基本概念和定律 费马原理
几何光学的基本定律和费马原理
主要内容一、几何光学的三个基本定律二、光路可逆原理三、全反射、光学纤维四、费马原理光线：空间的几何线。
各向同性介质中，光线即波面法线。
光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。
几何光学是关于光的唯象理论。
对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。
几何光学实验定律成立的条件：1.被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波波长λD/ λ>>1 衍射现象不明显，定律适用。
D/ λ～1 衍射现象明显，定律不适用。
2.入射光强不太强在强光作用下可能会出现新的光学现象。
强光：几何光学的基本实验定律有一定的近似性、局限性。
一、几何光学的三个基本定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播，即光线为2.光的独立传播定律自不同方向或由不同物体发出的光线在空间相交后，对每一光线的独立传播3.光的反射和折射定律3.1 反射定律G 3.2 折射定律入射面n光线在梯度折射率介质中的弯曲nn 5n 1n 3n 2n 4n 6海市蜃楼：沙漠中海面上光线在梯度折射率介质中的弯曲二、光路可逆原理在弱光及线性条件下，当光的传播方向逆转时，•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q三、全反射、光学纤维1.全反射原理。
继续增大入射角，，而是按反射定律确定的方向全部反射。
全反射的应用：增大视场角毛玻璃r rr2.光纤的基本结构特性(1)光纤的几何结构光纤的几何结构(2)光纤分类①按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。
(3)光纤的传光条件i cn 0n 2n 1(4)光纤的数值孔径四、费马原理物质运动的趋势：达到一种平衡状态或极值状态费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。
1说明：费马原理是光线光学的理论基础。
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
十大著名物理定理
十大著名物理定理物理学是自然科学的重要分支，研究物质、能量以及它们之间的相互作用。
在物理学的发展过程中，许多重要的定理被提出并被广泛应用。
以下是十大著名物理定理的介绍。
1. 费马原理费马原理是光学中的基本原理之一，它阐述了光线在两点之间传播时所遵循的最短时间路径。
根据费马原理，光线在两点之间的传播路径是使得光程取极值的路径，这一路径被称为光线的轨迹。
费马原理在光学设计和成像中有广泛的应用。
2. 等效原理等效原理是爱因斯坦提出的一项重要物理定理，它描述了引力和加速度之间的等效关系。
根据等效原理，质量产生的引力效应与物体的加速度效应等效，即质量决定了物体对引力的响应。
这一原理是广义相对论的基础，对解释引力以及宇宙的演化具有重要意义。
3. 热力学第一定律热力学第一定律，也称为能量守恒定律，阐述了能量在物理系统中的转化和守恒关系。
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于吸收的热量与做功的和。
这一定律在能量转化和热力学循环等方面有重要应用。
4. 电磁感应定律电磁感应定律是描述磁场和电场相互作用的重要定理。
法拉第定律和楞次定律是电磁感应定律的两个主要方面。
根据法拉第定律，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，将在线圈中产生感应电动势。
根据楞次定律，感应电动势的方向使得感应电流产生的磁场抵消磁通量的变化。
5. 熵增定律熵增定律是热力学中的重要定理，描述了在孤立系统中熵的增加趋势。
根据熵增定律，封闭系统的熵总是趋向于增加，而不会减少。
这一定律对解释自然界中的不可逆过程和热力学平衡有重要意义。
6. 相对论狭义和广义相对论是爱因斯坦提出的一套重要物理理论，包括狭义相对论和广义相对论。
狭义相对论描述了高速运动物体的相对性原理，推翻了牛顿力学的观念。
广义相对论则是更一般的相对论理论，描述了引力的几何性质和时空的弯曲。
7. 不确定性原理不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，提出了测量精度的限制。
根据不确定性原理，无法同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马与定理
费马与定理
费马与定理是指法国数学家费尔马提出的费马定理，即费马大定理。
费马大定理是费尔马在1637年提出的一个数论问题，它的原始表述是：“将一个立方数分割为两个立方数之和、一个无限大的平方数分割为两个无限大的平方数之和或者任意高次幂都无法分割”。
这一问题直到1994年才由安德鲁·怀尔斯提出了一个证明，解决了这个长期困扰数学界的难题。
费马大定理的一个特殊情况是费马小定理，即当p是一个质数且a是不被p整除的整数时，有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
