圆与二次函数综合题精练(带答案)

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二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。

二次函数与圆综合训练(含解析)

二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，答：∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=在Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=．∴S△ABC==；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=x，∴y==x2，∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y 最大=，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，∴MG=（3﹣x），∴y=，=﹣；（3），如图4，∵y=﹣；∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，y=﹣（x﹣2）2+，∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=，∵＞，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=EF，∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=43，∴点D的坐标为（0，﹣43），直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43，由得：，∴点P的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．3、抛物线y=x²-bx-3b+3过A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .∴MH =1，BG =2. ……………4′∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′4、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．：解：（1）如答图1所示，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，则DE=3，OE=2．∵tan ∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE ﹣OE=4，∴B （﹣4，0）．∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．在Rt△AGF与Rt△QEF中，∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF，∴，即，化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．5、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，∴OP=﹣1=，在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，∴C（0，2），设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2．（2）y=﹣x2+x+2=﹣+，M（，），设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，∴y=x+2，y=x+2．答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．（3）MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴于D，当y=0时，0=x+2，∴x=﹣，OD=，∴D（﹣，0），在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+==，PC2===，PD2==，∴CD2+PC2=PD2，∴∠PCD=90°，∴PC⊥DC，∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切．6、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣23，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣98x2+94x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE 是⊙D 的切线；（3）由题意，得E （﹣23，0），B （2，2）．设直线BE 为y=kx+h （k ≠0）．则，解得，，∴直线BE 为：y=34x+12． ∵直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，对称轴直线为x=1，∴点P 的纵坐标y=54，即P （1，54）． ∵MN ∥BE ，∴∠MNC=∠BEC ．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC ∽△BEC ，∴=， ∴=2t ，则CN=43t ， ∴DN=t ﹣1，∴S △PND =12DN •PD=5568t -． S △MNC =12CN •CM=23t 2． S 梯形PDCM =（12PD+CM ）•CD=5182t +． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）的开口方向向下，∴S存在最大值．当t=1时，S最大=2．37、（2013•）已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．∵x A+x B=﹣2k，x A•x B=2k﹣1，∴|x A﹣x B|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣．易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．8、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2当y=0时，x2﹣x+2=0解得：x=2或x=6∴A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接ME∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE∵在△COD 与△MED 中∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM ﹣OD=4﹣x则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2，∴x 2+22=（4﹣x ）2 ∴x=∴D （，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b∵直线CE 过C （0，2），D （，0）两点，则解得：∴直线CE 的解析式为y=﹣+2； 9、(2013年市)如图6-1，过点A （0，4）的圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线c bx x y ++-=221经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为D 。

二次函数与圆的综合题3答案

二次函数与圆的综合题3例1、抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．解：（1）将(0,3)C - (3,0)B 代入c bx ax y ++=2，．∵1x =是对称轴， 322--=x x y ．（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-．（3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．练习：⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。

求：四边形ABCD 的面积。

解：连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。

⎭⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒3AF BD 21S ABD =⋅=⇒∆ CBE ABE CDE ADE S S S S CE AE ∆∆∆∆==⇒=，322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形B O DA例2、已知一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。

专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)

例题精讲【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，∵抛物线经过点B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴•OA•OB＝•AB•OC，∴×2×2＝×2•OC，解得：OC＝，∵⊙O的半径r＝，∴OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，∴可设P（x，﹣x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵点C是AB的中点，∴C（1，1），M（1，﹣1），设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直线OM的解析式为y＝﹣x，∵点P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1＝＝＝（1+）＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；综上所述，PM的长是或﹣2．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．变式训练【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），设P（x，x2﹣x﹣4），∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x ﹣4）2，∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AC2+CP2＝AP2，即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，﹣）；（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：连接AP、BE，如图：∵＝，＝，∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，∴△ADP∽△EDB，∴＝，∴DE＝，设P（m，m2﹣m﹣4），则D（m，0），∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，∴DE＝＝＝2，∴DE是定值2，∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．解：分两种情况：（1）当⊙P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此时P（，2）或（﹣，2）；②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，无解．（2）当⊙P与y轴相切时，∵⊙P的半径为2，∴当⊙P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，∴P点的横坐标为2或﹣2，当x＝2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；故答案为：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．解：（1）令y＝0，则﹣2x＝0，解得：x＝0或8．∴A（8，0）．∴OA＝8．∵y＝﹣2x＝﹣4，∴B（4，﹣4）．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD＝4，BD＝4，∴OD＝BD，∴∠AOB＝∠OBD＝45°；（2）①设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，∵B（4，﹣4），∴BC⊥OA．∵CO＝CB＝4，∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，则M（8，4），E（8，﹣4），F（，4）．∴MF＝ME＝8．∵B（4，﹣4），∴BE∥x轴．∴BE⊥ME，BE＝4．∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．在△MOF和△MBE中，，∴△MOF≌△MBE（SAS）．∴MO＝MB．∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，∵A（8，0），∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN＝AM＝2．当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC﹣CN≤BN≤BC+CN．∵BC＝4，∴4﹣2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH+OC＝+3＝，∴CM＝＝，∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为﹣．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：（2，0）（2m﹣3，0），因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；∵AB＜6∴x2﹣x1＜6，即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，解得﹣＜x＜．①根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，即4m﹣6＜0，m＜．②综合①②可得﹣＜m＜；（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．①当C点在x轴正半轴时，x＝＞0，因此＜m＜，∵弧BC＝弧CD，因此BC＝CD．OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，OE＝MD＝OC+CE＝+＝．易知：OD＝ME，即OD2＝ME2∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；解得m＝，符合m的取值范围．②当C点在x轴负半轴时，x＝＜0，因此﹣＜m＜，同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2化简得：m2＝，∴m＝±，均不符合m的取值范围，因此这种情况不成立．综上所述，存在符合条件的m，且m＝．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．解：（1）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴Δ＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1），∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∵⊙P是△ABC的外接圆，∴点P在抛物线的对称轴上，∴点E在⊙P上，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED＝∠OCB，∴tan∠BED＝，设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，∴BE＝2n，根据勾股定理得，DE＝＝n，∴l＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，∴＝＝．6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M （4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；＝8S△QAB，（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN 且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM＝4，ON＝3，∴MN＝5，∴OC＝MN＝，∵CD为抛物线对称轴，∴OD＝MD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，＝S△OMP+S△OMN＝OM•PD+OM•ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，∴S四边形OPMN＝1，∴S△QAB设Q点纵坐标为y，则×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON＝OB＝3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F（0，1），∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E（1，），EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝，当b＝1时，＝，∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝．②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣b2﹣2b，∴，解得：b＝，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM+∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2＝OA•OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1•x2＝﹣（c+1），∵OM＝c+1，∴（c+1）2＝c+1，解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），∴c＝0，OM＝1，∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，∴AD＝BD，DF＝4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE＝，DF＝，∴×4，∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，∵x1•x2＝﹣（c+1）＝﹣1，∴，解得：，∴b＝﹣+2＝，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+1．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y1﹣y2＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线关于y轴对称，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2，如图，连接OB、OC，设BC y轴于点D．由对称性可知，△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC是等边三角形，∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②设直线OM的解析式为y＝k1x，∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，化为x1﹣x2＝，∵x1≠x2，∴x1x2＝﹣2，∴，∴，设点N关于y轴的对称点为N'，则N'的坐标为，∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为，∴，∴，∴直线PM的解析式为x+4．∵，即N'在直线PM上，∴PA平分∠MPN．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF ＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得：，即：，∴，∴，∴，＝，＝．12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点B，D的坐标分别为（3，0），（，）；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣1＝0，解得x＝3或x＝，∴B（3，0），A（，0），令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1），∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），故答案为：（3，0），（，）；（2）∵E与D关于直线y＝t对称，∴E（，2t﹣），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣1）代入，得，∴，∴y＝x﹣1，当x＝时，y＝﹣，∵E点在△ABC内（含边界），∴2t﹣≥﹣，∴t≥，∵2t﹣≤0，∴t≤，∵t＜，∴t的取值范围是≤t≤；（3）①当t＝0时，y＝﹣x2+x﹣1关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x+1，∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；②存在点P，理由如下：设Q点的横坐标为m，∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴P点的横坐标为m，当m＞3或m＜时，Q（m，﹣m2+m﹣1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，解得m＝或m＝，∴P（，0）或P（，0）；当≤m≤3时，Q（m，m2﹣m+1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，解得m＝2或m＝，∴P（，0）或P（1，0）；综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b＝0．∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，∴﹣x1+＝﹣x2+，∴x1﹣x2＝﹣，∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP＝2OA＝4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为（x1，﹣+2），∴﹣+2＝k2x1+4，∴k2＝﹣，∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．∵﹣•+4＝＝﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，，解得：，所以所求函数关系式为：y＝x2﹣x+3；（2）△ABC是直角三角形，过点B作BD⊥x轴于点D，易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，所以∠OAC＝45°，又∵点B坐标为：（4，1），∴AD＝BD，∴∠DAB＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：（2，2）；（3）存在取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为：（2，2），∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为：2﹣或2+；∵∠BAD＝45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移＝个单位长度或＝个单位长度，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，∴平移后抛物线的关系式为：y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣，或y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣．综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式y＝x2；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2；（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，点D坐标为（，），即；D（1，1+b），B坐标为（1，），AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8BD＝+b，∴＝16；（3）设点Q坐标为（a，a2），点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），设圆的半径为r，由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，则HK＝2＝2，当t﹣＝0时，HK为常数，t＝，HK＝．16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA 周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），如图，连接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝3，BD＝，AB＝5，＝＝，∵S△ABD∴BN＝，∴sin∠BDN＝＝＝，∴∠BDN＝45°，∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）不变．如图，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝＝，＝＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝＝，∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；故m＝2或4+2；②存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即﹣0.5≤ND≤+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3），∴MN ＝﹣t 2+3t ＝﹣，∴当t ＝时，MN 的值最大，其最大值为；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上，∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （），N （），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为，当y ＝时，y ＝x 2﹣4x +3＝，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为﹣，当y ＝﹣时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （，）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵k＜0，∴k＝﹣；（3）线段EF的长为定值1，如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴，∴，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，解得：x＝﹣1或3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：k＝﹣1，b＝3∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE＝4﹣2＝2，线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PF∥DE∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．+S△CPF，∵S＝S△EPF即S＝PF•BM+PF•OM＝PF（BM+OM）＝PF•OB，∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）∴当m＝﹣＝时S最大值＝；。

