线性代数—行列式展开定理
线性代数 行列式
第一章 行列式1. 排列与逆序数(1)排列把n 个不同的元素排成一列， 就叫作这n 个元素的全排列，简称排列。
比如231645就是这6个元素的一个排列.注：不同的n 级排列共有n!个。
(2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中，若一对数t s j j ,，大前小后，即t s j j >，则t s j j ,构成了一个逆序。
一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1n j j τ。
如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。
②排列n j j 1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。
③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。
注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。
2. n 阶行列式的定义行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则ni i i i i nj j j j j nnn n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1)(1)(212221212111121121)1()1()(ττ∑∑-=-==∆=⨯计算步骤;(1)取数相乘，来自不同行不同列(2)冠以符号，)(21)1(n j j j τ-(3)全部相加，n n nj j j j j n a a 1211)(!)1(τ∑-、注：(1)当n=1时，定义11111a a D ==(2)n D 是一个数值，是n!项的代数和(3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nn a a a ,,,2211 称为主对角元。
另一条对角线称为行列式的副对角线。
3. 行列式的性质(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置）nnn n n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212222111211212221212111=(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。
考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。
希望对考生在暑期的复习中有所帮助 本文内容为线性代数的常考公式汇总。
1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即C 的3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E .设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如2100(5)050001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如3,2100(2)012001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E .注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A .1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ；2）()1r ≠⇔≥A O A ；3）()1r =⇔≠A A O 且A 各行元素成比例；4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =⇔≠A A .6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合.设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合，则称向量β可以由向量组12,,...,m ααα线性表出.线性相关设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,m k k k ，使得1122...0m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,...,m ααα线性相关.如果向量组12,,...,m ααα不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组12,,...m ααα线性相关当且仅当12,,...m ααα中至少有一个是其余1m -个向量的线性组合.定理2：若向量组12,,...m ααα线性相关，则向量组121,,...,,m m αααα+也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...m ααα的延伸组1212,,...,m m αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关.定理4：已知向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...,m αααβ线性相关当且仅当β可以由向量组12,,...m ααα线性表出.定理5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且12,,...,s ααα线性无关，则有s t ≤.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且s t >，则12,,...,s ααα线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：1n +个n 维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设()12,,...,n A ααα=，其中12,,...,n ααα为A 的列向量，则线性方程组Ax b =有解⇔向量b 能由向量组12,,...,n ααα线性表出；⇔()()1212,,...,,,...,,n n r r b αααααα=；⇔()(),r A r A b =线性方程组解的唯一性当线性方程组Ax b =有解时，Ax b =的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组0Ax =有非零解；⇔向量组12,,...,n ααα线性相关；⇔()12,,...,n r n ααα<；⇔()r A n <.注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知()r A n <是不能得到Ax b =有无穷多解的，也有可能无解.2）定理2是按照Ax b =有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出Ax b =有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式A αλα=成立.则称λ是矩阵A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.