n元函数的微分中值定理及其应用
n元函数的微分中值定理及其应用
数学系20021111班李兴淑
指导教师吴骏
摘要：对凸区域n
R
D 上的n元可微函数，采用构造“辅助函数”的方法，把n元函数转化为一元函数，利用一元函数的微分中值定理，将一元函数微分中值定理推广到n元，得到了n元函数的拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理和泰勒定理，并构造不同的“辅助函数”，得到了n元函数柯西定理的另一种证明方法，最后讨论了n元函数微分中值定理的一些具体应用。
关键词：n元函数；微分中值定理；辅助函数
The Differential Mean-value Theorem in n-V ariate Functions
and Its Application
Abstract: The n-variate functions defined on a convex domain in n
R are converted to the single variate function by using the method of structuring auxiliary functions, and the differential mean-value theorems for single variate function are generalized to n-variate functions by means of the differential mean-value theorems for single variate function. Then the Lagrange Theorem, the Rolle Theorem, the Cauchy Theorem and the Taylor’s Theorem for n-variate functions are obtained. Another method of proving the Cauchy Theorem for n-variate functions is given by making up different auxiliary functions. Some examples of application of the differential mean-value theorems for n-variate functions are furnished.
Key words: n-variate functions; differential mean-value theorem; auxiliary functions
1．引言
微分中值定理是微分学中的重要基本定理，是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论[1].在实际应用中，很多情况下都要突破一元微分学和平面领域这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具，这就需要把它进行推广，使之也能够在n元微分学和n维空间下得以使用.文献[2]给出了n元函数的拉格朗日公式、罗尔定理的公式及柯西公式；文献[3]给出了二元函数的微分中值定理；文献[4]给出了多元函数的一阶泰勒公式；文献[5]和文献[6]给出了二元函数的n阶泰勒公式.本文在文献[3]中的二元函数微分中值定理的基础上给出了与文献[2]不同描述及证明过程的n元函数的微分中值定理，并在文献[7]给出的微分中值定理的一种新的证明方法的基础上给出了n元函数的柯西定理的另一种证明方法，以及在文献[4]、[5]、[6]中的多元函数的一阶及n阶泰勒公式的基础上给出了n元函数的一阶及n阶泰勒公式及详细的证明，并讨论了n元函数的微分中值定理的应用.
2． n 元函数的微分中值定理
我们考虑n 维欧氏空间n R ，f 是n R 的某个子集A 到1R 的某个子集B 的映射，即f 为n 元函数.n R D ?.
若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域.若D 为凸区域，则对任意两
点D x x x P x x x P n n ∈),,,(),,,,(2120
02011 和一切)10(≤≤λλ，恒有
.))(,),(),((0
00220201101D x x x x x x x x x P n n n ∈-+-+-+λλλ
2.1 n 元函数的拉格朗日定理
定理 1 设n 元函数f 在凸开域n R D ?上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈?+?+?+ )1,0(∈?θ，使得
.
),,,()
,,,(),,,(1
0220110020100220110∑
=??+?+?+'=
-?+?+?+n
i i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i θθθ （1）
证明 令
),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+=Φ .)10(≤≤t
它是定义在]1,0[上的一元函数，由定理中的条件知)(t Φ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微.于是根据一元函数微分中值定理，)1,0(∈?θ，使得
).()0()1(θΦ'=Φ-Φ
由复合函数的求导法则
)
10(,),,(),,(),,()(1
01100110101101<
??+?+'++??+?+'=Φ'∑
=θθθθθθθθn
i i n n x n
n n x n n x x x x x x f x x x x x f x x x x x f i n
而
),,,(),,()0()1(0100110n n n x x f x x x x f -?+?+=Φ-Φ
所以
)
10(,),,,()
,,,(),,,(1
0220110020100220110<
-?+?+?+∑
=θθθθn
i i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i
在定理1中，若1=n 时，则由（1）式有
)))((()()(0000x x x x x f x f x f --+'=-θ， )10(<<θ
这就是一元函数的拉格朗日公式. 2.2 n 元函数的罗尔定理
当),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =?+?+时，（1）式就成为
.),,(01
0110∑
=??+?+'=
n
i i n n x x x x x x f i θθ )10(<<θ
这就是n 元函数的罗尔定理的公式.
