的图象关于直线对称，则C.若在上单调递增，则的取值范围是D.若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象在处的切线方程为B.若在上单调递増，则的取值范围是C.若当时，，则的取值范围是D.若，有唯一管点，且满足，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为_________.13.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，，当取得最小值时，则最大内角的余弦值是_________.12PF PF ⊥l 12F PF ∠1F 2F l OAB △11122ab⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R c ∈11a b>33a b >()()22ln 1ln 1a b +>+22c a c b<π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭2ω=()f x x (π)()f x f x +=()f x π6x =13(N)k k ω=+∈()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()1f x =[0,π]ω115,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭()ln 1f x ax x x =++R a ∈1a =()f x 1x =2y x =()f x (1,)+∞a [1,)-+∞1x >()2()e xf x x-≤a (,2]-∞-0a >()f x 1x 2x 222sin e x x a -=+210x x >>733(1)x x-ABC △2b =cos 2cos 1cos()B B A C +=--2a c +ABC △14.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是_________.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与CB 的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）若点在线段AP 上，且点E 为靠近点A 的三等分点，求直线与平面所成的角的正弦值.16.（15分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________.（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，，求的周长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）17.（15分）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围.18.（17分）已知椭圆，A ，F 分别为椭圆C 的左顶点和右焦点，过F 作斜率不为0的直线l 交椭圆C 于点P ，Q 两点，且，当直线轴时，.()f x =||1xy x =+()00,x y ()()00f f y y =a 111ABC A B C -90ACB ∠=︒13CA CB CC ===D 1BB P 1C D //AP 1A CD E 1A E 1A CD 22cos a b B -=2222sin sin a A B a b c =+-cos cos a B b Ac +=ABC △ABC △ABC △21()ln (1)2f x ax x a x =+-+R a ∈0a >()f x 0a >()()f x g x x=()g x a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>||3AF =l x ⊥||3PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 的斜率分别为，，且，求直线l 的方程；（3）设直线AP 交y 轴于点E ，若过O 点作直线AP 的平行线OM 交椭圆C 于点M，求的最小值.19.（17分）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：.1k 2k 121k k +=||||||AP AE OM +t {}n a 1123(1,N)n n a a a a a t n n +-=≥∈ {}n a ()H t (2)H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log nin n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11a >0t >1e n S n n n t S S -+>--安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年秋季高三年期中联考参考答案一、单选题BCDBAADC 二、多选题（9）AC（10）ACD（11）ACD三、填空题（12）105（13）（14）8.【详解】由双曲线，解得，令直线交的延长线交于，直线交于，则，，由PA 平分，且，得，则，，，显然A ，B 分别为线段，的中点，而O是的中点，于是，，，即，，所以的面积.故选：C 11.【详解】对于A 选项，，，，切线方程为，即，A 选项正确.对于B 选项，若在上单调递增，则对一切都有.[1,e)222:1(0)5x y C a a -=>=220a =1F A 2PF 2PF Q 2F B 1PF N 1PA FQ ⊥2PB F N ⊥12F PF ∠1290F PF ∠=︒112245PFQ PQF PF N PNF ∠=∠=∠=∠=︒1PA PF =2PB PF =2AB PA PB a =-==1FQ 2F N 12F F //OA PQ 1//OB PF 145OAB APQ APF OBA ︒∠=∠==∠=∠90AOB ∠=︒||||||OA OB AB a ===OAB △2211||1022S OA a ===()ln 2f x x ='+(1)2f '=(1)2f =22(1)y x -=-2y x =()f x (1,)+∞(1,)x ∈+∞()(ln 1)10f x a x '=++≥当时，由知满足条件：当时，，，不满足条件.因此的取值范围是，B 选项错误.对于C 选项，当时，等价于.而（用到不等式（））.证明如下：记，则，时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，因此对一切有，即，等号成立当且仅当，结合知因此的取值范围是，C 选项正确.对于D 选项，由知在上单调递增，令得，且在上单调递减，在上单调递增，结合条件知，是的唯一零点，故，则.于是，由在上单调递增，结合，知.这样，由结合在上单调递增（因为，等号成立当且仅当）及知.由在上单调递增，结合知，，即，又在R 上单调递增，故，D 选项正确.14.【详解】由题意可知：，0a ≥ln 0x >0a <11ae >10af e a ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭a [0,)+∞1x >()2()e xf x x -≤()2e 1ln xx x a x x---≤()22ln e 101(2ln 1)12ln ln ln xx x x x x x x x x x x xx x x x-------+--=≥=-e 1x x ≥+x ∈R ()e 1xh x x =--()e 1xh x '=-0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (,0)-∞(0,)+∞x ∈R ()(0)0h x h ≥=e 1xx ≥+2ln 0x x x -=1x >x =a (,2]-∞-0a >()(ln 1)1f x a x '=++(0,)+∞()10f x ''=11ln 1x a -'=--()f x ()10,x '()1,x '+∞()min 1()0f x f x '==1x '()f x 11x x '=()()11111110111f x ax a x ax a x --==--++=-+⇒=11ln 10x x ++=()ln 1m x x x =++(0,)+∞()22e e 10m --=-<()11e e 0m --=>()211e ,e x --∈222sin e 0x x a --=>()sin x x x ϕ=-R ()1cos 0x x ϕ'=-≥2π()x k k =∈Z (0)0ϕ=20x >()()()12e x x xφϕ-=-(0,)+∞()211e ,e x --∈()()()()()1121111211121e e sine e sin 0e x x x x x φϕϕ------=-<--=<=-()()12x x ϕϕ<()x ϕ210x x >>000(1,1)1x y x =∈-+因为曲线上存在点，使得，所以存在，使得成立，且下面证明：成立，假设，则，所以不满足，假设不成立，假设，则，所以不满足，假设不成立，由上可知，；则原问题等价于“在上有解”，即“在上有解”，设，，所以，令，则，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以的值域为，即为，所以，四、解答题15.（1）连接交于点，连接MD ，如下所示：因为是直三棱柱，故可得是矩形，故为的中点，又是的中点，所以，又，，，||1xy x =+()00,x y ()()00f f y y =0[0,1)y ∈()00f y y =()f x =()00f y y =()00f y c y =>()()()0()f f y f c f y c y =>=>()()0f f y y =()00f y c y =<()()()0()f f y f c f y c y=<=<()()0ff y y =()00f y y =()f x x =[0,1]2x a e x x =+-[0,1)2()e xg x x x =+-[0,1)x ∈()e 12x g x x '=+-()()s x g x '=()e 2xs x '=-()0s x '=ln 2x =[0,ln 2)x ∈()0s x '<()g x '(ln 2,1)x ∈()0s x '>()g x 'm 2()(ln 2)12ln 232ln 20g x g e ''≥=+-=->()g x [0,1)()g x ()())0,1g g ⎡⎣[1,)e [1,)a e ∈1AC 1AC M 111ABC A B C -11AC CA M 1AC D 1B B 1B D BD =11B DC BDP ∠=∠ 1190C B D PBD ∠=∠=︒11B P DC D B ∴≌△△，即是的中点，故在中，M ，D 分别为，的中点，故可得，又平面，平面，故面.（2）因为是直三棱柱，故可得平面，又，平面，则，，又，故，综上可得，，两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系；则，，，，，，,由（1）知，故，则；则，，，.设平面的一个法向量为，故可得，即，不妨取，则.又，则点的坐标为，则，又设直线与平面所成的角为，故可得，所以直线与平面.1C D PD ∴=D 1C P 1C AP △1C A 1C P //MD AP MD ⊂1ACD AP ⊂1ACD //AP 1ACD 111ABC A B C -1C C ⊥ABC CA CB ⊂ABC 1CC CA ⊥1CC CB ⊥90ACB ∠=︒CA CB ⊥1CC CA CB C (0,0,0)C 1(0,0,3)C (3,0,0)A 1(3,0,3)A (0,3,0)B 1(0,3,3)B 30,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭11BP C B =6CP =(0,6,0)P 1(3,0,3)CA = 30,3,2CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11(3,0,0)AC =- 130,3,2C D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1ACD (,,)m x y z =100m CA m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0102x z y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩2z =-(2,1,2)m =- 1(1,2,0)3AE AP ==- E (2,2,0)1(1,2,3)A E =--1A E 1ACD θ111sin cos ,A E m A E m A E mθ⋅====1A E 1ACD（公式没加绝对值扣1分，结论没写不扣分）16.【详解】（1）选①，因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，即，且，所以.选②，在中，由正弦定理得.因为，所以，化简得.在中，由余弦定理得.又因为，所以.选③由及，有，又由正弦定理，有，有，有，又由，可得.22cos a b c B -=22cos a b c B -=2sin sin 2sin cos A B C B -=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-=2cos sin sin 0C B B -=(0,π)B ∈sin 0B ≠2cos 10C -=1cos 2C =(0,π)C ∈3C π=2222sin sin a Aa b c B=+-ABC △sin sin A aB b=2222sin sin a A a b c B =+-2222a a abc b =+-222a b c ab +-=ABC △2221cos 22a b c C ab +-==0πC <<π3C =222cos 2a b cC ab+-=cos cos a B b A c +=cos cos a B b A c +=sin cos sin cos sin A B B A C +=sin()sin A B C +=sin sin C C =tan C =(0,π)C ∈π3C =（2）因为AB 边上的高为1，，得由（1）知，所以，得，由余弦定理得，即，得，所以，即，所以，所以，即的周长为17.【详解】（1）当时，的定义域为，，当时，恒成立，在上为增函数；当时，，，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，,单调递减区间为，当时，，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递堿区间为.综上所述，当时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，ABC △112c ⨯=c =π3C =11sin 22ab C ab ==43ab =2222cos c a b ab C =+-22241232a b =+-⨯⨯2283a b +=2288162333a b ab ++=+=216()3a b +=a b +=a b c ++==ABC △0a >()f x (0,)+∞()1(1)(1)(1)ax x f x ax a x x--'=+-+=1a =()2(1)0x f x x-'=≥()f x (0,)+∞1a >101a <<()1(1)a x x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=10x a <<1x >()0f x '>11x a<<()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭01a <<11a >01x <<1x a >()0f x '>11x a<<()0f x '<()f x (0,1)1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭11,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a =()f x (0,)+∞1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，（2）因为，所以，若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点，即至少有两个不同实数根，记，则，当时，，当时，，所以在时，取得极大值，又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0，所以，的图象如图所示，由图可知，当，即时，有两个变号零点，且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为.18.【详解】（1）设椭圆右焦点，，则①，由，得②，直线轴时，P ，Q 两点横坐标为，将代入椭圆方程中，解得，所以③，联立①②③解得，，，椭圆的标准方程为.01a <<()f x (0,1)1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1ln ()(1)2f x x g x ax a x x ==+-+()211ln 2xg x a x-'=+()g x ()g x '2ln 112x a x -=2ln 1()x h x x-=332ln ()xh x x -'=320e x <<()0h x '>32e x >()0h x '<()h x 32e x =333i12(e)e 2eh -==x ()h x -∞x +∞()h x ()h x 31022ea <<30e a -<<()g x '()g x a ()30,e -(,0)F c 0c >222a b c =+||3AF =3a c +=l x ⊥c x c =22221x y a b +=2b y a =±22||3b PQ a ==24a =23b =21c =C 22143x y +=（2）①，显然，直线PQ不与轴垂直，可设PQ的方程为，联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，显然，所以由韦达定理得，所以，即，所以直线方程为.（3）依题意直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为：，则直线OM的方程为.联立直线AP与椭圆C的方程可得：，由，可得，联立直线OM与椭圆C的方程可得：，即，即即的最小值为.19.【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，(1,0)F y1x my=+22143x y+=x()2234690m y my++-=()11,P x y()22,Q x y0∆>122122634934my ymy ym⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()1212121212212121212231223339my y y yy y y yk kx x my my m y y m y y+++=+=+==+++++++1m=-l1y x=-+(2)y k x=+y kx=()2222341616120k x k x k+++-=2Ax=-226834Pkxk-=+()2234120k x+-=221234Mxk=+202P A E A PM MAP AE x x x x xOM x x+-+-+++====+≥==k=||||||AP AEOM+()H t2t=11232n na a a a a+-=212a a-=3212a a a-=43211013552a a a a-=-⨯⨯=-≠所以1，3，5，10，152不是“数列”.（2）由是首项为2的“数列”，则，，由是等比数列，设公比为，由，则，两式作差可得，即，由是“数列”，则，对于，恒成立，所以，即对于，恒成立，则，即，解得，，，又由，，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是“数列”，即，对于，恒成立，因为，，则，再结合，，，反复利用，可得对于任意的，，，则，即，则，即，，…，，(2)H {}n a ()H t 22a t =+334a t =+{}n b q 212321log nl n ni a a a a a b ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1n ≥n ∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+1212(1)log log n n n t a t b b +++=+-1n ≥n ∈N 2232(1)log (1)log t a t q t a t q +-=⎧⎨+-=⎩22(1)(2)log (1)(34)log t t t q t t t q ++-=⎧⎨++-=⎩1t =-2q =12a =21121log a a b =+14b =12n n b +=1t =-{}n b 12n n b +=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+(1,)+∞(1)ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1n ≥n ∈N 11a >0t >211a a t =+>11a >0t >21a >1123n n a a a a a t +=+ 1n ≥N n ∈1n a >()(1)0n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-11ln 1a a <-22ln 1a a <-ln 1n n a a <-相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =(0,)x ∈+∞12e n S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。