二次函数与圆综合训练(含解析)

二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE 翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，OD=43， ∴点D 的坐标为（0，﹣43），直线CD 的解析式为：y=﹣13x ﹣43，由得：，∴点P 的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．3、抛物线y=x ²-bx-3b+3过A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.解析：（1）把点（b －2，2b 2－5b －1）代入解析式，得2b 2－5b －1=（b －2）2+b （b －2）－3b +3， ……………1′解得b =2.∴抛物线的解析式为y =x 2+2x －3. ……………2′（2）由x 2+2x －3=0，得x =－3或x=1.∴A （－3，0）、B （1，0）、C （0，－3）.抛物线的对称轴是直线x =－1，圆心M 在直线x =－1上. ……………3′∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .∴MH =1，BG =2. ……………4′∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′4、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．：解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B（﹣4，0）．∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；∴MC与⊙P的位置关系是相切．6、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C 不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣23，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣98x2+94x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线；（3）由题意，得E（﹣23，0），B（2，2）．设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则，解得，，∴直线BE为：y=34x+12．∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，∴点P的纵坐标y=54，即P（1，54）．∵MN∥BE， ∴∠MNC=∠BEC．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC，∴=，∴=2t ，则CN=43t ， ∴DN=t﹣1，∴S △PND =12DN•PD=5568t -． S △MNC =12CN•CM=23t 2． S 梯形PDCM =（12PD+CM ）•CD=5182t +． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t （0＜t ＜2）的开口方向向下，∴S 存在最大值．当t=1时，S 最大=23． 7、（2013•）已知：一元二次方程x +kx+k ﹣=0．（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？（1）证明：∵△=k 2﹣4××（k ﹣）=k 2﹣2k+1=（k ﹣1）2≥0，∴关于x 的一元二次方程x 2+kx+k ﹣=0，不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x 2+kx+k ﹣=0．∵x A +x B =﹣2k ，x A •x B =2k ﹣1，∴|x A ﹣x B |===2|k ﹣1|=4，即|k ﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x 2﹣x ﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x 2﹣x ﹣．易求A （﹣1，0），B （3，0），C （1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形．AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．8、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax +bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2当y=0时，x2﹣x+2=0解得：x=2或x=6∴A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接ME∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE∵在△COD与△MED中∴△COD≌△MED（AAS），∴OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，∴x2+22=（4﹣x）2∴x=∴D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：∴直线CE的解析式为y=﹣+2；圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线c bx x y ++-=221经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为D 。

专题16 巧解二次函数与圆综合题（含答案）

专题16 巧解二次函数与圆综合题知识解读二次函数与圆结合的问题，是灵活运用数学思想方法解决类似以抛物线为主线，以圆为背景的函数综合题，这类题难度大，考查知识点多.对于在抛物线上架构圆的这类题型，不仅要求对抛物线和圆的相关知识能熟练掌握，还要挖掘其中隐含的等量关系，同时注意分类讨论所有可能的情况，避免遗漏；在抛物线中求圆问题时，要将点的坐标转化为所有图形边的长度.二次函数与圆的综合应用是初中阶段的重点题型，是知识覆盖面广、数学方法运用较多的试题，因而综合能力要求比较高，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，灵活运用多种数学方法和数学思想.解题中常用的数学思想方法有：方程和函数思想，数形结合思想，分类讨论思想.培优学案典例示范例1 如图161，抛物线2y ax bx c （,,a b c 是常数，0a）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点p 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的p 总经过定点(0,2)A .（1）求,,a b c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，p 始终与x 轴相交；（3）设p 与x 轴相交于1212(,0),(,0)()M x N x x x 两点，当AMN △为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标.【提示】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出,,a b c 的值即可；（2）设(,)P x y ，表示出p 的半径r ，进而与214x 比较得出答案即可；（3）分别表示出,AM AN 的长，进而分别利用当AM AN 时，当AMMN 时，当1ANMN 时，求出x 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可。

第（2）题综合程度高，难度加大，主要考查了直线与圆的位置关系，解决的方法是利用函数、圆的性质及勾股定理的有关知识进行计算并比较圆心到直线的距离与半径的大小关系；第（3）题主要是运用分类讨论的数学思想进行探究，是动态问题，计算量大。

在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据.其次，要分清运动过程中不同的变化关系.【解答】跟踪训练如图16-2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10，0)和(524,518-)，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点。

-圆与二次函数综合题精练(带答案)

圆与二次函数综合题1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。

若A、B两点的横坐标为整数。

（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。

设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。

再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。

2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围；(2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式；（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。

3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。

（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。

4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0;(2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式；（3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。

5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。

专题30 圆与二次函数结合(解析版)