设E 为n 阶单位矩阵，则行列式E A λ-称为矩阵A 的特征多项式.注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式A αλα=也可以写成()0A E λα-=，因此α是齐次线性方程组()0A E x λ-=的解，由于0α≠，可知()0A E x λ-=是有非零解的，故0A E λ-=；反之，若0A E λ-=，那么齐次线性方程组()0A E x λ-=有非零解，可知存在0α≠使得()0A E λα-=，也即A αλα=.由上述讨论过程可知：λ是矩阵A 的特征值的充要条件是0A E λ-=（或0E A λ-=），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组()0A E x λ-=的非零解.，n 定理3：A 一定有n 个线性无关的特征向量，即A 可以对角化.且存在正交矩阵Q ，使得112(,,...,)T n Q AQ Q AQ diag λλλ-==，其中12,,...,n λλλ为矩阵A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.11、如果二次型11n nij i j i j a x x ==∑∑中，只含有平方项，所有混合项()i j x x i j ≠的系数全为零，也即形如2221122...n nd x d x d x +++，则称该二次型为标准形。
线性代数1.3按行(列)展开
VS
$x = frac{D_x}{D} = 2$，$y = frac{D_y}{D} = 0$，$z = frac{D_z}{D} = -1$
06
总结与展望
课程总结
掌握了按行（列）展开的基本概念和性质，能 够灵活运用行列式的性质进行化简和计算。
学会了使用克拉默法则求解线性方程组，并能 够理解其几何意义。
深入理解了矩阵的秩、逆矩阵等概念，并能够 运用相关知识解决实际问题。
对未来的展望
进一步探索线性代数在各个领域 的应用，如机器学习、图像处理、
密码学等。
学习更高级的线性代数知识，如 特征值、特征向量、二次型等， 为未来的学习和工作打下坚实基
础。
将线性代数的知识与其他数学分 支相结合，如微积分、概率论等， 以更全面地理解和应用数学知识。
举例分析
01
2&5
02
1&1
03
end{array} right| = -3$
举例分析
举例分析
2. 示例二：三元一次方程组
$$left{ begin{array}{l}
举例分析
x+y+z=6
1
x-y+z=2
2
x+y-z=4
3
举例分析
end{array} right.$$
系数行列式为 $D = left| begin{array}{ccc}
2. 利用初等行变换将增广 矩阵化为行阶梯形矩阵
4. 利用行阶梯形矩阵求解 未知量
举例分析
1. 示例一：二元一次方程组 $$left{ begin{array}{l}
举例分析
01
2x + y = 5
线性代数1-4行列式的展开定理
2 2 ( 1 x ) D x D n 1 n 2
证明： 将上式右端的所有代数余子式都按行列式的定 义完全展开，得到一个包含 n(n 1)! 个项的代数和，共
n ! 个项，如 ak jA k的展开式中的一般项为： j
a a a a a k j 1 j kj 1 kj 1 n j 1 k 1 k 1 n
显然这些项都是 D 的 n ! 个展开项中的某一项，
2 3
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34 a41 a42 a44
M A 1 M . 23 23 23
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 , a34 a44
x3 x 1 x3 x 1
xn x 1 xn x 1
按第1列展开，提取公因式得：
D x x x n 2 1x 3 1
x x n 1
1 x 2 2 x 2
1 x 3 2 x 3
1 x n 2 x n
n 2 x n
n 2 n 2 x x 2 3
D x x x x x x D n 2 1 3 1 n 1 n 1
a a a a a a a a a a 11 22 33 23 32 12 23 31 21 33
a a a a a 13 21 32 22 31
a a a 2 2 a 2 3 2 1 a 2 3 2 1 a 2 2 a a a 1 1 1 2 1 3 a a a a a 3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 a 3 2
线性代数行列式的性质与计算
下页
2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
下页
范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
下页
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式计算法则
行列式计算法则行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论行列式的计算法则，包括展开定理、性质和应用。
1. 展开定理行列式的展开定理是计算行列式的重要方法之一。
对于一个n 阶行列式A，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的和的形式。
展开定理的具体形式如下：\[|A| = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\]其中，\(a_{ij}\)表示矩阵A的第i行第j列的元素，\(M_{ij}\)表示剩余元素构成的n-1阶行列式，\(i\)和\(j\)分别表示所选取的行和列。
通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式，从而简化行列式的计算过程。
2. 性质行列式具有许多重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用都具有重要的意义。
其中一些重要的性质包括：- 交换性质：行列式中交换两行（列）的位置，行列式的值相反。
- 线性性质：如果行列式的某一行（列）可以表示为两个向量的线性组合，那么该行列式可以表示为两个行列式的和。
- 数乘性质：如果行列式的某一行（列）所有元素都乘以一个数k，那么行列式的值也乘以k。
这些性质为行列式的计算提供了重要的理论基础，同时也为行列式的应用提供了便利。
3. 应用行列式在线性代数和相关领域中有着广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：- 线性方程组的求解：通过行列式的方法可以求解线性方程组的解，特别是对于n阶线性方程组，行列式的方法是一种重要的求解手段。
- 矩阵的求逆：矩阵的逆可以通过行列式的方法求解，行列式为0的矩阵没有逆矩阵，而非零行列式的矩阵存在逆矩阵。
- 线性变换的性质：行列式可以用来判断线性变换是否保持了面积或体积的性质，从而对线性变换的性质进行分析。
通过行列式的计算和应用，我们可以更好地理解线性代数中的重要概念，同时也可以解决实际问题中的相关计算和分析。
总结行列式是线性代数中的重要概念，它通过展开定理、性质和应用为线性代数和相关领域的计算和分析提供了重要的方法和工具。
线性代数第二章行列式展开
0
3 4 0 0 0 2
2 14 1 1 1 28
3 4 1 1
1 1
1 1 1
四、伴随矩阵 1、定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所 构成矩阵的转置.
