303电势电势叠加原理
物理学精品课件之电势、电势差
3. 电势叠加原理
在点电荷系q1.q2.q3
a点的电场：
qn 的电场中q，n
E E1 E2 En q0
q3
a点的电势：
q2
Ua a E dl
q1
E1 dl E2 dl En dl
的功。－－－物理意义
讨论: 标量，有正、负；单位：J·C-1 ; V； 与电势零点的选择有关。
一般情况选 U 0
2. 电势差 U ab
设：U a
E dl
a
U b b E dl
则a、b两点的电势之差
b
U ab U aU b
E dl
a
试探电荷从a b 电场力作功：
Aab Wa Wb q0 (Ua Ub )
二. 电势能
静电场是保守场，静电场力是保守力。
重力场
静电场
重力势能mgh 类比 电势能W
重力做功=重力势能 的变化，即
电场力做功=电势 能的变化，即
AG mgh mgh1 mgh2
Aab Wa Wb
b vv
Wa Wb a q0E dl
b vv
Aab a q0E dl
q
q0 f
－－－电场力做功的特点
2. 静电场的环路定理
a
q0沿acbda闭合
路径运动一周，
q
电场力做功：
A l f dl
r
r dr
f
dl
c E
l q0 E dl q0
E dl 0
l
E dl 0
l E dl 0
静电场 是保守场
Ao q0 (U Uo ) 1.0109 (81010) 80(J )
电势知识点总结
电势知识点总结电势是电荷在电场中所具有的能力。
它是刻画电场强度的物理量，通常用V表示。
电势是标量，它的方向与电场强度的方向相反。
电势的定义很简单，就是单位正电荷在电场中所具有的势能。
如果把距离无限远处的电势设定为零，那么其他地方的电势就是相对于这个参考点的。
1. 电势的定义电势是电场场强E在电场中沿电场方向线积分的数值：V = -∫E•ds其中ds为位移，E为电场强度。
2. 电势的单位电势的单位是伏特（V），它是国际单位制中电位单位的一种。
1V等于1焦耳/库仑。
3. 电势的性质（1）电势是标量，没有方向。
（2）电势与电场之间的关系是：电势是电场的功，单位正电荷在电场中沿某一路径的单位正功率。
（3）电势差等于两点之间的电势差。
电势差可以理解为电场中两点间移动单位正电荷所做的功。
4. 电势与电场强度的关系电场强度与电势之间有如下关系：E = -▽V其中▽V表示电势V的梯度。
这个关系式的含义是：电场强度E是电势V的梯度的相反数。
5. 电势的叠加原理电势是一种标量，因此它服从叠加原理。
如果在某一点上存在多个电荷产生的电势，则这些电势可以相互叠加。
即如果在某一点上同时存在多个电荷，则该点上的总电势等于所有电荷产生的电势之和。
6. 静电势能在电场中存在着复杂的电势能变化。
当电荷在电势差V下做功时，它的势能会发生改变。
这种势能改变称为静电势能。
7. 电势的分布规律在特定情况下，电势具有特定的分布规律，这有助于我们在实际应用中研究电场的特性。
例如：（1）均匀带电直棒：在空间各点上的电势相等，并且大小与距离直棒的距离成反比。
（2）均匀带电球壳：在球表面上的电势相等，并且光滑地变化。
8. 电势的应用电势是电场中非常重要的一个物理量，它在实际应用中有着广泛的用途：（1）电势与电势差可用来描述电场中电荷的势能和静电势能。
（2）电势与电势差可用来计算电场中单位正电荷所受的力和电势能。
（3）电势可用来描述导体中的电场分布。
电势11.3--电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
R2
Q1 Q2 4 π R 4 π R ( r R1 ) 0 1 0 2 Q2 Q1 ( R1 r R2 ) 4 π r 4 π R 0 0 2 Q1 Q2 4 π r ( r R2 ) 0
[例] 均匀带电球层 ，内外半径为 R1，R2，求：A、B 两点的电势。 解：取带电球面 1. 求 A
Q1 ( r R ) 1 4 π R 0 1 1 Q1 ( r R ) 1 4 π 0 r
Q2 ( r R ) 2 4 π R 0 2 2 Q2 ( r R ) 2 4 π 0 r
Q2
区域 r < R1 R1 < r < R2 r > R2
Q1 O R1
R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
P
[例] 己知：均匀带电圆盘，总电量 Q，半径 R。 求：圆盘轴线上任意点 P 处的电势。 解：利用电势积分法。
1.分割合适电荷元
dq dS Q π R2 dS 2π d
O d
r x P dq
2.电荷元 dq 在 P 处电势 3.总电量 Q 在 P 处电势
dq d 4π 0 r
1 q 4π 0 r
OP r
P r+
