习题详解-第1章函数
《复变函数》(西安交大)习题解答--第1章习题
2
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22
z ( 3 )2 ( 5 )2 34 ，z 位于第四象限，故
2
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arg z arctg 5 , ••Argz arctg 5 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
3） z 26 7i 7 13i
2i
2
•Re(z) 7 , ••Im(z) 13, •• z 7 13i,
13
a r gz a r c t2g, ••A r g z a r c t2g 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
2） z i 3i(1 i) 3 5 i
2
22
Re(z) 3 , ••Im(z) 5 , •• z 3 5 i,
4) i 8 4i 21 i .
解：1） 1 3 2i 3 2 i 3 2i 13 13 13
Re(z) 3 , ••Im(z) 2 , z 3 2 i ,
13
13
13 13
z
( 3 )2 ( 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
,
z 位于第四象限，故
13 13
4. 证明
1） z 2 z z ;
2) z1 z2 z1 z2 ;
3) z1 z2 z1 z2 ;
4)
z1 z2
z1 z2
•, •z 2
0;
5) z z ;
6) Re(z) 1 (z z) , Im(z) 1 (z z ) .
2
2i
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高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；51.设），（），（∞+∞=55--A，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。
解：),5()3,(+∞-∞= BA)5,10[-=B A),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A)5,10[)()\(\--=--=B A A B A A5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1）x x g x x f lg 2)(,lg )(2==解：不同。
定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D),0(+∞=g D 。
（2）2)(,)(x x g x x f ==解：不同。
对应法则不同，即：值域不同。
),0[,+∞==g f R R R 。
（3）334)(xx x f -=，31)(-•=x x x g解：相同。
因为定义域和对应法（或值域）则相同。
（4）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==解：不同。
定义域不同，R D f =},1,0,2{ ±=+≠=k k x x D g ππ。
二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）；P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16.4.求下列函数的自然定义域：（1）23+=x y ；解：32023-≥⇒≥+x x 。
即：),32[+∞-=D 。
（3）211x x y --=； 解：⎩⎨⎧≤≤-≠⎩⎨⎧⇒≥-≠1100102x x x x 。
即：]1,0()0,1[ -=D 。
（5）x y sin =；解：0≥x 。
即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤⇒≤-≤-x x 。
即：]4,2[=D 。
（9）)1ln(+=x y解：101->⇒>+x x 。
即：),1(+∞-=D6.设,3,3,0,sin )(ππϕ≥<⎩⎨⎧=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--ϕπϕπϕπϕ，并作出函数的)(x y ϕ=图形解：32,34,34,36πππππππ≥-<-<<， 216sin 6==⎪⎭⎫⎝⎛∴ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，22)4sin(4=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππϕ，0)2(=-ϕ。
第一章 函数与极限习题
第一章 函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。
（2）函数的概念 设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。
记作y=f (x )。
数集D 称为函数的定义域。
（3）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。
（4）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。
2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。
（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。
（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。
定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。
定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。
高等数学-习题答案 -第一章
习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =+- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -= 解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫= ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x ==； 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞； 解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1xy x-=-是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇偶性． （1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． 解：依题意，arccos 32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r =∈． 解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+， （1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n > 取N＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2n ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε-<,则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-,||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>,存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<,同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？ 解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+； （4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时,对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-<,任给0ε>,要使|0|ε<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x a f x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=．