费马小定理是数论中的一个重要定理，经常用于证明其他数论命题。
费马大定理的证明引发了许多的数学研究和发展，尤其是在代数几何、数论和模形式方面。
它也催生了许多其他数学猜想的提出和解决，对数学的发展起到了积极的推动作用。
第三章几何光学基本概念与费马原理
, 经 反F 2
，即所
2、内切于旋转椭球的凹面镜 F1
DD
D
F2
A D’
F 则 处发出的光要经凹面镜反射到达 点的途径是 2
F2 AF1
F2 AF1
F ，因
的光程极大。 1
3、外切于椭球的平面镜
3、外切于椭球的平面镜 F1
D A D’
F2
F 则 处发出的光要经平面镜反射到达 点的途径是 2
F2 AF1
A
B
2、反射定律
xoz n n A, B x oy 是两介质 , 的分界面； 是
平面内的两个固定点，且 在同种均匀介质中，则从A点发
出的光线经分界面反射到达 点的轨迹如何？
A, B
B
设从 A 点发出的光线入射到分界面 xoz ，平面上的 C 点（ x,0, z ）， 在 C 点反射到 B 点，设 A（x1,y1,0），B（ x2 , y2 ,0 ）
教学要求
（1）理解光线和光束的概念 （2）理解物和像的概念，掌握物、像虚实的实质及判断。 （3）掌握几何光学基本定律，并应用它讨论一些问题。 （4）了解由惠更原理，费马原理导出几何光学基本定律，了解费马原理在光学中的地位及作用。 （5）掌握几何光学中的符号法则。
（6）掌握用物像公式寻找成像规律。 （7）掌握以光线作图法寻找成像规律。 （8）熟练掌握正确运用物像公式和光线作图法求解单球面、薄透镜及简单光具组的成像问题。
F2 AF1
F ，因
的光程极小。 1
4、抛物面镜 A1
P1
Q1
证明如下：
O’ O
F
A2
P2
Q2
F是抛物面镜的焦点，由抛物线的性质。
F 1 P 1 Q P 1 F 2 P 2 Q P 2 F O O O
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
利用费马原理证明反射定律
利用费马原理证明反射定律利用费马原理证明反射定律反射定律是一个非常重要的物理学定律，它描述了光线在一个平面镜面上反射时的行为。
在物理学中，要证明一个定律通常需要使用实验或数学方法，但是今天我们要介绍的是另一种证明方法——费马原理。
接下来，我们将详细阐述费马原理是如何证明反射定律的。
一、费马原理的基本概念费马原理是光学中的重要定理之一，它是由法国物理学家皮埃尔·德·费马提出的。
费马原理的基本概念是：光线在传播过程中，总是沿着路径最短的路线传播。
这条最短路线称为光程最小路线。
而光程最小路线又称为费马路径。
在真空中，光线的速度相同，因此它的光程就是它路径的长度。
而在其他媒质中，光线的速度不同，因此光程就是路径长度与媒质折射率的乘积。
二、反射定律的基本概念反射定律，也称为“镜面反射定律”，描述了光线在平面镜面上反射时的行为。
它的基本概念是：入射光线和反射光线在反射面上的交点以及交点处的法线共面，并且两个夹角相等。
三、利用费马原理证明反射定律利用费马原理证明反射定律的具体过程如下：1. 假设有两个相距很远的点P和P’，它们与一个平面镜面M成等角的入射光线I和反射光线R分别从P和P’处发射，经过M面上的点O。
2. 根据费马原理，入射光线I和反射光线R都要沿着光程最小路线传播。
因此，它们在经过反射点O时的光程长度必须相等。
3. 假设入射光线I在M面上的反射点为O1，与入射光线I相交的法线为N1，反射光线R在M面上的反射点为O2，与反射光线R相交的法线为N2。
因为入射光线I和反射光线R都要沿着光程最小路线传播，所以O1O和O2O所代表的路程的时间是相等的。
4. 根据几何学知识，可以得出入射角i和反射角r，因为反射角r等于入射角i，所以O1O2即为光程最短路径，也就是费马路径。
5. 因此，根据费马原理，入射光线I和反射光线R在经过反射点O时的光程长度相等，反射点O在M面上，并且呈现与入射光线I 和反射光线R相等的夹角。
数论费马小定理
数论费马小定理数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它是由法国数学家费马在17世纪提出的。
费马小定理给出了一种判断一个数是否为素数的方法，它为数论研究提供了一个重要的工具。
本文将详细介绍数论费马小定理的原理和应用。
1. 费马小定理的原理费马小定理是关于模运算的一个定理。
模运算是指在数学中，把一个数除以另一个数，求出余数的运算。
例如，当我们说“7除以3等于2，余1”时，2就是商，1就是余数。
费马小定理的原理是：如果p是一个素数，a是一个整数，那么a 的p次方减去a，再除以p，所得的余数一定是0。
换句话说，a的p次方与a取模p的结果是0。
2. 费马小定理的应用费马小定理在密码学领域有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在RSA加密算法中。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用了大素数的乘积来加密和解密数据。
RSA加密算法的安全性依赖于两个大素数的乘积难以分解成其素因子。
费马小定理可以用来检测一个数是否为素数，从而在RSA加密算法中选择合适的素数。
费马小定理还可以用来求解模线性方程。
模线性方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m都是整数。