福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高一数学下学期期末联考试题

福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）2017-2018学年高一数学下学期期末联考试题满分 150分考试时间 120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．0sin 585的值为AB ． CD ．2．已知{}n a 为等差数列，1236a a a ++=，则2a 等于 A ．2B ．52C ．3D ．43．设,,a b c ∈R ，若a b >，则下列关系中正确的是 A ．ac bc >B ．11a b<C ．22a b >D ．33a b >4．已知向量1(,sin )2α=a ，(sin ,1)α=b ，若//a b ，则锐角α为 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．在ABC ∆中，BD 是AC 边上的中线，O 为BD 的中点，若AB =a ，AC =b ，则AO 等于A ．1122+a bB ．1142+a bC ．1124+a bD ．1144+a b 6．不等式1021x x +≤-的解集为 A ．1[1,)2- B ．1[1,]2-C ．1(,1](,)2-∞-+∞D ．1(,1][,)2-∞-+∞7．已知2tan =α，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A ．0B ．34C ．1D ．548．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别可以是A ．1,3π B ．21,3π- C ．22,3πD ．2,3π-9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于 A ．32-B ．32C ．64-D ．6410．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润3万元，每吨乙产品可获得利润2万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润为 A ．12万元B ．13万元C ．17万元D ．27万元11．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23sin ab A=，224a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为 A ．43B ．23C ．13D ．1612．将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间[0,]4π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5(,)126ππ--上，则ϕ的取值范围是 A ．(,]64ππB ．(,)62ππC ．(,]124ππD ．(,)122ππ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)

2015-2016学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.）1．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（）A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnxC．∃x0＞0，x0＞lnx0D．∃x0＞0，x0≤lnx02．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.93．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．5．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃100只小鼠进行试验，得到如表列联表：参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”6．已知f（n）=+++…+，则（）A．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了1项B．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k+1项C．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了k项D．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k项7．设a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．128．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．75399．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．10．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）A．18 B．108 C．216 D．43211．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞） C．（1，]D．（1，]12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置13．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=．14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．15．数式1+中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=．16．已知f（x）=（2x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，则C a2+C a3+C a4+…+C a10=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利（1）求X＞Y的概率；（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．21．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.）1．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（）A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnxC．∃x0＞0，x0＞lnx0D．∃x0＞0，x0≤lnx0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：x0≤lnx0故选：D．2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【考点】条件概率与独立事件．【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值．【解答】解：设第一个路口遇到红灯概率为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，则P（A）=0.5，P（AB）=0.4，则P（B丨A）==0.8，故答案选：C．3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：7＜k＜10，故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；则两球颜色为一白一黑的概率P==；故选B．5．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃100只小鼠进行试验，得到如表列联表：参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”【考点】独立性检验的应用．【分析】计算观测值，与题目中的观测值表进行比较，即可得出预测结论．【解答】解：由题意算得，k2=≈4.762＞3.841，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故选：A．6．已知f（n）=+++…+，则（）A．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了1项B．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k+1项C．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了k项D．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k项【考点】归纳推理．【分析】当n=2时，f（2）=++；f（k+1）﹣f（k）=+…+，由此可得结论．【解答】解：当n=2时，f（2）=++；f（k+1）﹣f（k）=+…+，多了（k+1）2﹣k2﹣1=2k，故选：D．7．设a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【考点】整除的基本性质．【分析】把532016=（52+1）2016按照二项式定理展开，再根据（52+1）2016+a能被13整除，求得a的值．【解答】解：∵a∈Z，且0＜a＜13，∵532016+a=（52+1）2016+a=•522016+•522015+…+•52+1+a 能被13整除，∴最后2项的和能被13整除，即1+a能被13整除，故a=12，故选：D．8．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P （0＜X ≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P （0＜X ≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6857，故选：B ．9．曲线y=和x 2+y 2=2及x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先求出曲线的交点，S 阴影=S 扇形0AC ﹣S 三角形OBA +S 曲多边形OBA ，分别求出其面积，问题得以解决．【解答】解：曲线y=和x 2+y 2=2及x 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示由，解得x=1，y=1，即A （1，1），B （1，0），因为S 曲多边形OBA =dx=|=，S 三角形OBA =×1×1=，S 扇形0AC =π×2=，∴S 阴影=S 扇形0AC ﹣S 三角形OBA +S 曲多边形OBA =﹣+=+，故选：C ．10．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）A．18 B．108 C．216 D．432【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，第二步，将2、4、6排成一排，第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，由排列组合公式，易得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，共C32A22种方法；第二步，将2、4、6排成一排，共A33种方法；第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共A42种方法．综上共有C32A22A33A42=3×2×6×12=432；故选D．11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞） C．（1，]D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故选：C．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置13．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；【解答】解：三人中由一人或两人达标，其概率为1﹣﹣=，故答案为：．15．数式1+中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=2．【考点】类比推理．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，2=m2，即2+m=m2，解得，m=2（﹣1舍去）．故答案为：2．16．已知f（x）=（2x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，则C a2+C a3+C a4+…+C a10=180．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据f（x）的展开式，求出a2、a3、a4、…、a10的值，再计算C a2+C a3+C a4+…+C a10的值．【解答】解：f（x）=（2x﹣1）10=（1﹣2x）10=1﹣2x+22x2﹣…+（﹣1）r•2r••x r+…+210•x10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，∴C a2+C a3+C a4+…+C a10=•22•﹣•23•+•24•﹣…+•210•=180﹣2880+20160﹣80640+201600﹣322560+322560﹣184320+46080=180．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求线性回归直线方程为…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）…L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）…x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减…所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO⊥平面ABCD即可．（2）设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，可得和夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）设O是BD的中点，连接AO，∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，∴PB=PD=2，又BO=OD，∴PO⊥BD．∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．∴OB=．在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，在Rt△ABD中，AO==．在△PAO中，PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．又∵BD∩AF=O，∴PO⊥平面ABCD．∵PO⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），C（1，3，0），P（0，0，）则，．设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，又，则，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利（1）求X＞Y的概率；（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）X＞Y的所有情况有x=1.2，y=1.1，y=0.6，由此能求出X＞Y的概率P（X＞Y）．（2）求出随机变量X的分布列和EX及随机变量Y的分布列EY，由EX＞EY，且X＞Y的概率与X＜Y的概率相当，得到从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．【解答】解：（1）X＞Y的所有情况有：P（x=1.2，y=1.1）=×=|，P（y=0.6）==，∴X＞Y的概率P（X＞Y）==．…2X1.2 1.0 0.9∴EX==1万元．1.3 1.1 0.6∴EY==0.9万元．…∵EX＞EY，且X＞Y的概率与X＜Y的概率相当，∴从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．…20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB的方程y=k（x﹣1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，，即，∴，则a2=2b2，①把x=1代入，得y=，则，②联立①②得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），联立，得（1+2k2）y2+2ky﹣k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，③由|MA|=λ|MB|，得，∴（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），则﹣y1=λy2，④把④代入③消去y 2得：，当λ∈[，2]时，∈[0，]．解得：．|AB |====．∴弦长|AB |的取值范围为．21．已知函数f （x ）=•e ﹣ax （a ＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f （x ）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f （x ）﹣1=0根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f （x ）﹣1=0得f （x ）=1，求函数的导数f ′（x ），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=•e ﹣2x ．f （）=3e ﹣1，又f ′（x ）=•e ﹣2x ，∴f ′（）=2e ﹣1，故所求切线方程为y ﹣3e ﹣1=2e ﹣1（x ﹣），即y=x +．（Ⅱ）方程f （x ）﹣1=0即f （x ）=1． f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当x ＜﹣1或x ＞1时，易知f （x ）＜0，故方程f （x ）=1无解；故只需考虑﹣1≤x ≤1的情况，f ′（x ）=•e ﹣2x ，当＜a ≤2时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f （0）=1，所以方程f （x ）=1只有一个根0；当a ＞2时，由f ′（x ）=0可得x=±，且0＜＜1，由f ′（x ）＞0可得﹣1≤x ＜﹣或＜x ＜1，由f ′（x ）＜0可得﹣＜x ＜，所以f （x ）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，f （x ）单调减区间为（﹣，），由上可知f （）＜f （0）＜f （﹣），即f （）＜1＜f （﹣），在区间（﹣，）上f （x ）单调递减，且f （0）=1，所以方程f （x ）=1有唯一的根x=0；在区间[﹣1，﹣）上f （x ）单调递增，且f （﹣1）=0＜1，f （﹣）＞1，所以方程f （x ）=1存在唯一的根0在区间（，1）上，由f （）＜1，x →1时，f （x ）→+∞，所以方程f （x ）=1有唯一的根；综上所述：当0＜a ≤2时，方程f （x ）=1有1个根；当a ＞2时，方程f （x ）=1有3个根．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC •BC=2AD •CD ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I ）欲证DE ∥AB ，连接BD ，因为D 为的中点及E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC ，因为AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．【考点】椭圆的参数方程；直线的参数方程．【分析】（Ⅰ）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第I问即可求得．（Ⅱ）直线与曲线交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．【解答】解：（Ⅰ）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得+=1．a=2，b=，c=1，则点F坐标为（﹣1，0）．l是经过点（m，0）的直线，故m=﹣1．…（Ⅱ）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|==．当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（I）当a=2时，f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|），再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式，由此求得不等式的解集．（II）f（x）≤k恒成立，等价于k≥f（x）max，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|）=当x＜﹣4时，不等式不成立；当﹣4≤x≤2时，由﹣4x﹣4＜2，得﹣＜x≤2；当x＞2时，不等式必成立．综上，不等式f（x）＜2的解集为{x|x＞﹣}．…（Ⅱ）因为f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|=12，当且仅当ax≤﹣8时取等号．所以f（x）的最大值为12．故k的取值范围是[12，+∞）．…2016年9月1日。

数学---福建省养正中学、惠安一中、安溪一中2017届高三上学期期中联考(文)

福建省养正中学、惠安一中、安溪一中2017届高三上学期期中联考（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集R =U ，{}{}|30,|1A x x B x x =-<<=<-，则图中阴影部分表示的集合为 ( )（A ）(1,0)- （B ）(3,1)-- （C ）[1,0)- （D ）(,1)-∞- （2）已知R ∈a ，若(1i)(32i)-+a 为纯虚数，则a 的值为 ( ) （A ）32- （B ）32 （C ）23- （D ）23（3）若函数22,0()24,0x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则((1))f f 的值为 ( )（A ）10- （B ）10 （C ）2- （D ）2（4）已知π125α⎛⎫-=⎪⎝⎭sin ，则sin 22sin αα=( ) （A ）51 （B ）552 （C ）51- （D ）552- （5）已知实数,x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )（A ）0 （B ）2（C ）4（D ）6（6）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。

利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。

如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为1.732=，0sin150.2588≈，0sin 7.50.1305≈）( ) （A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2CP PA =，则PAB ∆与PBC ∆的面积之比是( ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（8）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )（A ）3（B ）2（C（D （9）若函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<为偶函数，则函数()f x 的单调增区间是( ) （A ）[,]()2k k k Z πππ+∈ （B ）[,]()2k k k Z πππ-+∈（C ）[2,2]()2k k k Z πππ+∈ （D ）[2,2]()2k k k Z πππ+∈（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）1 （B ）2 （C ）13（D ）23（11）任取[]1,1k ∈-，直线:3l y kx =+与圆()()22:234C x y -+-=相交于,M N 两点，则MN ≥ ( )（A （B ）（C ）23 （D ）12（12）已知0x (002x <<)是函数1()ln 2f x x x =--的一个零点，若0(0,)a x ∈，0(,2)b x ∈，则( )（A ）0)(<a f ，0)(<b f （B ）0)(>a f ，0)(>b f （C ）0)(<a f ，0)(>b f （D ）0)(>a f ，0)(<b f第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

福建省养正中学、惠安一中、安溪一中2017-2018学年高二下学期期末联考数学(文)试题 Word版含答案

养正中学、安溪一中、惠安一中2017-2018学年高二下学期期末考试联考试卷（文科）数学满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4} 2．已知集合A=错误！未找到引用源。

,B={ C 错误！未找到引用源。

},则B 的元素个数为( )A ．2 B3 C4 D53．设m ∈R ，“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 4．实数22.0=a ，2.0log2=b ，2.0)2(=c 的大小关系正确的是( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 5．若x b a x 21log ,2==则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数7．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②c o s y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A．①④③② B ．③④②① C ．④①②③ D ．①④②③ 8．函数)0()(2≠++=a c x b ax x f 有4个单调区间，则c b a ,,满足( )A ．0,042>>-a ac b B ．042>-ac b C ．R c a b ∈>-,02 D ．R c ab ∈<-,02 x9．已知R 上可导函数()f x 的图像如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞10．已知)(x f 是定义在R 上的函数， )(x f '是)(x f 的导函数，若)(1)(x f x f '->，且2)0(=f则不等式1)(+>x x e x f e 的解集为（） A ．),0(+∞ B ． ),1()0,(+∞-∞ C ．),1(+∞- D ．),0()1,(+∞--∞11．已知函数)(x f 对任意R x ∈，都有0)()6(=++x f x f ，)1(-=x f y 的图像关于点()0,1对称，且4)2(=f ，则=)2014(f ()A ．0B ．4-C ．8-D ．16-12．若函数2)(ax e x f x-=有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．),4(+∞e B ． ),2(+∞e C ．)4,1(e D ．)2,1(e二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是_______________________________ 14．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间是_____________15．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围是_______16．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设p ：方程142122=++-m y m x 表示双曲线；q ：R x ∈∃，0)6(232<+++m mx x ．求使“p 且q ”为真时，实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）某区卫生部门成立调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，现对该区六年级800名学生进行检查，可知不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．(1)完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该区学生常吃零食与患龋齿有关系？(2)将4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲负责数据收集，工作人员乙负责数据处理的概率：附：临界值表：19. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个顶点A ，离心率12e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，且与直线4x =相交于点Q .求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N .20．（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值；(3)证明：对∀n ∈N *，不等式n nn n e+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11ln 成立． 22.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222为参数t 。