专题30 圆与二次函数结合1．一动点P 在二次函数2111424y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______．【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0)【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解．【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令21111424x x -+=，解得11x =-，23x =，此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)，②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)，综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)，故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________．【答案】y=x 2-4x +3【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=()2223-＝1，∵A （1，0），B （3，0），∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3，故答案为：y=x 2-4x +3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．【答案】26【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】令214311515y x x =--中y=0，得x 1=-3，x 2=53， ∴直线AC 的解析式为313y x =--，设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2， =(x-53)2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26，故答案为：26，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.二、解答题4．如图，在平面直角坐标系中，以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．(1)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标．【答案】(1)215442y x x =-+ (2)证明见解析 (3)存在．当4n =时，BCNS 最大，最大值为16，此时()4,2N -．【分析】（1）连接CD ，由y 轴是D 的切线，可得DC y ⊥轴，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据垂径定理可得3AE BE ==，连接AD ，在Rt ADE △中可求出AD ，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形OCDE 是矩形，得到4CO =，2OA =，8OB =，从而得到C 、A 、B 三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）因为点D 为圆心，点A 在圆周上，5r AD ==，利用勾股定理的逆定理证明90DAF ∠=︒即可；（3）设存在点N ，过点N 作NPy 轴，交BC 于点P ，求出直线BC 的解析式，设点N 的坐标215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则可得点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+⎪⎝⎭，从而根据BCN PNC PNB S S S =+△△△，表示出BCN △的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N 的坐标． (1)解：如图，连接CD ，AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，1AE BE AB 32===，4DE =，∴90DCO ∠=︒，2222435DA DE AE A =+=+=， ∴四边形OCDE 是矩形， ∴4CO DE ==，5==OE CD ，∴2OA OE AE =-=，8OB OA AB =+=， ∴()0,4C ，()2,0A ，()8,0B ，设经过点C 、A 、B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++，将点C 、A 、B 三点的坐标代入可得：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：14524a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：215442y x x =-+．(2)证明：∵点D 为圆心，点A 在圆周上，由（1）知，5r DA ==，抛物线解析式为：215442y x x =-+，且顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵()5,4D ，与D 相切．N ，使CBN 面积最大，N 作NP y 轴，交()8,0B ，的解析式为：y kx =NPy 轴，交的坐标为142n =-+BCN PNC S =△当4n =时，BCNS最大，最大值为16，此时()4,2N -．【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由BCN PNC PNB S S S =+△△△得到BCNS与n 的函数关系是解题的关键．5．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P （2，2），以P 5P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图像的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值； (3)已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图像交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连接PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【答案】(1)⊙P 是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA 周长的最小值为6 (3)43312a +=【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+P A+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得P A=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD ，P A ，设二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 与CD 交于点E ，与x 轴交于点F ，由对称性知，对称轴l 经过点P ，且l ⊥CD ， ∵AB ＝161641a aa a--=， ∴AF ＝BF ＝21aa-， ∵∠CPD ＝120°，PC ＝PD ，C （0，4）， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝30°，设PE ＝m ，则P A ＝PC ＝2m ，CE ＝3m ，PF ＝4﹣m ， ∵二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 为2x a=， ∴23m a=，即23a m =，在Rt △P AF 中，P A 2＝PF 2+AF 2， ∴222214(4)()a m m a-=-+，即22224(1)34(4)43mm m m -=-+，化简，得(823)16m +=，解得843m =+， ∴2433123a m+==．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可；【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得： 933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故函数解析式为215322y x x =-+；（2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍， ∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3， ∴直线EP 为y ＝x ﹣1，由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得71725172x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或71725172x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）．（3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1）， ∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1， ∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°， ∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小， ∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC ＝322， ∴E （32，32），S △EOF ＝1323292224⨯⨯=．∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，点F 是AE 的中点，请直接写出线段OF 的最大值和最小值．【答案】（1）224x 233y x =+-；（2）存在，理由见解析；D (－4, 103)或（2，103）；（3）最大值13122+；最小值13122- 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D 应在x 轴的上方或下方，在下方时通过计算得∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，判断点D 应在x 轴的上方，设设D (m ,n )，根据面积关系求出m 、n 的值即可得到点D 的坐标；（3）设E(x,y)，由点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E 的坐标为E 2(,12)x x,再根据点F 是AE 中点表示出点F 的坐标2312(,)22x x ，再设设F(m,n),再利用m 、n 、与x 的关系得到n=21(23)22m ，通过计算整理得出22231(1)()()22n m ，由此得出F 点的轨）时，02C （，-）4533<，所以设D (m ,n ), △∴n ＝103∴223m +y=212x ,2,12)x x ,是AE 的中点, 的坐标2312(,)22x x ,,n=2122x ,n=21(23)22m ,∴2n+2=21(23)m ,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2, ∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m, ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆，∴最大值：2231131(0)12222，最小值：2231131(0)12222最大值13122+；最小值13122- 【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x 轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.8．如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y ＝16x 2+bx+c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A 、B 、C ，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q （8，m ）在抛物线y ＝16x 2+bx+c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【答案】（1）C （0，2），图象见解析；（2）PQ+PB 的最小值210；（3）OE 的解析式为y=12x -．【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A ，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C 的坐标；（2）根据图象可得PQ+PB 的最小值即是AQ 的长，所以抛物线对称轴l 是x=4．所以Q （8，m ）抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6，求的AQ 的值即可；（3）此题首先要证得OE ∥CM ，利用待定系数法求得CM 的解析式，即可求得OE 的解析式．试题解析：（1）由已知，得A （2，0），B （6，0），∵抛物线y=16x 2+bx+c 过点A 和B ，则2212206{16606b c b c ⨯++⨯++＝＝解得4{32b c -＝＝则抛物线的解析式为y=16x 2-43x+2．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l 是x=4． ∵Q （8，m ）在抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6， ∴AQ=22=210AK QK +．又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ+PB 的最小值=AQ=210．（3）如图②，连接EM 和CM ．由已知，得EM=OC=2．∵CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40 {2k bb+＝＝解得1 {22 kb-＝＝直线CM的解析式为y＝−12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，∴OE的解析式为y=−12x或y=0.5x．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为．（直接写出答案）【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=32时，CD 最大=94；（3）x=±12或x=±2；（4）1．【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB 解析式，进而得出点D ，C 的坐标，即可得出CD 的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上，建立方程即可．本题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （3，0），B （0，3），∴直线AB 解析式为y=﹣x+3， ∵P （x ，0）．∴D （x ，﹣x+3），C （x ，﹣x 2+2x+3）， ∵0＜x ＜3，∴CD=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x=﹣（x ﹣32）2+94，当x=32时，CD 最大=94；（3）由（2）知，CD=|﹣x 2+3x|，DP=|﹣x+3|①当S △PDB =2S △CDB 时，∴PD=2CD ，即：2|﹣x 2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±12或x=3（舍），②当2S △PDB =S △CDB 时，∴2PD=CD ，即：|﹣x 2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），即：综上所述，x=±12或x=±2；（4）直线AB 解析式为y=﹣x+3，∴线段AB 的垂直平分线l 的解析式为y=x ， ∵过点B ，C ，P 的外接圆恰好经过点A ，∴过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上， ∴2232x x x -++=，∴x=±3，故答案为3± 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线l ：4,x =且与x 轴交于点(2,0),A 与y 轴交于点C (0,2).（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP CP +的值最小？若存在，求AP CP +的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB 为直径作⊙M ,过点C 作直线CE 与⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：2y a x 4a 0k =-+≠（）（）∵抛物线经过(2,0)A 、C (0,2).∴24)204)2(0{(2a k a k --+=∴+= 解得：a=16，23k =-.∴212(4)63y x =--，即：214263y x x =-+. （2）存在.令0y =，得28120,x x -+=即(2)(6)0x x --=，122, 6.x x ∴== ∴抛物线与x 轴的另－交点(6,0)B .如本题图2，连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点.