2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案
2018年数学竞赛试题卷附答案
2018年九年级学生学能抽测理科能力测试试题卷(2018.4)考生须知．．．．： 1.理科能力测试卷分数学和科学两部分，满分为180分（数学部分有三大题10小题, 共80分，科学部分有三大题16小题，共100分)，考试时间150分钟。
2.将学校、姓名、准考证号、座位号分别填写在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上。
3.请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔答题，答案分别做在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效。
数学部分（满分80分）一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1．已知点(13)P a -+，则点P 所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．如果不等式组02100x a x -⎧⎨-⎩≥＜只有一个整数解，那么a 的范围是A ．3a ＜≤4B ．3a ≤＜4C ．a 4≤＜5D ．a 4＜≤53．如图，已知AB AE ==1BC DE ==，∠B =∠E =90°，∠A =120°，五边形ABCDE 的面积是 A ．4 B． C ．8 D．二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）4．若m ，n 是一元二次方程2120x x +-=的两根，则22m m n ++= ▲ ．5．已知一列数1x ，2x ，3x ，4x ，又312234x x x x x x ==，且81=x ，4216x =，那么3x 的值是 ▲ .ABE6．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P（不包括端点A），作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA CQ=时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为▲ .7. 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数2(0)ky kx=>，若该反比例函数的图象与直线y x k=-+有交点，设交点为P，则OP的长度至少为▲．三、解答题(本题有3小题，共38分）8．（满分12分）已知x，y，z为实数，且满足257x y z+-=-，2x y z-+=，试比较22x y-与2z 的大小关系．9．（满分12分）半径为2的圆的圆心在坐标原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1，若记AC、BD的弦心距分别为1d、2d．（1）求2212d d+的值；（2）求四边形ABCD面积的最大值和最小值．10．（满分14分）已知抛物线1C：2221y x mx m m=-+++（1m>）的顶点为A，抛物线2C的对称轴是直线1x=-，顶点为点B，且抛物线1C和2C关于Q（1，12）成中心对称．（1）求抛物线1C的顶点坐标（用m的代数式表示）；（2）求m的值和抛物线2C的解析式；（3）过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，点C、D为垂足，如果P是x轴上的点，且连结PA、PB后它们与AC、BD及x轴所围成的两个三角形（△PAC和△PBD）相似，求所有符合上述条件的点P的坐标．AB CDEPQ2018年九年级学生学能抽测理科能力测试参考答案及评分标准（2018.4）数学部分一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1.D 2.A 3.B 二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）4.115.726.27.三、解答题（本题有3小题，共38分） 8．（满分12分） 解：由2572x y z x y z +-=-⎧⎨-+=⎩ 解得：123x z y z =-⎧⎨=-⎩． ……（6分）则222222(1)(23)x y z z z z --=----=24108z z -+-=2574()044z ---<． ∴222x y z -<． ……（6分） 9．（满分12分）解：（1）22221213d d +=+=．（2）方法一：2221442d d S ABCD -⋅-=四边形． 记x d =21，则x AC -=42，BD =其中30≤≤x ，则142+⋅-=x x S ∴当30或=x 时，S 有最小值4； ……（2分） 当23=x 时，S 有最大值5． ……（2分） 方法二：2221442d d S ABCD -⋅-=四边形 ……（2分）)4()4(22221d d -⋅-=22212221)(4162d d d d ++-=．∴32221=+d d ，∴222142d d S +=． ……（2分） ∵02221≥d d ，∴4≥S ，即S 有最小值为4． ……（2分） ∵2122212d d d d ≥+，()5)(84)4(442222122212221=+-=-+-≤-⋅-=d d d d d d S ABCD 四边形．即S 有最大值5． ……（2分）10．（满分14分）解：（1）由于抛物线1C ：22221()1y x mx m m x m m =-+++=-++．故抛物线1C 的顶点(,1)A m m +． ……（2分） （2）分别过A 、B 作直线1x =的垂线段，设垂足为F 、E ．∵A 、B 关于点Q 中心对称，∴AF BE =；即11(1)m -=--，∴3m =． ……（2分） ∴点(3,4)A ，点(1,3)B --．抛物线2C ：22(1)324y x x x =-+-=---． ……（3分） （3）设)0,(x P ．①当点P 在CD 上时，则1)1(+=--=x x PD ，3PC x =-． ∴4331=-+x x ，解得75=x ．或x x -=+3341，即0922=+-x x ，此方程无实根． ∴P 1)0,75(． ……（3分） ②当点P 在点C 右侧时，34)1(3=---x x ，解得13-=x （舍去）．或)1(433--=-x x 即：22150x x --=，∴31-=x （舍去）52=x ． ∴)0,5(2P ． ……（2分） ③当点P 在点D 左侧时，xx---=1334，解得13-=x ． 或3314x x -=--， 即：01522=--x x ，解得5=x （舍去）或3x =-．∴P 3)0,13(-或P 4)0,3(-． ……（2分）。
