1-15.极限的应用---函数的渐近线

如果 或 ,则直线 是曲线y=f(x)的垂直渐近线.
斜渐近线
如果满足下列两个条件：
或 （k不为无穷大）
或
则曲线y=f(x)有一条斜渐近线 .
总结：在求曲线的渐近线时，为了避免漏掉渐近线，应从
和 （ 和 ）两种情况考虑极限.
（四）案例
例1. 求 的渐近线.
解：
为函数曲线的水平渐近线.
例2. 求 的渐近线.
模块基本信息
一级模块名称
函数与极限
二级模块名称
应用模块
三级模块名称
极限的应用---函数的渐近线
模块编号
1-15
先行知识
无穷小与无穷大
模块编号
1-10
知识内容
教学要求
掌握程度
1、函数渐近线的建模过程；
1、了解建模步骤，理解渐近线的建模过程；
简单应用
2、渐近线的分类；
2、熟悉渐近线的类别及其特征；
3、渐近线的求解方法。
曲线y=1- （ ）
A．有一条渐近线B．有二条渐近线
C．有三条渐近线D．无渐近线
求下列曲线的渐近线.
3. 和 为双曲线 的两条斜渐进线.
（三）渐近线的定义、建模过程及求法
1、定义如果曲线上的动点沿着曲线远离原点时，该点与某定直线的距离趋于零，则称此定直线为曲线的渐近线.
（选讲）2、曲线的渐近线的构建过程（供老师参考）
第一步：模型假设、问题分析.
斜率k存在的情况. 假设 是曲线y=f(x)当 时的渐近线，等价于曲线上的点P（x,f(x)）到直线 的距离 趋于零，即
3、掌握渐近线的求解。
能力目标
1、培养学生应用数学分析问题和解决问题的能力
2、巩固运算能力
时间分配
30分钟
编撰
秦小娜
校对
方玲玲
审核
危子青
修订
熊文婷
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：预备知识—三类渐近线—渐近线的定义、建模过程及求法—案例.学生对渐近线从不了解到掌握求解方法，是一个从无到有的过程，充分融入了数学建模的思想，既能让学生了解简单的建模，又能巩固对极限的运算能力.
特点：1、在构建渐近线的过程中，让学生了解简单的数学建模，从而培养学生分析问题、解决问题的能力；
2、在学生掌握渐近线的求解方法时巩固运算能力。
二、授课部分
(一) 预备知识
1、在自变量的某种趋势下，以零为极限的变量 称为无穷小量，简称无穷小.
2、在自变量的某种变化趋势下，若变量 的绝对值无限增大，则称变量 为无穷大量.
解： ，
和 为函数曲线的两条垂直渐近线.
例3. 求 的渐近线.
解：
为函数曲线的垂直渐近线.
又 ，
为曲线的斜渐近线.
三、能力反馈部分
1、（考查学生对渐近线分类及特征的掌握程度）
和 为曲线 的_______渐近线；
为曲线 的_______渐近线；
为双曲线 的___பைடு நூலகம்___渐近线.
2、（考查学生对渐近线求解的掌握程度）
（二）三类渐近线
图1（函数 ）图2（双曲线 ）
分析：
1.图1中，直线y=0(即x轴)是曲线 的一条渐近线，呈水平状；
2.图1中，直线x=0(即y轴)也是曲线 的一条渐近线，呈垂直状；
3.图2中， 和 为双曲线 的两条渐进线，呈倾斜状.
小结：
1.直线y=0是曲线 的水平渐近线；
2.直线x=0是曲线 的垂直渐近线；
.
斜率k不存在的情况.即当 时，曲线y=f(x)的取值会趋于 ，即
.
第二步：模型建立.
斜率k存在的情况. 由于 等价于 ,
从而有 ,
即 , .
斜率k不存在的情况. 等价于 ，
从而有 为渐近线.
3、渐近线的求法
水平渐近线（即平行于x轴的渐近线）
如果 或 ，则直线 是曲线y=f(x)的水平渐近线.
垂直渐近线（即垂直于x轴的渐近线）