周世勋《量子力学教程》配套题库章节题库微扰理论【圣才出品】

1 a2
1 b2
1 c2
27 A 8abc
。
（2）波函数与能量同（1）。
（3）总自旋 S 1 ，自旋波函数为交换对称的，这就要求空间波函数是交换反对称的，
两个粒子不可能同处于同一粒子态上，只能是一个在
(r ) 111
，一个在
(r ) 112
（因
a
b
c
）空
间波函数为：
(r1, r2 ) (0) (r1r2S1zS2z )
2π22 2a2
，则
11
2 a
sin
x1 a
sin
x2 a
1 2
(s1z
)
1
2
(s2z )
1
(s1z
)பைடு நூலகம்
1
2
2
(s2z )
由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。
第二最低能态：n1、n2 分别取
1
和
2，
E12
5 22 2a2
可组成如下四个态：
三重态：
(r) nx ny nz
0
8 sin nxπx sin nyπy sin nzπz
abc a
b
c
Enx ny nz
π22 2
nx2
a2
ny 2 b2
nz 2 c2
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当
2
个粒子均处于单粒子基态
(r ) 111
可得近似到一级时的能量修正为
En
E(0) n
E(1) n
n2 22 2a2
0 1 ( 1)n
3．两个质量为 自旋为 1/2 的全同粒子处于一维无限深势阱（0＜x＜a）中，忽略自
旋相关力，求：
（1）粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态；
（2）粒子间有相互作用势能 V（x1，x2），这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、
1 a2
1 b2
1 c2
2 2 2
1
a
2
1 b2
22 c2
2 2 2
2 a2
2 b2
5 c2
虽然能量
E101
是三度简并的，但因
H
ij
0 ，i
j ，故仍可用非简并微扰方法处理，一
级修正能量为：
E(1) (0) (r1r2S1z S2z ) A (r1 r2 ) (0) (r1, r2S1z S2z )d1d 2
时，体系能量最低，此时波函数为：
((r01),r2 )
(r1 ) 111
(r2 ) 111
8
sin x1 sin y1 sin z1 sin x2
abc a b c a
sin y2 b
sin z2 c
0
盒内 盒外
能量为：
E(0)
2
π22 2
1 a2
1 b2
1 c2
。
此态是非简并的， ((r01),r2 )
(1,2,3) 12
A (x1, x2 )S (x1, x2 )
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(1,2) 12
2 a
sin
x1 a
sin
2 x2 a
sin
2 x1 a
sin
x2 a
1 (s1z ) 1 (s2z )
2
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第 5 章 微扰理论
一、简答题 1．使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？
答：一方面耍求 H 可分成两部分，即
，同时 H。的本征值和本征函数已知
或较易计算；另一方面又要求 H0 把 H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰 H'比较
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A
* 111
(r1
)
* 112
(r2
)
* 111
(r2
)
* 112
(r1
)
(r1
r2 )
111(r1)112 (r2 ) 111(r2 )112 (r1)
d1d 2
0
所以
E
E (0)
E (1)
22 2
（1）粒子为非全同；
（2）粒子为零自旋的全同粒子；
（3）粒子为自旋 S 1 的全同粒子，并处在总自旋 S 1的态上。 2
积分公式：
sin 4
xdx
3x 8
3 16
sin
2
x
1 4
sin3
x
cos x
。
解：（1）先不考虑微扰，单粒子态波函数与能量分别为（ nx，ny，nz 1，2，… ）：
2 a2
2 b2
5 c2
2．考虑在宽度为
a
的一维无限深势阱中运动的粒子，受微扰
H
a0
x
a 2
的
作用， 0 为常数，试计算近似到一级时的能量修正。
解：由题意可得：
E (1) n
H
nn
2 a
A
sin
0
n a
x
a0
x
a 2
sin
n a
x
dx
20
sin 2
n 2
0 (1 cos n ) 0 (1 (1)n )
第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。
解：（1）求粒子体系的能量本征值和本征函数。忽略两粒子间的相互作用时，体系总
能量：
E
E1
E2
22 2a2
(n12
n22 )
考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数 (x1, x2 ) (s1z , s2z ) 必须是反对称的，
第一最低能态：n1＝1，n2＝1， E11
小，
以保证微扰计算收敛较快，即
1．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。
答：
Hˆ Hˆ 0 Hˆ1
，
Hˆ 0k Ek0k
；
E (1) k
k
Hˆ 1 k
，
E ( 2) k
sk
s Hˆ 1 k 2 Ek0 Es0 。
二、综合分析题
1．两个质量为 的粒子被局限在边长 a b c 的长方体盒中，粒子间的相互作用势 V A (r1 r2 ) 可视为微扰，在下列条件下用一级微扰方法计算体系的最低能量：
2
(3) 12
2 a
sin
x1 a
sin
2 x2 a
sin
2 x1 a
sin
x2 a
1 2
( s1z
)1 2
( s2 z
)
1 2
( s1z
E (1)
为零级近似波函数，能量一级修正为：
(*r(10,r)2 ) A (r1 r2 ) (0) (r1, r2
)d
1d
2
A
8 abc
2
a b
sin
4πx1 a
dx1
b c
sin
4πy1 b
dy1
c d
sin
4πz1 c
dz1
27 A
8abc
一级近似能量为：
E
E(0)
E (1)
2π2
12(r11(1,r11r)2 )1(1r221)m(S11z(1rS21)2z )1(1r，12)
m
0, 1
其中：
11(S1zS2z ) (1) (2)
10 (S1z S2z )
1 [ (1) (2) (2) (1)] 2
11(S1zS2z ) (1) (2)
能量为：
E (0)
2 2 2