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
祝君金榜题名2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 设集合 A 1, 2, 3,, 99, B2x xA, Cx 2x A，则 BC 的元素个数为．答案：24 ．1399解：由条件知，B C，2, 4, 6, , 198,1, , 2, ,2, 4, 6, , 48222故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．OP3解：设点 P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OQP, 3 ， OQ3即OQ[1, 3]，故所求的区域面积为．318223. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的 概率为．答案：9 10．解：先考虑abc + def 为奇数的情况，此时abc , def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a , b , c 为1, 3, 5的排列，进而d , e , f 为2, 4, 6的排列，这样有3!×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc + def 为奇数的情况数为36×2 = 72 种．从而abc + def 为偶 72 72 9 数的概率为1− = 1− = ． 6! 720 10xy22ab4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :1(a b 0)的左、右焦点22分别是 F 、F ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已12知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF F的面积为 ．1 2答案： 15 ．解：由对称性，不妨设 P (x , y ) 在第一象限，则由条件知PP1 1x PT PS y PV PU，2,1PP221祝君金榜题名即 P (2,1)．进而由 1, 2xPU PS得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知 P1 1 1 14 4 161 2 20,25，解得 a b ．abab22221从而15SF Fyaby ．22PF F1 2PP21 25. 设 f (x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1]上严格递减，1 x 2,且满足 f ()1, f (2) 2 ，则不等式组的解集为．1 f (x ) 2答案：[2, 82]．解：由 f (x ) 为偶函数及在[0, 1]上严格递减知， f (x ) 在[1, 0] 上严格递增， 再结合 f (x ) 以 2 为周期可知，[1, 2]是 f (x ) 的严格递增区间．注意到f f ff f ，(2) ( ) 1, (8 2 )( 2 ) (2 ) 2 所以1f (x ) 2 f (2) f (x ) f (82) ，而1282 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x[2, 82]．6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zxzx 有实根，则这样 22 2 0的复数 z 的和为．3答案：． 2解：设 z ab i (a , b R , a 2 b 21) ．将原方程改为(a b i)x 22(ab i)x 2 0，分离实部与虚部后等价于axax ，①22 2 0bxbx ． ②22 0若b 0，则 a，但当 a1时，①无实数解，从而 a 1，此时存在实21数 x1 3 满足①、②，故 z1满足条件．若b 0，则由②知 x{0, 2}，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代 115 1 15i入①解得 ．a，进而b，相应有z4441 15i1 15i3 综上，满足条件的所有复数 z 之和为1．4427. 设O 为ABC 的外心，若 AO AB 2AC ，则sinBAC 的值为 ．故10 答案： ．4 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知，2AC AOAB BO，①1AC BO ．122祝君金榜题名取 AC 的中点 M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且 B 与 A 位于直线MC1 OM 的同侧．于是cos BOC cos (90 MOC ) sin MOCOC4．在BOC 中，由余弦定理得BC OBOCOB OC BOC，222cos10BC10进而在ABC 中，由正弦定理得．sin BAC 2R48. 设整数数列 1, 2, , 10 10 3 1, 282 5 a a a 满足 a a a aa ，且aaa i，iii1 {1, 2 },1, 2, , 9则这样的数列的个数为．答案：80． 解：设baai ，则有 1{1, 2}( 1, 2, , 9)iii2aaabbb ，①1101129bbbaaaabbb ． ②2345285567用t 表示b 2, b 3, b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 5, 6, 7b b b 中值为 2 的项数，2, 3,, 70 2 1 2 2 2 3 2 3333取定 2, 3, ,78, 9b b b 后，任意指定b b 的值，有 22 4 种方式． 