定理 2 设n 元函数f 在凸开域n R D ?上连续，在D 的所有内点都可微，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈?+?+?+ 有
),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =?+?+，则)1,0(∈?θ，使得
0),,(1
0110=??+?+'∑
=n
i i n n x x x x x x f i θθ ， （2）
在定理2中，若1=n 时，则由（2）式有
).))(((0000x x x x x f --+'=θ
,0x x ≠
0))((00=-+'∴x x x f θ， )1,0(∈θ
即
0)(='c f ， ),(0x x c ∈
这就是一元函数的罗尔定理的公式. 2.3 n 元函数的柯西定理
定理3 设n 元函数f 和g 在凸开域n R D ?上连续，在D 内关于各个变元具有连续的
偏导数，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，
,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈?+?+?+ ∑=≠??+?+'
n
i i n n x x x x x x g i
1
01100),,(θθ ，
（其中10<<θ），则有
)
10(,),,(),,()
,,(),,(),,(),,(1
01101011001001100100110<
??+?+'=
-?+?+-?+?+∑∑
==θθθθθn i i
n n x n
i i
n n x n n n n n n x x x x x g x x x x x f x x g x x x x g x x f x x x x f i
i （3）
证法一 首先证明0),,(),,(0100110≠-?+?+n n n x x g x x x x g .用反证法，假设
),,(),,(0100110=-?+?+n n n x x g x x x x g ，即
),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g =?+?+.根据n 元函数的罗尔定理，)1,0(∈?θ，
使得 0),,(1
0110=??+?+'
∑=n
i i n n x x x x x x g i
θθ .
与已知条件∑=≠??+?+'n
i i n n x
x x x x x g i
1
01100),,(θθ 矛盾.其次作辅助函数 )],
,,(),,([)
,,(),,(),,(),,(),,(),,()(0100110010011001001100100110n n n n n n n n n n n n x x g x t x x t x g x x g x x x x g x x f x x x x f x x f x t x x t x f t -?+?+-?+?+-?+?+-
-?+?+=ψ
（其中10≤≤t ）
由定理中的条件知)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微,且0)0()1(=ψ=ψ,因此根据一元函数的罗尔定理,存在)10(<<θθ使得0)(=ψ'θ. 由复合函数的求导法则
,
),,()
,,(),,(),,(),,(),,()(1
01100
10011001001101
0110∑∑
==??+?+'-?+?+-?+?+-
??+?+'=ψ'n
i i n n x n n n n n n n
i i
n n x x x x x x g x x g x x x x g x x f x x x x f x x x x x f i
i θθθθθ
又0)(=ψ'θ.所以
)
10(,),,(),,()
,,(),,(),,(),,(1
01101011001001100100110<
??+?+'=
-?+?+-?+?+∑∑
==θθθθθn i i
n n x n
i i
n n x n n n n n n x x x x x g x x x x x f x x g x x x x g x x f x x x x f i
i
证法二 首先证明0),,(),,(0100110≠-?+?+n n n x x g x x x x g ，即
),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g ≠?+?+.为此，不妨先假设 ),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g =?+?+.令
),,(),,()(0100110n n n x x g x t x x t x g t G -?+?+=， )10(≤≤t
于是有0)0()1(==G G ，则在区间]1,0[上对函数)(t G 应用一元函数的罗尔定理，故
)1,0(∈?τ，使0)(='τG .
由复合函数的求导法则
∑=??+?+'
=
'n
i i n n x x x x x x g G i
1
0110),,()(τττ .
所以
0),,(1
0110=??+?+'
∑=n
i i n n x x x x x x g i
ττ .