证明: 由于lim ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+． (2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+ 且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+； （16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦= 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅．(5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--． (6) 3221lim 53xx x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx =111lim 2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x xx x →+=++．(11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0000lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在． 3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111lim lim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=-所以12111lim 1x x x e x -→--不存在。
1第一章-函数与极限答案
1第⼀章-函数与极限答案1第⼀章-函数与极限答案第⼀章函数与极限第⼀节映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称.（2）函数21()21f x x x=++-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则) 1(2+x f 的定义域是 {0} .（4）设b ax x f +=)(，则=-+=hx f h x f x )()()(? a .（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f xx 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2xx e e y --=的反函数为。
（7）函数1xy e -=-: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数:x =-ln(1-y 2), 0≤y <12. 选择题:（1）下列正确的是：(B ，C )A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同⼀函数.B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.C.<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数.(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且2122≤+≤-xx.（9）与2)(x x f =等价的函数是（）(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .3．设132)1(2--=-x xx g（1）试确定c b a ,,的值使 c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2；（2）求)1(+x g 的表达式解. 3 52)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a 4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数) (1x f -.解：-<+--=>-=-1,)1(06．已知2sin )(,cos 1))((xx x x f =+=??，求)(x f .解：)1(22x -；7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：（1） ()x f e解：由010()xx ex f e ≤≤?≤?的定义域为(,0]-∞.（2） (ln())f x解：由0ln 11(ln )x x e f x ≤≤?≤≤?的定义域为[1,]e .（3） (arctan )f x解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤?≤≤?的定义域为[0,tan1].（4）(cos )f x解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )22x n x n n f x ππππ≤≤?-≤≤+=±±?的定义域为[2,2],22n n n Z ππππ-+∈. 8．设 -0,0(),0x f x x x ≤?=?>?，20,0(),x g x x x ≤?=?->?，求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x 解：0,()00,0[()](),()0,0f x x f f x f x f x x x ≤≤?==>>??.20,()0[()](),()0g x g g x g x g x ≤?=?->?，⽽()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =. 0,()0[()](),()0g x f g x g x g x ≤?=?>?，⽽()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =.220,()00,0[()]().(),()0,e x g =)(，求)]([x gf 和)]([x fg ，并作出这两个函数的图形.解：>-=<=010001)]([x x x x g f>=<=-1111)]([1x e x x e x f g10.设220()0x x f x x x x ?≤=?+>?,求()f x -解： 22()0()()()0x x f x x x x ?--≤-=?-+-->?即：220()0x x f x x x x ?≥=?-11．10()0x f x xxx ?>?=??≤?，2()1g x x=+。
第1章复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)i231+ 解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131 解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解：i i i i ii 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i ii辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
微积分第2版-朱文莉第1章 函数习题详解
习题1.1(A)1、用区间表示下列点集。
(1) {}0x x ≠;解 由于实数全体为),(-∞+∞，因此 {}()0,0(0,)x x ≠=-∞⋃+∞ (2) {}45x x -<;解 由54<-x ，有91<<-x ，因此 {}45(1,9)xx -<=- (3) {}10x x +> 解 由01>+x ，有1->x 或1-<x ，因此{}10(,1)(1,)xx +>=-∞-⋃-+∞ (4) {}2560x x x ++<解 由0652<++x x ，有23-<<-x ，因此{}2560(3,2)x xx ++<=-- 2、用区间表示下列不等式所表示的集合。
(1) 25<-x 解 由25<-x ，有73<<x ，因此52(3,7)x x -<⇔∈(2) 4)2(02<-<x解 由4)2(02<-<x ，有220<-<x ，即40<<x ，且2≠x ，因此 20(2)4(0,2)(2,4)x x <-<⇔∈⋃(3) 73>+x解 由73>+x ，有4>x 或10-<x ，因此37(4,)(,10)x x +>⇔∈+∞⋃-∞-(4) 231x x +>-解 由231x x +>-，有32->x 或4-<x ，因此 2231(,4)(,)3x x x +>-⇔∈-∞-⋃-+∞ (B)1、设(,)a b 是一个有限的开区间，证明：对任何(,)x a b ∈一定存在x 的一个邻域(,)(,)oU x a b δ⊂。
证明 对任何),(b a x ∈，有b x a <<，记},min{a x x b --=δ，则0>δ。
下面我们来证明(,)(,)o U x a b δ⊂。
第一章 习题1-3 函数极限
1
。1 。
图1 3( 2 )
。.
1
.o
y f (x)
。
2
x
。
1
。 o
.