r- r
[例] 求距电偶极子相当远处的电势。
大物电磁学 第三章 电势
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
电场的叠加和电势的计算
电场的叠加和电势的计算在物理学中，电场是指某个空间内由电荷引起的力场。
当存在多个电荷时，它们的电场可以相互叠加，产生一个合成的电场。
而电势则是描述电荷在电场中的能量状态，计算电势可以帮助我们理解电荷的分布和电场的特性。
一、电场的叠加当存在多个电荷时，它们所产生的电场可以相互叠加。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力与它们之间的距离成反比，与电荷量的乘积成正比。
因此，对于一个点电荷Q1和另一个点电荷Q2之间的作用力可以表示为：F12 = k * (Q1 * Q2) / r12^2其中，F12表示1号电荷作用在2号电荷上的力，Q1和Q2分别为两个电荷的电荷量，r12为它们之间的距离，k为库仑常数。
根据叠加原理，当多个电荷同时存在时，它们所产生的电场可以简单地叠加在一起。
假设有两个电荷Q1和Q2，在某一点P处受到的合成电场E为：E = E1 + E2其中，E1为点电荷Q1在点P处产生的电场强度，E2为点电荷Q2在点P处产生的电场强度。
根据库仑定律，电场强度与电荷量的比值成正比，与距离的平方成反比。
同理，对于更多的电荷，其电场强度的叠加可以通过求和的方式得到：E = E1 + E2 + ... + En其中，En为第n个电荷在点P处产生的电场强度。
二、电势的计算在电场中，电势是描述电荷所具有的能量状态的物理量。
电势可以通过电荷在电场中的位移来计算。
在电场中，单位正电荷从无穷远处移到某一点的过程中，所需做的功数值被定义为该点的电势。
对于一个电荷Q在某一点P处产生的电势V，可以计算为：V = k * (Q / r)其中，Q为电荷量，r为电荷到点P的距离，k为库仑常数。
同样地，对于多个电荷，它们在某一点P处产生的电势的叠加也可以通过求和的方式得到：V = V1 + V2 + ... + Vn其中，Vn为第n个电荷在点P处产生的电势。
需要注意的是，电场和电势是互相关联的物理量。
电场是描述电荷产生的力场，而电势则是描述电荷在电场中的能量状态。
电势讲解课件
Q , rR 4 0r
等势体
与电量集中在球心的点 电荷的电势分布相同
(2) 图示
0R
r
例3 计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
目的：由电势叠加原理求电势的方法
解：在球面上任取一电荷元 dq
Q
则电荷元在球心的电势为
dq R
d dq
o
4 0R
由电势叠加原理：球面上电荷在球心的总电势
3.1 静电场的保守性
一.静电场力所做的功
1. 点电荷的电场
dA
q0E dl
qq0
4 0r3
r dl
B dr dl E
rB
r
r dl rdl cos rdr
dA
qq0
4 0r 2
dr
q
rA
q0
A
A q0
E dl qq0
L
4 0
rB dr r rA 2
qq0 ( 1 1 )
4 0 rA rB
A1B
B2A
1
B
A
2E
q0
E dl
l
0
E dl 0 静电场的环路定理
l
结论：静电场是保守场 (1)电场强度的线积分只于始末位置有关； (2)电场强度的环流恒等于零。
小结 高斯定律 环路定理
E dS 1
S
0
qi
i
l E dl 0
有源场 保守场
讨论题1：
试用环路定理证明：静电场电场线永不闭合。
E2
Q1
4 0r 2
er
R1 r R2
E3
Q1 Q2
4 0r 2
er
r R2
大学物理课件4电势叠加原理电势梯度资料
P.11/38
例9-10. 半径为 R 的均匀带电
球体, 带电量为 q. 求电势分布.
q
S
orP E
R
E
E1
第９章 电荷与真空中的电场
选择同心球面为高斯面
E dS E 4πr 2
1
S
0
q内
E1 4 π r 2
1
0
q 4π R3
3
4πr3 3
qr rR
4 π 0R3
q E2 4 π0r2 r R
如图, 电势分别为U 和U+dU 的
两个邻近等势面:
en
dln a
b
dl
E
U U+dU
假设正试验电荷 q0 从 a 点移到
b 点, 则电场力做功:
dAab
q0
U
U
dU
q0
E
dl
dU E cos dl
E cos
dU dl
El
第９章 电荷与真空中的电场
dU
E
E
dln
dU
dln
en
若dU>0, 电场强度与法向相反, 从高电势指向低电势;
9.3.3 真空中静电场的高斯定理 真空中的静电场内, 通过任意封
第９章 电荷与真空中的电场
Φe : 只有S内的电荷才有贡献.
