数学---福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高二下学期期末联考(理)

福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2016-2017学年高二下学期期末联考（理）
考试科目：理科数学 满分150分，考试时间：120分钟
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题仅有一个答案正确） 1. 设复数z 满足(1)2i z i -=，则z= ( ) A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -
2. 计算定积分⎰
+e
dx x
1
)1
1(＝（ ）
A. 1-e
B.
e
C. 1+e
D. e
11+
3. 在(1+x )6(1+y )4的展开式中，记n
m
y x 项的系数为),(n m f ，则)0,3(f 的值为 ( ) A. 4 B. 10 C. 20 D. 40
4. 从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ）
A. 30个
B. 27个
C. 36个
D. 60个
5．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概 率是( )
A.
53 B. 41 C. 21 D. 3
1 6.用数学归纳法证明n n
<-++++1
21
31211 (n ∈N 且n >1)，第二步证明中从“k 到k+1” 时，左端增加的项数是（ ）
A.12+k
B. 12-k
C. k 2
D. 1
2
-k
7. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ） A. 0.35
B. 0.65
C. 0.85
D.
7
5
8、函数2()x
f x x a
=+的图象不可能．．．是 （ ）
9.设a ∈R ，函数()x x
f x e a e -=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是3
2
，则切点的横坐标为( )
A ．－ln22
B ．－ln2 C.ln2
2 D ．ln2
10.将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A.
6415 B. 12815 C. 12524 D. 125
48 11. 已知)20000
10000sin 200003sin 200002sin 20000(sin 20000π
ππππ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=
S ，则与S 的值最接近的是（ ）
A ． 0.99818
B ．0.9999
C ．1.0001
D ．2.0002
12．已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-,在区间()1,0-内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等
式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )
A. [4,)+∞
B. [)6,+∞
C. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D. [1,)+∞
二．填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题卡相应的位置上）
13. 已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得(x ，y )的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4）， （3, 5），其回归方程为a x y +=4.1，则a
的值是___________.
14．随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)= .
15. 设函数x x x f +=3
)(，若0≤θ≤
2
π
时，0)1()(sin >-+m f f θ恒成立，则实数m 的
取值范围是 .
16.对于等差数列}{n a 有如下命题：“若}{n a 是等差数列，s ，t 是互不相等的正整数，
01=a ，则有0)1()1(=---s t a t a s ”类比此命题，补充等比数列}{n b 相应的一个正确命
题：
“若}{n b 是等比数列，s ，t 是互不相等的正整数， . 三．解答题 （共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分） 已知数列}{n a 中，)(254,3*2
11N n a a a a n n n ∈++-==+.
（Ⅰ）计算432,,a a a 的值；
（Ⅱ）根据计算结果猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
18.（本小题满分12分）
某校为了解学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”. （Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X ，且每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .
附：独立性检验统计量
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++, 其中n a b c d =+++， 独立性检验临界表：
20()P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k
2.706
3.840
5.024
6.635
10.828
19. （本小题满分12分）
已知函数4)(2
3
-+-=ax x x f .
（Ⅰ）若2)(=x x f 在处取得极值，且关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的实
数根，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围.
20. （本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中 优质品的件数记为n ,如果3=n ,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品 通过检验;如果4=n ,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其 他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质 品的概率都为
2
1
,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率;
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X 的分布列及数学期望.
21. （本小题满分12分） 设,R a ∈函数()x x a x f -=ln .
（I ）若)(x f 无零点，求实数a 的取值范围；
（II ）若)(x f 有两个相异零点21,x x ，求证：2
21e x x >.
请考生在22题中两小题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分） （1）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (3，5)且倾斜角为
π4
3
．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ．
（Ⅰ）求直线l 的一个参数方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求PB PA ⋅的值.
（2）选修4—5：不等式选讲 已知函数122
1
)(++-
=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值m ；
（Ⅱ）若正实数b a ,满足m b
a =+2
1，且b a x 22+≤-对任意的正实数b a ,恒成立，求x 的取值范围.
参考答案
一．选择题：1-12、BBCA DCCD DACB
二．填空题：13、0.9 14、0.7 15、1<m 16、 “11=b ，则有111
=--t s
s t b b ”
三．17. 解：（Ⅰ）由254,32
11++-=
=+n n n a a a a 可得
442,32,22432=+=+=+=a a a 。