最后由①知，应取 1 {1,2} b 的取法是b使得bbb 为偶数，这样的1291唯一的，并且确定了整数 1, 2, , 9a 的值，进而数列b bb 唯一对应一个满足条件的 1数列 1, 2, ,10a a a ． 综上可知，满足条件的数列的个数为 204 80．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R 上的函数 f (x ) 为log x 1 , 0 x9, f (x )34 x , x 9.设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值范围．解：不妨假设ab c ．由于 f (x ) 在(0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9)1，故结合图像可知a，b (3, 9)，c (9,)，(0, 3)并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得1log a log b1，33即 39log alog b 2，因此 ab．于是 abc 9c ． …………………8 分233又3祝君金榜题名0 f (c ) 4 c 1， …………………12 分故c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是(81, 144) ．…………………16 分r注：对任意的 r (81, 144) ，取c = ，则c ∈ ，从而 0 90 (9,16)f (c )∈(0,1)．过点(c , f (c ))作平行于 x 轴的直线l ，则l 与 f (x )的图像另有两个交点(a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且ab 9 ，从 而abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 1, 2,3,a a a满足：对任意正整数 n ，有 a S a ，其中 (2 ) 1 S 表示数列的前 n 项和．证明： n n n n(1) 对任意正整数 n ，有 2an ；n(2) 对任意正整数 n ，有a a．11n n证明：(1) 约定S．由条件知，对任意正整数 n ，有 1(2) ( )()，aSaSSSSSS22nnnnn 1nn 1nn 1从而22Sn Sn ，即 Sn （当 n 0 时亦成立）． …………………5 分nn显然，11 2aSSnnn ． …………………10 分nnn(2) 仅需考虑 a a 同号的情况．不失一般性，可设 a a 均为正（否则, ,nn 1nn 1将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则SSSn ，故必有n 1nn 1S n Sn ，,1nn 1此时an nan n ， 1,1nn 1从而a an n n nn n n n ．n n1(1)(1) (1)(1) 1…………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 24x 的过点 F (1, 0) 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分APB ，求 PF 的所有可能值．AyB y Py1 ,,2 ,,3,1, 2, 3yyy222解：设，由条件知 y y y 两两不等且非零．1234 4 4设直线 AB 的方程为 x ty 1，与抛物线方程联立可得 yty ，故24 4 0y y． ①1 24注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 xydx ey ，与 22yyd 24x 联立得，y y y y这四个不1yey 0 ．该四次方程有 1, 2,3, 0241644祝君金榜题名同的实根，故由韦达定理得y y y，从而1 2 3 0 0y yy．②3 ( 1 2 )…………………5 分PA FA y因PF平分APB，由角平分线定理知，PB FB y，结合①、②，有122y y2 23 1 2(y y)22 3 1 2 2 2y PA 4 42 (y y) y16(2y y)1 2 1 1 212 2 2y PB y y y y y y y2 2 2 2 2 2( ) 16(2 )2 3 2 2 1 2 2 2 1(y y)3 24 4(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 22 1 2 2 1 ，………………10 分(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 21 2 1 1 2即16 64 12 22192 12 2664 22 12192 22y y y y y y y y，故(y y)(y y y y192) 0 ．2 2 4 2 24 1 2 1 1 22当 2 2 3 0y y时，y y，故y，此时P与O重合，与条件不符．1 2 2 1当14 122224192 0y y y y时，注意到①，有(y y) 192(y y) 208．…………………15 分2 2 22 1 2 1 2因12 22 4 13 8 2 1 2 1 2 4 13 1, 2y y y y，故满足①以及y y的实数2 2y y存在，对应可得满足条件的点A, B．此时，结合①、②知PF．y3 1 (y1 y2 ) 4 y1 y2 4 208 4 13 12 2 2 24 4 4 4…………………20 分5。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 题号 一 二总分9 10 11 12 得分 评卷人复核人注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____．2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____．3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____．4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____．5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____．7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____．8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ．A BCD E FG H l10.设O是坐标原点，双曲线C：22221x ya b上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点：(1)求证：△AOB的面积S是定值.(2)求△AOB的外心P的轨迹方程。
