微波技术基础 第07章 微波谐振器 1

=
0
E(r )
T (t)
T '' (t) + ωi2T (t) = 0
∇2
K E
(rK
)
+
ki2
K E
(
rK
)
=
0
波数为(正实数)：
ki = ωi με
微波谐振器的基本特性与参量 continue 4
任意形状谐振器推导
—麦克斯韦方程分离变量法
显然： 对E有：
TK(t) E=
=K Ei
AKie (r )
损耗电导G0表征系统的功率特性。可以在 一定工作频段等效为LC振荡回路。用损耗
电导来描述谐振器的功率损耗。如图：
按等效功率的概念有：（ 假定电压为时谐
变化）
G0
=
2Pl Vm2
（直接用功率计算式即可得 到上式）VM为等效回路两端 的电压，功率可用上面的表
示式求出（与模式有关）。
微波谐振器的基本参数——损耗电导 continue 1
H ∇2 ∇2
⋅ nˆ = 0 K
E − με
K
H − με
K ∂2E ∂t 2 K ∂2H ∂t 2
=0 =0
微波谐振器的基本特性与参量 continue 3
任意形状谐振器推
导
可采用分离变量法求—解麦：克E斯K 韦= 方EK程(rK分)离T 变(t量) 法
K ∇2KEK(
rK
)
−
με
T
'' (t)
• 腔体本身没有损耗表面没有能量输出— —仅有电磁能量转换ÆÆ同LC回路
微波谐振器基本参量
与低频LC基本参量RLC对应，微波谐振 器的基本特性参数有： 1. 谐振波长(resonant wavelength)是表征 器件的振荡规律、条件 2. 品质因数(quality factor) 表征器件的选 频特性，储能vs损耗 3. 损耗电导(loss conductance)表示器件 的功率损耗特性
电场储能：We
=
1 4
| VC
|2
C
=
1 4
|
I
|2
1
ωC
总功率： Pin = Pl + 2 jω (Wm − We )
谐振频率： ω0 =
1 平均 LC 电场储能＝磁场储能
输入阻抗： Zin
=
2Pin | I |2
=
Pl
+ 2 jω (Wm − We )
| I |2 / 2
品质因素：
Q 微扰法开
高Q，则要提高V/S）
微波谐振器的基本参数 ——品质因数 continue 3
一般而言，谐振器的线性尺寸与波长 成正比，于是：
V ∝ λ3,
从而：
Q0
∝
λ δ
S ∝ λ2
7.1− 25
例如：在常用的厘米波段，趋肤深度一 般为微米量级，于是器件的Q值大约在 104～105量级。（实际有载Q会变小）
微波谐振器的基本参数 3——损耗电导
串联谐振电路
对于串连电路：
Zin
=
R+
jω L −
j
1
ωC
2
谐振器功率：Pin
=
1 VI ∗ 2
=
1 2
Zin
|
I
|2 =
1 2
Zin
V Zin
其中：
=
1 2
|
I
|2
⎛ ⎜⎝
R
+
jω L −
j
1
ωC
⎞ ⎟⎠
电功阻耗：Pl
=
1 2
|
I
|2
R
磁储场能：Wm
=
1 4
|
I
|2
L
串联谐振电路 continue 1
—麦克斯韦方程分离变量法
再利用基本麦克斯韦 方程可得到：
KK Ei (r ) KK Hi (r )
= =
1
ki 1
ki
K ∇× Hi
K ∇ × Ei
K (r K (r
) )
对于谐振器的自 由振荡模式，能 量总是在电与磁 之间转换，且保 持平衡（相等）
∫ We = ∫ Wm =
1
ε
|
K E
|2
dv
V
2 1
一个周期内的能量损耗，Pl代表一周期内
∫ 的平平均均功功耗W率：=损W耗e +。W谐m振=器12储V能μ：| HK |2 dv
∫v ∫v Pl
=
1 2
|
s
K Js
|2
Rs ds
=
1 2
Rs
K | Htan |2 ds
s
微波谐振器的基本参数 2——品质因数 continue 1
从而根据品质因数的定义有：
微波谐振器概述（continue4）
• 对于金属波导谐振腔可用驻波法求场的 解答；（波节反射面Æ驻波Æ谐振）
• 对于TEM传输线谐振器可用传输线理论来 分析；（开路/短路Æ驻波Æ谐振）
• 对于一些非传输线型谐振器，可用准静 态方法求解；(麦克斯韦方程求解法)
• 对于单模工作的谐振器，可用等效电路 方法分析；（6章等效网络法）
• 对于谐振腔的微小变形，则可用微扰方 法分析。（针对以上各种结果的修正）
微波谐振器概述（continue 5）
