303电势电势叠加原理

电势、电势叠加原理

1．选择题

CCCCD CDCDB ADD

2．判断题

错错对错对 对错

3．填空题

静电场力作功与路径无关 或：静电场是保守的 ； 0A -；

56

； R Q 0π4ε-； ＝ ；

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πa b

r r q q 1140

0ε； 4d x =； 011()4Q r R πε-； 04Qq r πε； R Q

U 04επ=；

0(1)8q R ε+π。

4．计算题

1．（1）（本小题5分）一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势。 （2）（本小题5分）如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为q +,q -的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求:移动过程中电场力作的功(无穷远为电势零点)。

答案：（1）半圆形导线半径：L

R π

=

1分

O 点电势由电势迭加原理求解。在圆弧上取一个小的电荷元dq dl λ= 1分 它在圆心O 点的电势：R

q U 04d d πε=

1分

∴ 0

00444d d ελ

πελπελ===

=⎰

⎰L

R L R l U U 2分

（2） O 014πU ε=0)(=-R q

R q 1分 C 014πU ε=)3(R q

R q -R

q 0π6ε-

= 2分 ∴ o 0O 0()6πC q q

A q U U R

ε=-= 2分

2．（1）（本小题5分）两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为10.03m R =和20.10m R =。已知两者的电势差为450V ，求：内球面上所带的电荷。［

9220

1910N m /C 4πε=⨯⋅］

（2）（本小题5分）电荷q 均匀分布在长为2l 的细杆上。求：在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势（设无穷远处为电势零点）。

答案：（1）设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为

2

04r Q

E επ=

12()R r R << 1分

两球的电势差： 2

2

1

1

1220

d d 4R R R R Q

r U E r r ε=

=

π⎰

⎰

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=

21

114R R Q ε 2分

∴ 901212

21

4 2.1410C R R U Q R R ε-π==⨯- 2分

另解：设1R 带Q ，则2R 带Q -，Q 在1R 、2R 上的电势：

101'4Q U R πε=

202

'4Q

U R πε= 1分 Q -在1R 、2R 上的电势：102"4Q U R πε-=

202

"4Q

U R πε-= 1分 由电势叠加原理，1R 的电势：1012

11

()4Q U R R πε=

- 2R 的电势：20U = 1分

∴ 12U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=

21

114R R Q ε 1分

解得： 901212

21

4 2.1410C R R U Q R R ε-π=

=⨯- 1分

（2）设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．

杆的电荷线密度2q

l

λ=

，在x 处取电荷元d q d d d 2q x

q l x l

==

1分 它在P 点产生的电势

()()

P 00d d d 48q q x

U l a x l l a x εε=

=π+-π+- 2分

整个杆上电荷在P 点产生的电势：

()P 0d 8l l q x U l l a x ε-=

π+-⎰()l l x a l l q --+π-=ln 80ε⎪⎭

⎫

⎝⎛+π=a l l q 21ln 80ε 2分

3．电荷以相同的面密度σ分布在半径为110cm r =和220cm r =的两个同心球面上。

设无限远处电势为

零，球心处的电势为0300V U =。［

9220

1910N m /C 4πε=⨯⋅］

(1) 求电荷面密度σ；

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

答案：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=

22110

041

r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ππ=22212104441r r r r σσε()210

r r +=εσ 2分 90012

8.8510C/m U r r ε

σ-==⨯+ 2分

(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有：

()0120

10U r r σσε''=+= 2分

即 ：

σσ2

1

r r -

=' 2分 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：

()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+π='-π='212222144r r r r q σσσ ()-921200244 6.6710C r r r U r σε=π+=π=⨯ 2分

4．如图所示，在电偶极矩为e p

的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离）移到B 点，（1）以圆弧的圆心为座标原点，求电偶极子的电势分布；（2）在此过程中电场力所作的功(设无穷远处为电势零点)。

答案：（1）用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点P 的电势

0044q q

U r r εε+-

=

-

ππ 2分 当P 距偶极子较远时，

2r r r +-⋅≈ 1分

cos r r l θ-+-≈ 1分

其中，l 是偶极子间距。

故电偶极子在空间任意点P 的电势

22

00cos cos 44e p ql U r r θθ

εε=

=

ππ 2分 式中r 为从电偶极子中心到场点P 的矢径。 （2）A 、B 两点电势分别为

A 2

04e

p U R ε=-π

e

P