因为A B 、关于l 对称，则AP BP =,AP CP CB ∴+=,即AP CP +的最小值为BC . ∵6,2OB OC ==,226240210.BC ∴=+==AP CP ∴+的最小值为210；（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线,∴90ME CE CEM ，⊥∠=︒,由题意，得2.OC ME ODC MDE ==∠=∠， ∵在COD MED ∆∆与中,{COD MED ODC EDM OC EM∠=∠∠=∠=， ∴AAS COD MED ∆∆≌（）， OD DE DC DM ∴==，,设OD x =，则4CD DM OM OD x ==-=-, 则在Rt △COD 中，又222OD OC CD +=，∴2224(4)x x +=-,解得32x =，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y mx b =+，∵直线CE 过C （0，2）、D （32，0）两点， ∴3{22m b b +==，解方程组得：4{32m b =-=. ∴直线CE 的解析式为y 423x =-+.【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为2y a x 4a 0k =-+≠（）（），将(2,0)A 、C (0,2)代入解析式，即可求出a ，k 的值，得出抛物线的解析式，令0y =，即可求出抛物线与x 轴另－交点(6,0)B ；（2）连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点. 则AP CP +的最小值为BC ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理即可求出BC 的值；（3）连接ME ，根据已知条件可得COD MED ∆∆≌，根据全等三角形的对应边相等可得OD DE DC DM ==，，在Rt △COD 中，根据勾股定理求出OD ，即可得出D 点坐标，设直线CE 的解析式为y mx b =+，代入C ，D 两点坐标，即可解得直线CE 的解析式. 考点：二次函数的综合题.点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.11．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)求二次函数23y ax bx =++的表达式；(2)点D 是线段OB 上一动点，过点D 作y 轴的平行线，与BC 交于点E ，与抛物线交于点F ，连接CF ，探究是否存在点D 使得△CEF 为直角三角形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．y x．3∥OB关于抛物线对称轴直线x=）②当∠ECF =90°时，作FG ⊥y 轴于G ，由OB =OC ，∠BOC =90°，可知∠BCO =45° ∵CF ⊥CB ， ∴∠FCG =45°，∴△CFG 是等腰直角三角形，设CG =a ，则点F 坐标为(-a ,a +3)，代入223y x x =--+得：23()2()3a a a +=----+ 解得11a =，20a =（舍去）点F （-1，4），此时点D 坐标为（-1，0）．综上所述：存在这样的点D ，点D 坐标为（-2，0）或（-1，0）（3）解：①当点P 在BC 上方时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ，作PM ⊥x 轴，交BC 于点N ，过点P 作直线PH ∥BC ．则PNG 是等腰直角三角形，∵PG =2， ∴PN =2， ∵PM ⊥x 轴，∴直线PH 由直线BC 向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为5y x =+．联立直线PH 和抛物线的解析式，得：2235y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩，解得：14x y =-⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．∴点P 坐标为(-1，4)或(-2，3) ．②当点P 在BC 下方时，同理可得直线PH 由直线BC 向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为1y x =+．2231y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩，解得：31721172x y ⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或31721172x y ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．∴点P 坐标为(31711722，-+-+)或(31711722----，)．综上所述：点P 坐标为(-1，4)或(-2，3)或(31711722，-+-+)或(31711722----，)．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．12．已知二次函数的图象交x 轴于点A （3，0），B （－1，0），交y 轴于点C （0，－3），P 这抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标：(3)抛物线上是否存在点P ，使得以点P 为圆心，2为半径的圆既与x 轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P 的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）【答案】(1)223y x x =--(2)点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当∠P AC =90°时，当∠PCA =90°时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切，可得点P 的纵坐标为-2，由此求出点P 的坐标即可；过点P 作PE ⊥MN 于E ，由垂径定理可得MN =2ME ，利用勾股定理求出ME 即可得到答案．(1)解：设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把点C （0，-3）代入得，()()01033a +-=-，∴1a =，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =+-=--；(2)解：如图所示，当∠P AC =90°时，设P A 与y 轴交点为D ， ∵点A 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，-3）， ∴OA =OC =3， ∵∠AOC =90°， ∴∠CAO =45°， ∴∠DAO =45°， ∴OA =OD =3，∴点D 的坐标为（0，3），设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为3y x =-+，联立2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得25x y =-⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点P 的坐标为（-2，5）；当∠PCA =90°，设直线PC 与x 轴的交点为E ，同理可证∠ECO =45°，即OE =OC ， ∴点E 的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC 的解析式为3y x =--，联立2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩或03x y =⎧⎨=-⎩（舍去），∴点P 的坐标为（1，-4），综上所述，点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--=--， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 和点B 到抛物线的对称轴的距离都为2，∵圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切， ∴点P 的纵坐标为-2，当2y =-时，2232x x --=-，解得121212x x =-=+，，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，过点P 作PE ⊥ME 交抛物线对称轴于E ，∴1212PE =+-=或()112=2--，2MN ME =， ∴222ME MP PE =-=， ∴22MN =，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．13．如图，二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2144y x =-+(2)点D 的坐标为()2,2-(3)存在，点1P 的坐标为()8,12-，点2P 的坐标为()225,225----【分析】（1）由题意可知C 坐标，根据题意得到三角形AOC 为等腰直角三角形，确定出A 坐标，代入二次函数解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，由圆O 与直线AC 相切于点D ，得到OD 垂直于AC ，由OA =OC ，利用三线合一得到D 为AC 中点，进而求出DE 与DF 的长，确定出D 坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y =-x -4，与抛物线解析式联立求出P 坐标；经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y =x ，与抛物线解析式联立求出P 坐标即可． (1)解：∵二次函数24y ax =+的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为()0,4，∵二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A ，tan ∠OAC ＝1， ∴∠CAO ＝45°， ∴OA ＝OC ＝4， ∴点A 的坐标为()4,0-， ∴()2044a =-+，∴14a =-，∴二次函数的解析式为2144y x =-+；(2)连接OD ，作DE 轴，交x 轴于点E ，DF 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ， ∵OA ＝OC ＝4， ∴点D 是AC 的中点，∴122DE OC ==，122DF OA ==，∴点D 的坐标为()2,2-； (3)直线OD 的解析式为y ＝－x ，如图2所示，则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4，解方程组24144y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24320x x --=，即()()840x x -+=， ∴18x =，24x =-（舍去）， ∴y ＝－12，∴点1P 的坐标为()8,12-；直线AC 的解析式为y ＝x ＋4，则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ，解方程组2144y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24160x x +-=，即225x =-+， ∴1225x =--，2225x =-+（舍去）， ∴225y =--，∴点2P 的坐标为()225,225----．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．14．如图，已知二次函数213442y x x =-++的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ；(1)求顶点D 的坐标； (2)求直线BC 的解析式；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE ，CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)以AB 为直径，M 为圆心作圆M ，试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由【答案】(1)25(3,)4(2)142y x =-+(3)16(4)直线与圆M 相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得(2,0),(8,0)A B -，(0,4)C ，再利用待定系数法，代入点B 、C 的坐标即可解答；（3）根据中点公式解得点M 的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM ，MD 的长，比较MD <CM ，得到直线与圆M 有两个交点，据此解答． (1)解：222213114612264=()4()445949(3)44y x x x x x x x --=-++-+=-+--+=+-即顶点D 的坐标25(3,)4； (2)由（1）知(0,4)C 令0y =得201(3)254=4x -+- 解得128,2x x ==-(2,0),(8,0)A B ∴-设直线BC 的解析式：y kx b =+，代入点B 、C480b k b =⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ (3)如图，设21(,)3442E x x x ++-（0<x <8），过点E 作EH x ⊥于H ， BCE BOC COBE S S S=-四边形 BHE BOC COHE SS S =+-梯形 1()1222EH CO OH BH EH BO CO +⋅=⋅+-⋅223432421(4)1114(8)()842422x x x x x x -+⋅=-⋅-+-++⨯+⨯+ 2=8x x -+2(4)16=x --+即当x =4时，△BCE 面积的最大值为16；(4)直线与圆M 的位置是相交，理由如下，如图，M 为BC 的中点，0804(,)22M ++∴ 即(4,2)M222225305(04)(42)25,(34)(2)44CM MD ∴=-+-==-+-= 32030532025,444=< MD MC ∴<∴直线CD 与圆M 有两个交点，即直线与圆M 的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）二次函数的表达式为；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）若点E 在二次函数的图象上，以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65，请直接写出点E 的坐标．【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）点E 的坐标为3626,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3626,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）首先通过BC 两点坐标，求出直线BC 的解析式，再根据三角形△ABM 是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M 点横坐标x 的方程，解之即可得到x 的值，进而得到M 点坐标；（3）利用面积法求出O 到直线BC 的距离，结合EF 的长度可知P 1为线段OC 中点，可得P 1的坐标，进而可得P 2坐标，结合直线BC 的表达式，可求出直线EP 的表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E 的坐标．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝34-，b ＝94， ∴239344y x x =-++，故二次函数表达式为：239344y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， ∴343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52， ∴OD ＝32，设M 1（x ，﹣34x ＋3）， ∴M 1（32，158）， ∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3）， ∴BM 2＝()22113434x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝5，解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）过点E 作EP ∥BC ，交y 轴于点P ，这样的点有两个，分别记为P 1，P 2，如图所示：∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝22OB OC +＝5，∴点O 到直线BC 的距离为：125OB OC BC ⋅=， ∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65， ∴点E 到直线BC 的距离是65， ∴点P 1为线段OC 的中点，∴CP 1＝CP 2，∴P 2（0，92）， ∵直线BC 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋3， ∴直线EP 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋32或y ＝﹣34x ＋92，联立直线EP 和抛物线的表达式方程组，得：2334239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩或2394239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，得1126364x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或2226364x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或33223234x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或44223234x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， ∴点E 的坐标为36264⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或36264⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．。

