C题基金使用计划线性方程组解法
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2001年C题 基金使用计划
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入 银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见 下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取 款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生， 要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。 校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖 金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案， 并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
• 结论：最优的存款方案是首选五年期，次选三年期， 再选二年期，最后考虑一年期。
•记 i 5m(i) r(i), (m(i), r(i) Z,0 r(i) 5,i 2,3, , n) r(i) 3k(i) s(i), (k(i), s(i) Z,0 s(i) 3) s(i) 2l(i) t(i), (l(i),t(i) Z,0 t(i) 2)
预存的金额占原本金的比例； 即： Mxi元存i年后=奖金额； • xn：为了第n年末发放奖金，且发放完奖金后仍剩余 原本金M而需预存的金额占原本金的比例。 即：Mxn元存n年后=奖金额+原本金M。
三、符号说明（2）
• d(i)：存一个i年定期的单位资金增长系数，即一元 钱存一个i 年定期，到期取出时的本息和， （i=1,2,3,5’）；
• 分析 考虑国库券发行的时间：
若基金的当天有国库券发行，直接购买国库券； 其他情况下，先存半年定期。
1）若上半年发行国库券： 按活期取出购买国库券>>国库券到期取出>>存
半年定期>>续存活期； 2）若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买国库 券>>国库券到期取出续存活期。
•例 i 19 i 53 4, m(19) 3, r(19) 4 r(19) 4 311, k(19) 1, s(19) 1 s(19) 20 1, l(19) 0,t(19) 1
• 即19年期的最优存款方案为：存3个五年期，1个 三年期和1个一年期。
一、不确定因素
• 基金到位情况（时间，次数等） • 每年奖金发放情况（频率，日期，额度等） • 银行利率的变动情况 • 国库券的发行情况（时间，品种，利率等） • 国库券的购买情况
。。。。。。
二、假 设
• 该笔基金于年底前一次性到位，自下年起每年底一 次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的数额；
• 设基金到位后第 x (1< x <=360)天（按银行计天方 法）发行国库券，Ax，Bx分别表示一个单位的基 金采用A(3)，A(5)存款方案的到期本息和，则有
d (1)x1
Байду номын сангаас
d (5 ')m(n1) d (3)k (n1)
d (2)l(n1) d (1)t(n1)
xn1
0,
d (1)x1 d (5 ')m(n) d (3)k (n) d (2)l(n) d (1)t(n) xn 1,
• 注：此模型适用于 n 2
• 模型2、可存款也可购买国库券模型
三、符号说明（3）
• g(i)：存一个i年期国库券后的单位资金增长系数，即 一元钱存一个i年期国库券，到期取出时的本息和， （i=2,3,5）；
• g(1)= d(1) 。 • 由利率表计算可得：
g(1) 11.8%*1 1.018 g(2) 1 2.55%*2 1.051 g(3) 1 2.89%*3 1.0867 g(5) 1 3.14%*5 1.157
四、数学模型
• 模型1、只存款不购买国库券模型
• 由利率表数据计算得
d 2 (1) 1.036324 d (2) 1.03888 d (1)d (2) 1.05758 d (3) 1.0648 d 2 (2) 1.079272 d (1)d (3) 1.083966 d (2)d (3) 1.106199 d(5') 1.1152 d 2 (3) 1.133799 d (1)d (5') 1.135274
• 建立模型
x1
x2
xn 1,
d (1)x1 d (2)x2 0, d (1)x1 d (3)x3 0,
d
(1)
x1
d (3)d (1)x4
0,
d (1)x1 d (5 ')m(i) d (3)k (i) d (2)l(i) d (1)t(i) xi 0,
1．只存款不购国库券； 2．可存款也可购国库券。 3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希 望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
2.55
三年期
2.160
2.89
五年期
2.304
3.14
• A(k) 方案：先存半年定期。 • 若上半年发行国库券：
按活期取出购买k年国库券>>国库券到期取出 >>存半年定期>>续存活期； • 若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买k年 国库券>>国库券到期取出续存活期。
（k=3,5）
注： A(3) 方案需用4年完成； A(5) 方案需用6年完成。
• 仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假 设三种期限的国库券每年至少发行一次，发行时间 服从均匀分布，且只要想买，就一定能买到；
• 银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准， 且在n年内不发生变化；
• 国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收 取2‰的手续费。
三、符号说明（1）
• M：原本金； • xi：为了第i（i=1,2,…,n-1）年末发放的奖金额而需
• d(0)：存一个半年定期的单位资金增长系数；
• d=0.792% 为活期存款利率；
• 由利率表计算可得： d(0) 11.664%*0.5 1.00832 d(1) 11.8%*1 1.018 d(2) 11.944%*2 1.03888 d(3) 1 2.16%*3 1.0648 d(5') 1 2.304%*5 1.1152