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。
（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。
（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关 系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思
阳友雄（519055）
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛中有这样一道题：
11. (1) 求证：对于任意实数 x, y, z ，都有 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
(2) 是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？
2
2
一个小小的正负号导致了错误，真是一子不慎满盘皆输！既然知道了原因，就容易修正
三.对官方答案的修正
解： f =x2 + 2 y2 + 3z2 − k(xy + yz + zx) =x2 − k( y + z)x + 2 y2 + 3z2 − kyz
=[x − k ( y + z)]2 − k 2 ( y2 + z2 + 2 yz)+2 y2 + 3z2 − kyz
3z2 拆成 nz2 + (3 − n)z2 ，然后用基本不等式试试
x2 + 2 y2 + 3z2 = kx2 + my2 + (1− k)x2 + nz2 + (2 − m) y2 + (3 − n)z2
≥ 2 kmxy + 2 (1− k)nxz + 2 (2 − m)(3 − n) yz
注意到待求证的式子为 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
不妨取=x 3= , y 2= , z 1，此时左边 = 20 ，右边 =22 ，左边 < 右边，上式不成立
首届安徽数学竞赛试题
首届安徽数学竞赛试题【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
解题思路：我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。
首先验证\( n = 1 \)时等式成立，然后假设\( n = k \)时等式成立，接着证明\( n = k + 1 \)时等式也成立。
【试题二】题目：给定一个正整数序列 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \)，求该序列的最大连续子序列和。
解题思路：使用Kadane算法来解决这个问题。
遍历序列，同时维护当前子序列的和以及迄今为止的最大子序列和。
【试题三】题目：证明：\( \sqrt{2} \) 是无理数。
解题思路：假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数，即存在正整数 \( p \) 和 \( q \) 使得 \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) 且 \( p \) 和\( q \) 互质。
通过平方和约分，我们可以得到一个矛盾，从而证明\( \sqrt{2} \) 是无理数。
【试题四】题目：在直角三角形中，已知斜边长度为 \( c \)，一个锐角为\( \alpha \)，求另一个锐角的正切值。
解题思路：利用三角函数的基本关系 \( \tan(\alpha) =\frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \) 和 \( \tan(\alpha) \cdot\tan(\beta) = -1 \)，我们可以求出另一个锐角 \( \beta \) 的正切值。
【试题五】题目：一个圆的半径为 \( r \)，求圆内接四边形的面积。
解题思路：首先，我们可以将圆内接四边形分割成两个三角形。
然后，利用圆的面积公式和三角形面积公式来求解。
【试题六】题目：给定一个整数 \( n \)，求 \( n! \) 模 \( 10007 \) 的值。
安徽数学竞赛试题及答案
安徽数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 + b^2 = 100 \)。
求所有可能的 \( a \) 和 \( b \) 的值。
答案：根据题目条件，我们可以列出满足 \( a^2 + b^2 = 100 \) 的所有整数对。
首先，\( a \) 和 \( b \) 必须小于或等于10，因为\( 10^2 = 100 \)。
然后，我们可以逐一检查每个可能的 \( a \) 值，并计算对应的 \( b \) 值。
经过计算，我们发现以下整数对满足条件：- \( a = 1, b = 9 \)- \( a = 5, b = 5 \)- \( a = 9, b = 1 \)试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB 是斜边，若 AC = 6，BC = 8，求斜边 AB 的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]所以，斜边 AB 的长度是 10。
试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。
求所有可能的放球方式的数量。
答案：首先，我们考虑将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。
我们可以将问题转化为将 5 个球中的 2 个球作为一组，然后将这 3 组球放入 3 个盒子中。
首先，选择 2 个球作为一组的方式有 \( C(5,2) \) 种，然后这 3 组球放入 3 个盒子中的方式有 \( P(3,3) \) 种。
