曲线的凹凸性与拐点

4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例5 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1

x
2 3
,
y


4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
(2) f (x) 0,则 f (x) 在[a,b] 上的图形是凸的.
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
方法1:
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f ( x) , x1
2 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
x0 f ( x) 0
(0, 2 2 )
2 2

2e12
f ( x) 2
0
f (x)
凸、降 拐点
( 2 2 ,)


凹、降
x
f ( x)
f ( x) fБайду номын сангаас(x)
0 ( 2 2 ,0)

0
2
极大 凸、 值升

2 2
2e
那么 y b 就是 y f (x) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
3.斜渐近线 如果 lim [ f (x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f (x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
f
(
x)


4(
x x3
2)
,
f
(
x)

8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f (x)
lim[4(
x
x x2
1)

2]

2,
得水平渐近线
y

2;
lim
x0
f
(x)

4( x 1)
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
例2 试证：对 x 0、y 0，x y 及 1，有
1 ( x y ) ( x y ) .
2
2
解 令 f (t ) t , 则 f (t ) ( 1)t 2 ,
在 t 0时有 f (t) 0 , 在 t 0时 f 是凹的。
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
二、作图举例
例2
作函数
f
(
x)

4(
x x2
1)

2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
0
f (x)
凸、降 拐点
( 2 2 ,)


凹、降
x
f ( x)
f ( x) f (x)
0 ( 2 2 ,0)

0
2
极大 凸、 值升

2 2
2e

1 2
0
拐点
(, 2 ) 2


凹、 升
例3
作函数 ( x)
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有
一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内
(1) f (x) 0,则 f (x) 在[a,b] 上的图形是凹的;
间 断 点
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), B (1,6), C (2,1).
作图
y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
f
(
x)

4(
x x2
1)

2
例3、设y f ( x) e x2 ,求f ( x)增减的区间 和 极 值 点 ， 以 及 凹 凸 区间 和 拐 点.
5
5
5
0
(0 , )
f ( x)
0

不存在

f (x)
拐点
非拐点

此函数在(, 1/ 5]上是凸的、在[1/ 5, 0] 及 [0, ) 上是凹的，拐点为 1/ 5。 （曲线 y y( x) )
问：此函数在[1/ 5, ) 上是凹的？
4.5.2
第二步 求出方程 f '( x) 0和 f "( x) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第三步 确定在这些部分区间内 f '( x) 和 f "( x) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）；
渐近线
定义:
当曲线 y f (x) 上的一动点 P 沿着曲线移向无穷点时,
如果点 P 到某定直线 L的距离趋向于零,
那么直线 L 就称为曲线 y f (x)的一条渐近线.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) 或 lim f (x)
x x0
x x0
lim[
x0
x2

2]

,
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0


f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
对 x、y (0, ) 且 x y , 有
1 ( f (x) f ( y)) f ( x y) ,
2
2
即所证不等式成立。证毕。
三、曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
那么 y ax b 就是 y f (x) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: 如果
(1) lim f ( x) 不存在; x x
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
例6、设y f (x) ex2 , 求f (x)增减的区间 和极值点，以及凹凸区间和拐点.
解：函数的定义域为（ ， ），由
y 2xex2及y 0,得驻点x1 0;
y 2e x2 (2 x2 1), 及y 0, 得x2,3
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例4 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
数, 则 点 x0 , f ( x0 ) 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
f "( x0 ) 0.
证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
4.5.3 函数曲线的作图
一 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 确定函数 y f ( x) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f '( x) 和二阶导数 f "( x);