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann 称为矩阵 A的伴随矩阵. 2、运算规律
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 ,当 i j; k 1
A （假定所有运算合法， B 是矩阵， R ）
A11 A A 12 A1n
（1） A
A
T T
（2） AB B A
AA a11 证明 a AA 21 a n1
性质
A A A E. a12 a1n A11 a22 a2 n A12 an 2 ann A1n
解：原式
0 0 0 1
9 10 2 4
9
1
2
9
1
2
10 11 1 109 0 23 按第 列展开 1 2 5 3 43 0 7
109 23 monde)行列式
1 x1 2 Dn x1
n x1 1
1 x2 2 x2
1 xn 2 xn
n n x2 1 xn 1
线性代数第2版课件-行列式的展开定理
行列式的展开定理一、余子式和代数余子式例如11121314212223243132333441424344,a a a a a a a a A a a a a a a a a =21232412313334414344,a a a M a a a a a a =定义C 在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，剩下的元素按原来的相对位置排列，形成的n -1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij .行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式。
()1，i j ij ij A M +=−()1212121A M +=−叫做元素a ij 的代数余子式．例如12-M =引理111212221111 1200nn n nnaa a aA a Aa a a==当aij位于第一行第一列时,即有1111A a M=又从而1111.A a A=()1111111A M+=−11,M=证明引理211121314212223243341424344000a a a a a a a a A a a a a a =例如11121433212224414244.a a a a a a a a a a =()331+−C若A 的第i 行除a ij 外，其余元素都为零，则|A|=a ij A ij.1111100j n ij n nj nn a a a a A a a a =1,11,1,100ij i i j i n n nj nna a a a a a a −−−=把|A|的第i 行依次与第i -1行，第i -2行…第1行对调，()11i −−引理2C 若A 的第i 行除a ij 外，其余元素都为零，则|A|=a ij A ij.证明11111111111111111111111111111000011,,,,,,,,,,,,,,.......................................()()...............................ij j j j n i j i ji i j i j i n i ji i j i j i n nj n n j n j a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a −+−−−−−−−+−+++−+−+−+=−−,..n na 所以|A |=(-1)i+ja ij M ij 再把|A |的第j 列依次与第j -1列，第j -2列…第1列对调，1122i i i i in in A a A a A a A =+++1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++()1,2,,i j n =、定理1:设n 阶矩阵A=(a ij )，则A 的行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即111211212n i i in n n nn a a a a a a A a a a =111211212000n i i inn n nn a a a a a a a a a +++=1112111200n i n n nn a a a a a a a =111212120n i in n n nn a a a a a a a a +证明11i i A a A =111212120000ni inn n nna a a a a a a a ++++=++11i i a A in ina A +22i i a A 12(,,)i n =同理可以证明列的情况。
1_2行列式展开定理与Cramer法则
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例2．计算行列式
1 2 3 4 1 0 1 2 D= 3 -1 -1 0 1 2 0 -5 1 4 1 2 -1 0 -2 -5 6 0 2 1 1 2 9 0 -1
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 3 4 7 0 1 0 1 2 r1 + 2r3 1 0 D= 3 -1 -1 0 r4 + 2r3 3 -1 1 2 0 -5 7 0 7 1 4 r1 - r2 =(-1)(-1)3+2 1 1 2 7 -2 -5 r3 + 2r2 2+2 6 2 =-6-18 =-24. =1(-1) 9 -1
《线性代数》
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结束
2
1 2 -1 -1
1 2 -1 1 1 2
1 1 2
1 1 1
例4. 2
1 1 1
1
1
1 1 2
1
1
解：
-1 2 Dn = - 1 - 1
1 0 1 + 0
-1 -1 -1 2
= (b + 2 a )
=
(b + 2a )
0 b 0 a a 0 b a
1 0 b = (b + 2 a ) b ( -1 )
1+3
1 a a 1 b 0
1 0 = (b + 2a) b
b
0 a a -b 0 b -b
a = (b + 2a) b b
返回
a -b -b
= b 2 (b + 2 a ) ( b - 2 a)
第2节 行列式的性质与计算
线性代数-行列式按行(列)展开
2
证明 用数学归纳法
x n1 n
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
减去前行的 x1倍：
1 0 Dn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
行列式按行(列)展开
•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.
一、引言
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 35
02 35
2 r2 (2)r110 0
3 7
1
7
2 10 (2)
2
r3 r1
66
0 66
20 (42 12) 1080.