因此，总的放球方式的数量为：\[ C(5,2) \times P(3,3) = 10 \times 6 = 60 \]试题四：数列问题题目：一个等差数列的前 5 项的和为 40，第 6 项为 16，求这个等差数列的首项和公差。
2017-2018学年安徽省马鞍山市当涂县银塘中心小学六年级(上)数学竞赛试卷
（3）999+999×999 =999×（1+999） =999×1000 =999000
（4）32×1.25×0.25 =（8×1.25）×（4×0.25） =10×1 =10
（5）1+3+5+7+…+97+99 =（1+99）+（3+97）+…+（49+51） =100×50÷2 =2500
8．（3.00 分）小兰和爸爸、妈妈去个体理发店理发，小兰需要 30 分钟，爸爸需要 20 分钟，妈 妈需要 2 小时，三人等候时间的总和最少要 240 分钟．
【解答】解：2 小时=120 分钟 三人理发的顺序依次是：爸爸→小兰→妈妈， 20×3+30×2+120×1 =60+60+120 =240（分钟） 答：等候时间的总和最少是 240 分钟． 故答案为：240．
÷[（ ﹣ ）÷ ] ÷4+ ×
999+999×999 32×1.25×0.25 1+3+5+7+…+97+99 36×（ + ﹣ ） 24．（4.00 分）计算阴影部分面积：单位：厘米
四、解决问题（21 分） 25．（4.00 分）张明看一本 120 页的故事书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第三 天应从第几页看起？ 26．（4.00 分）一批化肥第一次运走了 18 吨，第二次运走了总数的 ，剩下的化肥与运走的化 肥重量比是 9：11，这批化肥共有多少吨？ 27．（4.00 分）一件商品降价 20%出售，售价 84 元，原价是多少元？ 28．（5.00 分）中国北部地区严重缺水，节约用水是美德，某地生活用水收费标准规定如下：
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题(带答案)
2018年全国初中数学竞赛（初一组）初
赛试题（带答案）
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得分
一、选择題
.已知,6两个数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，现有下列四种说法:D|a1-|61>0
2a+6<0;3ab<0;@a+b+ab+1<a其中，一定成立的是
02。
023
on3o
第1题1
03D
2著2+1的值与y一3的值互为相反数，则4+2的值为-
-2
2
3.某种商品若按原标价出售，则可获利50%,若按原标价的八折出售，则可获利
15%20%
40%
30%
4.定义““运算为.b=2a+ab,若+-22则x的值为
-11-2
2
如图，有一个无益的正方体纸盒，下底面标有字母“m",若沿图中粗线将其剪开，则纸盒展开的平
面图形为
B)
D)
如图,AB//cD,若用會Z1,2,，1+2263
21+23-22
c)180*+3-21-2
2+23-21-180。
2018-2019学年安徽省淮南市谢家集二小五年级(上)竞赛数学试卷
2018-2019学年安徽省淮南市谢家集二小五年级（上）竞赛数学试卷一、填空（24分）1．（2.00分）两个数的和是61.6，其中一个数的小数点向右移动一位，就与另一个数相同．两个数分别是、．2．（2.00分）王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒．每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装个礼盒．3．（2.00分）小红家住在5楼，每层楼梯有16级，她从1楼走到5楼，共要走级楼梯．4．（2.00分）把一张边长24厘米的正方形纸对折4次后得到一个小正方形，这个小正方形的面积是平方厘米．5．（2.00分）已知：（■+▲）×0.3=4.2，而且▲÷0.4=12．算一算：▲=，■=．6．（2.00分）小明和小英两人同时从甲、乙两地相向而行，小明每分钟行a米，小英每分钟行b 米，行了4分钟两人相遇．甲、乙两地的路程是米．7．（2.00分）哥哥7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当哥哥岁时，正好是妹妹年龄的3倍．8．（2.00分）在横线里填入相同的数，使等式成立．24×﹣×15=18．9．（2.00分）五（2）班有56个学生，在一次测验中，答对第一题的34人，答对第二题的29人，两题都答对的15人，那么，两题都不对的有人．10．（2.00分）一个两位数，个位数字与十位数字的和是7，如果把这个数的个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原来的两位数大9，那么原来的两位数是．二、解答题（共4小题，满分34分）11．（12.00分）解方程（1）1.9×0.8﹣3.6x=0.8（2）7x﹣5.5x=4.65（3）（x+12）×16÷2=144．12．（10.00分）简算与计算（1）1.25×3.28+12.5×0.241+125×0.0431（2）999×27﹣333×51+666×35．13．（6.00分）求阴影部分的面积．（单位：厘米）14．（6.00分）已知平行四边形的面积是48平方厘米求阴影部分的面积．六、解决问题（42分）15．（6.00分）箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次以后，乒乓球没有了，羽毛球还剩6个，一共取了几次，原来的乒乓球和羽毛球各有多少个？16．（6.00分）科学家研究表明，10000m2的森林在生长季节每周可吸收6.3吨二氧化碳．城北森林有50000m2森林，请计算一下，2016年2月这片森林一共吸收了多少二氧化碳？17．（6.00分）甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出3000册，乙书店购入2000册，这时乙书店存书的册数是甲的2倍，甲、乙两书店原来共存书多少册？18．（6.00分）甲乙丙丁四个人共买了10个面包平均分着吃，甲拿出6个面包的钱，乙和丙都只拿出2个面包的钱，丁没带钱．吃完后一算，丁应该拿出1.25元，甲应收回元．19．