【精品】2017年福建省安溪一中、泉州实验中学联考高一上学期期末数学试卷

2016-2017学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x2﹣5x+6≤0}，集合B={x|2x＞4}，则集合A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2＜x＜3}2．（5.00分）直线3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0的距离是（）A．B．C．D．3．（5.00分）已知直线l1；2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8 B．2 C．﹣ D．﹣24．（5.00分）已知圆和圆，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切5．（5.00分）幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或16．（5.00分）三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5.00分）关于不同的直线m，n与不同的平面α，β，有下列四个命题：①m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；②m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中正确的命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④8．（5.00分）方程的一个根位于区间（）A． B． C． D．9．（5.00分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是腰长为2的等腰梯形，则该几何体的全面积为（）A． B．C．12D．2410．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），则f （x）在（0，+∞）上有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值B1C1中，AB=BC=2=4，∠ABC=90°，11．（5.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣AE，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为（）A．B． C．D．12．（5.00分）已知函数，其中a∈R，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5.00分）求值：=．14．（5.00分）已知点P在直线上，点Q在圆C：x2+y2+2y=0上，则P、Q两点距离的最小值为．15．（5.00分）长方体的三个相邻面的面积分别为1，2，2，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为．16．（5.00分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），，若对任意的x∈R，都有f（x）＜0或g（x）＜0，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知函数．（1）解方程：f（x）=2；（2）解不等式：f（x）＞1．18．（12.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点，AB=BC．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）平面A1EC⊥平面ACC1A1．19．（12.00分）已知直线l：y=k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=x于点C，（1）若k=3，求的值；（2）若|BC|=2|AC|，求直线l的方程．20．（12.00分）在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，co sβ的值．21．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆．（1）若直线l过点A（﹣1，0），且与圆C1相切，求直线l的方程；（2）设P为直线上的点，满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求满足条件的点P的坐标．22．（12.00分）已知函数：．（1）若a=1，求f（﹣16）+f（﹣15）+f（﹣14）+…+f（17）+f（18）的值；（2）当f（x）的定义域为[a﹣2，a﹣1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）=x2﹣|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．2016-2017学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x2﹣5x+6≤0}，集合B={x|2x＞4}，则集合A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x|2x＞4}={x|x＞2}，∴集合A∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．2．（5.00分）直线3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：3x+4y﹣2=0和直线6x+8y+1=0，即直线6x+8y﹣4=0和直线6x+8y+1=0，结合两平行线间的距离公式得：两条直线的距离是d==，故选：B．3．（5.00分）已知直线l1；2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8 B．2 C．﹣ D．﹣2【解答】解：由题意得，l1：2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，则直线l1的斜率是﹣2，l2的斜率是﹣，∵l1⊥l2，∴（﹣）×（﹣2）=﹣1，解得a=﹣2，故选：D．4．（5.00分）已知圆和圆，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：由于圆，即（x﹣）2+（y﹣2）2=1，表示以C1（，2）为圆心，半径等于1的圆．圆，即x2+（y﹣3）2=9，表示以C2（0，3）为圆心，半径等于3的圆．由于两圆的圆心距等于=2，等于半径之差，故两个圆内切．故选：D．5．（5.00分）幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1【解答】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m=﹣1，故选：B．6．（5.00分）三个数a=0.62，b=ln0.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=ln0.6＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．7．（5.00分）关于不同的直线m，n与不同的平面α，β，有下列四个命题：①m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；②m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中正确的命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：对于①，根据异面直线所成角的概念，m⊥n可按相交垂直分析，又m⊥α，n⊥β，可知α与β所成二面角的平面角为直角，故正确；对于②，m∥n，且m∥α，n∥β，α与β的位置关系可能平行，也可能相交．故错；对于③，若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故③正确；对于④，m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n的位置关系不定，故④错．故选：C．8．（5.00分）方程的一个根位于区间（）A． B． C． D．【解答】解：方程的根，就是f（x）=2x﹣x2﹣的零点，由f（）=﹣﹣≈2.828﹣2.75＞0，f（2）=4﹣4﹣＜0，可知f（）f（2）＜0．故选：B．9．（5.00分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是腰长为2的等腰梯形，则该几何体的全面积为（）A． B．C．12D．24【解答】解：由三视图判断几何体为直四棱柱，其直观图如图：其底面为等腰梯形，由侧视图知梯形的高为，由正视图知棱柱的高为4，侧面积s1=（4+2+2+2）×4=40，底面积s2=（4+2）××=3．该几何体的全面积为40+6．故选：A．10．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），则f （x）在（0，+∞）上有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值【解答】解：f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），可知函数的对称轴为：x=，最小值为：，奇函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，为：．故选：B．B1C1中，AB=BC=2=4，∠ABC=90°，11．（5.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣AE，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为（）A．B． C．D．【解答】解：题中E、F分别在AA1、C1B1上，所以“展开”后的图形中必须有AA1、C1B1；故“展开”方式有以下四种：（ⅰ）沿CC1将面ACC1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图1，求得：EF2=4+18=22；（ⅱ）沿BB1将面ABB1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图2，求得：EF2=8+16=24；（ⅲ）沿A1B1将面ABB1A1和面A1B1C1展开至同一平面，如图3，求得：EF2=4+18=22；（ⅳ）沿A1C1将面ACC1A1和面A1C1B1展开至同一平面，如图4，求得：EF2=18；比较可得（ⅳ）情况下，EF的值最小；故EF的最小值为3．故选：C．12．（5.00分）已知函数，其中a∈R，若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当x＜0时，f（x）=（x+a）2﹣a2﹣（a﹣2）2，∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且﹣（a﹣2）2=﹣k，即k=（a﹣2）2．∴﹣a≥0，即a≤0．∴当a=0时，k取得最小值4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5.00分）求值：=．【解答】解：=（）﹣1+==．故答案为：．14．（5.00分）已知点P在直线上，点Q在圆C：x2+y2+2y=0上，则P、Q两点距离的最小值为．【解答】解：∵C：x2+y2+2y=0的圆心（0，﹣1）到直线x﹣y+2=0的距离：d==，∴由题意知|PQ|的最小值为：d﹣r=﹣1=．故答案为．15．（5.00分）长方体的三个相邻面的面积分别为1，2，2，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为．【解答】解：设长方体的三度为：a，b，c，由题意可知：ab=1，bc=2，ac=2，所以a=1，b=1，c=2，所以长方体的对角线的长为：，所以球的半径为：．这个球的体积为故答案为：π．16．（5.00分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），，若对任意的x∈R，都有f（x）＜0或g（x）＜0，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣）．【解答】解：∵当x＜﹣1时，g（x）=2x﹣＜0，若使对任意实数x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则在[﹣1，+∞）上，f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0恒成立．∴①当m=0时，f（x）=0，不成立；②当m＜0时，f（x）＜0即为（x﹣2m）（x+m+3）＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，则2m＜﹣1，﹣m﹣3＜﹣1，且（﹣1﹣2m）（﹣1+m+3）＞0，解得﹣2＜m＜﹣；③当m＞0时，f（x）＜0即为（x﹣2m）（x+m+3）＜0在[﹣1，+∞）上恒成立，由于2m＞0，﹣m﹣3＜0，可得﹣m﹣3＜x＜2m，f（x）＜0，则f（x）＜0在[﹣1，+∞）上不恒成立．综上可得m的范围是（﹣2，﹣）．故答案为：（﹣2，﹣）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知函数．（1）解方程：f（x）=2；（2）解不等式：f（x）＞1．【解答】解：（1）当x＜1时，f（x）=2﹣x2﹣x=2，解得x=﹣1…（2分）当x＞1时，f（x）=log3xlog3x=2，解得x=9…（4分）方程f（x）=2的解为x=1或x=9…（5分）（2）当x＜1时，f（x）=2﹣x，2﹣x＞1，解得﹣x＞0，即x＜0…（7分）当x＞1时，f（x）=log3x，log3x＞1，解得x＞3…（9分）不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜0或x＞3}…（10分）18．（12.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点，AB=BC．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）平面A1EC⊥平面ACC1A1．【解答】解：（1）连结AC1，交A1C点O，连DO，则O是AC1的中点，因为D是AB的中点，故OD∥BC1…（2分）因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD…（3分）所以BC1∥平面A1CD…（4分）（2）取AC的中点F，连结EO，OF，FB，因为O是AC1的中点，故OF∥AA1且AA1…（5分）显然BE∥AA1且AA1所以OF∥BE且OF=BE…（6分）则四边形BEOF是平行四边形…（7分）所以EO∥BF…（8分）因为AB=BC所以BF⊥AC…（9分）又BF⊥CC1所以直线BF⊥平面ACC1A1…（10分）因为EO∥BF所以直线EO⊥平面ACC1A1…（11分）所以平面A 1EC⊥平面ACC1A1…（12分）19．（12.00分）已知直线l：y=k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=x于点C，（1）若k=3，求的值；（2）若|BC|=2|AC|，求直线l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程为y=3（x﹣1）．令y=0，得A（1，0）．…（1分），令x=0，得B（0，﹣3）．…（2分）由得…（3分）…（5分）（2）直线l的方程为y=k（x﹣1）．令y=0，得A（1，0）．令x=0，得B（0，﹣k）．…（6分）由得…（7分）若|BC|=2|AC|，则|x B﹣x C|=2|x A﹣x C|…（8分）∴…（9分）∴解得k=±2…（11分）∴所求直线l的方程为：2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）20．（12.00分）在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．【解答】解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD，显然所以三角形SDM是等边三角形…（2分）所以异面直线SM与AC成60°角…（4分）（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，因为SM⊥BC，AM⊥BC所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO所以SO⊥平面ABC则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM…（6分）因为SA⊥SB，SA⊥SC所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM，…（8分）因为SM⊥BC，AM⊥BC则二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA…（10分），…（12分）21．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆．（1）若直线l过点A（﹣1，0），且与圆C1相切，求直线l的方程；（2）设P为直线上的点，满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）设直线l的方程为：y=k（x+1），即kx﹣y+k=0…（1分）圆心C1到直线l的距离d=2，…（2分）结合点到直线距离公式，得，…（3分）求得…（4分）由于直线x=﹣1与圆C1相切．…（5分）所以直线l的方程为：x=﹣1或，即x=﹣1或3x﹣4y+3=0…（6分）（2）设点P坐标为，直线l1、l2的方程分别为：，即…（7分）因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等，所以圆心C1到直线l1与圆心C2直线l2的距离相等．故有，…（9分）化简得…（11分）关于k的方程有无穷多解，有所以点P坐标为，经检验点满足题目条件．…（12分）22．（12.00分）已知函数：．（1）若a=1，求f（﹣16）+f（﹣15）+f（﹣14）+…+f（17）+f（18）的值；（2）当f（x）的定义域为[a﹣2，a﹣1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）=x2﹣|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．【解答】解：（1）=2，…（2分）f（﹣16）+f（﹣15）+f（﹣14）+…+f（17）+f（18）=35，…（3分）（2）证明：，易知f（x）在[a﹣2，a﹣1]上单调递减，…（4分）f（a﹣1）≤f（x）≤f（a﹣2），…（5分）即，∴．…（6分）（3）解：g（x）=x2﹣|x+1﹣a|（x≠a），①当，如果即时，则函数在[a﹣1，a）和（a，+∞）上单调递增…（7分）如果，当时，g（x）最小值不存在．…（8分）②当，如果，…（9分）如果上为减函数，，…（10分）当，，…（11分）综合得：当a＜1且时，g（x）最小值是，当a≥1时，g（x）最小值为，当时，g（x）最小值不存在．…（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

福建省安溪一中、养正中学、惠安一中-高一数学上学期期末联考试题新人教A版

养正中学、惠安一中、安溪一中高一上学期期末联考数学试题（考试时间120分钟，满分150分）参考公式：,31,42Sh V R S ==锥体球π 第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|3A x =-≤x ≤0},}{2,1,1,2B =--,则A ∩B=（）A ．{-1,-2}B ．［-3,0］C ．［0,2］D ．{-3,-1} 2.直线053=+-y x 的倾斜角是()A ．60°B 、120°C 、 30°D 、150° 3. 函数2()lg(21)5x f x x -=+++的定义域为（） A ．(－5，＋∞) B ．［－5，＋∞) C ．(－5，0) D ．(－2，0) 4. 方程lg 3xx =-的解所在区间为（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.求过两直线02=+-y x 与04=-+y x 交点且与062=-+y x 平行的直线的方程为（） A. 072=-+y x B ．032=+-y x C ．032=++y x D ．052=-+y x6. 函数y =|2x－2|的图象是( )7.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( )A.0B.1C.0或1D.0或1- 8.圆1)3(22=-+y x 上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为（） A.2 B.1 C.3 D.49．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（） A ．433π B ．π322 C ．π D ． π3211.圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100,lg )(x x x x x f 若c b a ,,互不相等，且c b a c f b f a f ⋅⋅==则)()()(的取值范围为（）A ．)12,10(B ．)12,9(C ．)10,0(D ．),12(+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.已知函数()f x 是定义在[3,0)(0,3]-上的奇函数，当x >0时()f x 的图象如右所示，那么()f x 的值域是 .14．若直线12:310:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=与平行，则12l l 与距离为 .15、一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是3cm ，母线长是5cm ，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的表面积是 .16.如图，设平面EF =βα αα⊥⊥CD AB ,垂足分别为B ，D ，且AB CD ≠．如果增加一个条件就能推出EF BD ⊥，给出四个条件：正视俯视侧视1o . x . . 3y 。

