【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案
高中数学_4.1.1 n次方根与分数指数幂教学课件设计
情境引入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一 个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少 呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现 导致了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
1
c
1 c2＝2 (c>0)
合作探究
二、素养落地 通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂
的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.
阅读与思考
从16世纪数学家斯蒂文尝试用分数指数 幂符号开始，历经17世纪牛顿用有理指数幂符 号表示根式，直到18世纪欧拉明确给出定义， 这一表示法才被人们普遍接受和应用。
阅读与思考
题型一 根式与指数幂的互化 角度1 分数指数幂化根式
【例2-1】用根式的形式表示下列各式（a>0）
3
(1) a 4
3
(2) a 5
角度2 根式化分数指数幂 【例2-2】 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式
(1) 3 x2 x 0
(3) p6 p5 p 0
(2) 5 m n 4 m n
a3
(4)
合作探究
①
2
4
②
2
9
4
③ 4 16
3
④ 3 1
3
⑤ 3 8
;
① 22
;
② (2)2
;
③ 3 33
;
④ 3 (3)3
;
⑤ 4 (1)4
试一试， 有规律吗？
; ; ; ; ;
根式的性质
性质1： (n a )n a
性质2：当n为奇数时, n a n a 当n为偶数时, n an | a | aa, a, a00
新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二 根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义． 三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由 －1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
高一数学教案411N次方根与分数指数幂
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。
2.掌握分数指数幂与根式的互化。
二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。
教师提问，学生回答：x是a的平方根。
提问引入，吸引学生的学习兴趣。
2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
例如：2就是8的立方根。
n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。
那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。
加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。
的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。
根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
你还记得哪些整数指数幂的运算性质。
把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。
4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（一）课时教学内容：n次方根的概念和分数指数幂的概念（二）课时教学目标：1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.（三）教学重点与难点1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算2.教学难点：分数指数幂的概念（四）教学过程设计【问题1】复习回顾，回答下列问题1.什么是平方根？什么是立方根？2.一个数的平方根有几个？立方根呢？师生活动：1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.设计意图：回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？师生活动：1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.设计意图：了解n次方根的概念和表示.【问题2】阅读课本104页，思考下列问题1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？2.负数有偶次方根吗？为什么？师生活动：1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n na等于什么？师生活动：教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.设计意图：得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．师生活动：1.教师引导学生分析1和2:1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；2:错误，是指16的正的4次方根，所以；2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.【问题4】计算课本105页例1师生活动：学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.设计意图：巩固以上所学知识.【问题5】思考问题根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？师生活动：1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.【问题6】计算课本106页例2和例3师生活动：学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.设计意图：让学生加深理解分数指数幂的运算性质.【课后作业】课本109页第1、2题设计意图：第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.（五）目标检测设计目标检测题：1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：（1）32a ； （2）32-a检测目标：根式与n 次方根之间的转化.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.3.计算下列各式：（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a检测目标：分数指数幂的运算性质.。
