积化和差以及和差化积最简记忆口诀
积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
A.sin(A＋B）+ｓin（A－B）=2ｓｉn AｃosＢB.ｓｉｎ（A＋B)—siｎ(A－B)=2cos Aｓin BC.ｃos(Ａ+B）＋coｓ(A-Ｂ）=２coｓＡcos BD.ｃos（A＋Ｂ)－cｏs(A—B）=２siｎA cos B2.siｎ1５°siｎ75°=（）Ａ、错误!Ｂ、错误! C、错误!D.13.ｓiｎ105°+siｎ1５°等于( ）A、错误!B、错误!C、错误!ﻩD、＼f（＼r（６),4）４.sｉn3７、5°cos７、５°=_＿______、5、sin70°cｏｓ２0°－sin１0°ｓiｎ５0°得值为（）A、错误!Ｂ、错误!C、错误!D、错误!6、cos７2°－cｏs36°得值为（）A.3－2 3 B、错误! C．-错误!D．3＋２错误!7、在△ＡBC中,若ｓinＡsin B＝coｓ2错误!，则△ABＣ就是（)A。
等边三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ.不等边三角形Ｄ。
直角三角形８．函数y＝sin错误!coｓｘ得最大值为( ）A、错误!B、错误!C。
1 D、错误!９。
若cos（α＋β）cos(α—β）＝13,则cos2α—ｓｉn２β等于( ）A。
—＼f（2,3) B。
－错误!C、错误!D、错误!10.函数y＝sin错误!－siｎx(x∈[0,错误!］)得值域就是（ )A.[－2,２］Ｂ、错误! C、错误!Ｄ、错误!答案1解析:选D、由两角与与差得正、余弦公式展开左边可知A、B、C正确.２解析：选B、sｉn1５°ｓin75°=－错误!［cos(15°＋7５°)－ｃos(15°-75°)]＝—错误!（ｃos90°－ｃos60°）＝－错误!（０-错误!）=错误!、３解析:选C、sin105°+sｉn１5°=2sｉｎ＼f(1０5°+15°，2)cos错误!＝２siｎ６0°coｓ45°=错误!、答案：错误!=错误!错误!=错误!、=错误!（sin4５°＋sin30°）4解析:sin３7、5°cos7、5°＝＼f(1,2）[sin（３7、5°＋7、5°)＋sｉn(37、５°—7、5°）]5解析:选A、sｉn70°coｓ20°—siｎ10°sin50°=＼f（1，２)（siｎ90°＋ｓin50°)＋＼f（1,２)（ｃoｓ60°－cｏｓ４0°）＝错误!+错误!sin5０°＋错误!－错误!ｃos４0°＝错误!、6解析：选C、原式=-2siｎ错误!sin错误!＝—2siｎ54°·sin18°＝—2cｏs3６°ｃos７2°＝—2·错误!＝-错误!＝－错误!=－错误!,故选Ｃ、7解析：选B、由已知等式得错误!［ｃoｓ（A—B)－coｓ(Ａ＋Ｂ)］=错误!（1+cos C）, 又A＋B＝π－Ｃ、所以cｏs（A－B)－coｓ（π－C)=1+cos C、所以coｓ(A-Ｂ）＝1，又—π〈Ａ—B〈π,所以A—B＝0，所以Ａ=Ｂ，故△ABC为等腰三角形。
积化和差口诀速记
积化和差口诀速记
以下是五个符合要求的口诀：
《积化和差口诀一》
积化和差要记清，一个正弦一个余弦分得明。
正余相加得二倍，余弦在前正弦跟。
正余相减也二倍，正弦在前余弦存。
就像搭积木一样稳，顺序不能乱分寸。
积化和差轻松认，数学学习乐趣深。
《积化和差口诀二》
小朋友们听我言，积化和差有妙诀。
一正一余放两边，二倍关系在中间。
和的时候余弦先，差的时候正弦前。
形象记忆并不难，如同走路一步步缓。
多练几遍记得全，数学成绩笑开颜。
《积化和差口诀三》
积化和差别害怕，朗朗上口好办法。
一正弦来二余弦，先后顺序不能差。
二倍出来作用大，和差变化都靠它。
好比搭起小高塔，稳稳当当不会垮。
记住口诀向前跨，数学天地任你耍。
《积化和差口诀四》
来听我说积化和差诀，简单易懂好理解呀。
一个正弦配余弦，一二清楚记得呀。
二倍之中有乾坤，和差变化有区分呀。
就像游戏有规则，一步一步不犯错呀。
小朋友们快快来，牢记口诀真厉害呀。
《积化和差口诀五》
积化和差要学好，这个口诀要记牢。
一正一余很重要，二倍关系不能少。
和用余弦差正弦，顺序一定不能忘。
想象它们手牵手，一起解题乐悠悠。
多做练习多巩固，知识大门轻松入。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
积化和差公式八个口诀
积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。
2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。
3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。
4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。
5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。
6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。
7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。
8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
三角函数和差化积 积化和差
三角函数和差化积积化和差
三角函数的积化和差以及差化和积是一组重要的三角函数公式，用于将两个三角函数的乘积或差表示为一个较简单的表达式。
1.三角函数的积化和差：
o余弦函数的积化和差：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
o正弦函数的积化和差：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
o余切函数的积化和差：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
2.三角函数的差化和积：
o余弦函数的差化和积：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
o正弦函数的差化和积：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
o余切函数的差化和积：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
通过这些公式，可以将两个三角函数的乘积或差转化为加法或减法的形式，使计算和简化三角函数表达式更加方便。
这些公式的证明和推导可以通过三角函数的定义和三角恒等式进行推导得到。
掌握这些公式对于解决涉及三角函数的数学问题、物理问题和工程问题等具有重要意义。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式指部分的一组sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φα=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用化为同名；若是高次函数，必须用降为一次正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然生动的口诀：（和差化积）帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法) (1)
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
设α+β=θ，α-β=φ
那么 ，
把α，β的值代入，即得
sinθ+sinφ=2sin cos
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