福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版

2019-2019学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1. （ 5分）设集合M={ （x , y ） |y=lg 马,N={x| y=lgx}，则在下列结论中正确的是（）A . M n N M ? B. M n N=? C. M U N=ND . M U N=M 【分析】由题意，M 为点集，N 为数集，即可得出结论. 【解答】解：由题意，M 为点集，N 为数集，所以M n N=?. 故选：B.【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，比较基础. 2.（ 5分）已知复数H 的实部和虚部相等，贝U |z|=（）A . 2 B. 3 C. ' ~D.7【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z ,再结合已知条件求出b 的值，根据复数求模公式计算得答案.故选：D .【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题. 3. （ 5 分）设 x >0,且 1v b x v a x ，贝U （）A . 0v b v a v 1 B. O v a v b v 1 C. 1v b v a D. 1v a v b 【分析】利用指数函数的性质，结合x >0,即可得到结论. 【解答】解：：1v b x ,.・.b O v b x , •/ x >0,二 b > 1v b x v a x ,.・.'■/ x > 0,.-i (3-bi) -i 2=-b-*3i•••复数.一 3—bi「I 、的实部和虚部相等, 【解答】解:3-bi， ba> b二 1 v b v a故选：C.【点评】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题.4. （5分）若函数y=log a x （a>0,且a M 1）的图象如图所示，贝U下列函数图象C【分析】由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3, 1）,故有仁Iog a3,解得a=3,选项A, y=a「x=3「x=（）x单调递减，故错误；选项B, y=x3,由幕函数的知识可知正确；选项C, y= （- x）3=-x3,其图象应与B关于x轴对称，故错误;选项D, y=log a （- x）=Iog3 （- x）,当x=- 3 时，y=1,但图象明显当x=-3时，y=- 1,故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幕函数的图象，属基础题.5. （5分）已知双曲线的渐近线方程为y=丄丄'「，贝U双曲线的离心率（）A. ,B.「C.：或 B ：或二2 2【分析】设双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程为，可得它的渐近线方程是y二亠丄-，结合题意解出b=2a,再得出此双曲线的离心率.然后求解双曲线的焦点在y 轴上时的离心率即可.【解答】解：•••双曲线的焦点在x轴上，2 2设双曲线的方程为一—-:，（a>0，b>0）a2 b2可得双曲线的渐近线方程是y=厂xa结合题意双曲线的渐近线方程是y=±三X，：2b=a,可得c= j = a因此，此双曲线的离心率e=^=.a 2当双曲线的焦点在y轴上，2 2•••设双曲线的方程为-=二v「，（a>0，b>0）且蓝b蓝可得双曲线的渐近线方程是y=丨”xb结合题意双曲线的渐近线方程是y=±二X，：. b=2a,可得c= — j = ! a 因此，此双曲线的离心率e= = !.自故选：C.【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基本知识的考查.6. （5分）函数f （x）=ln （x2- 2x- 8）的单调递增区间是（）A.（-x，—2）B.（-x，—1）C.（1，+x）D.（4，+x）【分析】由x2- 2x- 8>0 得：x€（— x，—2）U（4，+^），令t=x2- 2x- 8, 则y=lnt，结合复合函数单调性同增异减”的原则，可得答案.【解答】解：由x2- 2x- 8> 0 得：x€（-x，- 2）U（4，+^），令t=x2- 2x- 8,贝U y=lnt，■/ x€（— x,- 2）时，t=x2- 2x- 8 为减函数；x€（4, +x）时，t=x2- 2x- 8 为增函数；y=lnt为增函数，故函数f (x) =ln (x2- 2x- 8)的单调递增区间是(4, +^),故选：D.【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档.7. ( 5分)已知a€ R,若：「• -一广在区间(0, 1)上有且只有一个极值x点，则a的取值范围是( )A. a v0B. a>0C. a< 1D. a>0【分析】求出函数的导数，问题转化为f'( x) =0在(0，1)上有且只有一个零点，根据零点定理判断即可.【解答】解：f'(x) =一 (ax2+x- 1)，x若f (乂)在(0，1)上有且只有一个极值点，则f'( x) =0在(0，1) 上有且只有一个零点，显然r > 0，X问题转化为g (x) =ax2+x- 1在(0，1 )上有且只有一个零点，f-l<0故g (0) ?g( 1)v 0,即..，解得：a>0,故选：B.【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题. 8. ( 5 分)已知函数f (x) =x3+sinx, x€ (- 1, 1)，则满足f (a2- 1) +f (a-1)> 0的a的取值范围是( )A.( 0, 2)B.( 1, 7)C. ( 1, 2)D.( 0,=)【分析】在区间(-1, 1 )上，由f (- x) =- f (x)、f' (x)>0可知函数f (x) 是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围，进而选出答案. 【解答】解：•••函数 f (x) =x3+sinx, x€ (- 1, 1), 则f (- x) =- f (x),： f (x)在区间(-1, 1)上是奇函数；又 f' (x ) =3x 2+cosx >0,.°. f (x )在区间(-1, 1) 上单调递增；••• f (a 2- 1) +f (a - 1)>0,••• — f (a - 1)v f (a 2 - 1 ),「• f (1-a )v f (a 2 -1),•I * T <界-,求得 1v a v 近，-1故选：B.【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分理解函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键，属于中档题.9. (5分)若不等式x 2+ax+1 >0对于一切x €( 0,］恒成立，贝U a 的最小值是 ( )A . 0 B.- 2 C. - D.- 32【分析】由题意可得-a <x+ .对于一切x €(0, J 恒成立.运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令- m 不大于最小值即可.【解答】解：不等式x 2+ax+1 >0对于一切x €( 0, r ］恒成立，由于y=x+的导数为y ' =- _，当0v x v 1时，y'v 0,函数y 递减. 则当xj 时，y 取得最小值且为, 则有-a ；；=，解得a 则a 的最小值为-三故选：C.【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题. 10.( 5分)设方程2x | lnx| =1有两个不等的实根X 1和X 2，则( )A . X 1X 2V 0B . x 〔x 2=1 C. X 1X 2> 1 D . 0v X 1X 2V 1【分析】由题意可得y=| Inx|和y=(三)x 的图象有两个交点，如图可得设 0v X 1 v 1, X 2 > 1,求得In (x i x 2)的范围，即可得到所求范围.x €【解答】解：方程2x| lnx| =1有两个不等的实根x i和X2, 即为y=| lnx|和y=(石)x的图象有两个交点，如图可得设O v x i v 1, X2> 1,1 1r由In (x1x2) =lnx〔+lnx2=—_ + 一2 2由O v x1v 1, x2> 1,可得2x1—2x2v0, 2x1+x2>0,即为ln (X1x2)v 0，即有O v X1X2V1.故选：D.【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法，以及对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题.11. ( 5分)下列命题正确的个数是()①命题? x°€ R, X o2+1>3x o”的否定是？ x€ R, x2+1 <3x”②函数f (x) =coSax—sin2ax的最小正周期为n是“ a=1的必要不充分条件；③X2+2X> ax 在X€ [ 1 , 2]上恒成立？(X2+2X)min >( ax) max在x€ [ 1, 2]上恒成立；④平面向量与「的夹角是钝角”的充分必要条件是“？；v0”A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】(1 )根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；(2)化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；(3)用特例法验证(3)是否正确；(4)根据向量夹角为n时，向量的数量积小于0,来判断(4)是否正确.【解答】解：(1)根据特称命题的否定是全称命题，•••( 1)正确;2 2、 , 丁T(2) f (x) =cos ax —sin ax=cos2ax 最小正周期是可蔔-=n? a=± 1,•( 2)正确;(3)例a=2 时，X2+2X>2X 在X€ [1, 2]上恒成立，而(/+2X)min=3V 2X max=4, •( 3)不正确；(4)：“L一」b ，当0 =时，? v0.4)错误.•••正确的命题是(1)( 2).故选：B.【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题.12. (5 分)已知函数f (x) =x2- x— ' (xv0), g (x) =x2+bx—2 (x>0), b€ R,若f (x)图象上存在A, B两个不同的点与g (x)图象上A', B两点关于y轴对称，贝U b的取值范围为( )A. (—4「-5, +x)B. (4 - —5, +x)C . ( —4 ― —5 , 1 )D.( 4 "-5, 1)【分析】根据题意条件等价为f (- x) =g (乂)在(0, +x)上有两个不同的解，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，禾I」用数形结合进行求解即可得到结论.【解答】解：由题意知，方程f (- x) =g (乂)在(0, +x)上有两个不同的解，即x2+x—' =x2+bx—2,则b=+1 —x+1则 b v 1,2 rF , X P + 2又b= ----------x£+it厂一丈+? 设h(x)=.y +x则h，(x)由h，(x) =0 得x2—2x—1=0 得x=1+「或 1 —「(舍)，当0v x v 1+ —时，h' (x)v 0,函数h (x)递减，当x> 1+ .时，h，(x)> 0,函数h (x)递增，则当x=1+ .时，h (x)取得极小值，L 2 4 L 4 L此时h (1+ ')=K7+1 —百三=2 ( ' -1)+1 -—=2 ' - 2+1 -八.,'=2 ■-2+1 - 2 （2- 7）=4 T-5,•••要使则b=「+1-"在（0, +x）上有两个不同的交点，x x+1则4「-5v b v 1,即a的取值范围是（4 :- 5, 1）故选：D.【点评】本题主要考查函数与方程的应用，考查函数图象的对称变换，函数交点个数及位置的判定，根据条件转化为 f （- x）=g （乂）在（0, +x）上有两个不同的解是解决本题的关键.，综合性强，难度较大.二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13. （5分）曲线y=x2+在点（1, 2）处的切线方程为x-y+仁0 .【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可.【解答】解：曲线y=/+，可得y' =2x ,切线的斜率为：k=2-仁1.切线方程为：y- 2=x- 1,即:x- y+仁0.故答案为：x- y+仁0.【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.14. （5分）已知函数f （x）=］跆和x>i 若f （乂）在（-%, +x）上单a调递增，则实数a的取值范围为2v a w 3 .【分析】让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可r a-2>0【解答】解：：f （x）在（-X, +x）上单调递增.••须2>1 ?.呂J A （a_2）X 1 -12v a w3,故答案为：2v a w 3【点评】分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值.15. (5分)设定义在R上的函数f (x)满足f (x+2) =f (x),且当x€ [0, 2)时，f (x) =2x— x2,则 f (0) +f (1) +f (2) +-+f (4035) = 2019 .【分析】推导出 f (0) =f (2) =f (4) =f (6) =•••=(4034) =0, f (1) =f (3)=f ( 5) =f (5) =••• =f(4035) =2- 1=1，由此能求出f (0) +f (1) +f (2) +-+f (4035)的值.【解答】解：设定义在R上的函数f (x)满足f (x+2) =f (x),且当x€ [0, 2)时，f (x) =2x- x2,/. f (0) =f (2) =f (4) =f (6) =•••=(4034) =0,f (1) =f (3) =f (5) =f (7)=・・・=f(4035) =2- 1=1 ,••• f (0) +f (1) +f (2) +-+f (4035) =2019X 0+2019X 仁2019.故答案为：2019.【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.16. ( 5 分)已知函数f (x) =log2x, g (x) =x2，则函数y=g (f (x))- x零点的个数为 3 .【分析】令log2X=t,将y表示为关于t的函数y=t2- 2f，借助函数图象的交点个数判断.【解答】解：令f (x) =log2X=t,得x=2t,••• y=g (f (x))- x=g (t) - 2t=t2- 2t,令t2- 2t=0 得t=2 或t=4,作出y=t2和y=2t的函数图象，由图象可知t2-2t=0在(-x, 0)上有一解，故方程t2- 2t=0共有3解，又f (x) =log2X是单调函数，••• f (x) =t 有3 解，••• y=g (f (x))- x 有3 个零点.故答案为3.【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题.三、解答题：(本大题共6个小题，共70分)17. ( 12 分)已知函数f (x) =-x3+3x2+9x+a.(1)求f (x)的单调区间；(2)若f (x)在区间［-2, 2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【分析】(1)由已知得f'( x) =- 3x2+6x+9，由此能求出f (x)的单调区间.(2)由f'( x) =-3x2+6x+9=0，得x=- 1或x=3 (舍)，由此利用已知条件能求出它在区间［-2, 2］上的最小值.【解答】解：(1)v f (x) =-x3+3x2+9x+a，/. f'(x) = - 3x2+6x+9，由f' (x)> 0，得-1v x v 3，••• f (x)的单调递增区间为(-1, 3);由 f ' (x)v 0，得x v - 1 或x>3，••• f (x)的单调递减区间为(-x，- 1)，( 3，+x).(2)由 f (x) =-3x2+6x+9=0，得x=- 1 或x=3 (舍)，••• f (- 2) =8+12 - 18+a=2+a，f (- 1) =1+3 - 9+a=a- 5，f (2) =-8+12+18+a=22+a,••• f (x)在区间［-2, 2］上的最大值为20，• 22+a=20,解得a=- 2.•它在该区间上的最小值为 a - 5= - 7.【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.宣+118. ( 12分)已知函数:「….(1)求函数f ( X)的定义域，并判断函数f (x)的奇偶性；(2)对于x€ ［2, 6］,•恒成立，求实数m取值范围.【分析】(1)利用真数大于0,可得函数的定义域，禾I」用奇偶函数的定义，可得函数f (x )的奇偶性；(2)将问题转化为0 v m v( x+1)( 7-x )在x € ［2, 6］成立，利用二次函数的性质，即可求得结论.-x~l x+1 mT聲 T•••:：■■-.' 是奇函数. 分）(2)由x € [2, 6]时,厂汀」「J]..二恒成立，••• x € [2, 6] ,• O v m v(x+1)( 7-x )在 x € [2, 6]成立…(8 分) 令 g (x ) = (x+1)(7-x ) =-(x -3) 2+16, x € [2, 6],由二次函数的性质可知x € [2, 3]时函数单调递增，x € [3, 6]时函数单调递减, • - X € [ 2 , 6]时，g (x ) min =g ( 6) =7 • O v m v 7….(12 分)【点评】本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，禾U 用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质.19. （12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：时间长（小时）[0, 5)[5, 10)[10, 15) [15, 20)[20, 25]女生人数 4 11 3 2 0 男生人数317631（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；（2）时间长为［0, 5）的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为［0,10）被认定不依赖手机", ［10, 25］被认定依赖手机”, 根据以上数据【解答】解： (1)由'■- :■-:，解得 x v- 1 或 X > 1,二定义域为(-o,- 1)x-*lU( 1 , +o) （2分）当 x € (oo1 ) U (1 , + o ) 时完成2 2列联表:男生总计【分析】（1）由加权平均数公式，结合已知数据可得答案; （2）根据已知数据，由古典概型概率计算公式可得答案；（3）根据表中数据，计算K 2的值，与临界值比较后，可得答案. 【解答】（满分12分）解：（1）=匚「 J 「［工“二二 m . >2 二1所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为 9小时. ........ （• 3分）（2）时间长为［0, 5）的有7人，记为A 、B 、C D 、E 、 F 、 G , 其中女生记为A 、B 、C D ,从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有:{A , B} , {A , C} , {A , D} , {A , E} , {A , F}, {A , G}, {B , C},{B, D}, {B , E}, {B , F}, {B , G} , {C , D}, {C , E}, {C , F},｛C, G ｝，｛D , E ｝，｛D , F ｝，｛D , G ｝，｛E , F ｝，｛E, G ｝，｛F ，G ｝共 21 个. 分）设事件M 表示恰有一位女生符合要求的事件有：{A , E}, {A , F} , {A , G} , {B , E}, {B , F} , {B , G} , {C , E}, {C, F}, {C , G} , {D , E} , {D , F} , {D , G}共 12个.19 d所以恰有一个女生的概率为？ T...:.……(7分)(3)不依赖手机依赖手机总计女生15520P (K 2>k 0)0.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k o2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系? （参考公式: 2 ______ ngd-bc) ________ "(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)n=a+b+c+d)……（9分）丫，不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系. （12 分）【点评】本题考查的知识点是平均数的计算，独立性检验，古典概型，难度不大, 属于基础题.20. （ 12分）在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点（1，0）的距离与它到直线x=- 1的距离相等.（I ）求动点E 的轨迹C 的方程；（U ）设动直线I ： y=kx+b 与曲线C 相切于点P ，与直线x=- 1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点.【分析】（I ）设出动点E 的坐标为（x ，y ），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（U ）设出直线I 的方程为：y=kx+b （k M 0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y 的一元二次方程后由判别式等于 0得到k 与b 的关系，求出Q 的坐标，求出切点坐标，再设出M 的坐标，然后由向量亏.己的数量积为0证得答案，并求得M 的坐标.【解答】（I ）解：设动点E 的坐标为（x ，y ），由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以（1，0）为焦点，x=- 1为准线的抛物线, •••动点E 的轨迹C 的方程为：y 2=4x ;（U ）证明：设直线I 的方程为：y=kx+b （k M 0），由" J ，消去 x 得：ky 2- 4y+4b=0.•••直线I 与抛物线相切，二△ =16-16kb=0,即—. •直线I 的方程为y=kx+j . 令x=- 1，得厂-1广+ • Q （- 1，* 〒），（11 分）设切点坐标P (Xo , yo ),则_」1 2解得：P (),k K设 M (m , 0),—b —«■ 19 1 则 ".k 2kk当mh 时，厂.•••以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M (1, 0)【点评】本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了利用向量证明线段的垂直问题，是中档题. 21. ( 12 分)已知函数 f (x ) =x 2- alnx ，a >0 (1)若f (x )在x=1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在区间[1，+x)上的最小值;(3)在(1)的条件下，若h(x ) =x 2-f (x )，求证：当1v x v e 2,恒有x【分析】(1) x >0, f'(x ) =2x^ —,令f'( 1) =0,解得a ,并且验证即可得出. (2)f'(x )== 一二=' • , x >0,对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出极值与最值.(3) 由 h (x ) =x 2 - f (x ),得 h (x ) =2lnx,当 1 v x v e 2 时，0v lnx v 2, 0v h(x ) v 4.欲证 x 〈芋肖马.只需证 x[ 4- h (x) ] v 4+h (x ).即证 h (x ) >~^-, x+1 即Inx > ''.设g (x ) =lnx^ J . x €( 1, e 2).利用导数研究其单调性极x+1x+1值与最值即可得出.【解答】解：(1) x >0, f'(x ) =2x -：令 f (1) =0,解得：a=2,当0v a < 2时，由f ' (x ) =0,得x=三，且* 三w 1,Q+h&)经检验，满足题意，• a=2.当（0,廿|_）时，f （ x ）< 0，f （ X ）单调递减，当卷十8）时，f （ x ）> 0，f （X ）单调递增.• f （X ）在区间［1，+X ）上单调递增，最小值为f （1） =1.）时，f （x ）v 0, f （x ）单调递减，当x€ q 导+8）时，f 气X ）> 0, f （X ）单调递增. ■处取得最小值，^「w -=6综上：当O <a <2时，f （x ）在区间［1，+X ）上的最小值为1 . 当a >2时，函数f (x )在在区间[1, +x)上的最小值为匚-二上吋(3)证明：由 h (x ) =«-f (x ),得 h (x ) =2Inx , 当 1 <x < e 2 时，O < Inx < 2, 0< h (x )< 4. 欲证 x "二二•只需证 x[4 - h (x ) ] < 4+h (x ).即证 h (x )> r 「，即卩 Inx > J 「.x+1 x+1 设 g (x ) =lnx-^"1. x €( 1, e 2). x+1 则 g (X ) =「"〔[—=」>0, xCz+1)• g (X )在区间(1, e 2)上单调递增. • g (x )> g (1) =0,即 Inx —^―>0.•••当 1<X V e 2,恒有 X 」；；：J【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做, 按所做的第一题计分，作答时请写清题号.当a >2时,> 1.函数f （X ）在x=(x+1) 2数)，在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为”：八.：■£-□匚 (1) 求圆C 的直角坐标方程：(2) 设圆C 与直线I 交于点A ，B ,若点P 的坐标为⑶ 妬)，求| PA|+| PE| . 【分析】(1)直接把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.(2)利用直线和圆的位置关系，进一步建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.【解答】解：(1)圆的极坐标方程：.二：.，转化为:丁 |厂［.丁 |.故：L 「" ■ •' I ”” 丨■ J ；： I ….【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用.一元二次方程根与系数的关系的应用. 23 .已知 | X 1 - 2| V 1，| X 2 - 2| V 1. (1) 求证：2V X 1+X 2V 6，|X 1- X 2I V 2(2) 若 f (X ) =X 2 - X +1，求证：| 刘-X 2| V | f (X 1)- f (X 2) | V 5| X 1 - X 2|【分析】(1)利用| X| V a 型绝对值不等式的几何意义可证得 2V X 1+X 2V 6，继而有 | X 1 - X 2| =| (X 1 - 2)-( X 2 - 2) | < | X 1 - 2| + | X 2 - 2|，从而可证得结论；(2)依题意可求得 |f ( X 1)- f (X 2) | =| X 1 - X 2|| X 1+X 2 - 1|，利用(1)的结论即可证得原结论成立.【解答】证明：(1)V |X 1 - 2| V 1，•••- 1V x 1 - 2V 1，即卩 1V X 1V 3，••- (2 分)22. (10分)在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为 V2y=Vs+y-t所以:『】，(t 1和t 2为A 、 (2)将直线的参数方程•(t 为参数)代入圆的直角坐标方程得:B 的参数).(t 为参同理 1 v X2V 3,二2v X i +x2v 6, ••• (4 分)| X i - X2I =| (X i - 2)-( X2 - 2) | < | X i - 2| + | X2 - 2| ,| X i - X2I v 2; ••- (5 分) (2) | f (X i) - f (X2)1=1 ‘-<■■.' - X i +X2| =|X i - X2|| X i +X2 - i| ,…(8 分)■/ 2v X i+X2V 6,• °• i v X i +X2 —i v 5,•••I X i - X2I v |f (X i) - f (X2) | v 5| X i - X2| …(i0 分)【点评】本题考查不等关系与不等式的证明，考查逻辑推理与分析证明的能力，属于难题.第i7页。