闭曲面(高斯面)的电通量等于该 2. 揭示了静电场中“场”和“源”
封闭曲面所包围的电量代数和 的关系—— 电场线有头有尾
的 1 0倍:
Φe
E dS
S
讨论:
1
0
qi
分立
静电场的重要性质之一: 静电场 是有源场
电势以及叠加原理
第六讲电势
内容：§9－6
1．电势和电势差
2．电势叠加原理
3．电势的计算
要求：
1．掌握电势叠加原理；
2．掌握电势的两种计算方法。
重点与难点：
3．电势的计算方法。
作业：
习题：P39：21，22
意大利物理学家。
伏打在物理学方面做出了许多重要贡献，他发明过起电盘，发明过验电器、储电器等多种静电实验仪器。
伏打最显赫的功绩是发明了伏打电池。
伏打电池的出现对电学的发展却产生的深远的影响，开创了一个新的广阔天地，成为人类征服自然的最有力的武
伽伐尼在1786年和1792年在实验中观察到用铜钩挂起来的蛙腿在碰到铁架时会发生痉挛。
他认为这是生物电产生的效果。
伏打认为上述现象的产生是由于两种不同金属接触时所产生的电效应。
两种观点曾引起了十年之久的争论。
3．电势差
在静电场中，任意两点-=V U。
静电场中电势叠加看过来 高考物理
静电场中电势叠加看过来1 问题提出 近几年高考物理试题中频繁出现点电荷周围电势叠加的题型，学生感到很困惑．场强叠加比较常见，教材中也有明确要求．与场强不同的是，电势的叠加在教材中不明确，教师重视程度不够，对试题边界模糊不清．电势的叠加是空间某点的电势等于各点电荷或各部分电荷单独存在该点的电势的代数和，而不是矢量和．两个点电荷周围电势的叠加一般用点电荷周围的等势线（或面）或电势φ随x 变化的关系进行判断，在涉及三个或三个以上点电荷周围电势叠加问题时，前面两种方法就不适用了．虽中学阶段不涉及点电荷周围电势的定量计算，但是它确实是有公式的，对于真空中电量为Q 的静止点电荷而言，当选取离点电荷无穷远处的电势为零时，离点电荷距离为r 处电势为rkQ =ϕ（k 为静电力常量）．通过公式分析，我们得出结论：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高，离正电荷越远电势越低；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低，负电荷越远电势越高．在涉及多个点电荷周围电势的叠加问题时，我们就用这个结论来定性或半定量分析，比较方便，下面举例说明，以飨读者．2 结论应用【例1】 (多选)如图1所示，处于x 轴上的两个等量异号点电荷＋Q 和－Q ，坐标分别为(L,0)和(3L,0)．以坐标原点O 为圆心，作半径为2L 的圆，圆上有a 、b 、c 、d 四个点，均处于两点电荷形成的电场中．则下列说法正确的是( )A ．O 点电势等于b 点电势B ．b 点和d 点电场强度大小相等，电势相同C ．将一正试探电荷从c 点沿虚线圆周移到O 点电场力不做功D ．将一正试探电荷从b 点沿y 轴移到d 点，电势能先增大后减小【答案】 BD 【解析】 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图，如图2所示，可知φO >φb ，故A 错误；如图2根据对称性，b 、d 两点场强大小相等、电势相同，故B 正确；取无穷远处电势为零，c 点电势也为零，由图2知，沿电场线方向电势逐渐降低，O 点电势大于零，所以将正试探电荷从c 点沿虚线圆周移到O 点电场力做负功，故C 错误；由图2知φb ＝φd ＜φO ，所以将正试探电荷从b 点沿y 轴经O 点移到d 点，电势能先增大后减小，故D 正确．【点评】对等量异（同）号点电荷周围的电势叠加，我们可直接根据电场线、等势线分布图求解，也可根据结论求解，题中O 点距离＋Q 比－Q 近，显然O 点电势为正，虽然b 点距离＋Q 也比－Q 近，但O 点与b 点相比离得更近．显然离得越近的影响越大，所以φO >φb ，作为选择题，很明显O 、b 两点电势不等，A 错误．在实际做题中，我们可以将几种方法结合起来，这样更简便．【例2】两点电荷量分别为q 1和q 2的点电荷放在x 轴上的O 、M 两点，两电荷连线上各点电势φ随x 变化的关系如图3所示，其中A 、N 两点的电势均为零，ND 段中的C 点电势最高，则（ ） 图1图2A ．A 、N 两点电场强度的大小相等B ．将一个正点电荷放在x 轴负半轴时，它将会一直向x 轴负方向做加速运动C ．NC 间场强方向向x 轴正方向D ．将一正点电荷从N 点移到D 点，电场力先做负功后做正功【答案】 BD 【解析】 A 、N 两点电场强度的大小为该点在电势随x 变化的关系曲线的斜率大小，在A 、N 两点的斜率大小明显不为零，故A 项错误．沿着电场线的方向电势降低，根据q 1和q 2之间电势的变化曲线可以得到，q 1带正电荷、q 2带负电荷，根据零电势点的位置（近小远大）可知，q 1所带电荷量的大小大于q 2所带电荷量的大小，然后根据异种电荷所形成的电场规律可知，将一个正点电荷放在x 轴负半轴时，它将会一直向x 轴负方向做加速运动，故B 项正确．