------ 6分
（Ⅱ）由42,32,22,1234321+=+=+=+==a a a a 猜想：)(2*N n n a n ∈+=
------ 7分
以下用数学归纳法证明：
（1）当1=n 时，左边31=a ，右边312=+，符合结论；
------ 8分
（2）假设),2(*N k k k n ∈≥=时结论成立，即k a k +=2， ------9分 那么，当n ＝k ＋1时，
25)2(4)2(25422
1+++-+=++-=+k k a a a k k k
2125)2(444++=+++-++=k k k k ------ 11分
所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立； ------ 12分
根据（1）和（2），可知猜想对于任意n ∈N *都成立
18.解：（Ⅰ）完成下面的列联表如下
非读书迷
读书迷
合计
男 40 15 55 女 20 25 45 合计
60
40
100
---------3分
2
2
100(40251520)8.249 6.63560405545
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关 ---------6分
（Ⅱ）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为
5
2， 由题意可知2(3,)5X B .所以3522()()(1)55
i i i
P X i C -==-，0,1,2,3i =
从而分布列为
X 0 1 2 3
P
125
27 12554 12536 125
8 -----10分
6()5E X np ==
，18()(1)25
D X np p =-= ------12分 19解：（1）,23)(2
ax x x f +-='由题意得3,0)2(=='a f 解得 ------ 2分
经检验3=a 满足条件 -- 3分
x x x f x x x f 63)(,43)(223+-='-+-=则 ------ 4分
令2,0,0)(==='x x x f 则（舍去） ------- 5分
22⨯
当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 （0，1）
1 )(x f ' － 0 + )(x f
↘
－4
↗
－2
------ 7分 ∵关于x 的方程]1,1[)(-=在m x f 上恰有两个不同的实数根，
24-≤<-∴m ------ 8分
（2）由题意得，即可0)(max >x f
4)(23-+-=ax x x f )3
2
(323)(2a x x ax x x f --=+-='
①若,0)(,0,0<'>≤x f x a 时则当),0()(+∞∴在x f 单调递减。

04)0(<-=f 04)(,0<-<>∴x f x 时当
∴当.0)(),,0(,000>+∞∈≤x f x a 使不存在时 ------- 10分
②当a >0时)(),(x f x f '随x 的变化情况如下表：
x
)3
2,0(a a 3
2 （
a 32
，+∞）
)(x f ' +
—
)(x f
↗
427
43
-a ↘
.427
4)32()(,),0(3
max
-==+∞∈∴a a f x f x 时当
由.30427
43
>>-a a 得 -------- 12分
综上得.3>a
另：第2小题可以分离参数，可按步得分。

20.解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=
+
=
------ 4分
(Ⅱ)X 的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-=
, P(X=500)=
,
P(X=800)==,
∴X 的分布列为
-------- 10分 EX=400×
+500×
+800×=506.25 -------- 12分
21解：（I ）∵()x x a x f -=ln
定义域是),0(+∞
()f x ∴X 400 500
800
P
又x x a x a x f -=-='1)(
------ 1分 （1）当0=a 时，无零点
------ 2分 （2）当0<a 时，0)('<x f ，故)(x f 在上为减函数，
又,1)1(-=f 当0→x 时，+∞→)(x f ，所以)(x f 有唯一的零点； ------ 3分 （3）当0>a 时，
在()a ,0递增，
在()+∞,a 递减∴0ln )(＜a a a a f -=，则只要01ln ＜-a ，即1ln ＜a ，∴e a ＜而0＞a ，e a <<∴0 ------ 4分 综上所述：所求的范围是[)e ,0 ------ 5分 （II ）有两个相异的零点，又由于，故不妨令，
且有11ln x x a =，22ln x x a =，2121)ln (ln x x x x a +=+，
2121)ln (ln x x x x a -=-
)(1ln ln 2121x x a x x +=
+， )(1ln ln 2121x x a
x x -=-， 6分 要证⇔+>--⇔+>⇔>+⇔>⇔>2121212121212212ln ln 212ln ln 2ln x x x x x x x x a x x x x e x x 8分 又令，则，故只要证明时恒成立， 9分 易证恒成立，从而证明221e x x >. 12分 22.（1）解：（Ⅰ）直线l 参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3－22t ，
y ＝5＋22t (t 为参数) 2分
()0,+∞()f x ∴a ()f x 0x >120x x >>112121211222
2(1)2()ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x --->⇔>++12
x t x =1t >2(1)ln ,11t t t t ->>+2(1)ln 01t t t --
>+
由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，
即x 2＋(y －5)2＝5． 4分 （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得(3－22t )2＋(22
t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0． 6分 由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，
所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝32，t 1·
t 2＝4. 8分 又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝4 10分 （2）解：（Ⅰ）由已知得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=++-=21
,2132121,2321,2131221)(x x x x x x x x x f ， 可知函数)(x f 的最小值m 等于1. ………5分 （Ⅱ）由（1）知121=+b a ，所以945225)21()2(2=+≥++=+⋅+=+a
b b a b a b a b a ………8分
当且仅当3==b a 时取等号.
即92≤-x
解得：}117{≤≤-x x ……10分。