（6.00分）甲、乙、丙三人参加数学竞赛，甲、乙的总分是153分，乙、丙的总分是173分，甲、丙的总分是160分，甲、乙、丙三人各得多少分？20．（6.00分）用3个大瓶和5个小瓶可装墨水5.6千克，用1个大瓶和3个小瓶可装墨水2.4千克．那么用2个大瓶和1个小瓶可装墨水千克．2018-2019学年安徽省淮南市谢家集二小五年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、填空（24分）1．（2.00分）两个数的和是61.6，其中一个数的小数点向右移动一位，就与另一个数相同．两个数分别是 5.6、56．【解答】解：61.6÷（10+1），=61.6÷11，=5.6，5.6×10=56；故答案为：5.6，56．2．（2.00分）王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒．每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装16个礼盒．【解答】解：25÷1.5≈16.7（个）礼盒的数量只能是整数，小数部分舍去．故答案为：16．3．（2.00分）小红家住在5楼，每层楼梯有16级，她从1楼走到5楼，共要走64级楼梯．【解答】解：16×（5﹣1），=16×4，=64（级）；答：共要走64级楼梯．故答案为：64．4．（2.00分）把一张边长24厘米的正方形纸对折4次后得到一个小正方形，这个小正方形的面积是36平方厘米．【解答】解：小正方形的边长：24×=6（厘米），小正方形的面积：6×6=36（平方厘米）；答：这个小正方形的面积是36平方厘米．故答案为：36．5．（2.00分）已知：（■+▲）×0.3=4.2，而且▲÷0.4=12．算一算：▲= 4.8，■=9.2．【解答】解：因为▲÷0.4=12，所以▲=12×0.4=4.8；因为（■+▲）×0.3=4.2，所以■+▲=4.2÷0.3=14，所以■=14﹣4.8=9.2．故答案为；4.8，9.2．6．（2.00分）小明和小英两人同时从甲、乙两地相向而行，小明每分钟行a米，小英每分钟行b 米，行了4分钟两人相遇．甲、乙两地的路程是4（a+b）米．【解答】解：甲、乙两地的路程是：4（a+b）．故答案为：4（a+b）．7．（2.00分）哥哥7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当哥哥18岁时，正好是妹妹年龄的3倍．【解答】解：他们的年龄差是：7+5=12（岁）；当哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍时由差倍公式可得：妹妹的年龄是：12÷（3﹣1）=6（岁）；哥哥的年龄是：6×3=18（岁）．答：当哥哥18岁时，正好是妹妹年龄的3倍．故答案为：18．8．（2.00分）在横线里填入相同的数，使等式成立．24×2﹣2×15=18．【解答】解：设这个数为x，得：24x﹣15x=18，（24﹣15）x=18，9x=18，x=2．因此24×（2）﹣（2）×15=18．故答案为：2．9．（2.00分）五（2）班有56个学生，在一次测验中，答对第一题的34人，答对第二题的29人，两题都答对的15人，那么，两题都不对的有8人．【解答】解：56﹣34﹣29+15=71﹣63=8（人）答：有8名同学两题都不对．故答案为：8．10．（2.00分）一个两位数，个位数字与十位数字的和是7，如果把这个数的个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原来的两位数大9，那么原来的两位数是34．【解答】解：设原来的个位数字为x，则十位数字为7﹣x，则原来的数表示为：10（7﹣x）+x=70﹣9x；调换后新的两位数个位7﹣x，十位为x，则表示为：10x+（7﹣x）=9x+7；根据题意，列方程得：9x+7=70﹣9x+918x=72x=4所以个位数字是4，十位数字是7﹣4=3，原来的两位数为34．故答案为：34．二、解答题（共4小题，满分34分）11．（12.00分）解方程（1）1.9×0.8﹣3.6x=0.8（2）7x﹣5.5x=4.65（3）（x+12）×16÷2=144．【解答】解：（1）1.9×0.8﹣3.6x=0.81.52﹣3.6x=0.81.52﹣3.6x+3.6x=0.8+3.6x0.8+3.6x=1.523.6x+0.8﹣0.8=1.52﹣0.83.6x=0.723.6x÷3.6=0.72÷3.6x=0.2（2）7x﹣5.5x=4.651.5x=4.651.5x÷1.5=4.65÷1.5x=3.1（3）（x+12）×16÷2=144（x+12）×8=144（x+12）×8÷8=144÷8x+12=18x+12﹣12=18﹣12x=612．（10.00分）简算与计算（1）1.25×3.28+12.5×0.241+125×0.0431（2）999×27﹣333×51+666×35．【解答】解：（1）1.25×3.28+12.5×0.241+125×0.0431 =1.25×3.28+1.25×2.41+1.25×4.31=1.25×（3.28+2.41+4.31）=1.25×10=12.5（2）999×27﹣333×51+666×35=333×3×27﹣333×51+333×2×35=333×81﹣333×51+333×70=333×（81﹣51+70）=333×100=3330013．（6.00分）求阴影部分的面积．（单位：厘米）【解答】解：5×5+8×8﹣5×（5+8）÷2﹣8×8÷2=25+64﹣32.5﹣32=24.5（平方厘米）答：阴影部分的面积是24.5平方厘米．14．（6.00分）已知平行四边形的面积是48平方厘米求阴影部分的面积．【解答】解：48÷6=8（厘米）8﹣5=3（厘米）3×6÷2=9（平方厘米）答：阴影部分的面积是9平方厘米．六、解决问题（42分）15．（6.00分）箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次以后，乒乓球没有了，羽毛球还剩6个，一共取了几次，原来的乒乓球和羽毛球各有多少个？【解答】解：设一共取了x次，由题意得：5x﹣3x=62x=6x=3原来乒乓球和羽毛球各有的个数：3×5=15（个）；答：一共取了3次，原来乒乓球和羽毛球各有15个．16．（6.00分）科学家研究表明，10000m2的森林在生长季节每周可吸收6.3吨二氧化碳．城北森林有50000m2森林，请计算一下，2016年2月这片森林一共吸收了多少二氧化碳？