电势沿着电场线方向减小，可得NC 间场强方向向x 轴负方向，故C 项错误．根据φ-x 曲线可知，从N 点到D 点电势为正值且先增加后减小，且带电粒子带正电，根据ϕq E W P ∆-=∆-=可知，电场力先做负功后做正功，故D 项正确．【点评】题目已知电势φ随x 变化的函数图像，对电势高低的判断直接由图像读取．进一步可以利用φ-x 图象的斜率判断沿x 方向电场强度E x 随位置变化的规律．斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，进而判断电荷的受力．还可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化和电场力做功情况．近小远大也体现了点电荷周围电势的大小关系．【例3】 (2015年江苏卷)两个相同的负点电荷和一个正点电荷附近的电场线分布如图4所示．c 是两负电荷连线的中点，d 点在正电荷的正上方，c 、d 到正电荷的距离相等，则( )A ．a 点的电场强度比b 点的大B ．a 点的电势比b 点的高C ．c 点的电场强度比d 点的大D ．c 点的电势比d 点的低 【答案】 ACD 【解析】 由题4图知，a 点处的电场线比b 点处的电场线密集，所以E a ＞E b ，A 项正确；由沿电场线方向电势逐渐降低可知φb ＞φa ，B 项错误；由场强公式E ＝k Q r 2和场强叠加原理可知E c ＞E d ，C 项正确；取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低．c 、d 距离正电荷相同，c 比d 距离负电荷近，这里不管正电荷的影响，主要看研究的位置离负电荷的远近来分析电势，所以φd ＞φc ，D 项正确．【点评】 本题非常有新意，把考生熟悉的两个点电荷拓展到了三个点电荷，属于进阶式考题，对于三个点电荷的电势叠加情形，教材里没有固有的电场线和等势线分布图可参考，对考生来说是个难点，还好一般这样的考试题都以定性为主，我们用结论来分析，c 、d 两点的电势就迎刃而解了．【例4】如图5所示，现有两个边长不等的正方形ABCD 和abcd ，且Aa 、Bb 、Cc 、Dd 间距相等．在AB 、AC 、CD 、DB 的中点分别放等量的点电荷，其中AB 、AC 的中点放的点电荷带正电，CD 、BD 的中点放的点电荷带负电，取无穷远处电势为零．则下列说法中正确的是（ ）图3 图4A ．O 点的电场强度和电势均为零B ．把一负点电荷沿着b →d →c 的路径移动时，电场力所做总功为零C ．同一点电荷在a 、d 两点所受电场力不同D ．将一负点电荷由a 点移到b 点电势能减小【答案】B 【解析】上下两个正负点电荷在O 点将产生的电场强度向下，左右两个电荷正负点电荷在O 点的电场强度向右，根据矢量合成法则可以知道O 点电场强度不为零，方向沿为AD 方向，O 离四个点电荷距离相同，四个点电荷在O 点处电势为零，故A 错误．据对称性，b 、c 等电势，把一负点电荷沿着b→d→c 的路径移动时，电场力做功为零，所以B 选项正确．按照库仑定律和力的合成，同一点电荷在a 、d 两点所受电场力相同，故C 错误．取无穷远处电势为零，由结论知，在a 点的电势为正，b 、O 、c 三点电势相等均为零，则负点电荷由a 点移到b 点电势能增加，故D 错误．【点评】对于多个（三个以上）点电荷的电势叠加情形，我们以此类推，仍然依据“取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高，离正电荷越远电势越低；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低，负电荷越远电势越高．”定性分析，再结合场强、电场力、电势能、电势差等知识分析得出正确结论，一般来说，高考命题涉及静电场的题目以选择题为主，且四个选项会涉及从力的、能的角度来描述电场的较多物理量的考察，场强、电势的叠加只是其中一部分，综合理解、运用场强、电场力、电场线、电势、电势能、电势差、等势面等概念及其关系是解题的关键．在研究高考试题过程中我们发现，电势属于Ⅰ级要求，教材上也未涉及电势的叠加，有的人认为超纲了，但在大学物理教材中是必须掌握的知识，同时它也能很好地考察学生的核心素养（物理观念、科学思维）和关键能力，高考的核心功能是“立德树人、服务选才、引导教学”，既然是选拔人才，定性地分析电场叠加那就自然不超纲，既然在2015年的江苏卷中出现了，接下来必将是高考物理试题中的常客． 3 小试牛刀1.（2022河北卷）如图，真空中电荷量为2q 和(0)q q ->的两个点电荷分别位于M 点与N 点，形成一个以MN 延长线上O 点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），P 为MN 连线上的一点，S 为等势面与直线MN 的交点，T 为等势面上的一点，下列说法正确的是（ ）A. P 点电势低于S 点电势B. T 点电场强度方向指向O 点C. 除无穷远处外，MN 直线上还存在两个电场强度为零的点D. 