但这与已知条件矛盾.故0),,(),,(0100110≠-?+?+n n n x x g x x x x g .再作辅助函数
)
10(),,,()],,(),,([),,()],,(),,([)(0110010011001100100110≤≤?+?+-?+?+-?+?+-?+?+=ψt x t x x t x f x x g x x x x g x t x x t x g x x f x x x x f t n n n n n n n n n n
显然,)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,并且有
)
,,(),,(),,(),,()0()1(01100100100110n n n n n n x x x x g x x f x x g x x x x f ?+?+-?+?+=ψ=ψ .
由于)(t ψ在]1,0[上连续,所以)(t ψ在]1,0[上可以取得最大值与最小值,又由于
)0()1(ψ=ψ,因此)(t ψ在开区间)1,0(内至少存在一点θ使)(t ψ在θ处取得最大值或最
小值,又)(t ψ在)1,0(内可导,根据费马定理,有0)(=ψ'θ,10<<θ. 由复合函数的求导法则
,
),,()],,(),,([),,()],,(),,([)(1
011001001101
01100100110∑∑==??+?+'-?+?+-??+?+'-?+?+=ψ'n
i i n n x n n n n
i i
n n x n n n x x x x x f x x g x x x x g x x x x x g x x f x x x x f i i
θθθθθ
又0)(=ψ'θ,
所以
)
10(,),,(),,()
,,(),,(),,(),,(1
01101011001001100100110<
??+?+'=
-?+?+-?+?+∑∑
==θθθθθn i i
n n x n
i i
n n x n n n n n n x x x x x g x x x x x f x x g x x x x g x x f x x x x f i
i
在n 元函数的柯西中值定理中,若n i x x x g i n ,,2,1,),,(1 ==时,(3)式就成为
)
10(,),,,()
,,,(),,,(1
0220110020100220110<
-?+?+?+∑
=θθθθn
i i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i
这就是n 元函数的微分中值定理的公式.
在n 元函数的柯西中值定理中,若1=n 时,则由(3)式就有
)10(,))
(())(()
()()()(000000<<-+'-+'=
--θθθx x x g x x x f x g x g x f x f
这就是一元函数的柯西中值定理的公式. 2.4 n 元函数的泰勒定理
定理 4 设函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,)(),,,(00220110P U x x x x x x n n ∈?+?+?+ ,则
)1,0(∈?θ,使得
,
)
,,,()
,,,(),,,(11
02010020100220110R x x x x x f x x x f x x x x x x f n
i i i
n n n n +???+
=?+?+?+∑
= （4）
其中
∑∑
==?????+?+?+?=
n
i n
i
j j i j
i n n x x x x x x x x x x f R 1
02201102
1)
,,,(!
21θθθ ,
称为Lagrange 余项[4]
.
证明 考虑函数
),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+= φ, 10≤≤t ,
则
),,,()0(02010n x x x f =φ,),,,()1(0220110n n x x x x x x f ?+?+?+= φ.
由于函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,从而复合函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+= φ在
0=t 的邻域内对t 有连续的一阶及二阶导数.由一元函数的泰勒公式可以得到
2
)(!
21)0()0()(t t t t θφφφφ''+
'+=, 10<<θ. （5）
由于
∑
=???+?+?+?=
'n
i i i
n n x x x t x x t x x t x f t 10220110)
,,,()( φ,
,
)
,,,())
,,,((
)(1
1
02201102
1
0220110∑∑
∑
===?????+?+?+?=
???+?+?+?=
''n
i n
j j i j
i n n n
i i
i
n n x x x x x t x x t x x t x f x x x t x x t x x t x f dt
d t φ
所以
∑
=???=
'n
i i i
n x x x x x f 1
02010)
,,,()0( φ,
∑∑
==?????+?+?+?=
''n i n
j j i j
i n n x x x x x t x x t x x t x f t 1
1
02201102
)
,,,()(θθθθφ ,
把)(),0(),0(t θφφφ'''代入(5)式后再令1=t ,便得到泰勒公式(4).
定理 5 设函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有1+n 阶连续偏导数,)(),,,(00220110P U x x x x x x n n ∈?+?+?+ ,则
)1,0(∈?θ,使得
,
),,,())
,,,((!
