等积变形(附答案)
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
内容概述
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高
三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高
三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数
【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
例题精讲
小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)
又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=1/4AC,于是AD=3/4AC,
所以，三角形AED的面积=3/4×三角形AEC的面积
=
.
=
【附4】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形BED的面积是________.
分析：连接辅C助线E.
(三角形BCE的面积)︰(三角形DCE的面积)=BC﹕CD=1﹕1，
所以三角形BCE的面积等.于三角形DCE的面积.
又因为(三角形BCE的面积)︰l=BE﹕AB=2﹕1，
所以三角形BCE的面积等于2.
因此三角形BDE的面积等于2+2=4.
【附5】（第四届《小数报》数学竞赛初赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大l0平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．
【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?
【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？
【附2】如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2，则阴影部分的面积是多少？
分析：连结FD，由AE=ED可知：S△AFE=S△EFD，S△AEC＝S△DCE
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形篇
等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
等积变形附答案
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底x高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化. 但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原耒的;.贝!I三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若^ABD-^A AEC的底边相等（£D=DE=EC=|E.C）3它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道^ ABC勺面积是△ ABD或△ AEC面积的3倍.例如在图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC）,AABC的高是△ DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE）则^ ABC的面积是△ DBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法1=如右图，将RC边四等分（KD =DE=EF=FC=|B C）,连结△ABE、△AEF、△AF对积*方法2:如右图，先将BC二等分，分点D连结AD得到两个等积三角形，即△ ABD与△ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE等积.C方法务如右图，先將BC四攀分，即：BD二一BC,连结直A再将AB三等分，aPAE-EF=FD--AD,连结CE、CF,从而得到四个尊积的三角形 ,即^AKD, △CDF, △CEE △ACE等积.例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1 : 3 : 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE 从而得到^ ABD △ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右圈，先取EC中点D,再取yVB的才分点民连结AD、DE从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先恥止中点D,连结CD,再取CD上;分点兔连结4从而得到三个三角形；△ACE △ADE、△BCD,其面积比为1 ； 3 :4.C当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△ A0B与△ CODS积相等.c证明：•••△ ABC与△ DBC等底等高, /. S^AB(=S A DBC又S △ AOB=S A ABC—S A BOC S △ DOC=S^ DBC—BOC/. S AAOB=S ACOD例4、如图，把四边形ABCDfe成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABC®积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形^ A DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A。
等积变形初一试题及答案
等积变形初一试题及答案一、选择题1. 一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，其体积是（）。
A. 72cm³B. 48cm³C. 24cm³D. 36cm³2. 一个正方体的棱长为5cm，其体积是（）。
A. 125cm³B. 100cm³C. 75cm³D. 50cm³3. 一个圆柱体的底面半径为4cm，高为5cm，其体积是（）。
A. 200πcm³B. 100πcm³C. 80πcm³D. 40πcm³二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm、5cm，其体积为_______cm³。
2. 一个正方体的体积为216cm³，其棱长为_______cm。
3. 一个圆柱体的底面半径为3cm，高为10cm，其体积为_______cm³。
三、解答题1. 一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm、7cm，求其体积。
2. 一个正方体的棱长为4cm，求其体积。
3. 一个圆柱体的底面直径为6cm，高为9cm，求其体积。
答案：一、选择题1. A2. A3. B二、填空题1. 2402. 63. 942π三、解答题1. 长方体的体积为10cm × 8cm × 7cm = 560cm³。
2. 正方体的体积为4cm × 4cm × 4cm = 64cm³。
3. 圆柱体的体积为π × (3cm)² × 9cm = 81πcm³。
六年级奥数优胜教育第3讲：等积变形含答案