= =右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】
证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，
和差化积的顺口溜
和差化积的顺口溜是“和差积化和，差和积差化，千变万化只等闲”。
这个顺口溜可以帮助记忆和差化积的公式。
具体来说，对于任意两个数a和b，他们的和与差的积可以化简为(a+b)(a-b)，这个公式在数学中经常用到。
此外，这个顺口溜还可以帮助理解数学中的一些概念和技巧。
例如，通过观察和差化积的公式，我们可以发现它与平方差公式类似，都是通过将两个数的和与差的积进行化简来得到结果。
同时，这个顺口溜也可以帮助我们更好地记忆一些数学公式和概念。
例如，当我们需要计算两个数的和与差的积时，我们可以直接使用这个顺口溜来找到正确的公式，而不需要再费力去记忆其他的公式或概念。
总之，这个顺口溜可以帮助我们更好地理解和记忆数学中的一些概念和技巧，提高我们的数学素养和解题能力。
和差化积和积化和差公式记忆口诀
和差化积和积化和差公式记忆口诀《有趣的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们讲讲一个超级有趣的数学知识——和差化积公式记忆口诀！你们知道吗，数学就像一个大大的魔法世界，里面有很多神奇的公式和口诀。
和差化积公式就是其中一个很厉害的魔法咒语哦！这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
听起来是不是有点像绕口令呀？比如说，当我们要计算sinα + sinβ 的时候，就可以用这个口诀。
我们先看看α和β哪个大，如果α大，那就是“正加正，正在前”，结果就是 2s in[(α + β)/2]cos[(α β)/2]。
是不是觉得有点难理解？没关系，多做几道题，多想想这个口诀，你就会发现它真的很好用！数学的世界充满了惊喜和乐趣，让我们一起探索吧！《我学会了和差化积公式记忆口诀》亲爱的小伙伴们，我最近学会了一个超棒的数学技巧，那就是和差化积公式记忆口诀！老师教我们的时候，我一开始还有点迷糊呢。
但是后来，我发现只要记住这个口诀，做题就变得容易多啦！口诀是这样的：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
我给你们举个例子吧。
比如说计算sin70° + sin50°，按照口诀“正加正，正在前”，就能很快算出结果啦。
学会这个口诀后，我做数学作业的速度都变快了，而且还觉得很有意思。
小伙伴们，你们也快来试试吧！《神奇的和差化积公式记忆口诀》小朋友们，今天我要给你们介绍一个神奇的东西——和差化积公式记忆口诀！在数学的海洋里，有很多难题等着我们去解决，而这个口诀就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。
这个口诀是“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”。
比如说，有一道题让我们求sin80° sin20°，这时候口诀就派上用场啦，“正减正，余在前”，很快就能得出答案。
有了这个口诀，数学变得不再那么难，反而变得有趣起来了。
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
关于和差化积以及积化和差的两句口诀sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin一、阐述1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。
2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。
3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。
4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。
比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。
5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。
亦不要给公式进行编号。
注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。
二、规律观察如下积化和差 以及 和差化积公式：()()1sin cos =sin sin 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin =sin sin 2∆Θ∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦()()1cos cos =cos cos 2∆Θ∆+Θ+∆-Θ⎡⎤⎣⎦ ()()1sin sin =cos cos 2∆Θ-∆+Θ-∆-Θ⎡⎤⎣⎦()()sin +sin =2sincos 22∆+Θ∆-Θ∆Θ()()sin sin =2cossin 22∆+Θ∆-Θ∆-Θ()()cos cos =2coscos 22∆+Θ∆-Θ∆+Θ()()cos cos =2sin sin22∆+Θ∆-Θ∆-Θ-最主要的规律：“和必同名，和积互逆”1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和）我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有sin sin ∆±Θ、cos cos ∆±Θ均没有出现sin cos ∆±Θ、cos sin ∆±Θ可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
战好化积战积化战好公式之阳早格格创做 正弦、余弦的战好化积2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意左式前的背号】=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故末尾需要除以2.使用共名三角函数的战好无论乘积项中的三角函数是可共名，化为战好形式时，皆应是共名三角函数的战好.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.使用哪种三角函数的战好仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以反过去，共名三角函数的乘积，化做余弦的战好；同名三角函数的乘积，化做正弦的战好.是战仍旧好？那是积化战好公式的使用中最简单堕落的一项.程序为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为战；反之，则乘积化为好.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，截止应当是一般的，也便是含α+β战α-β的二项变更位子对于截止不做用，进而截止的形式应当是战；另一种情况不妨类似道明.正弦-正弦积公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如[0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β).然而是那时对于应的α战β正在[0,π]的范畴内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过去把cos(α-β)搁到cos(α+β)前里，要么便正在式子的最前里加上背号.。
和差化积记忆方法
和差化积记忆方法
和差化积是一种将两个数的和或差转化为乘积的方法，可以应用于代数式的化简和解方程。
以下是几种记忆方法：