费马小定理可以帮助我们在模运算中求解这类方程。
3. 费马小定理的例子为了更好地理解费马小定理，我们来看一个例子。
假设我们要判断数17是否为素数，我们可以选择一个整数a，比如2，然后计算2的17次方除以17的余数。
根据费马小定理，我们知道2的17次方与2取模17的结果应该为0。
具体计算过程如下：2^17 ≡ 2 (mod 17)上述计算结果为2，不等于0。
因此，我们可以得出结论，17不是一个素数。
4. 总结数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它可以用来判断一个数是否为素数，求解模线性方程等。
在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。
通过了解和掌握费马小定理的原理和应用，我们可以更好地理解数论的基础知识，并应用于实际问题中。
数论费马小定理的研究对于数学学科的发展具有重要的意义，它不仅为数论研究提供了有力的工具，也为密码学和模运算等相关领域的研究提供了理论基础。
费马定理介绍
费马定理费马原理是光学中最为基础的原理,它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一,并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论.可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律,能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达：光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说， 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：⎰∑∑=∆=∆===ndl c t l n c v l t PQ i i i i i i 1111费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==01ndl ct P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰==0ndl L P Q δδ① 直线传播定律:两点间的所有可能连线中，线段最短-—光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=222221x a H x H n OBn AO n L +=()22222211x a H n x H n -+++=OBn AO n L 21+=很明显，光程L 是关于变量x 的函数,由费马原理分析，真实的光程是固定的,在均匀介质中的一阶导数是0，即()()0222221=-+--+=x a H x a n x H nx dx dL即有()I n I n -sin sin =即I I -=反射定律由上面推导出来了.进一步可以证明22dxL d >0 ， 这说明满足反射定律的光线具有最短光程. 从费马原理导出折射定律下图中，两个介质均为均匀介质，它们的折射率分别为1n 、2n ，光线从1n 介质投射到折射面的O 点，光线折射后进入2n 介质，然后通过B 点。
1-1几何光学的基本定律和费马原理
由 i1, i2都是锐角， n1 0, n2 0 , 由图 x1 0, x2 0 ，
要使等式成立，i1, i2都是正，因此，x 在 x1, x2 之间，即入
过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。
现在表述：光沿光程取极值的路径传播。
［注］极值：极小值、极大值、恒定值
每一可能路径都是空间的 坐标函数,而光程又随路
数学表述：（由变分原理）
ò d
[l]
=
d
B
òA
n dl
=
0
或dt
=
1 c
B
ndl = 0
A
径而变化,是函数的函 数——泛函*,其改变称为 变分，数学过程是相应的 求导。 *泛函与复合函数（附录4）
度较低比如40度）进入光疏介质（地表空气薄层，低折光指数，
温度较高比如80度），发生的全反射。
29
3、日食、月食
30
31
附录3:利用费马原理证明折射定律
A,B是xoy平面内的两个固定点，且在不同的介质中，则光
线的轨道如何？
y A(x1,y1,o)
由A经C到B的光程为： z
i
1
D(x,0,0) C(x,0,zi)2
波面
光线
波面
光线
球面波
平面波
在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。
即光线与波面总是垂直的。
4
二、几何光学的基本实验定律
1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质 中沿直线传播。
实例：物体的影子、针孔成 象、日食、月食
［注］：非均匀介质中， 光以曲线传播，向折射率 增大方向弯曲
实例：夏日柏油路上的 倒影、海市蜃楼
5
费马原理证明折射定律
费马原理证明折射定律费马原理是光学中的一个重要原理，可以用来证明光的折射定律。
费马原理的核心思想是光在两点之间传播时，会沿着光程最短的路径传播。
本文将详细介绍费马原理的基本概念和应用，以及如何用费马原理证明折射定律。