1)
,,,(),,,(1
1
0201002010020100220110n n
k n
i n k
i i
n n n n R x x x f x x x x x f k x x x f x x x x x x f +???+
=?+?+?+∑
∑
== （6）
其中
∑
=+?+?+???+=
n
i n n n i i
n n x x x x f x x x x x f n R 1
01101
02010),,()
)
,,,(()!
1(1θθ ，
称为拉格朗日型余项[5]
.
证明 作辅助函数
),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ?+?+?+= φ, 10≤≤t ,
则
),,,()0(02010n x x x f =φ,),,,()1(0220110n n x x x x x x f ?+?+?+= φ.
因为
),
,,())
,,,(()
,,,(01101
020101
0220110n n n
i i i
n n
i i
i
n n x t x x t x f x x x x x f x x x t x x t x x t x f dt
d ?+?+???=???+?+?+?=
∑
∑
== φ
∑
=?+?+???=n
i n n i i
n x t x x t x f x x x x x f dt
d 1
01102
020102
2),,())
,,(( φ.
用数学归纳法可以得到
),,())
,,,(()(01101
02010)
(n n n
i k
i i
n k x t x x t x f x x x x x f t ?+?+???=∑
= φ
. ),,2,1(n k =
由一元泰勒公式
)()!
1(1)0(!
1)0(!
21)0()0()1()
1()
(θφ
φ
φφφφ+++
+
+''+
'+=n n n n ，)10(<<θ. （7）
将),,,()0(02010n x x x f =φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ?+?+?+= φ，)0()
(n φ代入
（7）式得
,
),,())
,,,((!
1)
,,())
,,,((!
21)
,,())
,,,((),,(),,(1
010020101
0102
020101
010020100100110n n
i n n
i i
n n
i n i i
n n
i n i i
n n n n R x x f x x x x x f n x x f x x x x x f x x f x x x x x f x x f x x x x f +???+
+???+
???+=?+?+∑
∑
∑
===
∑
=+?+?+???+=
n
i n n n i i
n n x x x x f x x x x x f n R 1
01101
02010),,()
)
,,,(()!
1(1θθ ，)10(<<θ.
3 n 元函数微分中值定理的应用
例 1. 设n 元函数f 在凸开域n R D ?上可微，D 上取定一点),,,(020100n x x x P ，且D x x x x x x P n n ∈?+?+?+?),,,(0220110 ，有n i P f i
x ,,2,1,0)( =='，则D P ∈?，
有
C P f =)(（常数）
，即)(P f 是常数函数.
证明 n 元函数f 在D 上满足n 元函数的拉格朗日定理的条件，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈?θ，使得
,
),,,()
,,,(),,,(1
0220110020100220110∑
=??+?+?+'=
-?+?+?+n
i i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i θθθ
因为点D x x x x x x P n n ∈?+?+?+),,,(02201101θθθ ，所以0)(1='P f i
x .
所以),,(),,,(020*********n n n x x x f x x x x x x f =?+?+?+.
设C x x x f n =),,,(02010 ，即D P ∈?，有C P f =)(（常数），即)(P f 是常数函数.
例2. 若n 元函数f 和g 在凸开域n R D ?上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，D 上取定一点
,,,(020100n x x x P ，且
D x x x x x x P n n ∈?+?+?+?),,,(0220110 ，有n i P g P f i
i x x ,,2,1),()( ='='.且 0),,(1
0110≠??+?+'
∑=n
i i n n x x x x x x g i
θθ （其中10<<θ）
，则D P ∈?，有 C P g P f +=)()(，其中C 是常数.
证明 因为n 元函数f 和g 在D 满足n 元函数的柯西定理的条件，则
)
10(,),,(),,()
,,(),,(),,(),,(1
01101011001001100100110<
??+?+'=
-?+?+-?+?+∑∑
==θθθθθn i i
n n x n
i i
n n x n n n n n n x x x x x g x x x x x f x x g x x x x g x x f x x x x f i
i
D x x x x P n n ∈?+?+),,(01101θθ ，)()(11P g P f i
i x x '='∴，n i ,,2,1 =. ∑∑==?'