• 【微扰法】假设一个接近的近似解模型，再 在尺寸上加上修正项（扰动——一般为高阶 无穷小量）来逼近精确解。可加多次（多 阶）
微波谐振器的基本特性与参量
• 本质与RLC相同，但
1。基别任本。意参形量状有微大波的谐区 振器自由振荡的基本特性
或波导来实现高Q微波谐振电路。
微波谐振器概述（continue2）
【微波谐振器的种类:】按其结构型式可分为：
a）传输线型谐振器
b）非传输线型谐振器两类。 • 【传输线型】传输线型谐振器是—段由两端短路
或开路的前述三类微波导行系统构成的。大多数实 用微波谐振器属于此类，如矩形波导空腔谐振器、 圆波导空腔谐振器、同轴线谐振器、微带线谐振 器、介质谐振器等。
微波谐振器的基本参数——损耗电导continue 2
实际有耗谐振器可看成无耗器件来分析： 采用等效谐振频率来描述：
ω0
←
－－－ω0
⎛ ⎜⎝1
+
j 2Q
⎞ ⎟⎠
【小结】
1. 微波谐振腔的λ、Q、G参数可采用以上公式计 算。（模式＋场）
2. 实际情况计算难以进行，可采用等效电路＋功率 测量获取。
3. R0、Q0均与Pl 成反比；R0/Q0与损耗无关。也与频 率无关，可在宽频段上进行测试。（变尺寸模拟设计）
微波谐振器的基本参数 1——谐振波长
是微波谐振器的主要参数。 在导行系统中：
k2
=
ku2
+
kv2
+
k
2 z
=
kc2
+
β
2
导行系统时，沿z无限制b为连续——不
谐振谐振器，沿z有限制也成为驻波：
l = p λg p = 1, 2,"
β = pπ
2
l
微波谐振器的基本参数 1——谐振波长 continue 1
微波谐振器概述（continue 3）
• 【非传输线型】非传输线型谐振器或称复杂形状
谐振器不是由简单的传输线或波导段构成的，而是 一些形状特殊的谐振器。这种谐振器通常在坐标的 一个或两个方向上存在不均匀性，如环形谐振器、 混合同轴线型谐振器等。
• 本章只研究传输线型微波谐振器
• 【分析方法】由于谐振器的种类繁多，因此 分析方法也各异：从根本上讲，微波谐振器 的求解属于场的边值问题
始拉！
=
ω0
Wm
+ Pl
We
= ω0
2Wm Pl
= ω0L
R
=
1
ω0RC
在谐振频率附近： ω = ω0 + Δω
Zin
=
R+
jω
L
⎜⎝⎛1
−
ω
1 2 LC
⎞ ⎟⎠
=
R+
jω
L
⎛ ⎜ ⎝
ω
2 −ω ω2
2 0
⎞ ⎟ ⎠
ω2
−
ω
2 0
=
(ω
−ω0 )(ω
+ ω0 )
≈
2ω0Δω
Zin

R
+
j2LΔω

R+
∫ ∫ 面V |AEKiBi (i相rK)互|2 关dv联=，1 可通V |过HK归i (一rK)化|2 二dv者=：1
由此：
Ai = −
于是对于某一特定
jηKBi
E=
η = μ /ε
Ai
K Ei
(
rK
)e
jωi
t
自由振荡模式可以 解得：
K H
=
j
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η
K H
i
(
K r
)e
jωit
微波谐振器的基本特性与参量 continue 6 任意形状谐振器推导
∫ Wm
=
1 2
ε
Ai 2 ki
V
ki2
|
K E
K (r )
|2
dv
∫ = 1
2
K
ε | E |2
V
dv
= We
结论
• 微波谐振器可以支持无穷多种不同的自 由振荡模式，分别具有不同的振荡频率 （多谐性）
• 微波谐振器中的单模电磁场均为标准正 弦波，时间上有900的相位差，电场最 大时磁场为零，反之也是如此。
j2RQ
Δω ω
0
可用来分析分布元件的等效电路。
可以将有耗谐振器当成具有复谐振频率的器 件，令：R=0即可得到无耗等效串连谐振器
的输入阻抗： Zin = j2L(ω − ω0 )
由此可得 Z 有耗谐振腔：
in
=
j
2L
⎛ ⎜
ω
−
ω
0
(1
−
⎝
j
1 2Q
)
⎞ ⎟ ⎠
μ
|
K H
|2
dv
V2
微波谐振器的基本特性与参量 continue 7 任意形状谐振器推导 —麦克斯韦方程分离变量法
∫ ( ) 将腔体的场解带入可得：
Wm =
μ 1
V2
Ai
η
2
|
KK Hi (r )
|2
dv
利用：
∫ = 1 ε 2
Ai 2 ki
V
|
∇
×
K Ei
K (r )
|2
dv
