高中物理 月亮和太阳对海洋潮汐影响大小的理论探讨

月亮和太阳对海洋潮汐影响大小的理论探讨

山东省临沂第一中学 程丰兵（276003）

地球上海水的周期性涨落称为潮汐。人们知道，潮汐主要是月球对海水的万有引力造成的，太阳的引力也有一定的作用，但要较月亮弱。我国自古就有“昼涨称潮，夜涨称汐”的说法。潮汐现象的特点是每昼夜有两次高潮，这对应着下面的事实：在任何时刻，围绕地球的海面总体上有两个突起的部分，大体来说，他们分别出现在地表离月球最近和最远的地方。

如果说潮汐是月球的引力造成的，在离月球最近的地方海水隆起，是可以理解的，为什么离月球最远的地方海水也隆起呢？

如果说潮汐是万有引力现象，那么太阳和月亮相比，谁对海水的引力大，谁就是潮汐

的主要原因。太阳的质量大约是月球质量的2.7×107

倍，而太阳到地球的距离平方大约是月

球到地球的距离平方的1.5×105

倍，根据万有引力定律容易算出，太阳对海水的引力大约比月球对海水的引力大180倍，为什么又说月球对潮汐起主要作用呢？

我们知道，非惯性系中的物体要受到一个“额外”的惯性力ma F ＝－惯，m 是物体的质量，a 是非惯性系相对于惯性系的加速度。

设想一电梯从摩天大厦的顶层下降，忽然悬挂它的钢索断了，电梯做自由落体运动。在电梯参考系看来，这电梯内的物体受到一个重力mg 和一个惯性力mg ，电梯内的物体处于完全失重状态。然而，这种引力与惯性力的等价性只在小范围内是“精确的”，如果那个“自由落体的电梯”很大很大，以至其中的引力场不能再近似看作是均匀的，惯性力就不再能把引力完全抵消。如图1a 所示，设想在自由落体电梯内有五个质点，C 在中央，即系统的质心上，A 和B 分别在C 的左右，D 和E 分别在C 的上下。由于引力是遵守平方反比关系且总是指向地心的，所以与中央质点C 所受的引力相比，A 和B 受到的引力稍向中间偏斜，D 因离地心稍远而受力稍小，E 因离地心稍近而受力稍大。因为整个参考系即自由落体的电梯是以质心C 的加速度做变速运动的，所以其中的惯性力(图1b)虚箭头只把质点C 的合力精确抵消，它在与其他各质点所受的引力叠加时，都不会使各质点的合力为零，而是剩下一点残余力背离C 。如果在中央C 处有个较大水珠的话，它不会是球形，而应是沿上下方向拉长了的椭球。

图1

再如太空轨道上自由飞行的航天器也是一个失重的系统，如果这个航天器足够大，其中的引力不均性所造成的效应与上述电梯中的情况是相同的。现在，我们在地球－月球系统中把整个地球当作一个“航天器”，在地球参考系中的观察者看来，地球范围内由于月球引力的不均匀性所造成的效应与图1也是相同的。图1所示的那种“残余的力”正是引起潮汐的那种力，所以叫做引潮力，它把地球上的海水沿地－月连线方向拉长而成为一个椭球。

如取直角坐标系的x 轴沿月－地连线，θ为地表某处一部分质量为m 的海水所在半径与x 轴的夹角，则在地球参考系中，该处质量为m 的海水受惯性力惯F 和月球的引力F 如图2所示，

设a 为月心参考系中观察到的地球加速度，则在地球非惯性系中，有

2

月地

月惯＝r GM m

ma F =；

θ

ββcos 2cos cos 2

2月地月地月－Rr r R m GM F F x +=

= ;

(

)

()

2

12

2

2

12

222

22

cos 2cos cos 22cos 2cos θ

θ

θ

θβ月地月地月地月地月地月地月地月地月地－－－－＋Rr r R

R r Rr r R r R Rr r R r +=

+-+=

;

()

()

2

3cos 2cos 2

2

θ

θ月地月地月地月－－Rr r R

R r m GM F x +=

；

月球在x 方向上形成的引潮力为

图2

()

()

()

()

2

2

332

322

2

2

2

2

2

2

2

cos 21cos cos 21cos 2cos cos 2cos 2cos 2

3

2

32

3

月地

月月地月地月月地月地月月地

月月地月地月月地月地月地

月月地

月月地月地月地月惯引潮－－－－r GM m

r R r mR GM r R r m GM r GM m

Rr r R

mR GM Rr r R

mr GM r GM m

Rr r R

R r m GM F F F x x -⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-≈-+-

+=

-+=

-=-

-θθθθ

θ

θ

θ

θ根据牛顿二项式定理，有

+-+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

--2

222

3

2cos 15cos 31cos 21月地

月地月地r R r R r R θθθ 因为2

R 远小于2

月地r ，上面的展开式可以只取前两项，所以

2

4

223

3

2

cos 3cos cos 3月地月

月地

月月地

月月地

月月地

月引潮－

－

＝r GM m

r mR GM r mR GM r mR GM r GM m

F x -+

θ

θ

θ

于是我们可以得到月球引起的x 方向的引潮力的表达式为

θcos 23

R r m GM F x 月地

月引潮≈

①

现在来讨论y 方向的引潮力。

θ

ββcos 2sin sin 2

2月地月地月引潮－Rr r R m GM F F y +-

=-=，

()2

1

2

1

22222

1222

2

2

2

2

2

1

22

2

2

cos 21sin cos 2sin cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 1cos 1sin ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-≈⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++--+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-=月地月地月地月地月地月地月地月地月地月地月地月地月地－－－－－r R r R Rr r R R Rr r R Rr R r Rr r R Rr r R R r θθθθθθθθθθββ