角的概念的推广讲义

二．应用举例
例1. 如果6与30角的终边相同,求适合不等式
180 180的角的集合.
解 :由题意得 6 =30 k 360 (k Z )
5 k 60 180 180
37
35
180 5 k 60 180
k 12 12
k为整数 k=-3,-2,-1,0,1,2.
分别代入 5 k 60得满足条件的集合为
4.1角的概念的推广
终边 B
顶
点 o
A
始边
角：平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个位置所形成的图形。
一、复习基础知识 1、角的定义：
定义1： 从一点出发的两条射线所组成的图B形
~ 角的范围： 0 360
O
A
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形。
安全在于心细，事故出在麻痹。20.11.1020.11.1014:19:5314:19:53November 10, 2020
加强自身建设，增强个人的休养。2020年11月10日 下午2时 19分20.11.1020.11.10
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（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它 校准，分针应该旋转多少度？ 900°
2、象限角：1)角的顶点于坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合
终边落在第几象限就称角是第几象限 y角
终边落在坐标轴上就
称角是非象限角,或
o
x 称轴线角
请在坐标轴上画出30°,-330°,390°,并 找出它们的共同点?
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。20.11.102020年11月10日 星期二 2时19分53秒20.11.10
谢谢大家！
与ａ终边相同的角的一般形式为 ａ＋kx3600，k ∈ Z
S={ β| β= a+kx3600 , k∈ Z}
一般地，我们有：
所有与角a终边相同的角，连同角a在内， 可构成一个集合
S k 3600, k Z
即任一与角a终边相同的角，都可以表示 成角a与整数个周角的和．
例1 在0°～360°范围内,找出与-950°12′角终 边相同的角并判定它是第几象限角：
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11.1020.11.1014:1914:19:5314:19:53Nov-20
人生不是自发的自我发展，而是一长 串机缘 。事件 和决定 ，这些 机缘、 事件和 决定在 它们实 现的当 时是取 决于我 们的意 志的。2020年11月10日星期 二2时19分53秒 Tuesday, November 10, 2020
例4.如果 是第三象限角,那么2角终边的位置如
何? 是哪个象限的角?
2 解:
是第三象限角
180 k 360 270 k 360(k Z )
360 2k 360 2 540 2k 360(k Z)
2 角终边在第一或第二象限以及y轴非负半轴上
又 90 k 180 135 k 180(k Z )
y -3300
3900
300
x
o
300 =
300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 ,
…,
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋kx3600，k∈ Z
2).坐标轴上的角的集合
角
终边在x轴上的角: 终边在y轴上的角:
S S
| k 180 , k Z | k 180 90 , k Z
终边在坐标轴上的角: 3).象限角的集合
S
| k 90 ,
kZ
3).象限角的表示:
1).第一象限角 0 90
S
| k 360
若k为偶数,
则
2 是第二象限的角.
若k为奇数,则2 是第四象限角.
综上,
2
是第二或第四象限角.
2
利用上述方法判断,可得如下结论:
当在第一象限时, 在第一或第三象限.
当 第二象限时,
2 在第一或第三象限.
当
2 在第三象限时,
在第二或第四象限.
2
当在第四象限时, 在第二或第四象限.
y
2
32
4
1
o 1
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4
x
23
例5 (1) 把下图中终边在阴影部分的角的集合表示出来 (包括边界).
(2) 把集合 |k 120 k 120 30 , k Z 表示的角的
终边所在区域用阴影部分表示在直角坐标系中.
y
y
50 60
o
x
o
x
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2、角的表示： AOB, 简记：
实例1：
终边
α o
A′ A′ A′
始边
A
逆时针旋转
实例2：
o β 终边
始边
A
A′
A′ A′
顺时针旋转
1.规定：
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角
零角：一条射线没有作任何旋转时 形成的角
二、新学
思考下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ -30°
解 : ∵-950°12′= 129048′-3×3600,
∴在0°～360°范围内, 与-950°12′角 终边相同的角是129°48′, 它是第二象限 角.
知识学习：终边在坐标轴上角的取值
900 +Kx3600 y
1800 +Kx3600
x 00 +Kx3600
o
2700 +Kx3600
三、小结
例3 (1)已知角终边与 50角终边关于y轴对称
求角的集合M
(2)已知角终边与 50角终边互相垂直, 求角的集合N
解：(1) 230与 50的终边关于y轴对称 M { 230 k 360, k Z}
(2) 50 90与 50角终边互相垂直
N { 50 90 k 360, k Z}
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
270 ,
kZ
4).第四象限角 270 360
S | k 360 270 k 360 360 , k Z
x
3、与角 终边相同的角的表示：
S | k 360 , k Z
任意角（二）
一、复习回顾
1、角的分类:
正角--- 逆时针方向旋转所成角
角 零角--- 不作任何旋转所成角
负角--- 顺时针方向旋转所成角
2、角的表示:
1)终边相同的角的集合
S | k 360 , k Z
1、任意角(正角、负角、零角的定义）
正角： 按逆时针方向旋转形成的角 负角： 按顺时针方向旋转形成的角
零角： 如果一条射线没有作任何旋转， 我们称它形成了一个零角
2、象限角： 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说 这个角是第几象限角
y
o
{175, 115, 55, 5, 65,125}
例2.如果角的终边经过点M (1, 3),试写出角的集合S,
并求出S中最大的负角和绝对值最小的角.
解 : 关键是求出0到360范围内的角
在0到360范围内,由几何方法可求得 60
S { 60 k 360, k Z}
其中最大负角为 300 (k 1) 绝对值最小的角为60 (k 0)
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。14:19:5314:19:5314:1911/10/2020 2:19:53 PM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.1014:19:5314:19Nov-2010-Nov-20
重于泰山，轻于鸿毛。14:19:5314:19:5314:19Tuesday, November 10, 2020