=
?'∴n
i i x n
i i x x P g x P f i
i
1
11
1)()(，
)
,,(),,(),,(),,(01001100100110n n n n n n x x g x x x x g x x f x x x x f -?+?+=-?+?+∴，
()([)()(0
0P g P f P g P f -+=∴，
设C P g P f =-)()(00（常数），即D P ∈?，有C P g P f +=)()(，其中C 是常数.
例3.
证明：设n 元函数f 在凸开域n R D ?上可微，对D 内任意两点
),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈?+?+?+ 有
),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =?+?+，且D P a P f i x ∈?=',)(（a 是常数且0≠a ），
n i ,,2,1 =.则
01
=?∑=n
i i
x
.
证明 因为n 元函数f 在D 上满足n 元函数的罗尔定理的条件，所以)1,0(∈?θ，使得
0),,(1
0110=??+?+'∑
=n
i i n n x x x x x x f i θθ ，
因为点D x x x x P n n ∈?+?+),,(01103θθ ，有a P f i
x =')(3，n i ,,2,1 =.所以
01
=?∑=n
i i
x
a ，
01
=?∑=n
i i x a ，所以01
=?∑=n
i i x .
例4.
通过对z y x z y x f sin sin sin ),,(=施用中值定理，证明对某)1,0(∈θ，有
6
cos
4
sin
3
sin
6
6
sin
4
cos
3
sin
4
6
sin
4
sin
3
cos
3
8
6πθ
πθ
πθ
π
πθ
πθ
πθ
π
πθ
πθ
πθ
π
+
+
=
.
证明 三元函数z y x z y x f sin sin sin ),,(=在凸开域3R D ?上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点D z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+),,(),,,(11111121111，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈?θ，使得
,
),,(),,(),,(),,(),,(111111111111111111111111111111z z z y y x x f y z z y y x x f x z z y y x x f z y x f z z y y x x f z y x ??+?+?+'+??+?+?+'+??+?+?+'=-?+?+?+θθθθθθθθθ
即
,
)cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()sin()cos(sin sin sin )sin()sin()sin(111111111111111111111111111111z z z y y x x y z z y y x x x z z y y x x z y x z z y y x x ??+?+?++??+?+?++??+?+?+=-?+?+?+θθθθθθθθθ
令6
,4
,3
111π
π
π
=
?=
?=
?z y x ，则
,
6
)6
cos()4
sin()3
sin(4
)6
sin()4
cos()3
sin(3
)6
sin()4
sin()3
cos(sin sin sin )6
sin()4
sin()3
sin(1111111111
11111πθπθπθππθπθπθππθπθπθππππ?
+
+
+
+?++++?+++=-+
+
+
z y x z y x z y x z y x z y x
取0,0,0111===z y x ，则
,
6
cos
4
sin
3
sin
6
6
sin
4
cos
3
sin
4
6
sin
4
sin
3
cos
3
6
sin
4sin
3
sin θπ
θπ
θπ
π
θ
π
θπ
θπ
π
θπ
θπ
θπ
π
π
π
π
+
+
=
即
6
cos
4
sin
3
sin
6
6
sin
4
cos
3
sin
4
6
sin
4
sin
3
cos
3
86πθ
πθ
πθ
π
πθ
πθ
πθ
π
πθ
πθ
πθ
π
+
+
=
.
例5[8]. 若在区域n R D ?内f 的诸偏导数)(P f i
x '),,2,1(n i =存在、有界，则f 在
D 内连续.
证明 设M P f i
x ≤'|)(|，D P ∈，n i ,,2,1 =.任取D P ∈，设
),,,(2211n n x x x x x x P P ?+?+?+=?+ 与连接P 及P P ?+的直线段（设||P P ?=充
分小）全部包含在D 内，则由n 元函数的拉格朗日定理，得
∑∑∑===?=?≤???+'≤
??+'=-?+n
i i
i n
i x n
i i x x
nM P nM x P P f x P P f P f P P f i i 1
2
1
1
)
(|||||)(|
|)(||)()(|θθ.
