3电磁场与电磁波-第三章new

对于体、 对于体、面、线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 总结： 总结： 求解电场强度时， 求解电场强度时，可先求 电位函数， 电位函数，然后计算电 位函数的负梯度便得电 场强度E(r)。 场强度 。 可见电位的计算式简便得多(标 可见电位的计算式简便得多( 量积分) 再求场强时， 量积分)，再求场强时，微分 总是可计算的 也简单。 总是可计算的，也简单。
∮E.dl l
= 0
3.2.2
无旋场， 静电场为无旋场 静电场为无旋场， 一定是保守场 一定是保守场
3.2.11
因上式积分路径及面元是任意的， 因上式积分路径及面元是任意的，有： x E = 0
总结真空中静电场的基本方程(微分形式 为 总结真空中静电场的基本方程 微分形式)为： 微分形式
在场源变量ρ已知的情况下，通过D 在场源变量ρ已知的情况下，通过D0=ε0E， 联立求解上述两个矢量方程就能求得E 联立求解上述两个矢量方程就能求得E。 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 的确定此矢量场。 的确定此矢量场。 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D0 只有一个分量，且仅是坐标的函数， 或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则 E自动 =0，此时只要计算∮ ds=q即可得场解 即可得场解。 满足xE =0，此时只要计算∮D0.ds=q即可得场解。
R
3
4π
B(r ) =
0 I
4
∫ π
dl ′ X R
l
R3
> ε0 > 1/0 > 电荷 > 电流 > 标量源 > 矢量源 叉积
第3章 静电场分析
由矢量分析和亥姆霍兹定理为基础学习静电场 的性质及分析静电场问题的数学理论和方法。 的性质及分析静电场问题的数学理论和方法。主要 内容有: 内容有 1. 真空中静电场基本方程； 真空中静电场基本方程； 2. 应用电位的泊松方程和拉普拉斯方程求电位函数； 应用电位的泊松方程和拉普拉斯方程求电位函数； 3. 电介质极化和电介质高斯定理； 电介质极化和电介质高斯定理； 4.电容，静电场能量及静电场力的计算。 电容，静电场能量及静电场力的计算。 电容
下面来证明式(3.2.1)和式(3.2.2): 下面来证明式(3.2.1)和式(3.2.2): (3.2.1)和式 立体角 在半径为R的球面上取面元dS 与球心构成的锥体。 在半径为R的球面上取面元dS，与球心构成的锥体。定 dS， 义立体角: 义立体角: 整个球面： 整个球面： 任意面对中心 点的立体角
电荷按体密度ρ(r)=ρ (1例3.2.1 电荷按体密度ρ(r)=ρ0(1-r2/a2)分布于一个半 径为a的球形区域内，其中ρ 为常数， 径为a的球形区域内，其中ρ0为常数，计算球内外的电通 密度。 密度。 解1：显见，电场为球对称，D沿径向且仅为r的函数， 显见，电场为球对称， 沿径向且仅为r的函数， 总电量为： 总电量为：
法拉第在进行了有关电介质的实验得出结论： 法拉第在进行了有关电介质的实验得出结论：无界 均匀空间中，点电荷周围的电位移D(r)为： 均匀空间中，点电荷周围的电位移 为
D(r)=
q 4πr2
er
(3.1.1)
E=
q 4 πε0 R
2
eR
D(r)特点： 特点： 特点 1，与电场强度相比，服从平方反比定律 ，与电场强度相比， 2，与介质材料无关 ， 3，实验也证明：在各向同性的材料中，D(r)=εE (r) ，实验也证明：在各向同性的材料中， 正比),ε为介电常数,单位F/M. ),ε为介电常数 (正比),ε为介电常数,单位 综上,分析静电场时 要三个变量 源变量ρ(r)、两个场变量 综上 分析静电场时,要三个变量 源变量 分析静电场时 要三个变量:源变量 E(r)和D(r) 。 和 D=εE (为材料的特性方程和本构关系式 为材料的特性方程和本构关系式) 为材料的特性方程和本构关系式