《n次方根与分数指数幂》
4.1.1n次方根与分数指数幂(教师独具内容)课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.na n与(na)n的区别与联系．【知识导学】知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：□01一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，□02a的n次方根表示为n a，a∈R；②当n是偶数时，□03a的n次方根表示为±n a，其中－n a表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．(3)根式：□04式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二根式的性质(1)(na)n＝□01a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．(2)na n＝□02⎩⎨⎧a(n为奇数，且n＞1)，|a|(n为偶数，且n＞1).知识点三分数指数幂的意义(1)am n ＝□01 n a m，a －mn ＝1am n＝□021n a m (其中a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)0的正分数指数幂等于□030,0的负分数指数幂□04没有意义． 知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 【新知拓展】 1.n a n 与(na )n 的区别(1)na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式na m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn 进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23＝3(－5)2有意义，但(－5)34 ＝4(－5)3就没有意义．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．( ) (2)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( ) (3)(3－π)2＝π－3.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用根式的形式表示下列各式(a >0)：①a15 ＝________；②a34＝________； ③a －35 ＝________；④a －23＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a >b >0)． ① 5(a －b )7＝________；②4(a 2－b 2)3＝________； ③4a 2b －ab 2＝________；④4(a 2－b 2)2＝________.(3)若n 为偶数时，n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为________．答案 (1)①5a ②4a 3 ③15a 3 ④13a2(2)①(a －b )75 ②(a 2－b 2) 34 ③(a 2b －ab 2) 14 ④(a 2－b 2)24 (3)x ≥1题型一 根式的概念 利用根式的性质化简例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________； ②已知x 7＝6，则x ＝________；③若4x －2有意义，则实数x 的取值范围是________； (2)化简：① n(x －π)n (x <π，n ∈N *)；②4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解析] (1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.②∵x 7＝6，∴x ＝76. ③要使4x －2有意义，则需x －2≥0，即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2，＋∞)．(2)①∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时， n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.②∵a ≤12，∴1－2a ≥0， ∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a . [答案] (1)①±4 5－27 ②76 ③[2，＋∞)(2)见解析 金版点睛1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A.1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102(3)化简下列各式： ①3－27；②(3－9)3；③(a －b )2.答案 (1)B (2)D (3)见解析解析 (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，③④正确．(2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数，∴m ＝±102. (3)①3－27＝3(－3)3＝－3.②(3－9)3＝－9.③ (a －b )2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a <b ).题型二 根式与分数指数幂的互化例2 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )A.－4x ＝(－x )14 (x >0)B.x － 15＝－5x (x ≠0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy >0) D.8y 2＝y14[解析] 对于A ，－4x ＝－x14 ，所以A 错误；对于B ，x －15 ＝15x，所以B错误；对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy >0)，所以C 正确；对于D ，8y 2＝|y | 14 ，所以D 错误．[答案] C金版点睛根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn＝na m和a－mn＝1amn＝1na m，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.[跟踪训练2]用分数指数幂表示下列各式：(1) 3ab2(ab)3(a>0，b>0)；(2)13x(5x2)2(x>0)．题型三多重根式的化简例3化简：3＋22＋3－2 2.[解]解法一：原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.解法二：令x＝3＋22＋3－22，两边平方得x2＝6＋29－8＝8.因为x>0，所以x＝2 2.金版点睛形如m±2n(m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为(a±b)2的形式后再化简．