∇==|∇⋅∇{E××Ki∗EEK(Kir∗Ki (()rrKK×))[⋅|2∇∇−××EKEEKi∗Ki(i(r(KrKrK)))⋅]∇−}
jωit
Aie
jωit
通解为：
∑ K
E=
∞
K Ei
(
rK
)
Ai
e
jωit
i =1
ki = ωi με = ωi / v
对应磁场为：
∑ K
H=
∞
K H
i
(
K r
)
Bi
e
jωit
i =1
微波谐振器的基本特性与参量 continue 5 任意形状谐振器推导 —麦克斯韦方程分离变量法
由于电磁场均满足麦克斯韦方程，故上
【微波谐振器】—— 一般是由任意形状 的电壁或磁壁所限定的体积，其内产生 微波电磁振荡。(储能和选频)
【性能】类似于电路理论中的集总元件谐 振器。
【应用】滤波器、振荡器、频率计、调谐 放大器等。
【设计要点】
微波谐振器概述（continue 1）
f<300MHz 谐振器是用集总电容器和电感 器做成
f>300MHz 时回路的欧姆损耗、介质损 耗、辐射损耗都增大，致使回路的Q值 大大降低；而回路的电感量L和电容量C 则要求很小，难以实现。（分布参数影 响大）可采用传输线技术用一段纵向两端封闭的传输线
另一个不确定因素是等效电压：谐振器内部无
论那个方向均不稳定，其数值与所选的积分路
径有关。—— G0为多值——Æ通常选内表面
固定点在固定时刻积分计算：
b
∫ Vm = − a Em ⋅ dl
∫v∫ 于是：
G0 = Rs ⎛⎜⎜⎝
|
s
H tan
|2
ds
b a
Em
⋅
dl
⎞⎠⎟⎟2
7.1− 28
显见，G0是多值不定的。——与Q的本质差别
设微波谐振器体积内填充
理想的均匀介质，其电磁
场∇满× H足K 麦= ε克∂斯EK韦方程：
∇
×
K E
=
−
∂t K
μ ∂H
K
∂t
∇ ⋅ EK = 0
∇⋅H =0
微波谐振器的基本特性与参量 continue 2
任意形状谐振器推导
K—麦克斯韦方程分离变量法
S表面边界条件： E × nˆ = 0
K
由此可解出腔内 的电磁波满足的 波动方程：
微波谐振器(microwave resonators)本质是广义 的谐振体：如图任意形状的微波谐振器，
其体积为V，表面积为S。表面为电壁(理想导 体壁)/磁壁(开路壁)，也可以是部分电壁/部分 磁壁。
分析理想导体壁为例：
微波谐振器的基本特性与参量 continue 1
任意形状谐振器推导
—麦克斯韦方程分离变量法
K Ei∗
(rK
)
×∇×
⋅∇×∇ KK Ei (r )
×
K Ei
(rK
)
微波谐振器的基本特性与参量 continue 8 任意形状谐振器推导
∫ ∫∫∫v ∫∫ ∫ ===可V |解∇VVs E∇EK×K得ii∗⋅(E({KrK：rKEiK)()×ir∗K⋅(∇)[rK∇|2×)××d∇v[E∇K×i (×ErKKiE)K(]irK⋅(d)rKds)v]+}=dv—V+VE麦Kki∗i克(2VrK|E)K斯EK⋅i∗i∇((韦rrKK×))方⋅|∇2∇程d××v分E∇Ki (离×rK)E变Kdiv(量rK)法dv
∫v∫ ∫v∫ Q0
=
ω0μ Rs
K
V
|
s
| H |2 dv K H tan |2 ds
=
2 δ
K | H |2 dv
VK
|
s
H tan
|2
ds
其中δ为导体的趋肤深度。
由于谐振器内壁附近的K 切向磁K 场总要大于 内部磁场，可认为：| H |2 | Htan |2 / 2 则：
Q0

1 δ
V S
此式可以用来估算Q0的值。一般来讲，材 料定了以后趋肤深度是确定的：为了得到
带入本征关系式即有谐振波长的一般表 示式：
( ) ( ) ( ) ( ) λ0 =
1
=
+ 2
1
λc
p2 2l
1
2
2
+ 1
1
λc
λg
7.1− 20
其中λc为波导的截止波长，为波导λc波长。
微波谐振器的基本参数 2——品质因数
定义：
Q0
= 2π W
WT
=
ω0
W Pl
其中W代表微波谐振器的储能，WT代表
第七章 微波谐振器
主要内容
• 微波谐振器概述 • 微波谐振器的基本特性与参数 • 集总串联/并联RLC谐振电路的基本特性 • 传输线谐振器、金属波导谐振腔、介质
谐振器的特性与设计方法 • Fabry—Perot开式谐振器 • 论微波谐振器的激励与谐振腔的微扰
微波谐振器概述
【定义】广义而言，凡能够限定电磁能量 在一定体积内振荡的结构均可构成电磁 谐振器。