【解答】解：2016年是闰年2月共29天，6.3÷7÷10000×50000×29=0.9÷10000×50000×29=130.5（吨）；答：2016年2月这片森林一共可以吸收130.5吨二氧化碳．17．（6.00分）甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出3000册，乙书店购入2000册，这时乙书店存书的册数是甲的2倍，甲、乙两书店原来共存书多少册？【解答】解：设甲原存书x册，由题意得：2（x﹣3000）=x+2000，2x﹣6000=x+2000，x=8000，8000+8000=16000（册）；答：甲乙两店原来共存书16000册．18．（6.00分）甲乙丙丁四个人共买了10个面包平均分着吃，甲拿出6个面包的钱，乙和丙都只拿出2个面包的钱，丁没带钱．吃完后一算，丁应该拿出1.25元，甲应收回 1.75元．【解答】解：10÷4=2.5（个），1.25÷2.5=0.5（元），6﹣2.5=3.5（个），3.5×0.5=1.75（元），故填：1.7519．（6.00分）甲、乙、丙三人参加数学竞赛，甲、乙的总分是153分，乙、丙的总分是173分，甲、丙的总分是160分，甲、乙、丙三人各得多少分？【解答】解：（153+173+160）÷2=243丙：243﹣153=90（分）甲：243﹣173=70（分）乙：243﹣160=83（分）答：甲、乙、丙三人各得70分，83分和90分．20．（6.00分）用3个大瓶和5个小瓶可装墨水5.6千克，用1个大瓶和3个小瓶可装墨水2.4千克．那么用2个大瓶和1个小瓶可装墨水 2.8千克．【解答】解：根据题干可得：3大+5小=5.6千克；①，1大+3小=2.4千克，②，等式②的两边同时×3，得：3大+9小=7.2千克．③，③﹣①，可得：4小=1.6，则1小=0.4，代入②，即可求得1大=1.2，则2大=2.4，所以：2大+1小=2.4+0.4=2.8，答：用2个大瓶和1个小瓶可装墨水2.8千克．故答案为：2.8．。
安徽工业大学 高等数学 初赛试题
距之和等于
得分
11 (10 分)设函数 f ( x ) 在 ( , ) 内二阶可导， f ''( x ) 0 ，且
得分
13 （8 分）设函数 u f ( x, y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式
f ( x) 2 lim 1 ，证明： x 1 x 1
对任意 x ( ,1) (1, ) 有 f ( x ) x 1 。 证明： 解答：
得分
14 （8 分）计算曲面积分
I
2 2
axdydz ( z a) 2 dxdy
解答：
2
x
2
y2 z 2 2
1
其中 为下半球面 z a x y 的上侧，a 为大于零的常数（如图所 示） 。 解答：
安徽工业大学 2018 年高等数学初赛考试试题卷 在此区域及以下部分答案不要写，否则后果自负
专业
姓名
学号
□□□□□□□□□
答 案 不 得 写 在 此 装 订 线 上 方
安徽工业大学 2018 年 高等数学初赛试题卷
考试日期：2018 年 7 月 9：00—11：00 满分：100 分
题 分
号 数
一
9
10
11
12
13
14
总
分
复核人 考生注意：１．试卷共 14 小题，满分 100 分，考试时间为 120 分钟. ２． 答案必须写在试卷上 ３．字迹要清楚，卷面要整洁
5. 设函数 y1 e ,
x
y2 x cos x 为某 n 阶常系数非齐次线性微分方
2
f (1) 1, f ( n) (1) n 1 ，求 f (0) 及 f ( n) (0), n 1, 2, 3,
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案2018年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷（考试时间：2018年3月14日下午3:00—5:00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数$a$、$b$满足$|a-3|+|b-2|+1-a+a=3$，则$a+b$等于（）A、$-1$B、$2$C、$3$D、$5$2、如图，点$D$、$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$、$AC$上，$BE$、$CD$相交于点$F$，设四边形$EADF$、$\triangle BDF$、$\triangle BCF$、$\triangle CEF$的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则$\frac{S_1S_3}{S_2S_4}$的大小关系为（）A、$S_1S_3>S_2S_4$B、$S_1S_3=S_2S_4$C、$S_1S_3<S_2S_4$ D、不能确定3、对于任意实数$a$，$b$，$c$，$d$，有序实数对$(a,b)$与$(c,d)$之间的运算“$\ast$”定义为：$(a,b)\ast(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$。
如果对于任意实数$m$，$n$都有$(m,n)\ast(x,y)=(n,-m)$，那么$(x,y)$为（）A、$(1,-1)$B、$(-1,1)$C、$(1,1)$D、$(-1,-1)$4、如图，已知三个等圆$\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$有公共点$O$，点$A$、$B$、$C$是这些圆的交点，则点$O$一定是$\triangle ABC$的（）A、外心B、重心C、内心D、垂心5、已知关于$x$的方程$(x-2)^2-4|x-2|-k=0$有四个根，则$k$的范围为（）A、$-1<k<\pi$B、$-\pi<k<\pi$C、$-\frac{\pi}{4}<k<\frac{\pi}{4}$ D、不能确定6、设在一个宽度为$w$的小巷内搭梯子，梯子的脚位于$P$点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题参考答案