由于(a ±b )2＝a ＋b ±2ab ，因此转化的方法就是寻找a ，b ，使得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝m ，ab ＝n ，即a ，b 是方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根．如化简2－3，首先化为m －2n 的形式，即4－232，解方程x 2－4x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝1，则4－23＝(3－1)2，所以2－3＝4－232＝(3－1)22＝3－12＝6－22. [跟踪训练3] 化简： 5＋26－6－42＋7－4 3.解 原式＝(3＋2)2－ (2－2)2＋ (2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.1.已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B解析 由根式的定义知，x 5＝6，x ＝56，选B. 2.下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D.3(－2)3＝2答案 C 解析 由于(－3)2＝3，4a 4＝|a |，3(－2)3＝－2，故A ，B ，D 错误.3.若64a 2－4a ＋1＝31－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 D 解析 ∵64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a ，∴1－2a ≥0，即a ≤12.4.计算下列各式的值： (1)3－53＝__________；(2)设b <0，则(－b )2＝__________. 答案 (1)－5 (2)－b 解析 (1)3－53＝－353＝－5.(2)∵b <0，∴－b >0，∴(－b )2＝－b .5.计算： (e ＋e －1)2－4＋(e －e －1)2＋4(e ≈2.7)． 解 原式＝e 2＋2＋e －2－4＋e 2－2＋e －2＋4＝(e －e －1)2＋(e ＋e －1)2＝e －e －1＋e ＋e －1＝2e ≈5.4.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1.若n a n ＋(n ＋1a )n ＋1＝0，a ≠0，且n ∈N *，则( ) A.a >0，且n 为偶数 B ．a <0，且n 为偶数 C.a >0，且n 为奇数 D ．a <0，且n 为奇数 答案 B 解析 由(n ＋1a )n ＋1＝a ，得na n ＝－a ，故n 为偶数且a <0.2.若xy ≠0，那么等式 x 2y 3＝－xy y 成立的条件是( ) A.x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C.x <0，y >0 D ．x <0，y <0 答案 C解析依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2y 3>0，－xy >0，y >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0，故选C.3.若4a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是()A.[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且a≠4，故选B.4.7＋43＋7－43等于()A.－4 B．2 3 C．－2 3 D．4答案 D解析7＋43＋7－43＝(2＋3)2＋(2－3)2＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果为()A.2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x答案 C解析由2－x有意义得x≤2，则x2－4x＋4－x2－6x＋9＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.二、填空题6.化简：b－(2b－1)(1<b<2)＝________.答案b－1解析原式＝(b－1)2＝b－1(1<b<2).7.已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.答案4 5解析∵3a＝2,3b＝5，∴32a－b＝(3a)2·3－b＝22×15＝45.8.已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①6(－2)2n；②5a2；③6(－3)2n＋1；④9－a4，其中没有意义的是________(只填式子的序号即可)．答案③解析①中，(－2)2n>0，∴6(－2)2n有意义；②中，根指数为5，∴5a 2有意义； ③中，(－3)2n ＋1<0，∴ 6(－3)2n ＋1没有意义； ④中，根指数为9，∴ 9－a 4有意义.三、解答题9.已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简 n(a －b )n ＋n(a ＋b )n .解 ∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴ n(a －b )n ＋n(a ＋b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.10.若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0. ∴(x ＋y )(x －2y )＝0. 由x >0，y >0，得x ＋y >0. ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y . ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.B 级：“四能”提升训练1.求解关于x 的一元二次方程2x 2－10x ＋3＝0.解 Δ＝(－10)2－4×2×3＝10－46＝(6－2)2，由求根公式得 x ＝10±(6－2)222＝5±(3－2)2.2.某工厂2018年12月份的产值是这年1月份产值的k 倍，求该厂在2018年新教材·数学·必修·第一册[A]度产值的月平均增长率．解设1月份的产量为a，月平均增长率为x，则2月份的产量为a＋ax＝a(1＋x)，3月份的产量为a(1＋x)＋a(1＋x)·x＝a(1＋x)2，……12月份的产量为a(1＋x)11，依据题意，a(1＋x)11＝ka.解得x＝11k－1，即2018年度产值的月平均增长率是11k－1.。
【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案
4.1.1 n 次方根与分数指数幂教学设计一、教材分析：从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠，且0>(a a a nm、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：（一）自主预习——探新知： 问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件) —— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
m
n
3
7
3
n
5
m
n m
即：