将正试探电荷0q 从T 点移到P 点，静电力做正功【答案】B 【解析】A ．在直线MN 上，左边正电荷在M 右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线MN 上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN 间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P 点电势高于等势面与MN 交点处电势，则P 点电势高于S 点电势，故A 错误；C ．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N 左侧电场强度不可能为零，则N 右侧，设MN 距离为L ，根据222()()k q k q L d d ⋅⋅=+图5可知除无穷远处外，直线MN 电场强度为零的点只有一个，故C 错误；D ．由A 选项分析可知：T 点电势低于P 电势，则正电荷在T 点的电势能低于在P 电势的电势能，将正试探电荷0q 从T 点移到P 点，电势能增大，静电力做负功，故D 错误；B ．设等势圆的半径为R ，AN 距离为x ，MN 距离为L ，如图所示，根据kq x ϕ=，结合电势的叠加原理A 、S 满足2k q kq L x x ⋅=-，222k q kq L R x R x ⋅=+--，解得3L x =，23L R =由于电场强度方向垂直等势面，可知T 点的场强方向必过等势面的圆心，O 点电势23233O k q kq kq L L L L ϕ⋅=-=-+，可知T O ϕϕ>可知T 点电场方向指向O 点，故B 正确．故选B ．2.（2021河北卷）如图，四个电荷量均为()0q q >的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为()4,0l 、()4,0l -、()00,y 和()00,y -，其中x 轴上的两个点电荷位置固定，y 轴上的两个点电荷可沿y 轴对称移动（00y ≠），下列说法正确的是（ ）A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零B. 当0y 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点C. 当08y l =时，将一带负电的试探电荷由点()4,5l l 移至点()0,3l -，静电力做正功D. 当04y l =时，将一带负电的试探电荷放置在点(),l l 处，其所受到的静电力方向与x 轴正方向成45︒倾斜向上【答案】ACD 【解析】A ．根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A 正确；B ．因为在x 轴上的两个点电荷在O 点的合场强为零，在y 轴上的两电荷，无论y 0取什么值，因为关于原点对称，则在O 点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外，出现合场强为零的点，根据对称性可知，一定是成对出现的，关于原点对称，所以算上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2个，选项B 错误；C ．由几何关系可知，坐标为（4l ，5l ）的A 点在第一象限内所在的虚像的垂直平分线的上方；坐标为（0，-3l ）的B 点在第三象限内所在的虚像的垂直平分线的上方，且到达虚线的距离相等，由电势叠加可知，B 点的电势高于A 点，则带负电的试探电荷在A 点的电势能较大，从A 点到B 点电势能减小，可知电场力做正功，选项C 正确；D ．若y 0=4l ，则四个点构成正方形，由对称可知在点（l ，l ）处的场强一定沿着过该点与原点连线的方向上；在y 轴正向和x正向上的点电荷在（l ，l ）处的合场强1222222222255(9)9kql l kq E ll l l l -=⋅=++，在y轴负向和x 负向上的点电荷在（l ，l）处的合场强21213kq E E ==<，可知（l ，l ）点的场强沿着MN 方向且与x 轴从成45︒角的方向向下，将一带负电的试探电荷放置在点(),l l 处，其所受到的静电力方向与x 轴正方向成45︒倾斜向上，选项D 正确．故选ACD ．。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
点电荷电势
此处
讨论
E=0
[例] 求均匀带电圆环轴线上的电势 (R，q)。 另解： 圆环轴线上任一点的场强为：
E
4π 0 x 2 R 2
qx
ˆ i 32
方向沿轴线指向无限远
O x 距环心为 x 处 P 点的电势为： R P E dl P Edx qx x dx 3 2 2 2 4π 0 x R q 4π 0 x 2 R 2
P ( 任意路径 L )
Hale Waihona Puke Q1 O R1R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