第三讲等积变形例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．例2：长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GB F C例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为．A DE OGB F C例4：已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)例5：如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．A AC D E F G C D E FGB B例6：如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，△S ADE=16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C例7：如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，△S ADE=12平方厘米，求△ABC的面积．DAEB CDAEB C例8：如图，平行四边形ABCD，BE=AB，C F=2CB，G D=3DC，HA=4A D，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．H HA B E A B EG D C G D CF例9：如图所示的四边形的面积等于多少？FC O131213D1312131212AB例10：如图所示，∆ABC中，∠ABC=90︒，AB=3，BC=5，以AC为一边向∆ABC外作正方形ACDE，中心为O，求∆OBC的面积．EEO DODA3B5CA3B5C F A1.如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_E_E_A_B_A_B_F_F_D_G_C_D_G_C2.在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．A D A(P)D A DP PB C B C B CC C甲乙3.如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为．A E DA E DMNO OB B4.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A AD E DEB C B C5.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4，B E=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE B甲乙D C BED CB6.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB=90︒，AC、B D 交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．C B C BO E OEFD A D A7.如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF 平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知F D=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？B G BAC ACF D F DE E角形 BCD 的面积的 ，且 AO = 2 ，DO = 3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍．EBE8.如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD : DC = 1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．AEBDFC9.如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC = 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?AD ADBGFECBxF x y Gy EC10.四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)．如果三角形 ABD 的面积等于三13ADOBCC11.如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面 积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积．ADOF GBEC12.如图，长方形 ABCD 中， BE : EC = 2:3 ， DF : FC = 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方 厘米，求长方形 ABCD 的面积．AGDFAGDFBCC13.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．B CGA M D14.在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．A DFB E C15.已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．A DA DO OB C E B C E1.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．A D A D992121O44B E B E CCDA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，2.右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)， 阴影部分的面积是 平方厘米．AD AD881616O 2 2BEC BEC3.如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘 米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．A EFB A EFB225O ?5O ?88DC D C4.如图， ∆ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正 方形 DEFG 的面积 48， AK : KB = 1:3 ，则 ∆BKD 的面积是多少？DA G DA GKKBEF C B E M F C5.下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB ，BC ，CD ，mn(m + n ) 的值等于．AH D A H DEG E GBFC BFC1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．3.如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 △O ，求证：AOB 与△COD 面积相等．4.如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形．5.如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC的面积．6.如下页图，在△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC=面积的几分之几？1 3BC ，求阴影部分面积占三角形 A BC7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 △A C ，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米．求三角形 CDF的面积．8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若△S ADE=1，求△BEF的面积．△S ACD = △S BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．E第三讲 等积变形1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S : S = a : b12③夹在一组平行线之间的等积变形，如图 △S ACD = △S BCD ；反之，如果④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比． 2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中，D , E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， 在 AC 上)，则S△ABC :S△ADE=(AB⨯AC):(AD⨯AE)3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①S:S=S:S或者S⨯S=S⨯S②AO:OC=(S+S):(S+S)124313241243蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．