a a (a 0, m, n N * , n 1)
*
分数指数
●规定：
1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
n
a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m
n
1
a
m
n
1
n
am
回顾旧知
22=4
(-2)2=4
23=8
2,-2叫4的平方根.
2叫8的立方根.
新 知 探 索
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体
实数. 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面
积S的函数 c
1
2
s ，记作 c s ．
1
2
像 s 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面
从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
a b, a b,
2
(4) （a-b） a b
b a, b a.
先回顾一下初中时的整数指数幂，运算性质
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
n
a
n
0
1
n
a
(a 0)
a a a
m
n
mn
0
负整数指数幂转化为正整数指数幂
第四章 指数函数与对数函数
● 4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念.
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
【新教材教案】4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
4.1.1n次方根与分数指数幂-新人教版高中数学优秀教案
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n 次方根与分数指数幂学习要求1.理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2.能利用根式的性质对根式进行运算．3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．教学重难点重点：根式概念的理解；分数指数幂的理解；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学过程一、创设情境良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现，这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑，考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数.指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.追问：初中我们学习指数的有关运算：n m n m a a a +=.；n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(；m m b a m b a =⋅)(其中N n m R b a ∈∈,,,二、复习巩固，引入新课1.n 次方根的概念问题2：初中我们学过平方根、立方根的概念,你能回顾出这些概念吗?请举例说明。
若,2a x =则x 叫做a 的平方根,记作:a ±，例如，±2就是4的平方根若,3a x =则x 叫做a 的立方根,记作:3a ，例如，±2就是8的立方根追问：类比平方根、立方根,你能给出4次方根、5次方根,，n 次方根的定义吗?师生活动 学生独立完成,然后进行全班交流，教师进行点评的基础上,给出完整的定义.教师要注意学生在写a 的4次方根时可能出现的错误。
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根. 其中1>n ，且*N n ∈.2. n 次方根的性质（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章-4.1.1n次方根与分数指数幂教案
《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。
本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。
同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。
教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。
n次方根与分数指数幂教案
4.1.1 n次方根与分数指数幂一、内容与内容解析1.内容n次方根的定义及其性质，分数指数幂的定义，有理数指数幂的定义与运算性质．2.内容解析教科书章引言一方面指出了章头图所蕴含的数学模型，另一方面还列举了这些数学模型的其他背景实例，从而指出本章将类比幂函数的研究方法，学习指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，以及运用它们解决一些实际问题．教科书章头图是良渚遗址．通过章引言，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时间的变化按一定的规律衰减，引出本章将要学习的指数函数．在实际应用中，往往是先通过技术手段测出死亡生物体内碳14的含量，然后根据指数函数建立生物体内碳14的含量与死亡时间的关系，并利用对数和对数函数推算生物死亡的大致时间，从而实现考古的目的．由于死亡生物体内碳14的含量随时间连续变化，说明引进分数指数幂和无理数指数幂的必要性，并为指数函数的定义域是实数集提供了现实背景．研究函数必先掌握运算，而数及其运算是推动数学发展的源泉和动力之一，是数学的基石．指数幂运算和对数运算是两类基本运算，对数运算与指数幂运算紧密相连，需要转化成指数幂运算，因此，熟练掌握指数幂运算是本章的基础．指数幂运算的本质是数的自乘，把整数指数幂运算推广到有理数指数幂运算的本质就是使用新的运算符号表示根式运算和分式运算（负数指数幂运算），简而言之就是从一个符号的规定再到另一个符号的规定.只要能够准确进行两种运算符号的转化即可.而有理数指数幂这种数学运算符号表示的简洁性、运算的便捷性都优于分式和根式，这一符号的产生具有其必然性.比如：a与b的算术平均数为，几何平均数为，可理解为运算级的上升.事实上从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉才明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.指数幂运算的发展史充分说明基于数学语言的简洁性、准确性和合理性，有理数指数幂运算符号的产生与完善是有其历史必然性的.教科书在研究幂函数时把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作引出分数指数幂的表示法.数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容，于是从根式的意义入手，将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，又为了希望整数指数幂的运算能与其相容，于是只规定了被开方数为正数的分数指数运算.