E(r) =
=
若ε>ε0,则电介质中的 则电介质中的E(r)将减少 将减少. 则电介质中的 将减少
3.3 电位函数
梯度的性质: 梯度的性质:梯度的旋度恒为零 rot ( grad u) = x (u) ≡ 0 静电场为无旋场， 静电场为无旋场，xE=0,它可以用一个标量函 , 数的梯度表示，此标量函数称为电位函数。 数的梯度表示，此标量函数称为电位函数。 E= - grad φ= - φ
上式于式(2.4.8)完全相同。 上式于式(2.4.8)完全相同。 (2.4.8)完全相同
例3.3.2 半径为a的圆平面上均匀分布电荷σ,求 半径为a的圆平面上均匀分布电荷σ, σ,求 平面中心垂直轴线上任意点的电位和场强。 平面中心垂直轴线上任意点的电位和场强。
解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求D0，但可用电 为dr 半径小于a dr， 位法解，在半径为a的圆面内,取以宽为dr，半径小于a的 圆环，圆环上有一点源变量为σr`dφ`dr`,到场点z σr`dφ`dr`,到场点 圆环，圆环上有一点源变量为σr`dφ`dr`,到场点z的距 离为R=(z 故整个圆环上在场点的电位为： 离为R=(z2+r`2)1/2,故整个圆环上在场点的电位为：
注意侧面的电通为零， 注意侧面的电通为零， 得到D =σ/2， 得到D0=σ/2，即：
因无界空间中， 因无界空间中，在场源电荷分布不变的情 况下，电通密度D的分布和电介质参数 无关， 的分布和电介质参数ε无关 况下，电通密度 的分布和电介质参数 无关， 故求得D 电场强度E(r)也就随之可定，即： 也就随之可定， 故求得 0后，电场强度 也就随之可定 D(r) ε D0(r) ε
q在闭合面内 在闭合面内 = 3.2.6 s q在闭合面外 在闭合面外 如果无界空间有N个点电荷 个点电荷q 如果无界空间有 个点电荷 1 , q2 ,…, qk,…, qN ,而闭合面 而闭合面 S所围的点电荷有 1 , q2 ,…, qk，则闭合面 的电通量为： 所围的点电荷有q 则闭合面S的电通量为 的电通量为： 所围的点电荷有 D ∮ 0.ds
球外场(r≥a):以球心到场点的距离为半径作球面(高斯面)： 球外场(r≥a):以球心到场点的距离为半径作球面(高斯面) (r≥a):以球心到场点的距离为半径作球面
球内(r<a):同样的方法求得： 球内(r<a):同样的方法求得： (r<a):同样的方法求得
计算均匀电荷面密度为σ 的无限大平面的电场。 例3.2.2 计算均匀电荷面密度为σ 的无限大平面的电场。 解:显然如果用库仑定律的电场强度公式： 显然如果用库仑定律的电场强度公式： 计算较繁复 因为电荷密度均匀,故电通密度D 因为电荷密度均匀,故电通密度D0垂直与这 个无限大平面,且仅与距离有关取柱面垂直于S 个无限大平面,且仅与距离有关取柱面垂直于S 作底面积为 的小柱体， 作底面积为S 的小柱体，则由高斯定理有
现在来证明式(3.2.2)。在点电荷q的电场中任取一曲线 。在点电荷 的电场中任取一曲线 现在来证明式 连接A 两点，求场变量E(r)沿此曲线的线积分： E(r)沿此曲线的线积分 连接A，B两点，求场变量E(r)沿此曲线的线积分： dl沿r方向有增量 沿
当积分路径闭合时，即A，B两点重合，得到： 积分路径闭合时， 两点重合，得到： 利用斯托克斯定理，上式可写为： 利用斯托克斯定理，上式可写为： E x ∮ .dl =∮ E.ds l s = 0
3.2 真空中静电场的基本方程
