等比数列的概念和性质.ppt
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《等比数列性质》课件
等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题
4.3.1等比数列的概念(第二课时)课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
是函数
f x a1
q
qx x R
当 x n 时的函数值，即 an = f n .
a4
(4, a4 )
反之：任给指数函数f(x)=kax ( k, a为常数, k≠0 , a>0, 且 a≠1 ), 则f(1)=ka, f(2)=ka2 , …, f(n)=kan…构成一个等比数列 {kan}，其首项为ka，公比为a．
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列， 那么数列{logb an}是否一定是等差数列？
➯ an1
b an1-an
d
b b b an
性质1：数列{an}是等差数列 ⇔数列{ban }是等比数列.
➯ logban1
logban
logb
an1 an
logbq
性质2：数列{an}是正项等比数 列⇔数列{logban}是等差数列.
∴a1＝－12. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12.又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝ n.
设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1 ＝q(q 为常数且不为零)或aan－n1 ＝q(n≥2，q 为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列 {an}是等比数列． (3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
等比数列PPT课件
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] (1)a2＝a1＋14＝a＋14，
a3＝12a2＝12a＋
1 8.
北
师
大
(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，
版
∴a5＝12a4＝14a＋136，
第6章 第三节
高考数学总复习
∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，
b3＝a5－14＝14(a－14)，
6．(2012·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
北 师
大
[答案] 3
版
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1，
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_；当 q≠1 时，Sn＝a_1_11_－－ __q_q_n__＝a1qq－n－1 1
北 师 大 版
＝qa－1qn1－q－a1 1.
第6章 第三节
高考数学总复习
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
北
∴a111－－qq6＝4·a111－－q∴a4＝a1q3＝q3＝3.
第6章 第三节
高考数学总复习
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对
北
公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
师
大
版
第6章 第三节
高考数学总复习
高考数学总复习
[解析] (1)a2＝a1＋14＝a＋14，
a3＝12a2＝12a＋
1 8.
北
师
大
(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，
版
∴a5＝12a4＝14a＋136，
第6章 第三节
高考数学总复习
∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，
b3＝a5－14＝14(a－14)，
6．(2012·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
北 师
大
[答案] 3
版
第6章 第三节
高考数学总复习
[解析] 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1，
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝_n_a_1_；当 q≠1 时，Sn＝a_1_11_－－ __q_q_n__＝a1qq－n－1 1
北 师 大 版
＝qa－1qn1－q－a1 1.
第6章 第三节
高考数学总复习
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
北
∴a111－－qq6＝4·a111－－q∴a4＝a1q3＝q3＝3.
第6章 第三节
高考数学总复习
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对
北
公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
师
大
版
第6章 第三节
高考数学总复习
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1等比数列的概念及通项公式》课件
4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
新课程标准 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运
算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核 心素养．
第一课时 等比数列的概念及通项公式
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an， 这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[对点练清]
1则 log3a2 020
等于
()
A．2 017
B.2 018
C．2 019
D.2 020
解析：由已知可得 a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为 an＝a1·qn
得，最佳乐观系数 x 的值等于________． [析题建模]
读懂 题意
→
根据乐观系数的概念 及等比中项的意义
―建―模→
建立关于 x的方程
→
求 解
解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项， 即(c－a)2＝(b－c)(b－a)， 把 c＝a＋x(b－a)代入上式， 得 x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)， 即 x2(b－a)2＝(1－x)·(b－a)2. 因为 b＞a，所以 b－a≠0， 所以 x2＝1－x，即 x2＋x－1＝0， 解得 x＝－1＋2 5或 x＝－1－2 5(舍去)． 答案：－1＋2 5
a1＝32，
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
等比数列的概念及基本运算ppt课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3
等比数列的性质和应用 通用精品课件
17
点评：本题的解法体现了构造方程解题 的思想。用到了等比数列的性质1和求和 公式。
18
例5、已知等比数列an中，前10项的和S10 10,
前20项的和S20 30,求S30
解法1：设公比为q, S10 S20 , q 1 10 20
则
a1(1 q10 ) 10 1 q
26
3.等比数列的两个重要性质
4.解等比数列题的解法主要有两种 (1)基本量法即化到a1和q求解 (2)灵活运用性质1和 2求解
27
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
2 3
q
由
：aa11
q32q1得：aq1
2 ,
3
an
2 3n1 (n N )
24
点评：本题的解法关键之处在于要证明该等比 数列是递增数列，另外qn 81还要回代到 （1）式中去求出a1和q的关系。
等比数列的概念及通项公式.ppt
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)
是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .