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入 银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见 下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取 款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生， 要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。 校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖 金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案， 并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
• 结论：最优的存款方案是首选五年期，次选三年期， 再选二年期，最后考虑一年期。
•记 i 5m(i) r(i), (m(i), r(i) Z,0 r(i) 5,i 2,3, , n) r(i) 3k(i) s(i), (k(i), s(i) Z,0 s(i) 3) s(i) 2l(i) t(i), (l(i),t(i) Z,0 t(i) 2)
预存的金额占原本金的比例； 即： Mxi元存i年后=奖金额； • xn：为了第n年末发放奖金，且发放完奖金后仍剩余 原本金M而需预存的金额占原本金的比例。 即：Mxn元存n年后=奖金额+原本金M。
三、符号说明（2）
• d(i)：存一个i年定期的单位资金增长系数，即一元 钱存一个i 年定期，到期取出时的本息和， （i=1,2,3,5’）；
• 分析 考虑国库券发行的时间：
若基金的当天有国库券发行，直接购买国库券； 其他情况下，先存半年定期。
1）若上半年发行国库券： 按活期取出购买国库券>>国库券到期取出>>存
半年定期>>续存活期； 2）若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买国库 券>>国库券到期取出续存活期。
•例 i 19 i 53 4, m(19) 3, r(19) 4 r(19) 4 311, k(19) 1, s(19) 1 s(19) 20 1, l(19) 0,t(19) 1
• 即19年期的最优存款方案为：存3个五年期，1个 三年期和1个一年期。
一、不确定因素
• 基金到位情况（时间，次数等） • 每年奖金发放情况（频率，日期，额度等） • 银行利率的变动情况 • 国库券的发行情况（时间，品种，利率等） • 国库券的购买情况
。。。。。。
二、假 设
• 该笔基金于年底前一次性到位，自下年起每年底一 次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的数额；
• 设基金到位后第 x (1< x <=360)天（按银行计天方 法）发行国库券，Ax，Bx分别表示一个单位的基 金采用A(3)，A(5)存款方案的到期本息和，则有
d (1)x1
Байду номын сангаас
d (5 ')m(n1) d (3)k (n1)
d (2)l(n1) d (1)t(n1)
xn1
0,
d (1)x1 d (5 ')m(n) d (3)k (n) d (2)l(n) d (1)t(n) xn 1,
• 注：此模型适用于 n 2
• 模型2、可存款也可购买国库券模型
三、符号说明（3）
• g(i)：存一个i年期国库券后的单位资金增长系数，即 一元钱存一个i年期国库券，到期取出时的本息和， （i=2,3,5）；
• g(1)= d(1) 。 • 由利率表计算可得：
g(1) 11.8%*1 1.018 g(2) 1 2.55%*2 1.051 g(3) 1 2.89%*3 1.0867 g(5) 1 3.14%*5 1.157
四、数学模型
• 模型1、只存款不购买国库券模型
• 由利率表数据计算得
d 2 (1) 1.036324 d (2) 1.03888 d (1)d (2) 1.05758 d (3) 1.0648 d 2 (2) 1.079272 d (1)d (3) 1.083966 d (2)d (3) 1.106199 d(5') 1.1152 d 2 (3) 1.133799 d (1)d (5') 1.135274
• 建立模型
x1
x2
xn 1,
d (1)x1 d (2)x2 0, d (1)x1 d (3)x3 0,
d
(1)
x1
d (3)d (1)x4
0,
d (1)x1 d (5 ')m(i) d (3)k (i) d (2)l(i) d (1)t(i) xi 0,
1．只存款不购国库券； 2．可存款也可购国库券。 3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希 望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
2.55
三年期
2.160
2.89
五年期
2.304
3.14
• A(k) 方案：先存半年定期。 • 若上半年发行国库券：
按活期取出购买k年国库券>>国库券到期取出 >>存半年定期>>续存活期； • 若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买k年 国库券>>国库券到期取出续存活期。
（k=3,5）
注： A(3) 方案需用4年完成； A(5) 方案需用6年完成。
• 仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假 设三种期限的国库券每年至少发行一次，发行时间 服从均匀分布，且只要想买，就一定能买到；
• 银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准， 且在n年内不发生变化；
• 国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收 取2‰的手续费。
三、符号说明（1）
• M：原本金； • xi：为了第i（i=1,2,…,n-1）年末发放的奖金额而需
• d(0)：存一个半年定期的单位资金增长系数；
• d=0.792% 为活期存款利率；
• 由利率表计算可得： d(0) 11.664%*0.5 1.00832 d(1) 11.8%*1 1.018 d(2) 11.944%*2 1.03888 d(3) 1 2.16%*3 1.0648 d(5') 1 2.304%*5 1.1152