Q 4 π 0 R Q 2 π 0 R
2 2
盘心处电势不为零。
2 x
2
R x x
2
环0
Q 4π 0 R
环
O
注意：盘0 = 2环0
[例] 两个半径分别为 R1 和 R2 的带电球面同心 放置，所带电量分别为 Q1 和 Q2，求其电 场的电势分布。 Q1 O R1 Q2 解： R2 Q1 产生的电势分布为 Q2 产生的电势分布为
R2 dq rB 4 π 0 r
R2
2 2 B 3 R2 rB 6 0 rB
当 R1 = 0 时，均匀带电球体内
3 2 R1
rB R1 O
电势叠加原理
a
a
路径上各点的总场强
例：点电荷 q 场中的电势分布
o
rr
P
r E
解：
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
q
U
∝1 r
令
U
U
=
∞=
∞r ∫E⋅
0
r dl
沿径向积分
rr
=
∞
∫
qr
⋅
dr
P
r 4πε r3
0
∞
=∫
qdr
=
q
r 4πε r2 4πε r
0
0
o
r
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
=
q
4πε0(R2 +
x )2
1 2
例3.
带电薄圆盘
解：
例4.
带电薄球壳
例5.求均匀带电球壳腔内任意点电势
已知： R1, R2 , ρ
求：U P
R2
ρ
r o R1
解：将带电球壳视为许多均匀带
P
dr
电球面的集合，
取半径 r ，厚 dr 的球壳为电荷元：dq = ρ ⋅ 4πr2 ⋅dr
令 U ∞ = 0 ，dq 在腔内产生的电势：
dU = dq = ρ ⋅ 4πr 2dr = ρrdr
4πε 0 r
4πε 0 r
ε0
∫ ∫ 由叠加原理：U =
dU
=
R2 ρ rdr ε R1 0
=
ρ 2ε 0
( R2 2
−
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面
2020年高中物理竞赛-电磁学篇C—12电势：电势叠加原理(共15张PPT)
解：(1)O点到四个顶角 q1 的距离均为
r a
a
2
§12-3
q4
a
q2
a r a
O
2
a
q3
第十二章 电势
根据电势叠加原理有
U0
4 i1
1
40
qi r
1
4 0
4q
r
2q
0 a
(2)将q0从无限远处移到O点，电场力所作的 功为
A q0(U U0) q0 (0 U0 )
2qq0
0 a
pe cos 40r 2
r2 x2 y2
y
P(x, y)
cos
x r
(x2
x y2 )1/ 2
r1
r
r2
U p
pe x
40 (x2
y2 )3/2
l
O
x
§12-3
第十二章 电势
[例3]试计算半径为R、均匀带电为q的细圆 环轴线上任一点a处的电势。
R
r
解：在圆环上任取一线
a
元dl，所带电量为
§12-3
第十二章 电势
[例2]计算电偶极子电场中任 y
P(x, y)
一点的电势分布
解：P的电势为
Up U U
r1 r r2
l
O
x
q q q(r1 r2 )
40r2 40r1
r l r1r2 r 2
4 0 r2 r1
r1 r2 l cos
§12-3
第十二章 电势
U p
ql cos 40r 2
第十二章 电势
点电荷系电场中某点的电势等于每个点电 荷单独存在时在该点产生的电势的代数和
导体球的电势叠加原理
导体球的电势叠加原理
导体球的电势叠加原理是指，如果在导体球内部有多个电荷分布，那么在球内任何一点的电势可以看作是每个电荷单独存在时该点的电势的代数和。
具体来说，假设在半径为R的导体球内有n个电荷，分别为q1、q2、...、qn，它们分别位于半径为r1、r2、...、rn的球心处。
对于球内任何一点P，其到球心i的距离为ri，那么该点的电势Vp可以表示为：
Vp = k * (q1 / r1 + q2 / r2 + ... + qn / rn)
其中k为电场常数，其值为9×10^9 N·m^2/C^2。
这个式子就是导体球的电势叠加原理的数学表达式。
需要注意的是，导体球的电势叠加原理只适用于导体球内部的电荷分布，如果存在外部电荷或导体球带电，则需要采用其他方法计算。
浅谈电势叠加原理在静电场教学中的应用
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浅谈电势叠加原理在静电场教学中的应用
作者：汪思勤
来源：《中学物理·高中》2015年第02期
电场强度和电势是描述电场力的性质和能的性质的两个重要物理量，是高考中多次出现的考查内容，其中由若干个带电体所形成的静电场的电势分布特点既是高考的重点，又是学生考试中拿分的难点.在学生学习过程中，面对由电荷系形成的静电场，往往表现出对电势分布、
电势高低判断不清，造成学习困难，因此教师在教学中对电势概念的阐述，电势叠加特点的讲解显得尤为重要，笔者在实际教学过程中，通过补充电势叠加原理的内容，明显感觉到学生能够更为清楚的掌握好静电场的电势分布问题.