3 5 2 1 例 设 D 1 1 0 5 , D的(i, j) 元的余子式和
1 3 1 3 2 4 1 3
10 0
M11 M21 M34 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 2 1
1 5 2 1
1
1
0 5 r4 r3 1
1 0 5
1313
1 31 3
1 4 1 3
0 1 0 0
1 1
2 0
1 5
1 r1 2r3 1
x3
xn
n−1阶范德蒙德行列式
行列式的展开
1 xn
n 2 xn
n−1阶范德蒙德行列式
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )
( xn x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
推论2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
5
3 1 2 0 5 1 4 5 2 0 0 0
1 7 2 例1 计算行列式D 0 2 3 0 4 1 0 2 3 5 3 1 2 1 7 2 5 D 0 2 3 1 0 4 1 4 0 2 3 5
解
0 5 3 1 2 2 0 2 3 1 2 5 0 1 2 0 4 1 4 0 0 2 3 5 0
i j A ( 1) Mi j 称为元素 ai j 的代数余子式. 而 ij
例如
a11
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a12 a32 a42
a14 a24 a34 a44
a14 a34 a44
a21 D a31 a41
M 23 a31 a41
A23 1
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
分析
ain Ajn 0, i j .
我们以3阶行列式为例.
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a 33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 a21 a22 a23 0 a21 a22 a23 a21 A11 a22 A12 a23 A13 a31 a32 a33
线性代数行列式按行(列)展开
a12 a 22 a42
a14 a 24 . a 44
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
5 1
2 5
3
1 2
0 2 3 1 2 2 5 4 0 4 1 4 2 0 2 3 5
2
3
1
1 4 3 5
r2 2 r1
2 0
3 6
1 6
r3 r1
10 0
7 2 10 2
7 2 6 6
20 42 12 1080.
5
1 1 0 5
1 3 1 3
1 1 0 0
r2 r1
c4 c3
0 5
5
1
1
( 1) 3 3 11 1 1 5 5 0
5
1
1
6 2 0 5 5 0
( 1)
1 3
6
2
5 5
8 0
2 5
40.
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
0 0 a in a n1 a n 2 a nn
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
《行列式展开定理》课件
行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理
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1 x1 2 x1 M
n x1 −1
1 x2 2 x2 M
L L L
1 xn 2 xn M
n n x 2 −1 L x n − 1
1 0 Dn = 0 M 0
1 x 2 − x1 x 2 ( x 2 − x1 ) M
n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
1 x 3 − x1 x 3 ( x 3 − x1 ) M
−2 3 1 r2 − 2r1 − 10 0 − 7 2 = 20(− 42 − 12 ) = −1080. r3 + r1 0 6 6
12
例3 计算行列式
1 1 x −1 −1 1 −1 x +1 −1 . 1 1 x −1 −1 1 x +1 −1 −1
解 每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加 每行元素的和都相等,把第二、 到第一列, 到第一列,
a 0 0
b a 0
0 b a
L L L
0 0 0
0 0 0
L L L L L L 0 0 0 L a b b 0 0 L 0 a
.
b a b L 0 0 a 0 a L 0 0 n+1 原式 = a L L L L L + b(−1) L 0 0 0 L a b 0 0 L 0 a 0
0 L 0 b L 0
8
同样, 行列式对列展开, 同样 行列式对列展开 也有
a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
1 ,当 i = j， 引入记号 δ ij = 0 , 当 i ≠ j .
则有
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
αβ 0 L α + β αβ L
L L 0 L L L L 0
L α+β
解 按第1列展开， 按第1列展开，
Dn = (α + β ) Dn −1 − αβDn− 2
(1)
即 Dn − αDn −1 = β ( Dn −1 − αDn − 2 ) ，
19
Dn = (α + β ) Dn −1 − αβDn− 2
r2 + r1
5
1
1
−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 = 40. −5 −5
11
例2
计算行列式
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
3
0 2 0 0 0
−1 2 −2 3 1 −2 3 1 2+ 5 0 = −2 ⋅ 5 − 4 − 1 4 解 D = ( −1) 2 0 − 4 −1 4 2 3 5 0 2 3 5 5
a14 a 34 a 44
D=
A23 = ( −1) 2+ 3 M 23 = − M 23 .
3
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 ,
a21 M 12 = a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 , a44
0 0
L L L L 0 L b 0 0 L a b
15
= a n + ( −1) n+1 b n .