事实上分数指数幂是根式的一种新的表示方法，其表示的简洁性、运算的便捷性都优于根式．而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.因此本节课的教学重点是：根式与有理数指数幂的意义及运算性质.二、目标与目标解析1.教学目标（1）经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质．（2）了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化.（3）理解有理数指数幂意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.达成如上目标的标志是：（1）学生能从平方根、立方根的概念学习过程中，归纳出一个数的n次方根定义，并能结合具体的例子理解n次方根的含义，及在n为奇数和偶数时化简的结果，特别是n为偶数时的情况.（2）学生通过将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式，推广到被开方数的指数不能被根指数整除的根式，再进一步分析这一运算法则规定的合理性，通过根式与分数指数幂的互化，理解分数指数幂的意义．（3）学生能正确地完成根式及有理数指数幂的化简运算.三、问题诊断分析虽然学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，并在学习幂函数的过程中接触过二次根式的分数指数幂的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有困难．因此本节课教学难点是：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质.教科书是通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根，归纳类比出n次方根的一般定义与性质. n次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广．教学时，可以用平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化区分负数指数幂与分数指数幂的不同，巩固、加深对有理数指数幂的理解.四、教学过程设计1．独立阅读，明确任务问题1请同学们先阅读教材第四章的章头图和章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？（2）这些函数可以解决哪些现实问题？师生活动：学生独立阅读教材内容，回答上述问题．预设的答案：（1）指数函数与对数函数，及其相关知识．（2）比如人口增长模型是指数函数；不可治愈的强传染病在大量人群中传播的初期都是一个简单的指数增长；声音的强度单位分贝是用对数做单位的（因为人耳对声音的变化很不敏感，其变化成倍数时才会有感）；衡量酸碱度的PH值也是取离子浓度的对数做单位的……举例时应突出指数函数爆炸性增长的特点，对数函数增速变缓的特征.设计意图：明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的研究指明方向．2．创设情境，引发思考问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义，并谈谈整数指数幂运算与乘法、除法运算的关系.指数的范围还能进一步扩充吗？师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师予以归纳.预设的答案：正整数指数幂来源于自乘运算，负整数指数幂运算来源于数的自乘运算的倒数，这种幂运算在表示形式上更加简洁.在学习幂函数时曾经把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作，因此猜想，指数的范围还能进一步扩充．设计意图：通过复习整数指数幂的运算，体会指数运算源于数的自乘，同时为了表示的简洁才引入了指数幂运算，阐述指数幂运算产生的必要性，以便引出分数指数幂运算.3．类比归纳，形成定义问题3 请类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根，5次方根，10次方根，11次方根，……你认为n次方根应该是什么？预设的师生活动：先由学生举例解释，然后进行观察、归纳、抽象.预设答案：学生举例：①(±2）4=16，我们把叫做16的4次方根；②(-2)5=-32，我们把叫做-32的5次方根；③37=2187，我们把3叫做2187的7次方根；……教师讲解：设计意图：引导学生由特殊到一般进行观察、归纳、抽象.形成n次方根的定义．4.深入分析，精致定义问题4 对于任意一个实数，它的n次方根分别是怎样的？预设答案：设计意图：规范根式的表示方法，通过对被开方数的分类讨论，理解根式的意义．小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就容易避免出现错误．设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根概念，形成严谨的逻辑划分思想，提升逻辑推理的核心素养.将正整数指数幂转化为被开方数的指数能被根指数整除的根式引出分数指数幂运算的定义.预设的师生活动：学生独立完成证明，然后交流展示．设计意图：通过简单应用，落实一个数到底有没有n次方根，一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.通过反例说明两步缺一不可．如果被开方数是一个正数，那么是一定成立的，并且其结果就是.为引出分数指数幂做铺垫.5．初步应用，深化理解例1 求下列各式的值：追问：求解的依据是什么？6.类比研究，获得有理数指数幂问题6负整数指数幂是用于表示分式的，如，其本质是通过扩充指数的范围表示分式．那么根式可以利用指数幂的形式表示吗？如果能，你要如何扩充指数的范围呢？尝试给出一个合理规定表示根式，并谈谈你这样规定的合理性.预设的师生活动：学生分组交流，可谈出多种方法，教师可提示以不改变指数幂的运算性质为标准.设计意图：从16世纪比利时数学家斯蒂文尝试用分数对应根式开始，历经17世纪牛顿用有理数指数幂符号表示根式，直至18世纪欧拉明确给出定义，这一表示法才被人们普遍接受和使用.这一历史发展过程充分说明分数指数幂的产生有其历史必然性，学生可以通过类比归纳，感受数学家制定规则时内在的逻辑性、概念之间的相容性，体会数学的简洁美，提升类比推理的能力.追问1：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道这就是说，被开方数的指数能被根指数整除的根式，可以表示为分数指数幂的形式．那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如,是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？预设的师生活动：学生类比猜想得到答案.预设答案：教师讲解：我们规定正数的分数指数幂的意义是．被开方数为负时不做研究.设计意图：为问题6的解决铺设阶梯.追问2：阅读教科书，理解分数指数幂的意义，谈谈负分数指数幂的意义．零与负数有分数指数幂吗？能不能说说这些规定的合理性？预设的师生活动：学生阅读教科书,回答问题．预设答案：负分数指数幂是在正分数指数幂的基础上取倒数．规定0的正分数指数幂都是0；0不能做分母，零的负分数指数幂没有意义. 而负数为被开方数的分数指数幂是需要扩充到复数空间研究的，不能用根式解释，故此时讨论之类的问题也是没有意义的.