圆和二次函数综题及答案

1、Rt△ABC中,AC=4,BC=3,DE‖AB,分别与AC、BC相交于D、E,CH⊥AB于点H，交D E于点F，G为AB上任意一点，设CF=x，△DEG的面积为y，限定DE在△ABC的内部平行移动（1）求x的取值范围；（2）求函数y与自变量x的函数关系式；（3）当DE取何值时，△DEG的面积最大，并求出其最大值(1)根据勾股定理易知AB=5因为DE‖AB,CH⊥AB∴CH⊥DE又∠E=∠E,∠ACB=90°∴△CFE∽△DCE∴CF/CD=CE/DE 即CF=CE(CD/DE)=(4/5)CECE最大为3，最小为0∴0＜x＜12/5（2）由（1）中的结论可知CE=(5/4)CF,DE=(5/3)CE∴DE=(25/12)CF又△DGE，DE边上的高为CH-CF,而易知CH=(4/5)CB=12/5∴△DGE之高为（12/5）-CF∴其面积=y=底乘高的二分之一=（（12/5）-x)(25/12)x/2=-（25/24）x²+(5/2)x（3）根据（2）中的结论易知当x等于1.2时，y最大为1.5此时DE=(25/12)CF=(25/12)*1.2=2.52、如图，抛物线y=x2+bx+c（b≤0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）；直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE ≤60度．（1）用b表示点E的坐标；（2）求实数b的取值范围；（3）请问△BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．（1）∵抛物线y=x2+bx+c过A（-2，0），∴c=2b-4∵点E在抛物线上，∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3，∴点E的坐标为（1，3b-3）．（1）∵抛物线y=x2+bx+c过A（-2，0），∴c=2b-4∵点E在抛物线上，∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3，∴点E的坐标为（1，3b-3）．（2）由（1）得EF=3-3b，∵45°≤∠FAE≤60°，AF=3，=3tan60°=3−3b3∴b=1-3∴1-3≤b≤0（3）△BCE的面积有最大值，∵y=x2+bx+c的对称轴为x=-b2，A（-2，0），∴点B的坐标为（2-b，0），由（1）得C（0，2b-4），而S△BCE=S梯形OCEF+S△EFB-S△OCB=12（OC+EF）•OF+12EF•FB--12OB•OC=[（4-2b）+（3-3b）]×1+12（3-3b）（1-b）-12（2-b）•（4-2b）=12（b2-3b+2），∵y=12（b2-3b+2）的对称轴是b=23，1-3≤b≤0∴当b=1-3时，S△BCE取最大值，最大值S=3+324、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝13，求DE的长．【解析】（1）证明：连接AD ∵AB为半圆O的直径,∴AD⊥BC∵AB=AC∴点D是BC的中点(2)【解析】相切连接OD∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（3）∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=900在Rt△ADB中∵cosB=BDAD∴BD=3∵CD=3在Rt△ADB中∴cosC=CECD∴CE=15、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

二次函数和圆练习(含答案)

二次函数和圆一．解答题（共15小题）1．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．∴，解得xAOB=，∴AOB=×=2.4×=3==1.8AOB=，∴y=x+b ∴2x=x+b，x=，x=，）2．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．∴y=x x+3y=x x+3= y=x x+3=OEx=，）3．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．（﹣∴∴，．，D∴=，∴，∴，=，OG=，，（）4．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；x=OP=，）的坐标代入，得k，y=x，×﹣，，DE=AC===∴，，=3+）或（﹣5．如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．（1）求点A、B的坐标；（2）求抛物线的函数关系式；（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．，OB=，x；=2±+，解得2，解得：，+，﹣+）6．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；﹣∴x x+2=（，MF=FG=∵，∴∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，C==2=2+2﹣﹣。

二次函数和圆练习(含答案)