福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二(下)年末数学试卷(文科)(解析版

福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二（下）年末数学试卷（文科）（解析版）一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．（5分）设集合M={（x，y）|y=lgx}，N={x|y=lgx}，则在下列结论中正确的是（）A．M∩N≠∅B．M∩N=∅ C．M∪N=N D．M∪N=M【分析】由题意，M为点集，N为数集，即可得出结论．【解答】解：由题意，M为点集，N为数集，因此M∩N=∅．故选：B．【点评】本题考查集合的包含关系判定及应用，比较基础．2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则|z|=（）A．2 B．3 C．D．【分析】直截了当由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再结合已知条件求出b的值，依照复数求模公式运算得答案．【解答】解：，∵复数的实部和虚部相等，∴﹣b=﹣3，即b=3．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）设x＞0，且1＜bx＜ax，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b【分析】利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．【解答】解：∵1＜bx，∴b0＜bx，∵x＞0，∴b＞1∵bx＜ax，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选：C．【点评】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．4．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得a=3，由差不多初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【分析】设双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程为，可得它的渐近线方程是y=，结合题意解出b=2a，再得出此双曲线的离心率．然后求解双曲线的焦点在y轴上时的离心率即可．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于差不多知识的考查．6．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x 2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；y=lnt为增函数，故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．7．（5分）已知a∈R，若在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则a的取值范畴是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a≤1 D．a≥0【分析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）=0在（0，1）上有且只有一个零点，依照零点定理判定即可．【解答】解：f′（x）=（ax2+x﹣1），若f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，则f′（x）=0在（0，1）上有且只有一个零点，明显＞0，问题转化为g（x）=ax2+x﹣1在（0，1）上有且只有一个零点，故g（0）•g（1）＜0，即，解得：a＞0，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，x∈（﹣1，1），则满足f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0的a的取值范畴是（）A．（0，2） B．（1，） C．（1，2）D．（0，）【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣x）=﹣f（x）、f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范畴，进而选出答案．【解答】解：∵函数f（x）=x3+sinx，x∈（﹣1，1），则f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）=3x2+cosx＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分明白得函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键，属于中档题．9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0关于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0 B．﹣2 C．﹣D．﹣3【分析】由题意可得﹣a≤x+关于一切x∈（0，]恒成立．运用函数的导数判定右边的单调性，求得最小值，令﹣m不大于最小值即可．【解答】解：不等式x2+ax+1≥0关于一切x∈（0，]恒成立，即有﹣a≤x+关于一切x∈（0，]恒成立．由于y=x+的导数为y′=1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．则当x=时，y取得最小值且为，则有﹣a，解得a．则a的最小值为﹣．故选：C．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．（5分）设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【分析】由题意可得y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，求得ln（x1x2）的范畴，即可得到所求范畴．【解答】解：方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，即为y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）=lnx1+lnx2=﹣+由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法，以及对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x ∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】（1）依照特称命题的否定是全称命题来判定是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判定；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）依照向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判定（4）是否正确．【解答】解：（1）依照特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min= 3＜2xmax=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．【点评】本题借助考查命题的真假判定，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣（x＜0），g（x）=x2+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f（x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b的取值范畴为（）A．（﹣4﹣5，+∞） B．（4﹣5，+∞） C．（﹣4﹣5，1） D．（4﹣5，1）【分析】依照题意条件等价为f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，即x2+x﹣=x2+bx﹣2，则b=+1﹣则b＜1，又b=，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）=0得x2﹣2x﹣1=0得x=1+或1﹣（舍），当0＜x＜1+时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，当x＞1+时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，则当x=1+时，h（x）取得极小值，现在h（1+）=+1﹣=2（﹣1）+1﹣=2﹣2+1﹣=2﹣2+1﹣2（2﹣）=4﹣5，∴要使则b=+1﹣在（0，+∞）上有两个不同的交点，则4﹣5＜b＜1，即a的取值范畴是（4﹣5，1）故选：D．【点评】本题要紧考查函数与方程的应用，考查函数图象的对称变换，函数交点个数及位置的判定，依照条件转化为f（﹣x）=g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解是解决本题的关键．，综合性强，难度较大．二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．（5分）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及运算能力．14．（5分）已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范畴为2＜a≤3．【分析】让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须⇒2＜a≤3，故答案为：2＜a≤3【点评】分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．15．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x ∈[0，2）时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（4035）= 2021．【分析】推导出f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=…=f（4034）=0，f（1）=f（3）=f（5）=f（5）=…=f（4035）=2﹣1=1，由此能求出f（0）+f（1）+f（2）+…+f（4035）的值．【解答】解：设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=…=f（4034）=0，f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=…=f（4035）=2﹣1=1，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（4035）=2021×0+2021×1=2021．故答案为：2021．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（5分）已知函数f（x）=log2x，g（x）=x2，则函数y=g（f（x））﹣x零点的个数为3．【分析】令log2x=t，将y表示为关于t的函数y=t2﹣2t，借助函数图象的交点个数判定．【解答】解：令f（x）=log2x=t，得x=2t，∴y=g（f（x））﹣x=g（t）﹣2t=t2﹣2t，令t2﹣2t=0得t=2或t=4，作出y=t2和y=2t的函数图象，由图象可知t2﹣2t=0在（﹣∞，0）上有一解，故方程t2﹣2t=0共有3解，又f（x）=log2x是单调函数，∴f（x）=t有3解，∴y=g（f（x））﹣x有3个零点．故答案为3．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【分析】（1）由已知得f′（x）=﹣3x2+6x+9，由此能求出f（x）的单调区间．（2）由f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=﹣1或x=3（舍），由此利用已知条件能求出它在区间[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，3）；由f′（x）＜0，得x＜﹣1或x＞3，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（2）由f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=﹣1或x=3（舍），∵f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（﹣1）=1+3﹣9+a=a﹣5，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，∵f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，∴22+a=20，解得a=﹣2．∴它在该区间上的最小值为a﹣5=﹣7．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）关于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范畴．【分析】（1）利用真数大于0，可得函数的定义域，利用奇偶函数的定义，可得函数f（x）的奇偶性；（2）将问题转化为0＜m＜（x+1）（7﹣x）在x∈[2，6]成立，利用二次函数的性质，即可求得结论．【解答】解：（1）由，解得x＜﹣1或x＞1，∴定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）（2分）当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，∴是奇函数．…．（5分）（2）由x∈[2，6]时，恒成立，∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7﹣x）在x∈[2，6]成立…（8分）令g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，∴x∈[2，6]时，g（x）min=g（6）=7∴0＜m＜7…．（12分）【点评】本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练把握二次函数的性质．19．（12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时刻长，如表：时刻长（小时）[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]女生人数411320男生人数317631（1）求这50名学生本周使用手机的平均时刻长；（2）时刻长为[0，5）的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时刻长为[0，10）被认定“不依靠手机”，[10，25]被认定“依靠手机”，依照以上数据完成2×2列联表：不依靠手机依靠手机总计女生男生总计能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依靠手机有关系？P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，n=a+b+c+d）【分析】（1）由加权平均数公式，结合已知数据可得答案；（2）依照已知数据，由古典概型概率运算公式可得答案；（3）依照表中数据，运算K2的值，与临界值比较后，可得答案．【解答】（满分12分）解：（1），因此，这50名学生本周使用手机的平均时刻长为9小时．…………（3分）（2）时刻长为[0，5）的有7人，记为A、B、C、D、E、F、G，其中女生记为A、B、C、D，从这7名学生中随机抽取两名的差不多事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}共2 1个．……（5分）设事件M表示恰有一位女生符合要求的事件有：{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}共12个．因此恰有一个女生的概率为．……（7分）（3）不依靠手机依靠手机总计女生15520男生201030总计351550……（9分），……（11分）不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依靠手机有关系．……（12分）【点评】本题考查的知识点是平均数的运算，独立性检验，古典概型，难度不大，属于基础题．20．（12分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【分析】（Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直截了当利用抛物线的定义求得抛物线方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．【点评】本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了利用向量证明线段的垂直问题，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx，a＞0（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）在区间[1，+∞）上的最小值；（3）在（1）的条件下，若h（x）=x2﹣f（x），求证：当1＜x＜e2，恒有x．【分析】（1）x＞0，f′（x）=2x﹣，令f′（1）=0，解得a，同时验证即可得出．（2）f′（x）==，x＞0，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出极值与最值．（3）由h（x）=x2﹣f（x），得h（x）=2lnx，当1＜x＜e2时，0＜lnx ＜2，0＜h（x）＜4．欲证x．只需证x[4﹣h（x）]＜4+h（x）．即证h（x）＞，即lnx＞．设g（x）=lnx﹣．x∈（1，e2）．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）x＞0，f′（x）=2x﹣，令f′（1）=0，解得：a=2，经检验，满足题意，∴a=2．（2）∵f′（x）==，x＞0，当0＜a≤2时，由f′（x）=0，得x=，且≤1，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1．当a＞2时，＞1．当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴函数f（x）在x=处取得最小值，=﹣．综上：当0＜a≤2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为1．当a＞2时，函数f（x）在在区间[1，+∞）上的最小值为﹣．（3）证明：由h（x）=x2﹣f（x），得h（x）=2lnx，当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4．欲证x．只需证x[4﹣h（x）]＜4+h（x）．即证h（x）＞，即lnx＞．设g（x）=lnx﹣．x∈（1，e2）．则g′（x）=﹣=＞0，∴g（x）在区间（1，e2）上单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即lnx﹣＞0．故x．∴当1＜x＜e2，恒有x．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与运算能力，属于难题．选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程：（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA| +|PB|．【分析】（1）直截了当把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程．（2）利用直线和圆的位置关系，进一步建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）圆的极坐标方程：，转化为：．即：．（2）将直线的参数方程（t为参数）代入圆的直角坐标方程得：因此：，（t1和t2为A、B的参数）．故：．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．23．已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2（2）若f（x）=x2﹣x+1，求证：|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|【分析】（1）利用|x|＜a型绝对值不等式的几何意义可证得2＜x1+x2＜6，继而有|x1﹣x2|=|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，从而可证得结论；（2）依题意可求得|f（x1）﹣f（x2）|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，利用（1）的结论即可证得原结论成立．【解答】证明：（1）∵|x1﹣2|＜1，∴﹣1＜x1﹣2＜1，即1＜x1＜3，…（2分）同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，…（4分）∵|x1﹣x2|=|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，∴|x1﹣x2|＜2；…（5分）（2）|f（x1）﹣f（x2）|=|﹣﹣x1+x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2﹣1＜5，∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）【点评】本题考查不等关系与不等式的证明，考查逻辑推理与分析证明的能力，属于难题．。

