高中数学 选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准 方程 焦点焦距|F 1F 2|＝ ，c 2＝【问题探究】探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=- __________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． （3））的双曲线。

，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx 6．已知双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点)0,2()0,2(21F F 、-,点)7,3(P 在双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 为坐标原点，过点)2,0(Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点F E 、， 若△OEF 的面积为,22求直线l 的方程【课后作业】一、基础过关1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－12．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为( )A ．－25B ．25C ．－1D ．13．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．94．若点M 在双曲线x 216－y24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )A ．2B ．4C ．8D ．125．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A ．x 25－y 2＝1B ．y 25－x 2＝1C ．x 225－y 2＝1 D ．x 24－y 22＝16．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ( ) A ．x 24－y 212＝1 (x >0) B ．x 24－y 212＝1 (x <0)C ．x 24－y 212＝1D ．y 24－x 212＝17．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________. 二、能力提升8．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________.9．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________.10．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.11．在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程.12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状.三、探究与拓展13．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，求A应沿什么方向炮击P地.双曲线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．掌握双曲线的简单几何性质.2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3．能区别椭圆与双曲线的性质.【学法指导】利用双曲线的方程研究其图象和几何性质，在自主探究合作交流中通过类比椭圆的几何性质，分析双曲线的几何性质.【知识要点】1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b 2＝1(a>0，b>0)图形性质范围对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：顶点坐标渐近线离心率e＝，e∈2．等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是. 【问题探究】探究点一双曲线的几何性质问题1类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？问题2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？例1求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.跟踪训练1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.探究点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：（1）双曲线过点(3,92)，离心率e＝103；（2）过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.跟踪训练2求满足下列条件的双曲线方程：（1）以2x±3y＝0为渐近线，且经过点(1,2)；（2）离心率为54，半虚轴长为2；（3）与椭圆x2＋5y2＝5共焦点且一条渐近线方程为y－3x＝0.探究点三双曲线的离心率例3设双曲线x2a2－y2b2＝1 (0<a<b)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34 c，求双曲线的离心率.跟踪训练3（1）如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点，A、B是以O为圆心、以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率e＝________. （2）设点P在双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________.【当堂检测】1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A．x24－y212＝1 B．x212－y24＝1 C．x210－y26＝1 D．x26－y210＝12．双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率是()A．54B．2 C．54或53D．52或1533．若在双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 _____________【课堂小结】1．渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.【拓展提高】1．P 为双曲线116922=-y x 的右支上一点，N M 、分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是3．已知P 是双曲线19222=-yax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，设21F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若32=PF ,则1PF =4．设21F F 、分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点。