立体几何中轨迹问题

立体几何中的轨迹问题

立体几何是考查学生空间想象能力和转化能力,在立体几何中出现了一些轨迹问题,本人将这些问题作了如下归类,以供参考。一、轨迹是抛物线

例1.2004年高考北京卷(文),如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,p是侧面bb1c1c内一动点,若点p到直线bc与直线c1d1的距离相等,则动点p的轨迹所在的曲线是()

a.直线

b.圆

c.双曲线

d.抛物线

解:连接pc1,∵d1c1⊥面bb1c1c,又pc?奂面bb1c1c,∴d1c1⊥pc1,即可得线段pc1长为点p到c1d1的距离,原题意可转化为:在平面bb1c1c中,动点p到定点c1的距离与点p到定直线bc(点c1不在直线bc上)的距离相等.由抛物线定义可知:点p的轨迹所在的曲线是抛物线.

例2.2004年高考北京卷(理),正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,点m在棱ab上,且am=,点p是平面abcd上的动点,且点p到直线a1d1的距离与到点m的距离的平方差为1,则点p的轨迹是()

a.抛物线

b.双曲线

c.直线

d.以上都不对

解:在正方形add1a1中过点e作ef⊥a1d1交ad于f,连接

pf,pe,pm. ∵pe为点p到a1d1的距离∴pe⊥a1d1∴a1d1⊥efp面,又ad∥a1d1∴pf⊥ad即pf为点p到直线ad的距离.由条件和所作

不难知ef⊥fp.pe2-pm2=ef2+pf2-pm2=1+pf2-pm2=1即:pf=pm,同样由抛物线定义可知:点p的轨迹所在的曲线是抛物线.

二、轨迹是椭圆

例3.由2004年高考北京卷,(文4)得变题1,在正方体

abcd-a1b1c1d1中,p是侧面bb1c1c内一动点,若点p到直线bc的距离是点p到直线c1d1的距离2倍,则动点p的轨迹是()

a.线段

b.椭圆的一部分

c.双曲线的一部分

d.抛物线的一部分

解:变为在平面bb1c1c中,动点p到定点c1的距离与点p到定直线bc(点c1不在直线bc上)的距离之比为1∶2.由椭圆第二定义可知:点p的轨迹所在的曲线是椭圆(在正方形bb1c1c内),且离心率为.故本题选b.

三、轨迹是双曲线

例4.变题2,在正方体abcd-a1b1c1d1中,p是侧面bb1c1c内一动点,若点p到直线bc的距离是点p到直线c1d1的距离一半,则动点p的轨迹是双曲线的一部分,且离心率为2.

四、轨迹是线段

例5.变题3,如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,p是侧面bb1c1c 内一动点,且始终满足ap⊥d1b,则动点p的轨迹所在的曲线是() a.线段 b.椭圆的一部分

c.双曲线的一部分

d.抛物线的一部分

解:连接ac,ab1,b1c,易证bd1⊥面ab1c,∴点p在线段b1c动,

才能满足ap⊥d1b.故本题选a.

例6.(2005年5月苏州市高三教学调研测试)如图,△adp为正三角形,四边形abcd为正方形,平面pad⊥平面abcd.m为平面abcd内的一动点,且满足mp=mc.点m在正方形abcd内的轨迹为(o为正方形abcd的中心)()

解:空间中到p、c两点距离相等的点应在过线段pc中点且垂直于此线段pc的平面α上。而m点又在面abcd上,所以m在平面α与面abcd的交线上,故答案可能是a或b。当点m在b处时

pm=pb==ab=mc,所以选a.

五、轨迹是圆

例7.四棱锥p-abcd中,ad⊥面pab,bc⊥面pab,底面abcd是梯形,ad=4,bc=8,ab=6,∠apd=∠cpb,满足上述条件的四棱锥的顶点p 的轨迹是()

a.圆的一部分

b.椭圆的一部分

c.双曲线的一部分

d.抛物线的一部分

解:∵ad⊥面pab,bc⊥面pab,∠apd=∠cpb,∴△pbc∽△pad,∴pa∶pb=ab∶bc=1∶2,又可证得面pab⊥面abcd。即在平面pab中,动点p到两定点a、b的距离之比是定值。在平面pab中以ab所在直线为x轴,以ab中点为原点建立如图直角坐标系,则

a(-3,0),b(3,0),设动点p(x,y),则有:=,即,化简得:由于点p在面

abcd的一侧,所以本题选a.

这些问题的处理办法还是将空间立体几何转化为平面问题,再通过定义法、轨迹法等,像对待解析几何问题一样求出曲线方程或得到轨迹形状。

作者单位:江苏省连云港海州高级中学