随机数学基础+东南大学+曹振华+6-8章

则称 2

X12

X
2 2


X
2 n
服从
自
由
度
为n
的 2分布, 记作 2 ~ 2 (n).
2. 性质：
(1) 可加性：
若
2 1
~

2 1
(n
1
),

2 2
~

2 2
(n
2
),
并
且
2 1
,

2 2
独
立,
有

2 1


2 2
~
2 (n1
n2 ).
(2) 若 2 ~ 2(n), 则有E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
X
2 2

X
2 3
的分布。
3.设总体 X～ N(0, 2 ) ，X1，X2，…,X15 为取自总体的一个
样本，求
1 2
X
2 1
X
2 11


X
2 10
X
2 15
的分布。
0.1
16
抽样分布
定理一. 若总体X ~ N (, 2 ), X1 , X2 , , Xn是
一 组 样 本, 则 X
知参数, X1 , X2 , , Xn是X的一组样本。
点估计就是构造一个统计量ˆ( X1 , X2 , Xn )估计 未知参数 , 称ˆ( X1 , X2 , , Xn )为的估计量,.
23
二. 矩估计法:
设总体X ~ F(x; ), (1 , 2 , s ), 则X的k阶原 点矩为k E(X k ) gk ( )

P{F F (n1 , n2 )}
(y)dy
F ( n1 ,n2 )
称F (n1 , n2 )为F 分布的上分位点.
(y)

0
F(n1,n2 ) y
性质：F1- (n1 , n2 )

F
1 .
(n2 , n1 )
15
练习
1.设总体 X 服从 N(0, 2 )， X1, X2,..., X5 是 X 的一个样本，
3.若T ~ t(n), 则有T 2 ~ F (1, n)
13
t - 分布分位点：对给定 ( 0 1), 称满足条件:

P{T t (n)}
f (t)dt
t (n)
的点t (n)为t(n)分布的上分位点.
t1- (n) -t (n).
14
F - 分位点：
当 c=______,d=____时， c( X1 X 2 )2 d ( X 3 X 4 X 5 )2 服从 自由度为_______的 2 分布。
2.设总体 X～ N(0, 2 ) ，X1，X2，X3 为取自总体的一个样本，
试求：(1)3X1－2X2＋X3 的分布；(2)
2X1
样
本,
X
,
S
2 n
分
别
是
样
本
均
值
和
样
本方差,
则
:
X
n ~ t(n - 1). Sn
18
定理四 设样本X1 , X2 , , Xn1 与Y1 , Y2 , , Yn2 分别来自
两个正态总体N (1 , 2 ), N (2 , 2 ), 且相互独立。设
X

1 n1
n1
X i ,Y
2
几个基本概念：
一. 总体:所研究对象的全体。总体中的每一个元素称 为个体.
有限总体通过抽象无限总体(一种分布)
二. 样本:从总体中抽取的部分个体.
X1, X2,…,Xn容量为n的随机样本.
总体X~F, 若X1, X2,…,Xn是从F独立抽取的一 组样本, 则称其为简单随机样本.
x1,x2, …, xn称为样本观察值.
(二) t-分布:
定义 : 设X ~ N(0, 1), Y ~ 2 (n), 并且X, Y 独立,则称
T X 服从自由度为n的t 分布,记作T ~ t(n). Y/n
n1
f n (t )

( ) 2
( n) n
(1
t2 n
n1
)2
2

1
t2
e 2 ,n
2

1)
S
2 1

(n2

1)
S
2 2
(n1 n2 2)
.
19
定理五. 设X1 , X2 , , Xn1与Y1 , Y2 , , Yn2 分别是来自
正
态
总
体N
(
1
,
2 1
),
N
(

2
,

2 2
)的
样
本,
且
相
互
独
立,
S12

1 n1 1
n1
(Xi
i 1

X
)
2
,
S
2 2
3
三. 统计量:完全由样本决定的量(不含未知参数)
1 n
T1 n i1 X i ,
T2

1n n i1 ( X i
X )2
统计量是样本信息的加工和提炼。
例 设总体X ~ N(, 2 ), 问
g(X1 , X2 ,
,
Xn )

1 n
n i1
(X i
-
)2
是否为统计量？
数理统计
第六章 样本及抽样分布
§1. 基本概念 数理统计学：使用概率论和数学的方法，研 究怎样收集带有随机误差的数据，并在设定 模型下，对数据进行分析，对所研究的问题 作出推断。
例1 某工厂生产大批电子元件，假定其寿命 服从指数分布。有如下问题：
(1) 元件的平均寿命是多少？
(2)若平均寿命达到100小时为合格，这批 元件是否合格？
解：1 EX Np,令
1

X可解得pˆ

X N
例2. 设总体X ~ e( ), ( X1 , X 2 ,..., X n )是一组 来自总体的样本，求的矩估计。
25
例3. 设总体X服从一般分布, 期望方差, 2均未知, (X1 , X2 , Xn )为一组样本, 求, 2的矩估计.
30
极大似然估计的求解方法:
令




1
L L

0, 0,


2


L 0,
s
12
(三) F分布:
1. 定义 : 设U ~ 2 (n1 ), V ~ 2 (n 2 ), 且U, V独立,
则称F

U/n 1 V / n2
服从自由度为(n1 , n2 )的F分布,
记作F ~ F(n 1 , n2 ).
2.性质：若F
~
F(n
1
,
n
2
),
则
1 F
~
F(n 2 , n1 ).