1电势叠加原理的推导
电势叠加原理从定量的角度很好的解决了点电荷系形成的静电场的电势分布问题，通过补充这部分学习内容，可以更好的帮助学生理解电势的形成，判断电势的高低，进而提高学生在高考当中的解题能力，同时也为学生进入大学阶段的学习打下良好基础.。
浙江省大学物理试题库303-电势、电势叠加原理
题号：30322004
分值：2分
难度系数等级：2
在已知静电场分布的条件下，任意两点 和 之间的电势差决定于 和 两点的位置。
答案：对
题号：30324005
分值：2分
难度系数等级：4
已知在地球表面以上电场强度的方向指向地面，由此可以判断在地表面以上电势随高度减少。
答案：错
题号：30323006
答案：
题号：30333015
分值：2分
难度系数等级：3
电量为 的三个点电荷分别位于同一个圆周的三个点上，如图所示。设无穷远处为电势零点，圆半径为 ，则 点处的电势 是______________。
答案：
四计算题
题号：30341001
分值：2分
难度系数等级：1
1（本小题5分）一根长为 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为 ，试求在圆心 点的电势。
； ；
； 。〔〕
答案：
题号：30314007
分值：3分
难度系数等级：4
真空中有“孤立的”均匀带电球体和一个均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则它们的静电能之间的关系是：
球体的静电能等于球面的静电能；
球体的静电能大于球面的静电能；
球体的静电能小于球面的静电能；
球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能。〔〕
1分
在均匀带电细线区域，球面电场的分布： 1分
该线元在带电球面的电场中所受电场力为：
1分
整个细线所受电场力为：
2分
方向沿 正方向1分
（2）在均匀带电细线区域，球面电场的分布：
1分
电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
1分
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电势、电势叠加原理
1．选择题
CCCCD CDCDB ADD
2．判断题
错错对错对 对错
3．填空题
静电场力作功与路径无关 或：静电场是保守的 ； 0A -；
56
； R Q 0π4ε-； ＝ ；
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πa b
r r q q 1140
0ε； 4d x =； 011()4Q r R πε-； 04Qq r πε； R Q
U 04επ=；
0(1)8q R ε+π。
4．计算题
1．（1）（本小题5分）一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势。
（2）（本小题5分）如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为q +,q -的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求:移动过程中电场力作的功(无穷远为电势零点)。
答案：（1）半圆形导线半径：L
R π
=
1分
O 点电势由电势迭加原理求解。
在圆弧上取一个小的电荷元dq dl λ= 1分 它在圆心O 点的电势：R
q U 04d d πε=
1分
∴ 0
00444d d ελ
πελπελ===
=⎰
⎰L
R L R l U U 2分
（2） O 014πU ε=0)(=-R q
R q 1分 C 014πU ε=)3(R q
R q -R
q 0π6ε-
= 2分 ∴ o 0O 0()6πC q q
A q U U R
ε=-= 2分
2．（1）（本小题5分）两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为10.03m R =和20.10m R =。
已知两者的电势差为450V ，求：内球面上所带的电荷。
［
9220
1910N m /C 4πε=⨯⋅］
（2）（本小题5分）电荷q 均匀分布在长为2l 的细杆上。
求：在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势（设无穷远处为电势零点）。
答案：（1）设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为
2
04r Q
E επ=
12()R r R << 1分
两球的电势差： 2
2
1
1
1220
d d 4R R R R Q
r U E r r ε=
=
π⎰
⎰
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=
21
114R R Q ε 2分
∴ 901212
21
4 2.1410C R R U Q R R ε-π==⨯- 2分
另解：设1R 带Q ，则2R 带Q -，Q 在1R 、2R 上的电势：
101'4Q U R πε=
202
'4Q
U R πε= 1分 Q -在1R 、2R 上的电势：102"4Q U R πε-=
202
"4Q
U R πε-= 1分 由电势叠加原理，1R 的电势：1012
11
()4Q U R R πε=
- 2R 的电势：20U = 1分
∴ 12U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=