其中，10<<θ.
于是，0>?ε，nM /εδ=?，使当δ
ε<-?+|)()(|P f P P f .
所以f 在点P 连续.由P 的任意性知f 在D 内连续.
例6[9]. 将函数xyz z y x z y x f 3),,(333-++=在点（1，1，1）展成泰勒公式. 解 0)1,1,1(=f .
0)1,1,1()1,1,1()1,1,1(='='='z y x f f f ，6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(=''=''=''zz yy xx
f f f ， 3)1,1,1()1,1,1()1,1,1(-=''=''=''zx yz xy f f f ，6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(333='''='''='''z
y x f f f ， 0)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(222222='''='''='''='''='''='''xz
zy yx zx yz xy
f f f f f f ， 3)1,1,1(-='''xyz
f . 高于3阶的偏导数都恒为0.于是，由n 元函数的泰勒公式，有
).
1)(1)(1(3)1()1()1()]1)(1()1)(1()1)(1()1()1()1[(33),,(3
3
3
2
2
2
3
3
3
-----+-+-+----------+-+-=-++=z y x z y x x z z y y x z y x xyz
z y x z y x f
4．结 论
微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体
性质的有力工具.本文将一元函数微分中值定理推广到n 元，得到了n 元函数的微分中值定理，并讨论了一些具体应用.虽然本文的结论在表述与证明上与前人有所不同，但推广的基本思路都是一致的.其实，对一元函数微分中值定理还可以从多个函数及高阶方面进行推广，有待于进一步研究.
参考文献
[1] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].北京:高等教育出版社,1992:203～346. [2] 胡龙桥.n 元函数的微分中值定理[J].工科数学,1994,10(4):263～265.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001:133～135. [4] 马知恩,王绵森.工科数学分析基础(下册)[M].北京:高等教育出版社,1998:51～55. [5] 罗汉,曹定华.多元微积分与代数[M].北京:科学出版社,1999:132～134. [6] 方企勤.数学分析(第三册)[M].上海:上海科学技术出版社,2002:70～71.
[7] 胡龙桥.微分中值定理的一种新的证明方法[J].天津工业大学学报,2001,20(4):70～72. [8] 周忠群.数学分析方法选讲[M].重庆:西南师范大学出版社,1990:313～315. [9] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(下册)[M].北京:高等教育出版社,1992:309～417.
指导教师评语：
微分中值定理是微分学的基本定理，很多人对该定理进行过研究。该文采用构造“辅助函数”的方法，将一元函数微分中值定理进行推广，得到了与前人不同描述及证明过程的n
元函数的微分中值定理，并讨论了推广后的一些具体应用。全文论证清晰，表达准确，写作规范，有创新，具有一定的科学意义。
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
高等数学教案--一元函数微分学的应用
高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='-
) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→
微分中值定理
微分中值定理 班级： 姓名： 学号：
摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使
()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：
微分中值定理及其应用
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
数学分析之微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.360docs.net/doc/488695788.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
微分与积分中值定理及其应用
第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
微分中值定理历史与发展
微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部
一元函数微分学综合练习题
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
微分中值定理及其在不等式的应用
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期
微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点
数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用
第五章 微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 331231.(1)30()[0,1]; (2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c -+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。 证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0. '()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈?==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021 01011 0202()0 (,),(,),'()'()0,'()0 (*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==?=+=??=+=?? 使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即 001022 0000102), (,),''(0)0,''()(1)0, 0,0,0. 2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。 当时,设方程12341112122313341112131 11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在 使得即有 1 12121 131321111222121321222 21212 2222212)0, '()0 (,),(,)''()''()0,''()(1)0 .''()(1)0 212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----??=+=??=+=?∈∈==?=-=??=-=??=+>= 于是就存在使得即 由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有 出现了矛盾。 因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
3[1]1微分中值定理 及其应用
3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?.
https://www.360docs.net/doc/488695788.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.