习题详解-第1章函数

习题1-1

1. 求下列函数的定义域： (1) 2

1

x

y x =

- ;

(2) 211

2

++-=

x x

y ； (3) 2sin 16y x x =+-； (4) 2lg(2)32y x x x =-++-.

2. 判断下列各组函数是否相同?

(1) 214

2

x y x -=-，22y x =+；

(2) 2

1lg y x =，22lg y x =,

(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2

2

sec tan g x x x =-．

3. 若()2

32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -.

4. 若()2

132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.

5. 设1()1x

f x x

-=+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。

6. 设1,20,

()1,02

x x f x x x --≤<⎧=⎨+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.

7．作出下列函数的图形：

(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;

0,

0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<>⎪⎩或

8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为

3

4

k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.

9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.

习题1-2

1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

(1) ()3

cos f x x x =； (2) 2

x x

e e y -+=；

（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+-

2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：

(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数； (2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

3. 证明函数1x

y x

=-在(1,)+∞内是单调增加的函数..

4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期.

5．已知函数)(x f 的周期为2，并且

()0,10;,0 1.x f x x x -<<⎧=⎨≤≤⎩

试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.

6．验证函数x

x f 1

)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.

习题1-3

1. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11x y x

-=

+； (2) 31

2x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x x

x x

y --+=+-．

2. 证明：()3

21f x x =-和(

)g x =

互为反函数.

3. 已知符号函数

1,0sgn 0,0,1,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

求x x y sgn )1(2

+=的反函数.

4.指出下列复合函数的复合过程? (1) sin 2x

y =； (2) ()2lg 1y x =+；(3)

y =

5.设()1

x

f x x =-()1x ≠,求()()f f x 。

6.设函数

2,1(),1,2,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=-≤⎨⎪->⎩

求()21f x +的表达式.

7.设1,1

()0,

1,1,1

x f x x x ⎧<⎪

==⎨⎪->⎩

()2x g x = ，求(())(()).f g x g f x ，

习题1-4

1. 求下列函数的定义域：

(1) ()arccos 32y x =-； （2） ()3arccos 1y x =-; （3）21

()ln(1)arcsin

3

x f x x -=++； （4）2

()ln(1)tan 2f x x x =-+ 2. 将下列函数分解成简单函数的复合.

(1) ln ln ln y x = (2);sin ln 2x y = (3) ;2

arctan x e y =

(4) ).12ln(cos 22x y ++=

习题1-5

1. 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?

(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

2. 某种商品的供给函数和需求函数分别为

P Q P Q s d 5200,1025-=-=

求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.

3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.

4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.

5.某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 求出本年的收益(入)函数.

6.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这