DAS2S1OS4S3B C梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①S:S=a2:b213②S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；1324③S的对应份数为(a+b)2．4.相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型A E F DAD F EB GC B G C①AD AE DE AF===AB AC BC AG；②：=AF2:AG2．△S ADE△S ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线AO和BC相交于D（有四种情形），则有S∆ABO :S∆ACO=BD:DC在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:S=BD:DC．∆ABO∆ACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO和∆ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.AFEBOD C1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
热点：关于立体图形的等积变形问题-2024年小升初数学(解析版)
热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。
1在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。
【答案】0.9【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是=长×宽×高。
放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。
但是底面积发生可改变。
现在水的高度=水的体积÷底面积。
注意：求的是水位上升的高度。
水位上升的高度=现在水的高度-开始水的高度。
【详解】20×9×3.6=648(立方分米)20×9-6×6=180-36=144(平方分米)648÷144=4.5(分米)4.5-3.6=0.9(分米)则水位上升了0.9米。
2把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。
【答案】32301.44【分析】根据题意可知，把一个圆柱体铁块熔铸成一个圆锥体，铁块的形状变了，但体积不变；先根据圆柱的体积公式V=πr2h，求出这个铁块的体积，也就是圆锥的体积；再根据圆锥的高h=3V÷S，求出这个圆锥体的高。
【详解】铁块的体积：3.14×42×6=3.14×16×6=50.24×6=301.44(立方分米)圆锥的底面积：3.14×32=3.14×9=28.26(平方分米)圆锥的高：301.44×3÷28.26=904.32÷28.26=32(分米)这个圆锥体的高是32分米，体积是301.44立方分米。
3一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)小学奥数精讲：等积变形求面积基本概念我们都知道“三角形的面积等于底与高的积的一半”，因此，我们可以得出等底等高的两个三角形面积相等的结论。
这意味着，即使两个三角形的形状不同，只要它们的底和高分别相等，它们的面积就相等。
但是，不能反过来说“面积相等的两个三角形的底和高一定分别相等”。
另一类三角形有一条公共底边，但这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。
例如，右图中的三角形A1BC、A2BC和A3BC的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法。
通过割补，我们可以将一些形状不规则的图形转换成形状规则但面积相等的图形，或者将不易求面积的图形转换成易求面积的图形。
常用的割补方法包括添加平行线或垂线。
利用等底等高的三角形面积相等这个性质是面积割补的重要依据，而抓住具体的图形特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键。
在进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案。
不要盲目地乱动手。
本讲中的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例题分析例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积。
例2：如下图，A为△XXX的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD及△XXX的面积。
例3：2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成（直角边长为2和3）。
问：大正方形的面积是多少？例4：下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积。
练提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC=CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？在平行四边形ABCD中，如果AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，求平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍。
秋季小五班第1讲等积变形答案与补充
A.6问题补充：E ，F 在AB 上，从上到下依次为A,E,F,B 设梯形的高为H ，AE 所占的高为m. 则Sade + Sbcf = m ( AD + BC ) / 2 (1)Sadf + Sbce = ( H - m) * (AD + BC ) /2 ........(2) (1) + (2) = H * (AD + BC) / 2, 正好是梯形的面积(1) + (2)式的左边， Sade, Seof, Sbcf 被加了两次， 也就是说, Sade + Seof + Sbcf = Scod,所以 Seod + Scof = 34 - 11 * 2 = 12. B.1如图所示，在平行四边形ABCD 中，EF 与AC 平行。
如果三角形BFC 的面积是35平方厘米，那么三角形AEC 的面积能不能确定？如果能，它的面积是多少，应该怎么解？如果不能，请说出理由。
连接AF因为AB 平行于CD ，所以三角形BFC 的面积等于三角形AFC 的面积（同底等高） 又因为EF 平行于AC ，所以三角形AFC 的面积等于三角形AEC 的面积（同底等高） 所以三角形AEC 的面积能确定，它的面积是35平方厘米答案补充因为AD 平行于BC ，所以三角形AEB 的面积等于三角形AEC 的面积（同底等高） 所以还是35平方厘米B.6如图，有一个长6厘米，宽4厘米的长方形ABC D ，已知线段D G 、AH 、AE 、BF 的长度依次是1，2，3，4厘米，且四边形AEPH 的面积是5平方厘米，求四边形PFC G 的面积是多少平方厘米？PH GFE D C BAC.1三角形BDP 和三角形DCP 在BC边上的高是相同的，BD：DC=40：30三角形BDA 和三角形DCA 在BC边上的高是相同的，所以面积比等于BD：DC=40：30。
设三角形BFP面积为S1，三角形CEP面积为S2可得方程1（84+S1+40）：（70+S2+30）=4：3又有三角形AFP与三角形BFP之比等于三角形AFC与三角形BFC之比，同等于点A到边CF的距离和点B到CF的距离之比。
【思维拓展】数学六年级思维拓展之等积变形(附答案)必考知识点
面积是三角形 AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3
倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面
积是三角形 AFE 面积的(3×2)=6 倍。因此，平行四边形的面积为 8 ×6=48(平
方厘米)。
6
10.【解答】连结 AE、BF、CD(如图)。由于三角形 AEB 与三角
PQRS。因此四块阴影的面积和就等于四边形 PQRS 的面积，即阴影部分与四边
形 PQRS 的面积之比为 1:1。
8. 【解答】连接 BD .设 SDCB S1, SDAB S2
∵ CB BF ，
∴ SCDF
CB BF CB
SCDB
2SCDB ,
又∵ DC CG ,
∴ SCFG SCDF 2S1 ，
4. 如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC
的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
C
1
5. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ， 使 CE 2BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面积。
于是三角形 DEF 的面积等于三角形 ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD
的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18。
11.【解答】连接辅 C 助线 E。
(三角形 BCE 的面积)︰(三角形 DCE 的面积)=BC﹕CD=1﹕1，
所以三角形 BCE 的面积等于三角形 DCE 的面积。
2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)
专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
六年级下册数学试题-小升初专题培优：等积变形（含答案）全国通用
六年级下册数学试题-⼩升初专题培优：等积变形（含答案）全国通⽤我们已经知道三⾓形⾯积的计算公式：三⾓形⾯积＝底×⾼÷2从这个公式我们可以发现：三⾓形⾯积的⼤⼩，取决于三⾓形底和⾼的乘积。
如果三⾓形的底不变，⾼越⼤(⼩)，三⾓形⾯积也就越⼤(⼩)；如果三⾓形的⾼不变，底越⼤(⼩)，三⾓形⾯积也就越⼤(⼩)；这说明当三⾓形的⾯积变化时，它的底和⾼之中⾄少有⼀个要发⽣变化。
但是，当三⾓形的底和⾼同时发⽣变化时，三⾓形的⾯积不⼀定变化。
⽐如当⾼变为原来的3倍，底变为原来的，则三⾓形⾯积与原来的⼀样。
这就是说：⼀个三⾓形的⾯积变化与否取决于它的⾼和底的乘积，⽽不仅仅取决于⾼或底的变化。
同时也告诉我们：⼀个三⾓形在⾯积不改变的情况下，可以有⽆数多个不同的形状。
在实际问题的研究中，我们还会常常⽤到以下结论：①等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等；②两个三⾓形⾼相等，⾯积⽐等于它们的底之⽐；两个三⾓形底相等，⾯积⽐等于它们的⾼之⽐；如左图S1∶S2＝a∶b③夹在⼀组平⾏线之间的等积变形，如右下图S△ACD＝S△BCD；反之，如果S△ACD＝S△BCD，则可知直线AB平⾏于CD。
④等底等⾼的两个平⾏四边形⾯积相等(长⽅形和正⽅形可以看作特殊的平⾏四边形)；⑤三⾓形⾯积等于与它等底等⾼的平⾏四边形⾯积的⼀半；⑥两个平⾏四边形⾼相等，⾯积⽐等于它们的底之⽐；两个平⾏四边形底相等，⾯积⽐等于它们的⾼之⽐。
图中三⾓形ABC的⾯积是160平⽅厘⽶，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。
那么三⾓形AEF的⾯积是多少平⽅厘⽶？例1⼩升初——等积变形在边长为6厘⽶的正⽅形ABCD内任取⼀点P，将正⽅形的⼀组对边⼆等分，另⼀组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分⾯积。
如图，⼤长⽅形由⾯积是12平⽅厘⽶、24平⽅厘⽶、36平⽅厘⽶、48平⽅厘⽶的四个⼩长⽅形组合⽽成。
求阴影部分的⾯积。
(2009年第七届”希望杯”⼆试六年级)如图，在三⾓形ABC中，已知三⾓形ADE、三⾓形DCE、三⾓形BCD的⾯积分别是89，28，26。
人教版数学6年级下册 第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)
人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。
这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。
则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。
当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。
如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。
小学数学 几何问题之等积变形问题 完整版题型训练 PPT带答案带练习
练习6
6、右图ADEF为正方形,BD的长为9,FC的长为4,求右图沿阴影长方形的 四周作四个正方形,四个正方形的面积之和为68平方厘米,其阴影的长方形 的周长是16厘米,求阴影部分的面积。
设正方形ADEF边长为a 4×9=36=6×6 a=6 三角形ABC面积=（6+9）×（6+4）÷2=75
练习7 7、右图沿阴影长方形的四周作四个正方形,四个正方形的面积 之和为68平方厘米,其阴影的长方形的周长是16厘米,求阴影部 分的面积
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=130÷2=65 a+b=22÷2=11 经尝试a,b分别为4,7 阴影长方形面积=4×7=28（平方厘米）
ห้องสมุดไป่ตู้
课后作业
练习1
1、如图,图形甲与乙的面积差又可以看做是长方形 ABCD与（ 三角形 ）的差
ABF
练习2
2、将右图通过平移的方法变成一个长方形
小学数学几何问题之 等积变形
例1 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起: 求阴影部分的面积
20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平方厘米)
例2
下图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角 形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。
4×6-9=15（平方厘米） EC=15×2÷6=5（厘米） ED=5-4=1（厘米）
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=68÷2=34 A+b=16÷2=8 经尝试长与宽分别为5,3 阴影面积=3×5=15（平方厘米）
平行四边形ABCD面积--三角形BCE面积=10（平方 厘米） 三角形BCE面积=10×8÷2=40（平方厘米） 平行四边形ABCD面积=40+10=50（平方厘米）
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三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．
例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
?
例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12(平方厘米)．
例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．
例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为
2+2+1=5(平方单位)．
例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．
仅供个人参考
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
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以下无正文。