二次函数和圆一．解答题（共15小题）1．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合．分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB 中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E 的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．解答：解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，∴OA=1，OB=，∴=∴A的坐标是（0，1）∠ABO=30°．（2）∵△CDE为等边△，点A（0，1），∴tan30°=，∴，∴D的坐标是（﹣，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入y=a（x﹣m）2+n，解得：a=﹣3．（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足．∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°∴∠BCE=90°，∠ECN=90°∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN∴四边形MPCN为正方形∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）．∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ．∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°∴∠EMQ=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（﹣3）a∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2 a∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a，∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣∴E（﹣4a﹣，0）∴C（﹣3a﹣，﹣3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a∵E在该抛物线上∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1∵a＜0，∴a=﹣1∴AF=2，CF=2，∴AC=4∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切．点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．2．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．解答：解：（1）将点A（2，0）和点B（1，﹣）分别代入y=x2+mx+n中，得：，解得：，∴抛物线的解析式：y=x2﹣1；（2）①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：x2﹣1=﹣+2t，x=，∴P（，﹣+2t），∴圆心C（，﹣+t），∴点C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1）=t+；而OP2=8t+1+（﹣+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；∴直线l与⊙C始终保持相切．②Ⅰ、当圆心C在直线l上时，﹣+t=﹣1+3t，t=；此时直线l与⊙C相交；当0＜t≤时，C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1+3t）=﹣2t＜t+，∴直线l与⊙C相交；当t＞时，C到直线l的距离：﹣1+3t﹣（﹣+t）=2t﹣，若直线l与⊙C相交，则：2t﹣＜t+，t＜；综上，当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；Ⅱ、若a2最大，则a为⊙C的直径，此时点C在直线l上，由Ⅰ知：此时t=，半径OC=t+=，直径a=，∵0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d=|2t﹣|，又半径为r=t+，∴a2=4（r2﹣d2）=4[（t+）2﹣|2t﹣|2]=﹣12t2+15t，∴t=时，a的平方取得最大值为．点评：该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解．3．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．过O点作OF⊥AD于F，∴四边形OFAE是矩形，∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，由勾股定理得：DF===1.8，∴t=1.8秒；（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．∵点R既在直线l上，又在抛物线上，∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=﹣，此时原方程的解为x=，即x R=，而y R=x R2﹣2x R=∴点R的坐标为R（，）．点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．4．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E 点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9即：P2（9，0）；③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴y=﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHG∽△FHM，得，即．解得HK=2t．∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）．∴S阴=IV•AQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述：s=．点评：该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．5．（2012•济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）．又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），∴M（，），∴BM==；在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，，∴点N的坐标为（，）或（，）．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．6．（2011•遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴点C的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x 2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P点坐标为（0，3），∴点P、C、D重合，②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4（舍），∴y=6，∴P点坐标为（﹣1，6），∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；（3）如图3：作EM⊥AO于M，∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，∴tan∠OAC=1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∴AC⊥AF，∵S△FEO=OE×OF，OE最小时S△FEO最小，∵OE⊥AC时OE最小，∵AC⊥AF∴OE∥AF∴∠EOM=45°，∴MO=EM，∵E在直线CA上，∴E点坐标为（x，﹣x+3），∴x=﹣x+3，解得：x=，∴E点坐标为（，）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．7．（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．解答：（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O的切线，∴O′C⊥CD，∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA=∠CAD，∵O′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA，∴∠CAD=∠CAB；（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°，∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴，即OC2=OA•OB，∵tan∠CAO=tan∠CAD=，∴AO=2CO，又∵AB=10，∴OC2=2CO（10﹣2CO），∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2，∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，∴c=4，由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；②设直线DC交x轴于点F，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=8，∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴，∴8（BF+5）=5（BF+10），∴BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，右边=﹣×（﹣3）+4==左边，∴抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．①∵A（﹣8，0），C（0，4），∴过A、C两点的直线解析式为y=x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把B（2，0）代入得b=﹣1，∴直线PB的解析式为y=x﹣1，∴，解得，（舍去），∴P1（﹣10，﹣6）．②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出x1=﹣8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=﹣36．∴P2的坐标（10，﹣36）．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．8．（2011•潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．解答：解：（1）令y=0，则﹣（x+m）（x﹣3m）=0，解得x1=﹣m，x2=3m；令x=0，则y=﹣（0+m）（0﹣3m）=m．故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m．∴直线ED的解析式为y=mx+m．将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x﹣m）2+m．∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠EDC=90°∴直线ED与⊙C相切．（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m（3﹣m）S=﹣m2+m．当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）．即S=m2_ m．S关于m的函数图象的示意图如右：点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．9．（2011•邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过点C，∴∠ACB=90°．（2）∵△AOC∽△COB，∴OC2=AO•OB，∵A（﹣，0），点C（0，3），∴，OC=3，又∵CO2=AO•OB，∴，∴OB=4，∴B（4，0）把A、B、C三点坐标代入得．（3）①OD=DB，如图：D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．DH=，，∴D，②BD=BO，如图：过D作DG⊥OB，垂足是G，∴==，∵OB=4，CB=5，∴CD=BC﹣BD=BC﹣OB=5﹣4=1，∴=，∴=，=，∴OG=，DG=，∴D（，）．点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．10．（2011•泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=1，m=，∠AOE=60°．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．考点：二次函数综合题；一次函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的判定；切线的性质；解直角三角形．专题：综合题．分析：（1）由点A（，p）在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到m=；在Rt△OBA中，OB=1，AB=，OA=，得到∠AOE=60°；（2）连接TM，ME，EN，ON，根据切线的性质得到QE⊥x轴，QT⊥OT，由QE⊥MN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，则四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME；同时有△QEN为等边三角形，则∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到∠TMN=90°，得到TN∥ME，所以∠MTN=60°=∠TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到∠DME=90°，DM垂直平分MN，所以Rt△MFD∽Rt△EFM，得到MF2=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，令y=1，得到x1=h﹣，x2=h+，则MF=MN=，得到（）2=1•（k﹣1），解得a=﹣1．解答：解：（1）∵点A的坐标为（，p），点A在直线l上，∴p=1，即点A坐标为（，1）；而点A在直线y=mx上，∴1=m，解得m=；在Rt△OBA中，OB=1，AB=，∴OA=，∴∠AOB=30°，∴∠AOE=60°．故答案为1，，60°；（2）连接TM，ME，EN，如图，∵OE和OT是⊙Q的切线，∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，而l∥x轴，∴QE⊥MN，∴MF=NF，又∵当r=2，EF=1，∴QF=2﹣1=1，∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，∴∠TMN=90°，∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE，∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化．理由如下：连DM，ME，如图，∵DE为直径，∴∠DME=90°，而DE垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM，∴MF2=EF•FD，设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，又∵M、N的纵坐标都为1，当y=1，a（x﹣h）2+k=1，解得x1=h﹣，x2=h+，∴MN=2，∴MF=MN=，∴（）2=1•（k﹣1），∵k＞1，∴=k﹣1，∴a=﹣1．点评：本题考查了抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；也考查了等腰梯形的判定和三角形相似的判定与性质以及垂径定理．11．（2011•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，0），以点A为圆心的圆交x轴于O、B 两点，直线y=x﹣3交x轴于点C，交y轴于点D，过A、C、D三点作一条抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线CD与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）若点M以每秒4个单位长度的速度由点B沿x轴向点C运动，点N以每秒1个单位长度的速度由点C沿直线y=x﹣3向点D运动．设运动时间为t（t≤4），试问t为何值时△CMN与△CDB相似；（4）在抛物线上是否存在点P，使△APC的面积是△BCD面积的倍？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据直线CD的解析式求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式解答；（2）过圆心A作AE⊥CD于点E，利用勾股定理求出CD的长度，再根据∠DCO的正弦值求出AE的长度，与⊙A的半径相比较，根据直线与圆的位置关系即可得出CD和⊙A的位置关系；（3）根据圆的对称性求出点B的坐标，并求出BC的长度，然后用t表示出CM、CN，再分①CM与CB 是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②CM与CD是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范围内）；（4）首先求出△BCD的面积，通过三角形的面积公式，易求得P点纵坐标的绝对值，然后分①点P在x 轴下方，点P的纵坐标是负数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解，②点P在x 轴上方，点P的纵坐标是正数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解．解答：解：（1）当y=0时，x﹣3=0，解得x=4，当x=0时，y=﹣3，所以，点C（4，0），D（0，﹣3），设过A、C、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线解析式为y=x2+x﹣3；（2）如图，过圆心A作AE⊥CD于点E，∵C（4，0），D（0，﹣3），∴CD==5，∵A（﹣6，0），∴AC=4﹣（﹣6）=10，sin∠DCO==，即=，解得AE=6，∵⊙A的圆心为（﹣6，0）且经过点O，∴⊙A的半径为6，∴直线CD与⊙A相切；（3）根据圆的对称性，圆心为A（﹣6，0）的⊙A经过点O（0，0）与B，∴点B的坐标为（﹣12，0），∴CB=4﹣（﹣12）=4+12=16，根据题意，CM=CB﹣4t=16=4t，CN=t，①CM与CB是对应边时，∵△CMN∽△CBD，∴=，即=，解得t=秒；②CM与CD是对应边时，∵△CMN∽△CDB，∴=，即=，解得t=秒；∵与都小于4，∴t=或秒时，△CMN与△CDB相似；（4）存在．理由如下：∵BC=16，点D到BC的距离为3，∴S△BCD=×16×3=24，设点P到AC的距离为h，∵AC=10（已求），∴×10h=×24，解得h=3，①点P在x轴下方，点P的纵坐标是﹣3，所以，x2+x﹣3=﹣3，整理得，x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2，所以，点P的坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3），②点P在x轴上方，点P的纵坐标是3，所以，x2+x﹣3=3，整理得，x2+2x﹣48=0，解得x1=﹣8，x2=6，所以，点P的坐标为（﹣8，3）或（6，3），综上所述，存在点P（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣8，3）或（6，3），使△APC的面积是△BCD面积的倍．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及到待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，直线与圆的位置关系的判定，以及相似三角形的对应边成比例的性质，（3）题要注意根据对应边的不同分两两种情况讨论，（4）要分点P在x轴下方与上方两种情况讨论，本题难度不是很大，但运算较为复杂，希望同学们计算时要认真仔细．12．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；分类讨论．分析：（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把点C 的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．。

九年级中考复习二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)