首先，我们来了解一下费马原理的基本概念。
费马原理指出，光沿着光程时间最短的路径传播。
这里的光程时间是指光在传播路径上所需的时间，它与路径的长度以及介质的光速有关。
为了理解费马原理，我们引入了光的波动性和光学量程的概念。
光的波动性意味着光是以波的形式传播的，而光学量程是指光传播路径的长度。
因为光的传播速度在不同介质中是不同的，所以光学量程是介质中的距离乘以介质中的光速。
在介质的边界上，光传播的速度会发生变化，这是由于不同介质的折射率不同造成的。
光的折射率是指光在其中一介质中的传播速度与真空中光的传播速度的比值。
当光从一个介质进入另一个介质时，其传播速度会改变，导致光的传播方向也会发生改变，这就是折射现象。
现在我们来使用费马原理证明折射定律，即入射角和折射角之间的关系。
我们考虑光从一个介质A射入另一个介质B的情况。
设光在A介质中以速度v1传播，在B介质中以速度v2传播。
光从A介质射入到B介质的路径可以用一个射线来表示。
根据费马原理，光会沿着光程时间最短的路径传播，即光的折射路径应该是光程时间最短的路径。
因为光沿着这条路径传播的时间最短，所以其他路径上的传播时间必然比这个路径长。
因此，我们只需要证明这条路径与入射光线和折射光线的夹角最小，即可证明入射角和折射角之间的关系。
现在，让我们根据费马原理来求解这个问题。
考虑到光程时间的定义，我们可以将问题转化为求解时间函数T的驻定值点。
所谓驻定值点，就是函数的导数等于零的点。
在这个问题中，时间函数T是光程与光速的乘积，即T=(l1/v1)+(l2/v2)，其中l1和l2分别是光在A介质和B介质中的光程。
我们设入射光线与界面法线的夹角为θ1，折射光线与界面法线的夹角为θ2、根据三角函数的关系，我们可以得到l1 = d/sinθ1和l2 =d/sinθ2，其中d是两个介质之间的厚度。
费马原理解释马吕斯定律
费马原理解释马吕斯定律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马原理是著名数学家费马提出的一种数学原理，也被称为费马小定理。
它的内容是对于素数的一个关于置换的性质，用数学语言描述就是：如果p是一个素数，a是任意整数且a不是p的倍数，那么a 的p-1次方对p取模的余数等于1。
这个原理在数论中有着重要的应用，被广泛地用于密码学、计算机算法等领域。
为了更好地理解马吕斯定律，我们先来看一下费马原理的内容。
费马原理的基本思想是利用素数的性质来求解整数的幂的模问题。
对于一个素数p和一个整数a，如果a不是p的倍数，那么a的p-1次方对p取模的余数等于1。
这个性质可以简单地用公式表示为：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
我们可以用一个例子来说明马吕斯定律的应用。
假设p=7，a=3，m=2。
根据费马原理，我们知道3的6次方对7取模的余数等于1，即3^6 ≡ 1 (mod 7)。
根据马吕斯定律，我们有(3^7)^2 ≡ 3^(7*2) (mod 7)。
进一步计算得到3^14 ≡ 3^14 (mod 7)，即27 ≡ 27 (mod 7)。
我们验证了马吕斯定律在这个例子中的正确性。
马吕斯定律是费马原理的一个重要推广，它在数论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过了解和理解这个定律，我们可以更好地理解和运用数学知识。
希望通过本文的介绍，读者对马吕斯定律有了更深入的了解。
第二篇示例：费马原理是数学中的一条基本原理，由法国著名数学家费尔马在17世纪提出。
费尔马原理通常被形式化地描述为“对于任何大于2的自然数n，不存在正整数解x、y、z，使得x^n + y^n = z^n成立”。
这个原理在数学上有着广泛的应用，其中最为著名的便是费马大定理，即费马最后定理，这是费尔马原理的一个特例，对于n=3的情况。
与费马原理相关的还有一个著名的数学定律，即马吕斯定律。
这里先简单介绍一下马吕斯定律。
马吕斯定律是19世纪法国数学家马吕斯提出的一条定理，该定理表示如果一个数的末尾数字是几，那么这个数的n次方的末尾数字也为几。
费马原理及其在物理学中的应用研究
费马原理及其在物理学中的应用研究引言：费马原理是物理学中一项重要的原理，它涉及光学、力学、电磁学等多个领域。
费马原理的提出和应用研究对于我们深入理解自然现象和推动科学技术的发展具有重要意义。
本文将从费马原理的基本概念出发，探讨其在物理学中的应用研究。
一、费马原理的基本概念费马原理是由法国科学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的。
该原理的核心思想是：光在传播过程中会选择经过光程最短的路径。
换言之，光在传播过程中会遵循最短时间原理。
这个原理的提出对于光的传播规律的研究和光学器件的设计起到了重要的指导作用。
二、费马原理在光学中的应用研究1. 光的折射定律费马原理对于解释光的折射现象提供了重要的理论依据。
根据费马原理，光在从一种介质射向另一种介质时，会选择经过光程最短的路径。
这就是我们熟知的光的折射定律。
通过费马原理，我们可以解释为什么光从光疏介质射向光密介质时会向法线弯曲。
2. 光的反射定律费马原理也可以解释光的反射现象。
当光从一种介质射向另一种介质的边界时，会选择经过光程最短的路径。