, , , , ,…
2,4,8,16,32,64,…
等比数列定义及性质PPT课件
a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且 q ≠0
n ∈N +)
练习:写出下列等比数列通项公式
(1) 2，4，8，16，… a n =2n
(2) 2，2
2 , 4, 4
2…
n 1
a n= 2 2
(3)
1,
1 2
,Байду номын сангаас
1 4
,
1 8
,
…
.
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
用什么方法推出的呢？
.
2
观察以上数列各有什么特点：
1, 2, 4, 8, … (1) 1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于___2_
an q(n 2) a n 1
或 a n 1 q ( n 1) an
（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
.
5
探究： （1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？
（2）公比q能等于0吗？
等差数列
由于等差数列是 作差 故a n , d 没 有要求
的前一项的差等于同 的前一项的 _比等于 _
一个常数,那么这个数 同一个常数，那么这个
列就叫做等差数列. 数列就叫做 等比数列
这个常数叫做等差数 这个常数叫做等 比 数
列的公差
列的 _公__比__
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
电路设计
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
等比数列概念及性质.ppt
1 n ( ) 6
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,...
2
3
×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式课件(人教版)
题型三 等比数列的判定与证明
例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*) (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
解析：(1)当 n＝1 时，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－12，
当 n＝2 时，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得 a2＝14.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则 an＝________.
解析：∵a1＝－2，a3
＝
－8
，
∴
a3＝ a1
q2＝－ －82＝4
，
∴q＝±2，
∴an＝(－2)·2n－1 或 an＝(－2)·(－2)n－1，即 an＝－2n 或 an＝(－2)n.
答案：－2n 或(－2)n
题型一 等比数列通项公式的求法及应用
【易错警示】 1. 出错原因 没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错 选 A. 2. 纠错心得 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题 时要小心谨慎，以防上当.
1
1
1
解析：令
an＋1－A·2
n＋1＝1 3
an－A·2
n
，则
an＋1＝13an＋A3·2
n＋1.
由已知条件知A3＝1，得 A＝3，
1
1
所以
an＋1－3×
2
n＋1＝1 3
an－3×
2
n
.
1
又
a1－3×21＝源自2≠0， 31所以
an－3×
2
n
是首项为－2，公比为1的等比数列．
3
3
1
1
于是
an－3×
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等比数列
an a1qn1
法1：不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
等差数列
等比数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824 米
观察下列数列，看看他们有什么共同的特点
(1) 1, 2, 22 , 23 , …… , 263
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
(3） 9，92，93，94，95，96， 97
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点:从第2项起，每一项与
前一项的比都等于同一常数.
等比数列概念
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ， 这个常数叫做等比数列的公比（q）。
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的 差 等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的公差（d）。
1.看清楚 纸的厚度是怎样变化的.
折1次 折2次 折3次 折4次 ．．． 折28次
厚度 2（21） 4（22） 8（23） 16（24） ．．. 228
• 2.想一想
你能折到28次吗？
（如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28 次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.
0.04毫米= 0.04 ×10-3 米
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，a1=a1 上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
法2：
法
n 2 , a2 q a1
……
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
y
y 2x1
8
7
6
5
4
an 2n1
3
2
1
o 1 2 3 4 5 6x
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知
道 am 和公比q，能否求 an ？如果能， 请写出表达式。
an amqnm (n, m N* )
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么 数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
（2）-1， ±2，-4
（3）-12，±6，-3
（4）1， ±1，1
(3) 5， 5， 5， 5，… (4) 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
练习
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
等比数列的通项公式：
等比数列an，首项为 a1
公比为q,则通项公式为
,
当q=1时，这是
一个常函数。
an 0
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最 简单的应用
练习
从通项公式，想象一下等比数列的图象 是怎么样的吗？
等比数列通项公式的图象表示:
在 右 边 的 直 角 坐 标 系 中， 画 出 通 项 公 式 为an 2n1 的数列的图象和函数y 2x1 的 图 象 ， 你 会 发 现 什 么？
课本50页探究（2）
从 图 象 的 对 比 可 以 看 出： 等 比 数 列an关 于n的 图 象 是指数函数图象上的一 些 孤 立 点.
(7) 1, x, x2, x3, x4,L (x 0)
是,公比 q= x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数 与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
对定义的理解
对定义的理解
(1) 1，3，9，27，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
an+1-an=d
an1 q an
an = a1 +（n-1）d
?
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
通项 公式
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
名称
等差数列
等比数列
定义
数学式 子表示 通项公式
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
复习与提问：
1、等差数列的定义：一个数列从第2项起， 每一项与前一项的差等于同一个常数，这 个数列叫做等差数列.
定义的符号表示： 等差数列 an+1-an=d 2、等差数列的通项公式：an = a1 +（n-1）d 3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
小实验：已知白纸的厚度为1，将白纸对折.
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1