规定：（1）0的正分数指数幂等于0；（2）0的负分数指数幂没有意义.设计意图：规范表示方法，通过探讨数学符号形成的科学性与合理性，与根式比较体会分数指数表示在运算中的简洁性，同时理解分数指数幂意义的本质就是根式.追问3：有理指数幂的运算性质有哪些？预设的答案：7.初步应用，深化理解例2求值：例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0）：追问：求解的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，并展示，教师予以纠错并规范．预设的答案：例2例3追问：通过求解这些题目，你获得了怎样的经验？预设的答案：要明确求解的依据，根据规则有序运算．在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．设计意图：求解的依据有理指数幂的运算性质，因此要转化为指数运算而不是转化为根式．体现分数指数幂在运算中的优越性．8．梳理小结问题7：谈谈理数指数幂运算性质的特点.预设的答案：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化的是以降低一个运算级来实现的．9.布置作业（1）教科书107页练习1、2、3；五、目标检测设计计算下列各式设计意图：检测根式与分数指数幂的互化及有理数指数幂的运算性质.。
4.1.1n次方根与分数指数幂导学案
4.1.1 n 次方根与分数指数幂导学案1．经历n 次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式性质，提升数学抽象核心素养． 2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．一、复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质1.正整数指数幂的定义:=⋅⋅an a a a 个 ,其中∈n N*. 2.正整数指数幂的运算法则:（1）=⋅nma a (∈n m ,N*); （2）=÷nma a （,,0n m a >≠且∈n m ,N*）; （3）()=nma (∈n m ,N*); （4）()=mab (∈m N*);（5）=⎪⎭⎫⎝⎛mb a （,0≠b ∈m N*）.3.两个规定（1）=0a ）（0≠a . 零的零次幂没有意义. （2）=-na）（0≠a . 零的负整指数幂没有意义.（一）创设情境，引入新知如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c 与S 的关系是？c = =思考：我们对指数幂的认识从整数指数幂，拓展到像 21x 这样的分数形式的指数幂， 什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？（二）新知探究1．类比归纳，形成n 次方根的定义教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆教学过程322a ； 3aa ．跟踪训练2：化简 A.[2，＋∞) B ．[2,4)∪(4，＋∞) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)2．下列各式正确的是( )A ．3a = B ．47=-C ．5||a =D a =3．324-可化为( )A ．8B ．432 C ．18D ．342。
4.1.1 n次方根与分数指数幂课时教学设计(高洪春)-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导
4.1.1 n次方根与分数指数幂课时教学设计（高洪春）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学设计教学内容：n次方根与分数指数幂教学目标：知识目标：掌握求解正实数的n次方根和分数指数幂的运算方法。
了解相关概念，能够较好地运用所学知识解决实际问题。
能力目标：培养学生的数学思维能力，提高学生的计算能力、推理能力和问题解决能力。
情感目标：通过本节课的教学，让学生在掌握知识的同时，增强对数学的兴趣和信心。
教学重点：1.求解n次方根；2.分数指数幂的计算。
教学难点：1.根号下的有理数未提取因式；2.未化简的分数幂。
教学方法：（1）探究发现法：通过实物或数字，让学生自己发现n次方的内涵，并将其推广到n次方根。
（2）讲解法：对于本课重难点内容，采取讲解法进行讲解。
（3）练习法：通过大量的练习加深学生对于n次方根和分数指数幂的认识，提高计算和运用能力。
教学过程：一、引入1.仔细观察下面的算式：$a^2$+2ab+b^2，它是否有什么特点？2.让学生自己尝试展开：(a+b)²，并发现(a+b)²有什么规律？3.从这里推广到n次方，进而引入n次方根的概念。
通过自然数次方的练习，逐步引导学生了解n次方根。
二、讲解1.求解n次方根：即求解$x^n=a$的解。
2.分数指数幂的运算：$(a^m/n)^n$三、练习1.练习题目：（1）求解$10^6$的平方根；（2）求$(16/25)^{-3/4}$（3）求$(8x^2)^{2/3}+2(x^2)^{1/3}$2.互动练习：教师画图示意，让学生推理。
四、归纳1.在解题中有哪些需要注意的地方？2.回顾本节课所学的内容，有哪些值得学生深入思考或者总结的地方？五、作业1.课后作业：整理笔记，并完成相应练习题。
2.提出新问题：教师针对课堂中出现的一些问题，提出新问题，并带领学生继续探究。
教学反思本节课通过探究发现法、讲解法和练习法相结合，深入浅出地讲解了n次方根和分数指数幂的相关概念和运算方法。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 (教学课件)-高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.1
n次方根与分数指数幂
人教A版2019必修第一册
学习目标
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值．(重点)
3.会对分式和分数指数幂进行转化．(重点)
4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值．(难点)
C A T A L O G
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
乘方的结果叫做幂.
幂
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
底数
学习新知
初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面
1
2
积的函数 = 记作 = .像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面
从已知的平方根、立方根的意义展开研究.
5
例如，( 5)2 = 5, ( −3)5 = −3.
应用新知
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0, 记作 n 0 0.
式子 n a叫做根式, 这里n叫做根指数, a叫做被开方数.
让我们认识一下这个式子:
根指数
根式
n
a
被开方数
根据n次方根的意义, 可得( n a )n a , 例如( 5)2 5, ( 5 3)5 3
c 5 c (c 0),
我们希望整数指数幂的运算性质, 如(a k )n a kn , 对分数指数幂仍然适用.