例5 计算n阶行列式
a1 + λ1 a1 L a1 a2 a2 + λ2 L a2
1+
L an L an L L L an + λn
(λi ≠ 0 , i = 1,2, L , n)
解
原式 = λ1 L λ n
或
D = a1 j A j + a2 j A2 j +L+ anj Anj ( j = 1,2,L, n). 1
按第i行展开 按第j列展开 证略
推论: 若行列式某行( 的元素全为零, 推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式 的值为零. 的值为零.
6
例2
1 2 3 设D= 4 0 5 , −1 0 6
(1)
n n x 2 −1 L x n −1
用数学归纳法， 证 用数学归纳法，
1 Q D2 = x1 1 = x2 − x1 = x2
2 ≥ i > j ≥1
∏ ( x i − x j ),
22
∴ 当 n = 2 时(1)式成立 .
假设 (1)式对于 n − 1 阶范德蒙行列式成立， 阶范德蒙行列式成立， 行开始， 从第 n 行开始，每行减 去前一行的 x1倍：
A12 = ( −1)1+ 2 M 12= − M 12 .
4
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 ,
a11 M 44 = a21 a31
代数余子式 .
a12 a22 a32
a13 a23 , A44 = ( −1)4+ 4 M 44 = M 44 . a33
记
例如
Aij = ( −1) i + j M ij ，叫做元素 a ij 的代数余子式． 代数余子式．
a11 a 21 a 31 a41
a12 a 22 a 32 a42
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a 44
a11 M 23 = a 31 a 41
a12 a 32 a 42
第三节
音乐
1、余子式与代数余子式 、
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a a a a a a a a a a23 = 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32 a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
= a11 (a 22a 33 − a 23 a 32 ) + a12 (a23 a31 − a21a 33 )
x −1 1 x −1 1 −1 1 x −1 x −1 x +1 −1 1 −1 x +1 −1 = x 原式 = 1 x −1 1 −1 x x −1 1 −1 1 −1 1 −1 x −1 1 −1
13
1 x −1 −1 1 x −1 x +1 −1 1 = x 原式 = 1 x x −1 1 −1 1 x −1 1 −1 x
(1)
即 Dn − αDn −1 = β ( Dn −1 − αDn − 2 ) ，
反复利用递推公式得： 反复利用递推公式得：
Dn − αDn−1 = β 2 ( Dn− 2 − αDn− 3 ) = L = β n− 2 ( D2 − αD1 ) (2)
由对称性，(1)式又可化为 由对称性， 式
Dn − β Dn −1 = α n − 2 ( D2 − β D1 )
n
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
9
2、行列式的计算 、
计算行列式的基本方法：利用性质5将某行( 计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列) 化出较多的零,再利用展开定理按该行( 展开. 化出较多的零,再利用展开定理按该行(列)展开.
= LL = α n −1 D1 + ( n − 1)α n = ( n + 1)α n .
21
例7
证明范德蒙 (Vandermonde)行列式 行列式
1 x1 2 Dn = x1 M
n x1 −1
1 x2 2 x2 M
L L L
1 xn 2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 M
L L L
1 x n − x1 x n ( x n − x1 ) M
n x n − 2 ( x n − x1 )
n x 3 − 2 ( x 3 − x1 ) L
23
1 0 Dn = 0 M 0
1 x 2 − x1 x 2 ( x 2 − x1 ) M
n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
1 x 3 − x1 x 3 ( x 3 − x1 ) M
按第1 按第 行展开得
0 5 4 5 4 0 D =1 −2 +3 = −2× 29 = −58 , 0 6 −1 6 −1 0
按第2 按第 列展开得
4 5 1 3 1 3 D = −2 +0 −0 = −2× 29 = −58 . 4 5 −1 6 −1 6
7
定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数 余子式之和等于零,即 余子式之和等于零 即
联列(2)(3),解得 , (1) 若 α ≠ β , 联列
(3)
α n−1 ( D2 − β D1 ) − β n−1 ( D2 − αD1 ) , Dn = α−β
20
α n−1 ( D2 − β D1 ) − β n−1 ( D2 − αD1 ) Dn = , α−β
而 D1 = α + β , D2 =
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
1 = x 0 0 0
−1 0 x 0
2
1 x 0 0
x −1 −x
0 = xx −x 0 −x
x 0 0
−x −x −x
= −x
x 0
−x = x4 . −x
14
例4 计算n阶行列式 按第一列展开, 解 按第一列展开, 并由上、 并由上、下三角形 行列式得