在光的反射定律中，我们可以看到光的入射角等于反射角。
这一现象可以通过费马原理的推导得出。
3. 光的干涉现象费马原理还可以用来解释光的干涉现象。
干涉是指两束或多束光相互叠加产生的现象。
根据费马原理，光在传播过程中会选择经过光程最短的路径。
在干涉实验中，我们可以通过调整光程差来控制干涉条纹的位置和形状。
三、费马原理在力学中的应用研究费马原理不仅在光学中有重要应用，还在力学中发挥着重要作用。
1. 费马原理与最速降线问题费马原理与最速降线问题是力学中的一项研究。
最速降线问题是指在给定两点之间，求解一条曲线，使得质点在重力作用下从起点到终点所经过的时间最短。
根据费马原理，最速降线问题可以通过求解光程最短路径的微积分问题来解决。
2. 费马原理在机械优化设计中的应用费马原理在机械优化设计中也有广泛应用。
例如，在设计机械零件时，我们可以利用费马原理来优化零件的结构，使得零件在受力下具有最优的性能。
几何光学的基本定律和费马原理
光传播的可逆性
• 光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的 反射和折射光将沿原来的入射光的方向。 如果物点 Q 发出的光线经光学系统后在 Q’ 点成像， 则Q’点发出的光线经同一系统后必然会在 Q点成像。 即物像之间是共轭的。
Q
Q ’
三、全反射、光学纤维
1.全反射原理
全反射：当入射角i1增大到某一值ic时，折射角i2=90o。继续增大入射角， 则光线不再进入介质2，而是按反射定律确定的方向全部反射。 全反射临界角： 全反射的条件：
48.6
o
48.6
o
鱼眼在水中的视场
水中的针孔成像
2.光纤的基本结构特性
(1) 光纤的几何结构
光纤：能够导光的圆柱型玻璃或塑料纤维
几何结构：一般由纤芯和包层两部分构成
z
纤芯
n1
n2
包层
光纤的几何结构
(2) 光纤分类
① 按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。 ② 按传输特性分：单模光纤，多模光纤。
n
说明：单模光纤中各层介质
折射率均匀分布，多模光纤 各层介质折射率可以是均匀 分布（阶跃型），也可以是 纤芯介质折射率呈渐变分布 （梯度折射率型）。
n n
a 阶跃型单模光纤
b 阶跃型多模光纤
c 梯度折射率型光纤
三种主要光纤类型的折射率分布及传光特性
(3) 光纤的传光条件
传光条件：光线在纤芯与包层分界面处的入射角为i1应满足全反射条件
d (QOP) n1 x n2 ( p x) n1 sin i1 n2 sin i2 0 2 2 dx h1 x 2 h2 ( p x) 2
④物像之间的等光程性：
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的，即不管光线经何 路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q’的光线，都是 等光程的。
折射定律费马原理推导
Hale Waihona Puke 欢迎指正！[ L(AC) = n_1 \sqrt{x_1^2 + h_1^2} + n_2 \sqrt{(L-x)^2 + h_2^2} ] 其中，n1和n2分别是介质1和介质2的折射率，h1和h2分别是A到B和B到C的 高度3。
折射定律费马原理推导
求导并令导数为0：对L(AC)关于x求导，并令导数为0，可以得到： [ \frac{d}{dx} L(AC) = 0 ] 经整理得： [ \frac{n_1 \sin \theta_1}{n_2 \sin \theta_2} = 1 ] 其中，θ1和θ2分别是入射角和折射角3。 推导出折射定律：最终得到折射定律的公式： [ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 ] 这就是著名的斯涅尔定律（Snell‘s law）。
折射定律费马原理推导 2024.11.19
折射定律费马原理推导
折射定律可以通过费马原理推导出来。 费马原理（Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年 提出，其基本思想是光传播的路径是光程取极值的路径，这个极值可能是极大 值、极小值，甚至是函数的拐点。 费马原理的基本内容 费马原理指出，光线传播的路径是需时最少的路径，即光走的时间要取极值12。 具体来说，假设光线从点A传播到点C，走过的光程长度为L(AC)，为了得到光 程的最小值，需要对L(AC)关于x求导，并令导数为0，从而得到折射定律2。 折射定律的推导过程 建立直角坐标系：在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y轴，建立 直角坐标系。在入射光线上任取一点A(x1,y1)，光线与两介质交界面的交点为 B(x,0)，在折射光线上任取一点C(x2,y2)。 计算光程：光从A点经过B点到C点所用的时间t应该是最短的。光程L(AC)可以 表示为：
费马定理和费马引理
费马定理和费马引理费马定理和费马引理是数学中的两个重要概念，它们源于17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马的研究。
这两个定理在数论、几何和代数等领域有着广泛的应用，对于解决数学难题和推动数学发展起到了重要作用。