二次函数与圆的综合习题种类一圆的基天性质应用例 1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点 A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0，-2）．（1）求 a 值及 A， B 两点坐标；（2）点 P（m， n）是抛物线上的动点，当∠ CPD 为锐角时，恳求出 m 的取值范围；（3）点 E 是抛物线的极点，⊙M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点C′，D′，按序连结A， C′，D′，E 四点，四边形AC′D′E（只需考虑凸四边形）的周长能否存在最小值？若存在，恳求出此时圆心M ′的坐标；若不存在，请说明原因．【答案】（ 1）A（ 1，0），B（ 4，0）．（ 2）m＜ 0 或 1＜ m＜ 4 或 m＞5．（ 3）存在．M（′，-2）【分析】解：（ 1）∵抛物线y=a（x- ）2+ 经过点 C（ 0， -2），∴-2=a（ 0- ）2+ ，∴a=- ，∴y=- （ x- ）2+ ，当 y=0 时， - （x- ）2+ =0，∴x1 =4， x2=1，∵A 、 B 在 x 轴上，∴A（ 1，0），B（4， 0）．（2）由（ 1）可知抛物线分析式为 y=- （ x- ）2+ ，∴C、 D 对于对称轴 x= 对称，∵C（ 0，-2），∴D（ 5，-2），如图 1 中，连结 AD 、 AC 、 CD，则 CD=5 ，∵A （ 1，0），C（0， -2），D（5，-2），∴AC=，AD=2，∴AC 2+AD 2=CD 2，∴∠ CAD=90°，∴CD 为⊙ M 的直径，∴当点 P 在圆外面的抛物线上运动时，∠CPD 为锐角，∴m＜ 0 或 1＜m＜4 或 m＞ 5．（3）存在．如图 2 中，将线段C′A平移至 D′F，则 AF=C′D′=CD=5，∵A （ 1，0），∴F（6，0），作点 E 对于直线 CD 的对称点 E′，连结 EE′正好经过点 M ，交 x 轴于点 N，∵抛物线极点（，），直线 CD 为 y=-2，∴E′（，-），连结 E′F交直线 CD 于 H，∵AE ， C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥， E′F则当点 D′与点 H 重合时，四边形 AC′D′E的周长最小，设直线 E′F的分析式为 y=kx+b ，∵E′（，-），F（6，0），∴可得 y= x-，当 y=-2 时， x=，∴H（，-2），∵ M（，-2），∴DD′=5- =，∵- = ，∴M′（，-2）针对训练1．已知二次函数 y＝ax2－ 2ax＋c(a＜ 0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF： FB＝1： 3．(1) 求 A 、 B 两点的坐标；(2) 若△COB 的心里 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3) 在(2)的条件下， Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点M ，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN 沿直线CN 翻折， M 的对应点为M′，能否存在点Q，使得M′恰巧落在y 轴上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)B(4 ， 0)， A( －2，0)；(2)y=x2+ x+3 ；(3)存在， Q( ， 0)或 Q(，0) 【分析】（1）以下图：对称轴为：直线，∴OE=1 ，∵OC∥EF，∴，∴E B=3 ，由对称性得： BE=AE=3 ，∴A( - 2,0),B(4,0) ；(2)如图，是△的内切圆，过点I 作于点D，∴设，则在 Rt△OCB 中， OB=4 ，即解得∴C(0,3) ，∴c=3，把 A( - 2,0), C(0,3)代入抛物线 y=ax2-2ax+c 中得：解得：∴抛物线的分析式为：y=x2+ x+3；(3)如图 ,由题意∠ M′ CN=∠ NCB ，∵MN ∥ OM′，∴∠ M′CN=∠ CNM,∴∠ CNM = ∠NCB，∴MN=CM ，∵直线 BC 分析式为，∴,∵，∴，∴，，作 ME ⊥OC 于 E，①当 N 在直线解得： m= 或∴Q( ，0)，②当 N 在直线BC 上方时 ,0(舍弃 )，BC 下方时 ,，，解得 m=或0(舍弃)，∴Q(，0)综上所述：点 Q 坐标为( ，0)或 Q( ，0).2．对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出以下定义：点P，Q 都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标交换后获得点Q，则称点P，Q是图形G “的一对关联点”．比如，点 P（1，2）和点 Q（2， 1）是直线 y＝﹣ x+3 的一对关系点．（1）请写出反比率函数y＝的图象上的一对关系点的坐标：；（2）抛物线 y＝ x2+bx+c 的对称轴为直线 x＝ 1，与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1）．点 A，B 是抛物线 y＝x2 +bx+c 的一对关系点，直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0）．求 A，B 两点坐标．（3）⊙ T 的半径为 3，点 M ，N 是⊙ T 的一对关系点，且点 M 的坐标为（ 1，m）（m＞ 1），请直接写出m 的取值范围．【答案】（ 1）（2，3），（3，2）．（ 2） A，B 两点坐标为（﹣ 1，2）和（ 2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3 ．【分析】解：（ 1）∵ 2×3＝3×2＝ 6，∴点（ 2， 3），（3， 2）是反比率函数y＝的图象上的一对关系点．故答案为：（2，3），（ 3， 2）．（2）∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋ c 的对称轴为直线 x＝1，∴﹣＝1，解得： b＝﹣ 2．∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋c 与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1），∴c＝﹣ 1，∴抛物线的分析式为y＝ x2﹣ 2x﹣1．由关系点定义，可知：点 A ， B 对于直线 y＝ x 对称．又∵直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0），∴直线 AB 的分析式为y＝﹣ x＋ 1．联立直线AB 及抛物线分析式成方程组，得：＝﹣＋＝﹣﹣，解得：∴A，B，两点坐标为（﹣，1， 2）和（2，﹣ 1）．（3）由关系点定义，可知：点M ， N 对于直线y＝ x 对称，∴⊙ T 的圆心在直线y＝ x 上．∵⊙ T 的半径为 3，∴M1M2 ＝×2×3＝3，∴m 的取值范围为1＜ m≤1＋ 3．.种类二与圆相关的地点关系例 2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为 B，过 B 作⊙ A 的切线 l ．（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A ，抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C，抛物线的极点为点 E，假如 CO=2BE ，求此抛物线的分析式；（2）过点 C 作⊙ A 的切线 CD，D 为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 CD 上的一个动点，当△BFC 与△CAD 相像时，求出 BF 的长．【答案】（ 1） y= （ x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．【分析】（1）∵ A （ 2， 0），⊙ A 与 y 轴切于原点，∴⊙ A 的半径为 2．∴点 B 的坐标为为（ 4，0）．∵点 A 、C 对于 x=4 对称，∴C（ 6，0）．又 CO=2BE ，∴E（4，-3）设抛物线的分析式为 y=a（ x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点 E（ 4， -3）∴-3=a（ 4-2）（ 4-6），解得： a= ．∴抛物线的分析式为y= （x-2 ）（ x-6）；（2）如图 1 所示：连结AD ，∵AD 是⊙ A 的切线，∴∠ ADC=90°，AD=2 ，由（ 1）知， C（6，0）．∵A （ 2，0），∴AC=4 ，在 Rt△ACD 中， CD2=AC2-AD2=42-22=12 ，∴CD=2 ．（3）如图 2 所示：当 FB⊥AD 时，连结 AD ．∵∠ FBC= ∠ ADC=90°，∠ FCB= ∠ ACD ，∴△ FBC∽△ ADC ，∴=，即=．解得： CF=．如图 3 所示：当 BF⊥ CD 时，连结 AD 、过点 B 作 BF ⊥CD，垂足为 F．∵AD ⊥CD，∴BF∥AD ，∴△ BFC∽△ ADC ，∴=，即=．∴C F= ．综上所述， BF 的长为或．针对训练1．如图，抛物线 y=x 2﹣ 4x﹣ 1 极点为 D，与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C．（1）求这条抛物线的极点 D 的坐标；（2）经过点（ 0，4）且与x 轴平行的直线与抛物线y=x 2﹣ 4x﹣ 1 订交于M 、N 两点（ M 在 N 的左边），以 MN 为直径作⊙ P，过点 D 作⊙ P 的切线，切点为 E，求点 DE 的长；（3）上下平移（ 2）中的直线 MN ，以 MN 为直径的⊙ P 可否与 x 轴相切？假如能够，求出⊙P 的半径；假如不可以，请说明原因．【答案】（ 1）点 D 的坐标为（ 2， -5）；（2）DE=6；（3）能够相切，原因看法析. 【分析】（1）∵ y=x2-4x-1=x2-4x+4-5= （ x-2 ）2-5，∴点 D 的坐标为（ 2，-5）；（2）∵当 y=4 时， x2-4x-1=4 ，解得 x=-1 或 x=5 ，∴M 坐标为（ -1，4），点 N 坐标为（ 5， 4），∴MN=6 ．P 的半径为 3，点 P 的坐标为（ 2，4），连结 PE，则 PE⊥ DE，∵PD=9，PE=3，依据勾股定理得 DE=6 ；（3）能够相切．原因：设⊙ P 的半径为 r，依据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r ）或（ 2+r， -r），代入抛物线分析式得：（ 2+r） 2-4（ 2+r） -1=r，解得 r= 或 r= （舍去），把（ 2+r， -r）代入抛物线得：（ 2+r）2-4（2+r ）-1=-r ，解得： r= ，或 r= （舍去）．2．如图，⊙ P 的圆心 P（ m，n）在抛物线 y＝上．（1）写出 m 与 n 之间的关系式；（2）当⊙ P 与两坐标轴都相切时，求出⊙ P 的半径；（3）若⊙ P 的半径是 8，且它在 x 轴上截得的弦 MN ，知足0≤MN≤2时，求出 m、n的范围．1 n P23 ；7≤ ≤8．【答案】（）＝ m2 2）⊙的半径为）≤ m≤4或﹣4≤ m≤﹣；（；（【分析】解：（ 1）∵点 P（ m， n）在抛物线 y＝上，∴n＝ m2；（2）当点 P（ m，m2）在第一象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知m＝ m2，解得： m＝0（舍）或 m＝2，∴⊙ P 的半径为 2；当点 P（ m， m2）在第三象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知﹣m＝ m2，解得： m＝0 或 m＝﹣ 2，∴⊙ P 的半径为 2；（3）如图，作PK⊥MN 于点 K ，连结 PM，当 MN＝2 时，MK＝ MN＝，∵PM＝8，则 PK＝＝＝ 7，当 MN ＝0 时， PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤≤8，∵n＝ m2，∴7≤ m2≤8，解得：≤ m≤4或﹣ 4≤ m≤﹣．种类三结构圆与隐形圆例 3：已知：如图1，抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为极点．求抛物线分析式及点 D 的坐标；若直线 l 过点 D，P 为直线 l 上的动点，当以A、B、P 为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的分析式；如图 2，E 为 OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转获得，旋转角为，连结、，当获得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．1 2）或3 ）.【答案】（）；（；（【分析】抛物线与 x 轴交于，两点，．，抛物线的极点坐标为．过点 A 、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 老是有交点的，即2个点 Q．以 AB 为直径的假如与直线 l 订交，那么就有 2 个点 Q；假如圆与直线l 相切，就只有 1个点 Q了．以下图：以 AB 为直径作，作QD与相切，则，过 Q作．，．．，又，．，，．点设 l Q 的坐标为的分析式为．，则，解得：，，直线 l 的分析式为由图形的对称性可知：当直线则，解得：，l 经过点，．时，直线l 与相切，直线 l 的分析式为综上所述，直线l 的分析式为．或．以下图：取M 使，连结．，，，，．又，△∽ △，．．，当 M 、、 B 在一条直线上时，有最小值，的最小值．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣ 1，0），B（0，﹣）， C（2， 0），其对称轴与x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，求 PB+PD 的最小值；（3） M （ x， t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A ，B， M ， N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA ，MB ，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【答案】（ 1）抛物线分析式为 y= x2﹣x﹣，极点坐标（，﹣）；（ 2） PB+PD 的最小值为；（ 3）① 5;②取值范围是【分析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，- ）代入解得∴∴极点坐标为方法二：也能够用三点式设代入三点或许极点式设代入两点求得。