学习新知
由此, 我们规定, 正数的正分数指数幂的意义是
m
n
a n a m (a 0, m, n N , n 1)
数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容．
人教版A高中数学必修第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(1)
第四章 指数函数与对数函数4.1.1 n 次方根与分数指数幂本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n 次方根与分数指数幂》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸,本节以此为出发点,引出了开n 次方根的概念,并将指数由整数推广到了分数。
体现了由特殊到一般的思想方法,同时本节课在整章中占有基础地位,为指数函数的学习奠定基础。
重点:根式的概念、分数指数幂的概念;难点:根式与分数指数幂的互化;有理数指数幂的运算性质;多媒体（一）、温故知新 1、思考辨析( 1)实数a 的奇次方根只有一个、( ) ( 2)当n ∈N *时,(n－2)n ＝－2.( ) ( 3)(π－4)2＝π－4.( ) [答案] ( 1)√ ( 2)× ( 3)× 2.416的运算结果是( ) A 、2 B 、－2 C±2 D 、±2 A [416＝424＝2.]3、m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A 4m 2 B.5m C 6m D.5－mC [当m <0时,6m 没有意义,其余各式均有意义、] 4、若x 3＝－5,则x ＝________. －35 [若x 3＝－5,则x ＝3－5＝－35.]（二）、探索新知探究1 n 次方根的概念问题例1 ( 1)27的立方根是________;16的4次方根是________、 ( 2)已知x 6＝2 016,则x ＝________.( 3)若4x ＋3有意义,求实数x 的取值范围为________. ( 1)3;±2 ( 2)±62 016 ( 3)[－3,＋∞] 解析:( 1)27的立方根是3;16的4次方根是±2. ( 2)因为x 6＝2 016,所以x ＝±62 016.( 3)要使4x ＋3有意义,则需要x ＋3≥0,即x ≥－3. 所以实数x 的取值范围是[－3,＋∞)、[规律方法] n 次方根的个数及符号的确定 1.n 的奇偶性决定了n 次方根的个数;2.n 为奇数时,a 的正负决定着n 次方根的符号. 跟踪训练1、已知a ∈R ,n ∈N *,给出下列4个式子: ①6－32n ;②5a 2;③6－52n ＋1;④9－a 2,其中无意义的有( )A 、1个B 、2个C 3个D 、0个 A [①中( －3)2n >0,所以6－32n 有意义,②中根指数为5有意义,③中( －5)2n ＋1<0,因此无意义,④中根指数为9,有意义、选A.] 探究2 利用根式的性质化简求值 例2 化简下列各式: ( 1)5－25＋(5－2)5; ( 2)6－26＋(62)6;( 3)4x ＋24;[解] ( 1)原式＝( －2)＋( －2)＝－4. ( 2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.( 3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2.－x －2，x <－2.跟踪训练2、若9a 2－6a ＋1＝3a －1,求a 的取值范围、 [解] ∵9a 2－6a ＋1＝3a －12＝|3a －1|,由|3a －1|＝3a －1可知3a －1≥0,∴a ≥13.探究3 根式与分数指数幂的互化 ( 1)观察以下式子,并总结出规律:( a > 0)55215202(2)22===1243433231(333)3===1212343444()a a a a ===1051025255()aa a a ===结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.2)利用( 1)的规律,你能表示下列式子吗?353544=;535377=;2323a a =总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.( 3)你能用方根的意义解释( 2)的式子吗?353544;= 43的5次方根是 354;535377;=75的3次方根是 537;2323;a a =a 2的3次方根是 23;a结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的,综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义;1.正数的正分数指数幂的意义:m m n na a = (0,,N ,1)且a m n n *>∈>2.正数的负分数指数幂的意义:11(0,,N ,1)m nm n mnaa m n n a a *-==>∈>且 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 1、思考辨析( 1)0的任何指数幂都等于0.( ) ( 2)523＝53.( )( 3)分数指数幂与根式可以相互转化,如4a 2＝a 12.( ) 答案] ( 1)× ( 2)× ( 3)×跟踪训练1.用根式表示下列各式:( a ＞0)12a , 34a , 35a -, 23a -2.用分数指数幂表示下列各式:34()(0)a b a b ++>; 23()m n -; 4()()m n m n ->;65(0)p q p ⋅>[规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律 ( 1)根指数分数指数的分母,被开方数( 式)的指数分数指数的分子、( 2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题、 三、当堂达标1、下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2;②416的运算结果是±2;③当n 为大于1的奇数时,na通过练习巩固本对任意a ∈R 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,na 只有当a ≥0时才有意义、A 、1B 、2C 3D 、4【答案】B [①16的4次方根应是±2;②416＝2,所以正确的应为③④.] 2、已知m 10＝2,则m 等于( ) A.102 B 、－102 C 210 D 、±102【答案】D [∵m 10＝2,∴m 是2的10次方根、又∵10是偶数, ∴2的10次方根有两个,且互为相反数、∴m ＝±102.]3. 把根式a a 化成分数指数幂是( ) A 、( －a ) 32 B 、－( －a ) 32 C -a 32 D 、a 32[答案]D [由题意可知a ≥0,故排除A 、B 、C 选项,选D.] 4.π－42＋3π－33＝________.【答案】1 [π－42＋3π－33＝4－π＋π－3＝1.]5.（设x <0,则(－x )2＝________.【答案】－x [∵x <0,∴－x >0,∴－x2＝－x .]6、将下列根式与分数指数幂进行互化、 ( 1)a 3·3a 2;( 2)a －4b 23ab 2( a >0,b >0)、221133323333121141342242242336331,2.a aaaaa ab ab a b ab a b a ba b 答案7. ( 1)若x <0,则x ＋|x |＋x 2x＝________.( 2)若－3<x <3,求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 思路探究:( 1)由x <0,先计算|x |及x 2,再化简、 ( 2)结合－3<x <3,开方,化简,再求值、 ( 1)－1 [∵x <0,∴|x |＝－x ,x 2＝|x |＝－x , ∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.][解] ( 2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|,当－3<x ≤1时,原式＝1－x －( x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时,原式＝x －1－( x ＋3)＝－4.。