费马定理是费马最著名的作品之一，它是一个关于数论的问题。
费马定理的内容是：对于大于2的任何正整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个定理在费马提出后一直没有被证明，成为了数学界的一个长期悬案。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯通过运用椭圆曲线和模形式的理论，成功证明了费马定理。
这一证明引起了广泛的关注，怀尔斯也因此获得了菲尔兹奖。
费马引理是费马在解析几何领域的成果之一。
费马引理的内容是：两点到一个定点的线段长度之和最短。
也就是说，如果有一个定点和两个不同的点，要使得这两个点到定点的距离之和最小，那么这两个点必须在定点的连线上。
这个引理在几何问题中有着广泛的应用，例如三角形的内切圆和外接圆问题，以及最短路径问题等。
费马引理的证明需要运用微积分的知识，通过对函数求导等方法可以得到最小值。
费马定理和费马引理虽然在不同的领域，但它们都体现了费马的思想和方法。
费马是一位非常有才华的数学家，他对问题的敏锐和独特的见解使得他的研究成果在数学史上占有重要地位。
费马定理作为数论中的经典难题，经历了几个世纪的探索和猜想，最终由怀尔斯得到了完美的证明。
而费马引理则是解析几何中不可或缺的工具，为解决各种几何问题提供了重要线索。
除了费马定理和费马引理，费马的研究还包括代数、概率论等多个领域。
他对数学的贡献不仅体现在具体的定理和引理上，更重要的是他提出的问题和解决问题的思路。
费马的数学之路充满了智慧和创造力，他的成就不仅对当时的数学发展起到了重要推动作用，也对后世的数学研究产生了深远影响。
费马定理和费马引理是数学中的两个重要概念，它们体现了费马的数学思想和方法。
费马定理在数论领域有着重要的地位，费马引理则在解析几何中起到了关键作用。
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z 0
有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y
2 2 1
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
sin i
5. 由费马原理导出折射定律
几何光学中 0 几何方法讨论成像规律
3. 波面
光振动—用电磁波中电场强度的变化表示 波面：在任意时刻,振动位相值相同的各点所构成的 曲面
波面对应的法线就是光束
二.几何光学的基本定律 1. 光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播
2. 光的独立传播定律：两束光在传播途中相遇时互不 干扰，即每一束光的传播方向及其他性质(频率、波 长、偏振状态)都不因另一束光线的存在而发生改变
4. 理想光学系统物像之间的等光程性 可用费马原理证明
2 2பைடு நூலகம்2
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) y 2 z
2 2 2
0
[l ] n1 z n1 z 0 2 2 z ( x x1 ) 2 y1 z 2 ( x x2 ) 2 y 2 z 2 z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M ( x,0, z ) M ( x,0,0) AM MB AM M B 光程[l]取极小值
2）. 像散光束：各条光线彼此既不平行又不完全相交 于一点。 2. 物和像 物空间和像空间 成像的实质——将入射同心光束转化为出射同心光束 若干反射面、折射面——光学系统——系统 实像：出射单心会聚光束的顶点 虚像：出射单心发散光束的顶点 实物点：入射单心发散光束的顶点 虚物点：入射单心会聚光束的顶点
3–1
Basic laws of geometric Optics
1.1 几何光学的基本定律
一. 光源和光线
1. 光源
光源—任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日 光灯、高压水银荧光灯等 点光源—可看成几何上的点，只有空间位置无体积的光源 2. 光线和光束 光线—光能传播方向的几何线
光束—有一定几何关系的一些光线的集合
P ( x, y , z ) A( x1 , y, z1 ) B ( x2 , y , z 2 )
[ APB] n1l1 n2l2 l1 z1 ( x x1 ) y l2 z2 ( x x2 ) 2 y 2
2 2
2
2
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) (n1l1 n2 l2 ) 0 0 y x (n1l1 n2l2 ) ny n y 1 2 0 y l1 l2
三、 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理 1.光程 在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： [l ] nl
[l ] l n c c [l ] l t c
1）. 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过 一定几何路程所需要的时间。