福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高二数学下学期期末联考试题理(202

学年高二数学下学期期末联考试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）2017-2018学年高二数学下学期期末联考试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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—2018学年高二数学下学期期末联考试题理一、选择题:（本大题共12个小题,每个小题5分，共60分） 1．已知复数z 满足）（则=+=-z i z i ,3)2( 10.10.5.5.D C B A2.“3x >且3y >"是“6x y +>"成立的（）A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C. 充要条件 D 。

即不充分也不必要条件3．将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两次点数之和为6点”，事件B 为“两次点数相同”，则概率)/(A B P 的值为( ）51.41.31.21.D C B A 4．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球,则恰好取到2个红球1个白球的概率为（）． A.2435 B 。

1835 C. 1235 D. 6355．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分）的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A 。

400B 。

500C 。

2017-2018学年泉州市泉州实验中学四校联考高二(下)期末数学试卷及答案(文科)

2017-2018学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．（5分）设集合M＝{（x，y）|y＝lgx}，N＝{x|y＝lgx}，则在下列结论中正确的是（）A．M∩N≠∅B．M∩N＝∅C．M∪N＝N D．M∪N＝M 2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则|z|＝（）A．2B．3C．D．3．（5分）设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b4．（5分）若函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y＝，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或6．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）7．（5分）已知a∈R，若在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a≤1D．a≥08．（5分）已知函数f（x）＝x3+sin x，x∈（﹣1，1），则满足f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0的a 的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，）C．（1，2）D．（0，）9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0B．﹣2C．﹣D．﹣310．（5分）设方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，则（）A．x1x2＜0B．x1x2＝1C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1 11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣（x＜0），g（x）＝x2+bx﹣2（x＞0），b∈R，若f （x）图象上存在A，B两个不同的点与g（x）图象上A′，B′两点关于y轴对称，则b 的取值范围为（）A．（﹣4﹣5，+∞）B．（4﹣5，+∞）C．（﹣4﹣5，1）D．（4﹣5，1）二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．（5分）曲线y＝x2+在点（1，2）处的切线方程为．14．（5分）已知函数f（x）＝若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（4035）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝x2，则函数y＝g（f（x））﹣x零点的个数为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范围．19．（12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；（2）时间长为[0，5）的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为[0，10）被认定“不依赖手机”，[10，25]被认定“依赖手机”，根据以上数据完成2×2列联表：能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？（参考公式：，n＝a+b+c+d）20．（12分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx，a＞0（1）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；（2）求f（x）在区间[1，+∞）上的最小值；（3）在（1）的条件下，若h（x）＝x2﹣f（x），求证：当1＜x＜e2，恒有x．选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（1）求圆C的直角坐标方程：（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|P A|+|PB|．23．已知|x1﹣2|＜1，|x2﹣2|＜1．（1）求证：2＜x1+x2＜6，|x1﹣x2|＜2（2）若f（x）＝x2﹣x+1，求证：|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|2017-2018学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【解答】解：由题意，M为点集，N为数集，所以M∩N＝∅．故选：B．【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，比较基础．2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：，∵复数的实部和虚部相等，∴﹣b＝﹣3，即b＝3．∴．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【解答】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选：C．【点评】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．4．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1＝log a3，解得a＝3，选项A，y＝a﹣x＝3﹣x＝（）x单调递减，故错误；选项B，y＝x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y＝（﹣x）3＝﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y＝log a（﹣x）＝log3（﹣x），当x＝﹣3时，y＝1，但图象明显当x＝﹣3时，y＝﹣1，故错误．故选：B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y＝x结合题意双曲线的渐近线方程是y＝±x，∴2b＝a，可得c＝＝a因此，此双曲线的离心率e＝＝．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y＝x结合题意双曲线的渐近线方程是y＝±x，∴b＝2a，可得c＝＝a因此，此双曲线的离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基本知识的考查．6．【考点】3G：复合函数的单调性．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．7．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f′（x）＝（ax2+x﹣1），若f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，则f′（x）＝0在（0，1）上有且只有一个零点，显然＞0，问题转化为g（x）＝ax2+x﹣1在（0，1）上有且只有一个零点，故g（0）•g（1）＜0，即，解得：a＞0，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．8．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：∵函数f（x）＝x3+sin x，x∈（﹣1，1），则f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）在区间（﹣1，1）上是奇函数；又f′（x）＝3x2+cos x＞0，∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增；∵f（a2﹣1）+f（a﹣1）＞0，∴﹣f（a﹣1）＜f（a2﹣1），∴f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∴，求得1＜a＜，故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分理解函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键，属于中档题．9．【考点】6P：不等式恒成立的问题；73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，即有﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．由于y＝x+的导数为y′＝1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．则当x＝时，y取得最小值且为，则有﹣a，解得a．则a的最小值为﹣．故选：C．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，即为y＝|lnx|和y＝（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，由ln（x1x2）＝lnx1+lnx2＝﹣+＝，由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0，即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1．故选：D．【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法，以及对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．11．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，最小正周期是＝π⇒a＝±1，∴（2）正确；（3）例a＝2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min＝3＜2x max＝4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ＝π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．12．【考点】57：函数与方程的综合运用；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）＝g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解，即x2+x﹣＝x2+bx﹣2，则b＝+1﹣则b＜1，又b＝，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＝0得x2﹣2x﹣1＝0得x＝1+或1﹣（舍），当0＜x＜1+时，h′（x）＜0，函数h（x）递减，当x＞1+时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，则当x＝1+时，h（x）取得极小值，此时h（1+）＝+1﹣＝2（﹣1）+1﹣＝2﹣2+1﹣＝2﹣2+1﹣2（2﹣）＝4﹣5，∴要使则b＝+1﹣在（0，+∞）上有两个不同的交点，则4﹣5＜b＜1，即a的取值范围是（4﹣5，1）故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，考查函数图象的对称变换，函数交点个数及位置的判定，根据条件转化为f（﹣x）＝g（x）在（0，+∞）上有两个不同的解是解决本题的关键．，综合性强，难度较大．二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：曲线y＝x2+，可得y′＝2x﹣，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．14．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须⇒2＜a ≤3，故答案为：2＜a≤3【点评】分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．15．【考点】3T：函数的值．【解答】解：设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣x2，∴f（0）＝f（2）＝f（4）＝f（6）＝…＝f（4034）＝0，f（1）＝f（3）＝f（5）＝f（7）＝…＝f（4035）＝2﹣1＝1，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（4035）＝2017×0+2018×1＝2018．故答案为：2018．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：令f（x）＝log2x＝t，得x＝2t，∴y＝g（f（x））﹣x＝g（t）﹣2t＝t2﹣2t，令t2﹣2t＝0得t＝2或t＝4，作出y＝t2和y＝2t的函数图象，由图象可知t2﹣2t＝0在（﹣∞，0）上有一解，故方程t2﹣2t＝0共有3解，又f（x）＝log2x是单调函数，∴f（x）＝t有3解，∴y＝g（f（x））﹣x有3个零点．故答案为3．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x+a，∴f′（x）＝﹣3x2+6x+9，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，3）；由f′（x）＜0，得x＜﹣1或x＞3，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（2）由f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝0，得x＝﹣1或x＝3（舍），∵f（﹣2）＝8+12﹣18+a＝2+a，f（﹣1）＝1+3﹣9+a＝a﹣5，f（2）＝﹣8+12+18+a＝22+a，∵f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，∴22+a＝20，解得a＝﹣2．∴它在该区间上的最小值为a﹣5＝﹣7．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3R：函数恒成立问题；4K：对数函数的定义域．【解答】解：（1）由，解得x＜﹣1或x＞1，∴定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）（2分）当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，∴是奇函数．…．（5分）（2）由x∈[2，6]时，恒成立，∴，∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7﹣x）在x∈[2，6]成立…（8分）令g（x）＝（x+1）（7﹣x）＝﹣（x﹣3）2+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，∴x∈[2，6]时，g（x）min＝g（6）＝7∴0＜m＜7…．（12分）【点评】本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质．19．【考点】BL：独立性检验．【解答】（满分12分）解：（1），所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．…………（3分）（2）时间长为[0，5）的有7人，记为A、B、C、D、E、F、G，其中女生记为A、B、C、D，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}共21个．……（5分）设事件M表示恰有一位女生符合要求的事件有：{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}共12个．所以恰有一个女生的概率为．……（7分）（3）……（9分），……（11分）不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．……（12分）【点评】本题考查的知识点是平均数的计算，独立性检验，古典概型，难度不大，属于基础题．20．【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．【点评】本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了利用向量证明线段的垂直问题，是中档题．21．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）x＞0，f′（x）＝2x﹣，令f′（1）＝0，解得：a＝2，经检验，满足题意，∴a＝2．（2）∵f′（x）＝＝，x＞0，当0＜a≤2时，由f′（x）＝0，得x＝，且≤1，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）＝1．当a＞2时，＞1．当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴函数f（x）在x＝处取得最小值，＝﹣．综上：当0＜a≤2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为1．当a＞2时，函数f（x）在在区间[1，+∞）上的最小值为﹣．（3）证明：由h（x）＝x2﹣f（x），得h（x）＝2lnx，当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4．欲证x．只需证x[4﹣h（x）]＜4+h（x）．即证h（x）＞，即lnx＞．设g（x）＝lnx﹣．x∈（1，e2）．则g′（x）＝﹣＝＞0，∴g（x）在区间（1，e2）上单调递增．∴g（x）＞g（1）＝0，即lnx﹣＞0．故x．∴当1＜x＜e2，恒有x．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）圆的极坐标方程：，转化为：．即：．（2）将直线的参数方程（t为参数）代入圆的直角坐标方程得：，所以：，（t1和t2为A、B的参数）．故：．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．23．【考点】71：不等关系与不等式．【解答】证明：（1）∵|x1﹣2|＜1，∴﹣1＜x1﹣2＜1，即1＜x1＜3，…（2分）同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6，…（4分）∵|x1﹣x2|＝|（x1﹣2）﹣（x2﹣2）|≤|x1﹣2|+|x2﹣2|，∴|x1﹣x2|＜2；…（5分）（2）|f（x1）﹣f（x2）|＝|﹣﹣x1+x2|＝|x1﹣x2||x1+x2﹣1|，…（8分）∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2﹣1＜5，∴|x1﹣x2|＜|f（x1）﹣f（x2）|＜5|x1﹣x2|…（10分）【点评】本题考查不等关系与不等式的证明，考查逻辑推理与分析证明的能力，属于难题．。