1. “和变积，积分差”：将两个数的和记为a+b，将两个数的积记为ab，然后将式子变形为(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
2. “和差积，积和差”：将两个数的和记为a+b，将两个数的差记为a-b，将两个数的积记为ab，然后可以得到a^2-b^2=(a+b)(a-b)和
a^2+b^2=(a+b)^2-(a-b)^2。
3. “积为被加数与加数之积，差为被减数与减数之积”：将两个数的和记为a+b，将两个数的差记为a-b，将两个数的积记为ab，然后可以得到a+b=ab/(a-b)和a-b=ab/(a+b)。
4. “两勾括号，积里差”，“两大括号，积里和”：将和差化积的公式记为(a±b)(a ∓b)=a^2±b^2，其中上下箭头分别表示加减。
然后可以根据勾括号或大括号形状记住符号的方向，例如，两个勾括号的式子中，箭头指向里面的差，而两个大括号的式子中，箭头指向里面的和。
以上是一些常见的和差化积记忆方法，可以选择一种适合自己的记忆方式来掌握这一技巧。
三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀
三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀和差化积记忆口诀1：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）和差化积记忆口诀2：正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。
生动的口诀3：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然。
语文老师教的口诀4：口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：语文老师教的口诀5：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
积化和差,和差化积,倍角公式,半角公式
1.积化和差公式证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式.积化和差公式记忆口诀积化和差角加减,二分之一排前边正余积化正弦和,余正积化正弦差余弦积化余弦和,正弦积化负余差2.和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】和差化积公式记忆口诀和差化积2排前,半角加减放右边正弦和化正余积,正弦差化余正积余弦和化余弦积,余弦差化负正积。
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明）cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）=sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边∴等式成立3.半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))。
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cos sin =sin -sin
再填入内容可得：
sin
cos
=
1 2
sin
sin
cos
sin
=
1 2
sin
sin
2）关注 cos cos 即“cos 和差”，口诀二“ cos 和差 cos 负 sin ”其形象记忆其实是 cos 和 差
sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和
cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
sin 差 — 后积
再填入内容可得：
sin + sin =2 sin cos
2
2
sin sin =2 cos sin
2
2
从而写出积化和差公式中的 前积、后积公式：
sin cos =sin +sin
忆罢了。
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前 还是在后，如下
cos
sin
sin
=
1 2
c o s
cos
sin + sin =2 sin cos
2
2
sin sin =2 cos sin
2
2
cos cos =2 cos cos
关于和差化积以及积化和差的两句口诀
sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin
一、阐述 1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。 2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。 3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅
2
2
cos cos = 2 sin sin
2
2
从而写出 cos cos 和 sin sin 化成和差的公式：
cos cos =cos +cos
sin sin = cos cos
再填入内容即可：
cos
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos
cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin
题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。
二、规律
观察如下积化和差 以及 和差化积公式：
sin
cos
=
1 2
sin
sin
cos
sin
=
1 2
sin
sin
cos
co
s
=
1 2
c o
s
cos
=
1 2
c o s
cos
sin
sin
=
1 2
c o s
cos
四、关于应用 积化和差和差化积公式应用的前提是对规律“和必同名，和积互逆”的把握，看到规律
且应用公式后有利于下一步操作的就可以用。题目千变万化，首先要多默写公式，熟稔于心。
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos
2
2
cos cos = 2 sin sin
2
2
最主要的规律：“和必同名，和积互逆”
1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和） 我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有
sin sin 、 cos cos 均没有出现 sin cos 、 cos sin
五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。 4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊
点在于都有一条公式是带有负号的。
5）不要纠结于字母 ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应
该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。 注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试
可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。
2）“和积互逆”，和差化积四条公式与积化和差四条公式是一一对应且互逆的，这就为我们 记忆公式提供了方便，我们把重点放在和差化积，相对复杂的积化和差也就很容易写出来了。
我们口诀只需记住函数名即可。至于填入的 还是他们的加减除 2 等都是简单的印象记