21
114R R Q ε 1分
解得： 901212
21
4 2.1410C R R U Q R R ε-π=
=⨯- 1分
（2）设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．
杆的电荷线密度2q
l
λ=
，在x 处取电荷元d q d d d 2q x
q l x l
==
1分 它在P 点产生的电势
()()
P 00d d d 48q q x
U l a x l l a x εε=
=π+-π+- 2分
整个杆上电荷在P 点产生的电势：
()P 0d 8l l q x U l l a x ε-=
π+-⎰()l l x a l l q --+π-=ln 80ε⎪⎭
⎫
⎝⎛+π=a l l q 21ln 80ε 2分
3．电荷以相同的面密度σ分布在半径为110cm r =和220cm r =的两个同心球面上。
设无限远处电势为
零，球心处的电势为0300V U =。
［
9220
1910N m /C 4πε=⨯⋅］
(1) 求电荷面密度σ；
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
答案：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=
22110
041
r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ππ=22212104441r r r r σσε()210
r r +=εσ 2分 90012
8.8510C/m U r r ε
σ-==⨯+ 2分
(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有：
()0120
10U r r σσε''=+= 2分
即 ：
σσ2
1
r r -
=' 2分 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：
()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+π='-π='212222144r r r r q σσσ ()-921200244 6.6710C r r r U r σε=π+=π=⨯ 2分
4．如图所示，在电偶极矩为e p
的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离）移到B 点，（1）以圆弧的圆心为座标原点，求电偶极子的电势分布；（2）在此过程中电场力所作的功(设无穷远处为电势零点)。
答案：（1）用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点P 的电势
0044q q
U r r εε+-
=
-
ππ 2分 当P 距偶极子较远时，
2r r r +-⋅≈ 1分
cos r r l θ-+-≈ 1分
其中，l 是偶极子间距。
故电偶极子在空间任意点P 的电势
22
00cos cos 44e p ql U r r θθ
εε=
=
ππ 2分 式中r 为从电偶极子中心到场点P 的矢径。
（2）A 、B 两点电势分别为
A 2
04e
p U R ε=-π
e
P
B 2
04e p U R ε=
π (
)
e e p p =
2分
q 从A 移到B 电场力作功(与路径无关)为
()A B 2
02e
qp A q U U R
ε=-=-
π 2分 5．如图所示，有三个点电荷1Q ，2Q ，3Q 沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且13Q Q Q ==。
求在固定1Q ，3Q 的情况下，将2Q 从O 点推到无穷远处外力所作的功。
答案：由题意1Q 所受的合力为零
32
1
122
00044(2)
Q Q Q Q d d πεπε+= 2分 解得 231
144
Q Q Q =-=- 2分 在任一点电荷所受合力均为零时21
4
Q Q =-。
1Q 在点O 电势： d Q U 01o14πε=
1分
3Q 在点O 电势： d Q U 03o34πε=
1分
电势的叠加得，O 电势：310000442Q Q Q U d
d
d
πεπεπε=
+
=
2分
将2Q 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功 22008Q W Q U d
πε'=-=
2分
6．如图所示，AO=OB=R ，OCD 为以B 为中心的半圆弧，A 、B 两点分别放置电荷+q 和-q ，求：(1) O 点与D 点的电势 O U 与 D U （设无穷远处电势为零）；(2) 把正电荷0q 从O 点沿弧OCD 移到D 点，电场力做的功；(3) 把单位正电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处电场力做的功。
答案：(1) O 点电势：O 001
1044q q U R R πεπε-=
+= 2分
D 点电势：D 0001
14342q q q
U R R R
πεπεπε-=
+=-
2分 (2) 把正电荷 0q 从O 点沿弧OCD 移到D 点，电场力做的功：
00O D 0()2qq A q U U R
πε=-=
3分
(3) 把单位正电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处电场力做的功：
R
q U U A D 02πε=
-=∞ 3分。