场的求解一般有两种方法：微分方程与积分方程， 场的求解一般有两种方法：微分方程与积分方程，但都要 分析：矢量在闭合面上的通量或矢量在闭合回路上的环流。 分析：矢量在闭合面上的通量或矢量在闭合回路上的环流。 与电路系统相似,一个静电系统也有两个基本方程: 与电路系统相似,一个静电系统也有两个基本方程: 3.2.1 （高斯定律） D ∮ 0.ds=∑q 高斯定律） s 3.2.2 （环流量定律） E ∮ . dl = 0 环流量定律） l (3.2.1)为真空中的高斯定律 表明基本变量D 为真空中的高斯定律， 式(3.2.1)为真空中的高斯定律，表明基本变量D0在闭 合面S上的通量特性； (3.2.2)为静电系统的守恒定理 为静电系统的守恒定理， 合面S上的通量特性；式(3.2.2)为静电系统的守恒定理，表 明基本变量E在闭合回路上的环流量特性， 明基本变量E在闭合回路上的环流量特性，说明静电场是一 个守恒性的矢量场。 个守恒性的矢量场。 对于静电系统，还有一个表明静电场空间电介质特性的 对于静电系统， D0 = D 方程D=εE ，对于真空有：D0 =ε0 E。 对于真空有 方程
3.1 静电场分析的基本变量
首先，静电场为静止电荷(或恒定的电荷)产生的， 首先，静电场为静止电荷(或恒定的电荷)产生的， 电荷分布ρ(r)是静电场的“散度源”变量。 ρ(r)是静电场的 电荷分布ρ(r)是静电场的“散度源”变量。 其次，E(r)是 变量， 其次，E(r)是“场”变量，表示电场对带电质点 产生作用的能力。 产生作用的能力。 另外,带电物质(粒子)在电场作用会出现位移, 另外,带电物质(粒子)在电场作用会出现位移,就 要用另一个场变量来表示静电现象。 要用另一个场变量来表示静电现象。 一般用单位面积上位移穿过的 束缚电荷量来表示电场的另一基 本变量，称为电通[量 密度 密度(或电 本变量，称为电通 量]密度 或电 位移)，用D(r)表示，单位为C/M2。 位移 ， 表示，单位为 表示
求电偶极子p=qdl的电位 的电位φ(r)。 例3.3.1 求电偶极子 的电位 。
(r,θ， 解：取极子与Z轴重合, 球坐标系(r,θ，φ) 取极子与Z轴重合, 球坐标系(r,θ z 的电位等于两个点电荷电位的叠加: 的电位等于两个点电荷电位的叠加:
P r+1 r-
+q -q
θ
y x
1 ql cos θ = 1 p r E=- = 3 2 4 πε0 r 4 πε0 r υ =φ υ +υ 1 ( 1 1 ( = 4πε0 p r ) r3 + r3 p r ) 分步微分 1 3(p r ) p p为常矢量 = 3 r5 r r 4 πε00
现在证明高斯通量定律。 现在证明高斯通量定律。 先研究无界真空中一个点电荷的情况： 先研究无界真空中一个点电荷的情况： er .ds qer . q ∮D0.ds =∮4πR2 ds = 4π∮ R2 3.2.5 s s s er .ds 上式中 是面元对点电荷q所张的立体角dΩ。 是面元对点电荷 所张的立体角dΩ。 2 R
{
q 0
D ∮ 0.ds =∮( D01 +D02+ …...+D0K+……+D0N ) .ds s s +∮D0N.ds k ∮ = q1+q2+…+qk = ∑ qi
i=1
= ∮D01.ds +∮D02.ds +...∮D0K.ds + … ∮
3.2.7
电荷以体密度ρ分布时， 电荷以体密度 分布时，上式右边变为∫ρdτ,然后用散度 分布时 然后用散度 定理： 定理： ∫τ Adτ = ∫s A dS ∫s D0dS = ∫τ D0 dτ = ∫τρ dτ 于是得到微分形式的高斯定理： 于是得到微分形式的高斯定理： D0 = ρ
3.3.1
对于点电荷的电场,其电位为 对于点电荷的电场 其电位为: 其电位为
φ
=
∫
RP
R
eR dl = 4 π∑0 4 π∑0 R2
q
.
q
∫R
RP dR
R2
( 1 = 4 π∑0 R
q
q 1 ) = 4 π∑0 R + C Rp
Rp处为参考电位 若其在无穷远处 则C=0. 处为参考电位,若其在无穷远处 若其在无穷远处,则
复习
真空中,点电荷 产生的电场强度 真空中 点电荷q产生的电场强度 点电荷 产生的电场强度:
E =
q 4 πε0 R
2
eR =
q 4 πε0 R
3
R
真空中,电流回路 产生的磁场强度 真空中 电流回路Idl产生的磁场强度 电流回路 产生的磁场强度:
dB =
4π
0
Id l x eR R
2
=
0
(Id l x R)