2.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径 平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。 换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
[l ] ndl 0
A
B
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时， 函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶 微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点 A B，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一 般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时 光程的改变一般称为变分。 3.费马原理的应用 1）. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。 2）. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
介绍
n1
i1 i1
i2
n2
*漫射：当界面粗糙时,各入射点处法线不平行,即使入 射光是平行的,反射光和折射光也向各方向分散开—漫 反射或漫折射。
4.光的可逆性 由于折射定律的对称性,可得出光线传播的 可逆性。 表明：当光线沿与原来方向相反的方向传播时， 其路径不变。 注意：在不考虑介质吸收引起损耗时，波动现 象就是一个可逆过程。
[l ] nl t [l ] ct c c
2）. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在 真空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
[l ] 1 k [l ] ni li , t ni li c c i 1 i 1
k
◆ 连续介质:
[l ] ndl
(l )
本章内容
几何光学的基本定律
basic laws of geometric Optics
Contents
chapter 1
费马原理
principle of Fermat
与成像有关的基本概念
basic conceptions of image formation
傍轴成像理论
image forming theory by the general centred system
3. 光的折射反射定律：
(1) 光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和 入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即
i1 i1
(2) 光的折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入 射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之 比为一与入射角无关的常数，即
sin i1 n2 n21 或 n1 sin i1 n2 sin i2 sin i2 n1
同心光束通过光学系统后生成点像
实物成实像
实物成虚像
虚物成实像
虚物成虚像
3.理想光学系统
物像之间的共轭
理想光学系统——能实现同心光束变换的光学系统 性质: (1) 物空间一个点对应像空间的一个点; (2) 物空间的一条直线对应于像空间的一条直线; (3) 物空间的一个平面对应于像空间的一个平面。 点 —点 线 —线 面—面 共轭性
(n1l1 n2 l2 ) x x1 x2 x n1 n2 0 x l1 l2
x x1 x2 x sin i1 sin i2 l1 l2
n1 sin i1 n2 sin i2
四.梯度折射率介质中光线的弯曲
即为折射率随不同位置呈连续变化的介质
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
4. 由费马原理导出光的反射定律 AB的光程为
2 2 [l ] n1 AM n2 M B n1 ( x x1 ) 2 y1 z 2 n1 ( x x2 ) 2 y2 z 2
光程取极值
[l ] 1 x n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y1 z
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。 分析：
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
N
抛物线性质 P 1F P 1Q1 P 2F P 2Q2 则 A1P 1P 1 F A2 P 2 P 2F 即
[ A1P 1 F ] [ A2 P 2F]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
四 成像的基本概念
1.单心光束和像散光束 1）单心光束： 一束光线本身 或其延长线交 于一点。
会 聚 光 束
发 散 光 束
特殊：平行光束——会聚于无穷远