n次方根与分数指数幂教学设计
环节一 4.1.1 n次方根与分数指数幂整体概览问题1请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：（1）本章要研究的内容是什么？（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？（3）研究这些内容的意义是什么？答案：（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较．（3）生活中很多现实问题的变化规律都可以用指数函数和对数函数模型刻画，比如自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等，掌握指数函数和对数函数的性质可以帮助我们解决这些现实问题．引入新课问题2为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质．根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？答案：正整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁．在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c，因此猜测，指数的范围还能进一步拓展．这节课我们就来一起尝试着拓展指数的范围．（板书：n次方根与分数指数幂）课堂探究问题3初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根．类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根……由此可以得出n次方根的概念吗？答案：学生举例：①(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；②25＝32，我们把2叫做32的5次方根；③(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；……结论：n次方根：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1．追问1在实数范围内，负数有没有偶次方根？为什么？答案：因为任何实数的偶次方幂都是非负数，所以在实数范围内，负数没有偶次方根．追问2观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？答案：当n为偶数时，被开方数是非负数，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反追问30的n次方根该如何定义？＝a一定成立吗？如b |＝⎩⎨⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a ＜b .范围从正整数拓展到全体整数．如果把指数的范围从整数拓展到分数，那么分数指数幂的意义又是什么呢？它与根式又什么关系？尝试给出一个合理的规定，在分数指数幂和根式之间知识应用分数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到有理数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．（2）还没有完善，还需要研究无理数指数幂．。
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4.1.1 n 次方根与分数指数幂
教学设计
一、教材分析：
从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性
质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠
，且0>(a a a n
m
、实数指数幂R)∈1；；≠
且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】
理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】
能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备
引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：
（一）自主预习——探新知： 问题导学
预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？
（二）创设情景，揭示课题
（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．
（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：
４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，
类似的，（±2）4
＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：
负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看
354
分别等于什么？一般地n
等于什么？
n a =由n 次方根的意义，可得 ，
换一下呢？
n n
a 等于什么？
当n
a =； 当n
||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
（三）合作探究——提素养： 课本例题1、求下列各式的值：
（1） ;)8(3
3- （2）
;)10(2-
（3）
;)3(4
4π- （4
).a b >
（5）.分数指数幂的概念
102
5
123
4
(0),(0).
a a a a a
a ===>=
==>
可写成什么形式？ n m
a = （a >0，m ，n ∈N 且
n ＞1）， 那么如何规定n
m
a
- （a >0，m ，n ∈N ，且n ＞1）的含义？ 零的分数指数幂呢？
规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m
*10,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
=
=
>∈>
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
（6）．有理指数幂的运算性质
（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈； （2）()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈；
（3）()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈． 课本例题2、 求值：3
2
8)1(、
4
38116)2(-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛、
课本例题3、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）：
322)1(a a ⋅、 3)2(a a 、
课本例题4、计算下列各式（式中字母均是正数）：
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛65
613121
21
32362)1(b a b a b a 、
42
3328
834
1
)()3()
()2(a a a n m ÷--
、、
题型三：分数指数幂的运算与化简计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)5.02120)01.0()4
12(2)532(-⨯+--；
方法归纳：
指数幂的运算底数是负数，先确定符号;底数是小数，先要化成分数． 底数是带分数，先化成假分数，然后表示成指数幂的形式，按照法则进行运
算．
（四）达标检测——固双基：
（五）课后作业：
课本P107:1、2、3；P109；习题4.1 ： 4、5。