2025年福建省实验学校、安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验学校高一(上)期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年福建省泉州市实验学校、安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验学校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.命题“，”的否定是()A.，B.，C.，D.，3.已知，则有()A. B.C. D.4.函数的单调递增区间是()A. B. C. D.5.函数的大致图象是()A. B.C. D.6.已知幂函数是R上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.7.已知，若正实数m，n满足，则的最小值是()A. B. C. D.8.已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若，给出下列不等式正确的是()A. B. C. D.10.已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.11.已知定义在上的函数满足，当时，，且，则()A.B.为奇函数C.在上单调递减D.任意，存在，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数，则______.13.若函数为奇函数，则实数______.14.已知正数a，b，c满足，，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分已知函数的定义域为集合A，集合求集合A；设全集，求，16.本小题15分已知函数用定义证明：函数在上是增函数；解不等式：17.本小题15分某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润M，乙产品的利润N与研发投入单位：万元满足，，设甲产品的投入为单位：万元，两种产品的总收益为单位：万元求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？18.本小题17分已知二次函数满足，且求函数的解析式；解关于x的不等式：若，对于实数m，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的最小值.19.本小题17分已知函数与的定义域均为D，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在D上的“L函数”.若，，，判断函数是否是函数在D上的“L函数”，并说明理由；若函数是函数在D上的“L函数”，求实数m的取值范围；试比较和的大小，并证明：若，，函数是函数在D上的“L函数”，且，则对任意的、都有答案和解析1.【答案】D【解析】解：由可得，，由，则故选：根据一元二次不等式求得解集，表示出集合的元素，利用交集的定义，可得答案．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：命题“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”．故选：利用存在量词命题的否定可得出结论．本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，设，，则，，，，故选：设，，则，由此能求出，本题考查函数的解析式的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由函数，由，整理可得，解得，可知函数的定义域为，令，，由，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为故选：由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案．本题考查复合函数的单调性的判断与求解，是中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的判断，以及函数的奇偶性．利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【解答】解：函数是偶函数，排除选项B，C，当时，，对应点在第四象限，排除A；故选：6.【答案】A【解析】解：是幂函数或；又是偶函数，当时，是偶函数，当时，是奇函数，舍去；故，关于对称，在区间上单调递减，，解得故选：由幂函数列出系数的等式，解方程得m的两个值，由偶函数，确定m的值得到函数，代入得到解析式，由对称轴得出单调区间，列出不等式，求出a的范围．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：因为，所以在R上递增，又，所以是奇函数，因为，所以，则，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是故选：易得在R上递增，且是奇函数，再由，得到，然后利用“1”的代换，用基本不等式求解．本题主要考查分段函数及其应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意得：一元二次方程的两根分别为2，3，所以，问题即转化为对于任意的恒成立，只需，或，解得，或，则实数m的取值范围为故选：由一元二次不等式的解集求出a，利用不等式恒成立得出关于m的不等式组，求出m的范围．本题考查一元二次不等式的解法及其性质，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：由可知，对于A，，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，，，可得，，所以，所以，故C 错误；对于D ，由，两边同时乘以a ，所以，两边同时乘以b ，所以，所以，故D 正确．故选：由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案．本题考查不等式的性质的应用及作差法比较大小，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：当时，方程无实数根，此时，解不等式得或时，，当时，即时，设方程的两根为，，则，，要使，则两根都大于0，所以且，解得或，结合，得到综上，时或对于选项A ：是或的真子集．当时，一定有，但时，a 可能，所以是是真命题的一个充分不必要条件．对于选项B ：与或无包含关系．当时，不成立，所以不是充分条件．对于选项C ：是或的一部分．当时，成立，是充分不必要条件．对于选项D ：或是的充要条件．故选：先分析方程根的情况，求出满足题意的a 值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可．本题主要考查了充分必要条件的综合应用，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A，令，，，因为，解得，故A错误；对于B，由题设有，即，所以为奇函数，故B正确；对于C，令，则，，，当时，，故，，则，所以，可得，则在上单调递减，故C正确；对于D，，由于为奇函数，设，对任意，都有，所以为奇函数，故对任意，存在，使得，，即任意，存在，使得，D正确．故选：运用赋值法，结合函数性质逐项判断即可得．本题主要考查了函数的性质的综合应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，即故答案为：根据函数解析式，利用分段函数求函数值，可得答案．本题考查函数求值，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：因为为奇函数，所以先求出，将x换为，可得而所以展开左边式子展开右边式子则，解得故答案为：根据奇函数的定义，即对于任意实数x，都有根据这个定义列出等式，然后通过化简等式来求解实数a的值．本题主要考查了奇函数定义及性质的应用，属于中档题．14.【答案】【解析】解：，则，当且仅当，即时，等号成立，，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．15.【答案】解：要使函数有意义，应满足，解得，所以的定义域为不等式等价于，解得或，所以或，所以，所以，则【解析】根据具体函数有意义的条件列不等式计算；求出集合B，再根据交并补概念计算．本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：证明：当时，，令，则，，即，所以函数在上是增函数．由函数，定义域为R ，关于原点对称，又由，所以函数为定义域R 上的奇函数．由可得函数在上是增函数，所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在R 上是增函数，由，即即，所以，即，解得，即实数a 的取值范围【解析】根据函数单调性的定义直接证明即可；先判断函数为定义域R 上的奇函数，再结合单调性得到函数在R 上是增函数，进而结合函数的奇偶性可将不等式化为，进而结合单调性求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．17.【答案】解：因为甲产品的投入为x 万元，则乙产品的投入为万元，所以当时，，当时，，所以，所以当时，，即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元；当时，令，则总收益为，所以当时，取得最大值万元，当时，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为万元．【解析】根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．18.【答案】解：设，所以，对照系数得：，解得，，又因为，所以，所以；由可得：，即，所以当时，，解得：；当时，由，可得，所以，，所以，解得，①当时，，，当，即时，解得：，当，即时，解得：或；当，即时，解得：或，综上：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：；由可得，则函数在R上连续．①当时，在上单调递减，在上单调递增，所以；②当时，在上单调递增，所以综上，当时，恒成立，即对恒成立，即，易得函数在上单调递增，，所以，；当时，恒成立，即恒成立，因为函数、在上均为增函数，则函数在上单调递增，且其最大值为，所以综上所述，实数的最小值为【解析】设，利用待定系数法求解；由得到，再分当，，时求解；由得到，利用二次函数的性质求得，再由恒成立求解．本题考查待定系数法求函数的解析式，含参的一元二次不等式的解法，函数恒成立问题的求解，属于中档题．19.【答案】解：因为对任意的、都有成立，则称函数是函数在D上的“L函数”．对任意的、，且，又，，，则，显然有，所以函数是函数在D上的“L函数”．因为函数是函数在D上的“L函数”，所以对任意的、恒成立，即对任意的、恒成立，化简得对任意的、恒成立，即对任意的、恒成立，即，解得因为，，所以所以当时，当时，综上：证明：对于、，不妨设，当时，因为函数是函数在上的“L函数”，所以此时成立；当时，由、得，因为，函数是函数在上的“L函数，所以，此时也成立，综上可得恒成立．【解析】根据“L函数”的定义进行判断即可．根据“L函数”的定义把问题转化成关于m恒成立的问题，求m的取值范围．本题考查函数的性质，新定义的应用，分类讨论思想，属难题．。