一、1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 二、7.18.4<k <429.10.①③三、11.设y =x 2+2x ，则原式可化为y +m 2-1y -2m=0，即y 2-2my +m 2-1=0.………………………………………………………5分解得y 1=m +1，y 2=m -1.即x 2+2x =m +1或x 2+2x =m -1.……………………………………………………………………………………………10分所以x 2+2x =m +1的判别式为Δ1=4m +8，x 2+2x =m -1的判别式为Δ2=4m .…………………………………………………………………………………………15分因为Δ1>Δ2，方程有三个不相等的实数根，所以Δ=4m =0，即m =0.即x 2+2x +1=0或x 2+2x -1=0.解得x 1=-1，x 2=2-1，x 3=-2-1.……………………………………………20分四、12.（1）由题可证△EDH ∽△BAE.所以DH AE =DE AB.所以DH =4.……………………………………………………………5分（2）过点F 作FG ⊥DC 于点G ，FM ⊥AD ，交AD 的延长线于点M.因为tan ∠ABE =34，AB =16，所以AE =12.所以DE =4.因为∠MEF +∠AEB =∠AEB +∠ABE =90°，所以∠MEF =∠ABE.又因为EF =BE ，∠M =∠A ，所以△EMF ≌△BAE.所以ME =AB =16，FM =AE =12.…………………………………………………………………………………………10分所以DM =ME -DE =12．所以DM =MF.所以四边形DGFM 是正方形.所以FG =DG =12.所以CG =4.所以CF =FG 2+CG 2=410.…………………………………………………………15分（3）由题意，可得S △CEF =S △CHF +S △CHE =12CH ·EM .由△EMF ≌△BAE ，得EM =AB =16.所以S △CEF =12×16×CH =8CH .由△EDH ∽△BAE ，得DE AB =DH AE .…………………………………………………………………………………………20分设AE 为x ，则DH =DE ·AE AB =()16-x ·x 16=116()-x 2+16x =-116()x -82+4≤4.所以DH ≤4.所以CH ≥12.所以CH 的最小值是12.所以△CEF 面积的最小值是96.……………………………………………………………………………………………25分五、13.（1）抛物线的函数表达式为y =12x 2－2x －52.……………………………………………………………………………5分（2）因为抛物线的函数表达式为y =12x 2－2x －52，所以其对称轴为直线x =2.连接BC.因为点B （5，0），C æèöø0,-52，所以可求得直线BC 的函数表达式为y =12x -52.………………………………10分当x =2时，y =1-52=-32.所以使PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为æèöø2,-32.……………………………………………………………………15分（3）存在，如图所示.①当点N 在x 轴下方时，因为抛物线的对称轴为直线x =2，C æèöø0,-52，所以N 1æèöø4,-52；………………………………20分②当点N 在x 轴上方时，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D.所以△AN 2D ≌△M 2CO.所以N 2D =OC =52，即点N 2的纵坐标为52.所以12x 2-2x -52=52.解得x =2+14或x =2-14.所以点N 2æèöø2+14，52，N 3æèöø2-14，52.综上所述，符合条件的点N 的坐标为æèö4,-52，æö14，52或æö14，52……………………………………………25分第1页（共1页）。
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例如：T3= .设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)=．
二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）
9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称．求证：∠HAB=3∠GAB．
10.设O是坐标原点，双曲线C： 上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点：(1)求证：△AOB的面积S是定值.(2)求△AOB的外心P的轨迹方程。
11.
(1)求证：对于任意实数x,y,z都有 ≥ ．
(2)是否存在实数k> ，使得对于任意实数x,y,z下式成立？
≥
试证明你的结论．
12.
在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数．
1.设三个复数l,i,z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=____．
2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=____．
3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=____．
4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小值=____．
5.从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤l的概率=____
6.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值=____．
7. 设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=____．
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）
题号
一
二
总分
9Байду номын сангаас
10
11
12
得分
评卷人
复核人
注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．
一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）