-圆与二次函数综合题精练(带答案)

圆与二次函数综合题1已知：二次函数 y=x2-kx+k+4的图象与y 轴交于点c ,且与x 轴的正半轴交于 A 、B 两点(点A 在点B 左侧)。

若A 、B 两点的横坐标为整数。

(1) 确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标； (2)若点D 的坐标是(0,6)，点P ( t,0)是线段AB 上的一个动点，它可与点 A 重合，但不与点 B 重合。

设四边形 PBCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)若点P 与点A 重合，得到四边形 ABCD ，以四边形 ABCD 的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形 ABCD 的面积，并注明三角形高线的长。

再利用“等底等高的三角形面积相心，且厶ABC 的面积等于12,确定此抛物线及直线 y=(m+1)x-2的解析式；(3)你能将(2)中所得的抛物线平移，使其顶点在(2)中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。

3、已知：二次函数 y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中 m 为实数。

(1) 求证：不论 m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图像与x 轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的解析式。

4、已知二次函数 y1=x2-2x-3.(1)结合函数y1的图像，确定当x 取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0;⑵根据(1)的结论，确定函数 y 2= , (|y1|-y1)关于x 的解析式；3)若一次函数y=kx+b(k - 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数 k 与b 应满足的条件。

5、已知：如图，直线 y=―亍x+ \ 与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，O M 经过原点O 及A 、 B 两点。

(1) 求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；(2) C 是O M 上一点，连结 BC 交OA 于点D ，若/ COD= / CBO, 写出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式；(3) 若延长 BC 到E ，使DE=2,连结EA ，试判断直线 EA 与O M 的位置关系，并说明理由。

中考数学复习：二次函数和圆的综合题（含答案）

1 二次函数和圆中考综合题【例题1】已知圆P 的圆心在反比例函数ky x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，是矩形，OA=4OA=4OA=4，，AB=2AB=2，直线，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。

设M 是AB 的中点，的中点，P P 是线段DE 上的动点上的动点. .（1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，在什么位置时，PA=PB PA=PB PA=PB？求出此时？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH PH⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙为直径的⊙F F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积的面积. .【例题3】在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y 轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．的解析式；（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？是否在抛物线上？相似？直接写出两组这样的点．（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】如图，已知抛物线y= ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．的值及抛物线的解析式；（1）求m的值及抛物线的解析式；（a－b）的值；）的值；sin（（2）设∠DBC = a，∠CBE = b，求sin（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指的坐标；若不存在，请说明理由．出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】如图，点M （4，0），以点M 为圆心、为圆心、22为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．所在直线的解析式．【例题6】如图所示，如图所示，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （-8,0），B （0，-6）两点．）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H 是抛物线对称轴上的一个动点，且在点M 的下方，请问抛物线上是否存在另一点Q ，使得△ABH 与△ABQ 全等。

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。

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圆与二次函数综合题
1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。

若A、B两点的横坐标为整数。

（1）确定这个二次函数的解读式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。

设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。

再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。

2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围；
(2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解读式；
（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。

3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。

（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解读式。

4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0。

(2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解读式；
（3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。

5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点。

（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程；
（2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO,
写出经过O、C、A三点的二次函数的解读式；
（3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与
⊙M的位置关系，并说明理由。

（河南省）
6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左
边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。

（1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解读式；
（2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。

（陕西省）
7、已知抛物线y=x2和直线y=(m2-1)x+m2.
（1）当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点？
（2）设坐标原点为O，抛物线与直线的交点从左至右分别为A、B，
当直线与抛物线两点的横坐标之差为3时，求△AOB中的OB
边上的高。

（四川省）
8、如图，P为x轴正半轴上一点，圆P交x轴于A、B两点，
交y轴于C点。

弦AE分别交OC、CB于D、F。

已知= 。

（1）求证：AD=CD；
（2）若DF＝5/4，tan∠ECB=3/4 ,求经过A、B、C三点的抛物线的解读式；
（3）设M为x轴负半轴上一点，OM=1/2AE，是否存在过点M的直线，
使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，
求出这条直线的解读式；若不存在，请说明理由。

（大连市）
9、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线
相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．
（1）求这条抛物线的解读式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段
BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t,四边形PQAC的面积
为S．求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在线BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(哈尔滨市）
10、如图，在直角坐标系中，点O'的坐标为（2，0），⊙O'与x轴交于原点O和点A，B、C、E 三点的坐标分别为（-1，0），（0，3）和（0，p)且0＜p≤3.
(1)求经过点B、C的直线的解读式；
（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'是这几种位置关系？
当P分别在什么范围内取值时，直线BE与⊙O'是这几种位置关系？
（3）设过点A、B、E的抛物线的顶点是D，求四边形ABED的面积的最大或最
小值．
11、已知：抛物线y=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数，a≠0,t≠0)的顶点是A，抛物线y=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a(x-t-1)2+t2经过点B，①求a的值；
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？
若能，求出t的值；若否不能，请说明理由．（南京市）
12、已知：如图，抛物线c1经过A、B、C三点，顶点为D，
且与X轴的另一个交点为E.
（1）求抛物线C1解读式；（2）求四边形ABDE的面积；
（3）设抛物线C1的对称轴与X轴交于点F，另一条抛物线C2
经过点E(抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a,b)，对
称轴与X轴相交于点G，且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F
为顶点的三角形全等，求a,b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）．
13、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的两点
A(x1,0)、B(x2,0)和y轴上的点C（0，-3/2），⊙P的圆心P在y
轴上，且经过B、C两点，若b= a, AB=2 .
(1)求抛物线的解读式；
（2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E 的⊙P的切线的解读式．
14、已知二次函数y=x2+ax+a-2．
（1）求证：不论a取何值时，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；
（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解读式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于1/4的抛物线有几条？请证明你的结论．（杭州市）
15、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)
两点，x和x是方程x2+2x-3=0的两个根（ｘ1＜ｘ2）而且抛物线与y轴交于
C点，∠ACB不小于90°．
（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；
（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）求系数a的取值范围．
16、已知：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线
y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x轴的另一个交点．（深圳市）
（1）求抛物线的解读式；
（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=1/2S△PAB,求点P的坐标．
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11、分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验
x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，
∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2 at2+t2=0．
∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．
①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，
它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2 x-t-1=±t
∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．
情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．
而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）
∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．
而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，
FE=OE-OF=2t+1-1=2t．
令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，
∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．
情况二：E（1，0），F（2t+1，0）
用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），
∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），
t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．
故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．
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