2016-2017学年福建省泉州市安溪一中、实验中学联考高一(下)期末数学试卷与解析word

2016-2017学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、实验中学联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x||3x﹣1|≥4}，B={x|＜1}，则集合A∩B=（）A．（﹣2，﹣1]B．∅C．[﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）2．（5分）已知向量=（2，1），=（﹣1，m），且（+）∥（﹣），则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（sin25°，cos25°），则角α的最小正值为（）A．25°B．45°C．65°D．115°4．（5分）已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．26．（5分）函数y=cos2x+sinxcosx在区间[﹣，]上的值域是（）A．[﹣，1]B．[﹣，] C．[0，]D．[0，]7．（5分）已知||=3，||=1，•=0，若=+，则∠AOP=（）A．B．C． D．8．（5分）已知f（x）=ax2+bx，且满足：1≤f（1）≤3，﹣1≤f（﹣1）≤1，则f（2）的取值范围是（）A．[0，12] B．[2，10] C．[0，10] D．[2，12]9．（5分）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则++…+=（）A．B．C．D．10．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步11．（5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则φ的值为（）A．B．C．D．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|﹣|=|﹣|，则•=（）A．16 B．12 C．8 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）若不等式：ax2﹣ax+1≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=1﹣，则a2017=．15．（5分）设x＞0，y＞0，3x+y=5，则+的最小值为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B=sin2C﹣sinA•sinB，sinA=，若c﹣a=5﹣，则b=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且不等式x2﹣a4x+a1＜0的解集为（3，6）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，求S n的最大值及此时n的值．18．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，且函数f（x）的最小正周期为．（1）若函数f（x）在x=处取到最小值﹣2，求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，求函数f（x）的单调递增区间．19．（12分）如图，梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，AB||CD，∠DAB=，设=λ，=μ（λ＞0，μ＞0），=（+）．（1）当λ=，μ=时，点A，G，C是否共线，请说明理由；（2）若△AMN的面积为，求||的最小值．20．（12分）如图，在△ABC中，C=，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD=θ，其中θ是直线x﹣2y+3=0的倾斜角．（1）求sinA；（2）若•=28，求AB的长．21．（12分）已知数列{a n}满足：﹣=，数列{b n}满足：S n=（2n ﹣1）b n，其中S n为数列{b n}的前n项和，且a1=b1=1．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．22．（12分）设函数f（x）=3x2﹣2（a+b）x+ab，函数g（x）=（x﹣a）（x﹣b）a，b∈R（1）当b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞（a+3）x2﹣（3a+4）x+a+2；（2）若b＞a＞0且a+b＜2，已知函数f（x）有两个零点s和t，若点A（s，s•g（s）），B（t，t•g（t）），其中O是坐标原点，证明：与不可能垂直．2016-2017学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、实验中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x||3x﹣1|≥4}，B={x|＜1}，则集合A∩B=（）A．（﹣2，﹣1]B．∅C．[﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：集合A={x||3x﹣1|≥4}={x|x≤﹣1或x≥}，B={x|＜1}={x|＜0}={x|﹣2＜x＜1}，∴集合A∩B={x|﹣2＜x≤﹣1}═（﹣2，﹣1]．故选：A．2．（5分）已知向量=（2，1），=（﹣1，m），且（+）∥（﹣），则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（﹣1，m），则+=（1，m+1），+=（3，1﹣m），若（+）∥（﹣），则有1×（1﹣m）=3×（m+1），解可得：m=﹣；故选：D．3．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（sin25°，cos25°），则角α的最小正值为（）A．25°B．45°C．65°D．115°【解答】解：∵角α的终边上一点的坐标为（sin25°，cos25°），∴α为第一象限角，且x=sin25°，y=cos25°，r===1，∴tanα===tan65°，则角α的最小正值为65°，故选：C．4．（5分）已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选：D．5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选：A．6．（5分）函数y=cos2x+sinxcosx在区间[﹣，]上的值域是（）A．[﹣，1]B．[﹣，] C．[0，]D．[0，]【解答】解：y=cos2x+sinxcosx=+cos2x+sin2x=sin（2x+）+，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴函数y=cos2x+sinxcosx在区间[﹣，]上的值域是[0，]，故选：C．7．（5分）已知||=3，||=1，•=0，若=+，则∠AOP=（）A．B．C． D．【解答】解：由题意建立如图所示直角坐标系，则=（3，0），=（0，1），∴=+=（3，0）+（0，1）=（）．∴cos∠AOP=，则∠AOP=．故选：A．8．（5分）已知f（x）=ax2+bx，且满足：1≤f（1）≤3，﹣1≤f（﹣1）≤1，则f（2）的取值范围是（）A．[0，12] B．[2，10] C．[0，10] D．[2，12]【解答】解：∵f（x）=ax2+bx，∴f（1）=a+b，f（﹣1）=a﹣b，f（2）=4a+2b设f（2）=λf（1）+μf（﹣1），则，解之得λ=3且μ=1，即f（2）=3f（1）+f（﹣1），∵1≤f（1）≤3，∴3≤3f（1）≤9…①又∵﹣1≤f（﹣1）≤1，…②∴不等式①②相加，得2≤3f（1）+f（﹣1）≤10，即2≤f（2）≤10，故f（2）的取值范围是[2，10]，故选：B．9．（5分）数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则++…+=（）A．B．C．D．【解答】解：由a n=a n+n+1，得a n+1﹣a n=n+1，+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=．∴．则++…+==2（1﹣）=．故选：C．10．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步【解答】解：设海岛高度为AB，前后表分别为CD，EF，由题意可知CD=EF=5，DG=123，DF=1000，FH=127，由△ABG∽△CDG得，由△ABH∽△EFH得，∴，解得BD=30750，∴AB=1255．∴AB=4里55步．故选：A．11．（5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则φ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，从图看出A=2，x1，x2∈[a，b]，f（x1）=f（x2），可知x1，x2关系函数的对称轴是对称的．即时其中一条对称轴，且f （）=2，∴函数f（）=2Asin（ω（）+φ）=2，可得：ω（）+φ=，k∈Z…①．∵f（x1+x2）=，∴函数f（x1+x2）=2Asin（ω（x1+x2）+φ）=，可得：ω（x1+x2）+φ=或，k∈Z…②．令k=0，由①②解得：φ=或∵|φ|＜，∴φ=故选：D．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|﹣|=|﹣|，则•=（）A．16 B．12 C．8 D．6【解答】解：由|﹣|=|﹣|，可得||=||，取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，又=+，所以•==（+）2=（++•）=（4+×16+2×4×）=6，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）若不等式：ax2﹣ax+1≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是0≤a＜4．【解答】解：因为不等式：ax2﹣ax+1≤0的解集为空集，当a=0时，1≤0不成立，满足题意；当a≠0，所以，解得0＜a＜4；综上实数a的取值范围是0≤a＜4；故答案为：0≤a＜4．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=1﹣，则a2017=．【解答】解：由a1=，且a n+1=1﹣，得，a3=1﹣（﹣1）=2，，…由上可知，数列{a n}是以3为周期的周期数列，则．故答案为：．15．（5分）设x＞0，y＞0，3x+y=5，则+的最小值为．【解答】解：由已知x＞0，y＞0，3x+y=5，得到3x+y+3=8，设3x+3=t，则t+y=8，则+==（t+y）（）=（2+）≥（2+2）=；当且仅当t=y即y=4，x=时等号成立；故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B=sin2C﹣sinA•sinB，sinA=，若c﹣a=5﹣，则b=．【解答】解：∵sin2A+sin2B=sin2C﹣sinA•sinB，由正弦定理a2+b2=c2﹣ab，由余弦定理，可得cosC=，∴sinC=，由sinA=，c﹣a=5﹣，由正弦定理：，可得a=，c=5，由余弦定理：cosC=，可得，解得b=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，且不等式x2﹣a4x+a1＜0的解集为（3，6）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，求S n的最大值及此时n的值．【解答】解：（1）由不等式x2﹣a4x+a1＜0的解集为（3，6），即为3，6为x2﹣a4x+a1=0的两根，有a4=3+6=9，a1=3×6=18，即有3d=a4﹣a1=﹣9，故等差数列{a n}的公差d=﹣3，所以a n=21﹣3n．（2）法一：由（1）知：n≤6时，a n＞0；n=7时，a n=0；n≥8时，a n＜0；所以n=6或7时，S n取到最大值S6=S7==63．法二：S n===﹣（n2﹣13n）=﹣[（n﹣）2﹣]，所以n=6或7时，S n取到最大值S6=S7=63．18．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，且函数f（x）的最小正周期为．（1）若函数f（x）在x=处取到最小值﹣2，求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，求函数f（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由函数f（x）的最小正周期为，有ω==4．…（1分）又∵函数f（x）在x=处取到最小值﹣2，∴A=2，f（）=﹣2，…（2分）即+φ=2kπ+，k∈Z．又∵0＜φ＜π，∴φ=…（5分）∴从而f（x）=2sin（4x+）．…（6分）（2）∵f（x）=Asin（4x+φ），∴则将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到的偶函数y=Asin（2x++φ）的图象．…（8分）由+φ=kπ+，有φ=kπ+，k∈Z …（9分）又∵0＜φ＜π，∴φ=，∴故f（x）=Asin（4x+），…（10分）∴由2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，k∈Z，解得：﹣≤x≤+，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z．…（12分）19．（12分）如图，梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，AB||CD，∠DAB=，设=λ，=μ（λ＞0，μ＞0），=（+）．（1）当λ=，μ=时，点A，G，C是否共线，请说明理由；（2）若△AMN的面积为，求||的最小值．【解答】解：（1）=+=+…（2分）又=（+）=（λ+μ）=（+）=（+）=…（5分）故与共线，从而A，G，C三点共线．…（6分）（2）|=λ||=2λ，||=μ||=2μ，S△AMN=|AM|•|AN|•sin∠MAN=λμ=，所以λμ=，（λ＞0，μ＞0）…（8分）从而，||2=（）2=（+）2=（||2+||2+2•）=（4λ2+4μ2+4λμ）=λ2+μ2+λμ≥2λμ+λμ=3λμ=…（9分）当且仅当λ=μ=时，等号成立．…（11分）故||的最小值为．…（12分）20．（12分）如图，在△ABC中，C=，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD=θ，其中θ是直线x﹣2y+3=0的倾斜角．（1）求sinA；（2）若•=28，求AB的长．【解答】解：（1）∵θ是直线x﹣2y+3=0的倾斜角，∴tanθ=，又θ∈（0，），故sinθ=，cosθ=，则sin∠ABC=sin2θ=2sinθcosθ=2××=，∴cos∠ABC=2cos2θ﹣1=2×﹣1=，sinA=sin[π﹣（+2θ）]=sin（+2θ）=（sin2θ+cos2θ）=•（+）=（2）由正弦定理，得=，即=，∴BC=AC．又•=||•||=28，∴||•||=28，由上两式解得AC=4，又由=，得=，∴AB=5．21．（12分）已知数列{a n}满足：﹣=，数列{b n}满足：S n=（2n ﹣1）b n，其中S n为数列{b n}的前n项和，且a1=b1=1．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．﹣a n=2，又a1=1，【解答】解：（1）由﹣=，有a n+1所以数列{a n}是一个首项为1，公差为2的等差数列，故a n=2n﹣1．又S n=（2n﹣1）b n，所以n≥2时，S n﹣1=（2n﹣1﹣1）b n﹣1两式相减有：b n=（2n﹣1）b n﹣（2n﹣1﹣1）b n﹣1，即b n=b n﹣1（n≥2），所以数列{b n}是一个首项为1，公比为的等比数列，故b n=（）n﹣1．（2）因为a n•b n=，故T n=+++…+，T n=++…++，两式相减有：T n=1+2（++…+）﹣=1+2（1﹣）﹣=3﹣．从而：T n=6﹣．22．（12分）设函数f（x）=3x2﹣2（a+b）x+ab，函数g（x）=（x﹣a）（x﹣b）a，b∈R（1）当b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞（a+3）x2﹣（3a+4）x+a+2；（2）若b＞a＞0且a+b＜2，已知函数f（x）有两个零点s和t，若点A（s，s•g（s）），B（t，t•g（t）），其中O是坐标原点，证明：与不可能垂直．【解答】解：（1）当b=1时，由f（x）＞（a+3）x2﹣（3a+4）x+a+2有ax2﹣（a+2）x+2＜0，即（ax﹣2）（x﹣1）＜0…（1分）当a=0时，有﹣2x+2＜0，解得：x＞1，当a＜0时，＜0＜1，解得：x＞1或x＜，当a＜0时，﹣1=，所以当a＞2时，＜1，解得：＜x＜1，当a=2时，=1，此时无解当0＜a＜2时，＞1，解得：1＜x＜综上：当a＞2时，原不等式的解集为：（，1）…（2分）当a=2时，原不等式的解集为：F…（3分）当0＜a＜2时，原不等式的解集为：（1，）…（4分）当a=0时，原不等式的解集为：（1，+∞）…（5分）当a＜0时，原不等式的解集为：（﹣∞，）∪（1，+∞）…（6分）（2）证明：b＞a＞0时，由s，t为f（x）=0的两根可得，s+t=（a+b），st=＞0…（7分）假设⊥，即•=（s，s•g（s））（t，t•g（t））=st+st•g（s）•g（t）=0，故g（s）•g（t）=﹣1，即（s﹣a）（s﹣b）（t﹣a）（t﹣b）=﹣1．…（8分）所以[st﹣（s+t）a+a2]•[st﹣（s+t）b+b2]=﹣1从而有ab（a﹣b）2=9，即（a﹣b）2=…（10分）故（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=+4ab≥2=12，即a+b≥2，这与a+b＜2矛盾．故与不可能垂直．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

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福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高二下学期期末联考（理）考试科目：理科数学满分150分，考试时间：120分钟一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题仅有一个答案正确） 1. 设复数z 满足(1)2i z i -=，则z= ( ) A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -2. 计算定积分⎰+edx x1)11(＝（）A. 1-eB.eC. 1+eD. e11+3. 在(1+x )6(1+y )4的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则)0,3(f 的值为 ( ) A. 4 B. 10 C. 20 D. 404. 从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A. 30个B. 27个C. 36个D. 60个5．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A.53 B. 41 C. 21 D. 31 6.用数学归纳法证明n n<-++++12131211 (n ∈N 且n >1)，第二步证明中从“k 到k+1” 时，左端增加的项数是（）A.12+kB. 12-kC. k 2D. 12-k7. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（） A. 0.35B. 0.65C. 0.85D.758、函数2()xf x x a=+的图象不可能．．．是（）9.设a ∈R ，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22B ．－ln2 C.ln22 D ．ln210.将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A.6415 B. 12815 C. 12524 D. 12548 11. 已知)2000010000sin 200003sin 200002sin 20000(sin 20000πππππ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=S ，则与S 的值最接近的是（）A ． 0.99818B ．0.9999C ．1.0001D ．2.000212．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()1,0-内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )A. [4,)+∞B. [)6,+∞C. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [1,)+∞二．填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题卡相应的位置上）13. 已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得(x ，y )的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3, 5），其回归方程为a x y +=4.1，则a的值是___________.14．随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)= .15. 设函数x x x f +=3)(，若0≤θ≤2π时，0)1()(sin >-+m f f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 .16.对于等差数列}{n a 有如下命题：“若}{n a 是等差数列，s ，t 是互不相等的正整数，01=a ，则有0)1()1(=---s t a t a s ”类比此命题，补充等比数列}{n b 相应的一个正确命题：“若}{n b 是等比数列，s ，t 是互不相等的正整数， . 三．解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知数列}{n a 中，)(254,3*211N n a a a a n n n ∈++-==+.（Ⅰ）计算432,,a a a 的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18.（本小题满分12分）某校为了解学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”. （Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X ，且每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++, 其中n a b c d =+++，独立性检验临界表：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8405.0246.63510.82819. （本小题满分12分）已知函数4)(23-+-=ax x x f .（Ⅰ）若2)(=x x f 在处取得极值，且关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围.20. （本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n ,如果3=n ,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果4=n ,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为21,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率;（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X 的分布列及数学期望.21. （本小题满分12分）设,R a ∈函数()x x a x f -=ln .（I ）若)(x f 无零点，求实数a 的取值范围；（II ）若)(x f 有两个相异零点21,x x ，求证：221e x x >.请考生在22题中两小题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）（1）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (3，5)且倾斜角为π43．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ．（Ⅰ）求直线l 的一个参数方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求PB PA ⋅的值.（2）选修4—5：不等式选讲已知函数1221)(++-=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数b a ,满足m ba =+21，且b a x 22+≤-对任意的正实数b a ,恒成立，求x 的取值范围.参考答案一．选择题：1-12、BBCA DCCD DACB二．填空题：13、0.9 14、0.7 15、1<m 16、 “11=b ，则有111=--t ss t b b ”三．17. 解：（Ⅰ）由254,3211++-==+n n n a a a a 可得442,32,22432=+=+=+=a a a 。

------ 6分（Ⅱ）由42,32,22,1234321+=+=+=+==a a a a 猜想：)(2*N n n a n ∈+=------ 7分以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时，左边31=a ，右边312=+，符合结论；------ 8分（2）假设),2(*N k k k n ∈≥=时结论成立，即k a k +=2， ------9分那么，当n ＝k ＋1时，25)2(4)2(254221+++-+=++-=+k k a a a k k k2125)2(444++=+++-++=k k k k ------ 11分所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立； ------ 12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意n ∈N *都成立18.解：（Ⅰ）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100---------3分22100(40251520)8.249 6.63560405545K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关 ---------6分（Ⅱ）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为52，由题意可知2(3,)5X B .所以3522()()(1)55i i iP X i C -==-，0,1,2,3i =从而分布列为X 0 1 2 3P12527 12554 12536 1258 -----10分6()5E X np ==，18()(1)25D X np p =-= ------12分 19解：（1）,23)(2ax x x f +-='由题意得3,0)2(=='a f 解得 ------ 2分经检验3=a 满足条件 -- 3分x x x f x x x f 63)(,43)(223+-='-+-=则 ------ 4分令2,0,0)(==='x x x f 则（舍去） ------- 5分22⨯当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：x－1 (－1,0) 0 （0，1）1 )(x f ' － 0 + )(x f↘－4↗－2------ 7分 ∵关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的实数根，24-≤<-∴m ------ 8分（2）由题意得，即可0)(max >x f4)(23-+-=ax x x f )32(323)(2a x x ax x x f --=+-='①若,0)(,0,0<'>≤x f x a 时则当),0()(+∞∴在x f 单调递减。

04)0(<-=f 04)(,0<-<>∴x f x 时当∴当.0)(),,0(,000>+∞∈≤x f x a 使不存在时 ------- 10分②当a >0时)(),(x f x f '随x 的变化情况如下表：x)32,0(a a 32 （a 32，+∞）)(x f ' +—)(x f↗42743-a ↘.4274)32()(,),0(3max-==+∞∈∴a a f x f x 时当由.3042743>>-a a 得 -------- 12分综上得.3>a另：第2小题可以分离参数，可按步得分。