1n n i1 X i
~
N(, 2
n).
定理二. 设X1 , X2 , , Xn是总体N (, 2 )的一组
样
本,
X
,
S
2 n
分
别
是样本
均
值
和
样
本方
差,
则
:
10.
(n
-
1)
S
2 n
2
~
2 (n - 1),
20.
X与S
2 n
独
立.
17
定理三. 设X1 , X2 , , Xn是来自N (, 2 )的一组
来 自N (,22 )样 本,求 P( S12 4.923) .
S
2 2
解 ：S12
S
2 2
22 32
~
F (10,12)
P(
S12 S 22

4.923)

P(
S12
S
2 2
22 32
22 4.923 32 )
P(F(10,12) 2.188)
0.9
22
第七章 参数估计
§1. 点估计 一. 问题的提法: 设总体X的分布函数F(x; )的形式为已知, 是未
解：(1) X 16 ~ N (0,1)
3
(2) 16 ( X i X )2 ~ 2 (15)
i 1
3
16
P( ( X i
i 1

X )2

225)

P( 16 ( X i
i 1
3
X
)2

225) 9
P( 2 (15) 25) 0.95
21
例3.设( X 1 , , X 11 )是 来 自N (,32 )样 本, (Y1 , ,Y13 )是
9
分位点 : 对给定 (0 1), 称满足
P{ 2


2

(n)}


f ( y)dy
2 ( n)
的点
2

( n)为
2
(
n)分
布
的
上分
位
点.
f(y)

0

2
(n)
y
10
例1.设( X1 , X 2 , , X16 )是来自正态总体N (0,32 )的一组
n
L( X 1 , X 2 , X n ; ) f ( X i ; ) i1
称为样本的似然函数.
28
对于离散型的总体X , 设它的分布律为
P{ X x} f (x; ), 其中 (1 ,2 , ,s )
对于给定的一组样本X1 , X 2 , X n , 我们把
令 k

Ak

1 n
n
X
k i
,
得
到
i 1
ˆ k

g
-1 k
(A
1
,
A
2
,

As ), k
1,2,
,s
称为参数 k 矩估计.
原 理 ：A k

1 n
n
X
k i
i 1
P k
24
例1. 设总体X服从B( N , p)分布，0 p 1未知， ( X1 , X 2 ,..., X n )是一组来自总体的样本，求 p的矩估计。
4
四. 常用的统计量—样本矩:
1. 样本均值
1n X n i1 Xi ;
2. 样本方差
S
2 n

1 n-1
n
(X i
i1

X )2;
3. 标准样本方差 Sn
1 n-1
n i1
(X i

X)2 ;
4. 样本k阶原点矩
Ak

1 n
n i 1
Xki
,k
1, 2,
;
5. 样本k阶中心矩
n来自百度文库
L( X1 , X 2 , X n; ) f (X i ; ) i 1
称为样本的似然函数.
29
定义 : 如果似然函数L( X 1 , X n ; )在ˆ处
取最大值, 即
L(ˆ)
L( X 1 ,
X
n
;ˆ )

max
L( X 1 ,
X n ; )
则称ˆ为的极大似然估计.
16
样 本 ， 求P (
X
2 i

288).
i 1
解： 2 16 ( X i 0 )2 ~ 2 (16)
i 1
3
所以
16
P(
i 1
X
2 i

288)

P( 16 ( X i 0 )2
i 1
3

288 9

32)

P(
2 (16)


2 0.01
(16))
0.01 11
解：EX , EX 2 DX (EX )2 2 2 .
EX X
令
EX
2


DX

(EX )2


2

2

1 n
n i 1
X
2 i
ˆ X
解得ˆ 2

1 n
n i 1
X
2 i

( X )2

1n n i1 ( X i
EX ,
D( X )
2
n
,
ES
2 n
2 (n 2).
证明S：n2 EXn1-1Ein(11n1(Xnkni1
X
Xk ))2
1n
n
1
k 1
EnX
n 1
-1 n
i1
(kXi2
, 2Xi
2
X

X2
)
DX

D( n
k 1
Xk
)
Bk

1 n
n
(X i
i1

X)k
,k

2, 3,
.
5
定理1：若总体X的k阶矩E(X k ) k 存在, X1 ,
X2 ,..., Xn是一组简单随机样本，则当n 时,
Ak

1 n
n i 1
Xki
P k .
(辛钦大数定律)
6
定理2: 设X1, X2, …, Xn是来自总体X的一组样本, 设总体二阶矩存在, 且EX=, DX=2, 则有
X)2
26
练习：X ~ f ( x), X1 , X 2 ,...,X n为一组样本，
2 xe x , x 0
f (x) 0, x 0
求的 矩 估 计
27
三. 极大似然估计方法: 设连续型的总体X ~ f (x; ), 其中 (1 , s ) 是未知参数, X1 , X 2 , X n是一组样本,


n 21 k (1
n-1
Dn Xk
X
2 i
i1


nnX
,
2
)
7
§2. 统计分布与抽样分布 定义：统计量T(X1,X2,…,Xn)的分布称 为抽样分布. 本节介绍3种基本的统计分布：
χ2-分布，t-分布，F-分布 以及正态总体下统计量的分布。
8
(一) 2分布 :
1. 定义 : 设X1 , X2 , , Xn 独立同服从N (0, 1),
i 1

1 n2
n2
Yi 为 样 本 均 值,
i 1
S12

1 n1 1
n1
(Xi
i 1

X
)
2
,
S
2 2

1 n2 1
n2
(Yi
i 1
Y )2
为样本方差, 则 :
(X - Y) - (1 - 2 )
S
11 n1 n2
~
t ( n1

n2

2),
其
中S
2

(n1

1 n2 1
n2
(Yi
i 1
Y )2,则
F

S12
S
2 2


2 2

2 1
~
F (n1 1, n2
1)
20
例2.设( X1 , , X16 )是 来自 正 态 总体N (,32 )样 本,求
16
(1) P(| X | 2);(2) P( ( X i X )2 225) . i 1