1
y 。
f (x)
x
2
1
图1 3(3)
x 0 x 0
(1) lim
x 1
f (x) 1 ;
( 2 ) lim
x 1
f ( x ) 不存在 ; ( 3 ) lim f ( x ) 0 ; ( 4 ) lim f ( x ) 1;
高等数学作业讲评
第一章 习题1-3 函数极限
1 . 对图 1 3 (1) 所示的函数
(1) lim f ( x );
x 2
f ( x ), 求下列极限，若极限不
( 2 ) lim f ( x );
x 1
存在，说明理由
( 3 ) lim f ( x );
x 0
.
y
y f (x)
y
1;
x 0
x
lim ( x ) lim
x 0
x
1;
(0 0) (0 0)
.
x 0
x
所以 在 x 0 时 , f ( x ) 的极限存在
.
而 ( x ) 的极限不存在
5 . 设函数
e 1, x 0 f (x) , 要使极限 2 x b, x 0
(8 ) 错 .
4. 求 f ( x)
x x
和 (x)
x x
当 x 0 时的左、右极限，并说
明它们在
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
第1章复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解1．求下列复数的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：z 1)i231+解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im 共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+模：1311323231222=+=+i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2)ii i --131解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im 共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛--模：234434253131222==+=--ii i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4)ii i +-2184解：ii i i i i 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im 共轭复数：()ii i i 314218+=+-模：1031422218=+=+-i ii 辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg 2．当、等于什么实数时，等式成立？x y ()i iy i x +=+-++13531解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
第1章函数的连续性习题集及答案
第一章 习题三 函数的连续性一. 选择题1．设函数)(x f 在点0x 处右连续且0)(0>x f ，则下列结论不正确的是（ C ） （A ）在某个),[0b x 上有0)(>x f ； （B ）在某个),[0b x 上)(x f 有界； （C ）在某个)(0x U 上有0)(>x f ； （D ）在某个],[0b x 上)(x f 有界． 2．下列结论正确的是（ B ）（A ）若)(x f 在点0x 处有定义且极限存在，则)(x f 在0x 处必连续；（B ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续；（C ）若)(x f 与)(x g 点0x 处都不连续，则)()(x g x f +在点0x 处必不连续； （D ）若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f ⋅在点0x 处必不连续．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=--1,01,)(11x x e x f x 在1=x 处（ C ）（A ）连续； （B ）左连续； （C ）右连续； （D ）左右都不连续． 4．0=x 是函数21cos x xx +的（ B ）（A ）连续点； （B ）可去间断点； （C ）无穷间断点； （D ）振荡间断点．5．函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．函数()f x = B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 7．函数11()tan ()()xx e e x f x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是（ A ）（A ）0x = （B ）1x = （C ）2x π=- （D ）2x π=8．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界：（ A ）（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)二．填空题1．设)1ln(1)(x xx f -=，要使)(x f 在0=x 处连续，则需补充定义___________(0)1f =-．2．设函数tan 21,0()arcsin 2,0xxe x xf x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩在0x =处连续，则________2a =-3．2ln(1)0___________sin limcos(21)1x xx x xπ++→+-=-． 4．0___________1)0x →=． 5．若)(x f 在1=x 处连续，且112)(lim 1=--→x x f x ，则___________(1)2f =． 6．已知函数()f x 连续，且[]21cos ()lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则______(0)2f =7．函数65ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 3 个，它们是 1,0,6 -．8．函数2sin ()lim1(2)nn xf x x π→∞=+的间断点的个数为_______2. 9．设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为_________0x =。
《一元函数微积分》习题解答第一章
《一元函数微积分》 习题1—11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1]. （3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=.解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x xy 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么? (1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g xxx f ==. 解: 相同因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x xxx f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin 2sin )sin()()(xx x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f 由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f 所以有:82=a 且3=+b a 得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数.(3)2211x x y +-=;解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数. (4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数既非奇函数又非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数. (2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数. 且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L .)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴即 )()(21x f x f ->- )()(21x f x f < 所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =; 解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域. (1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞. (2) ua y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u . (2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数: (1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin yx =. 得反函数: 2arcsinx y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x .得反函数: 21-=-x ay反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-.(3) 122+=x xy .解: 121112112122+-=+-+=+=xx x x x y 由于112>+x, 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x-=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元; 当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元; 当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ; 当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式. 解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p . 达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p得282.107165±=p又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系; (2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数. 由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F) (2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F) 习题1－2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+nn 1111，即ε1>n 。
高等数学习题及解答 (1)
普通班高数作业（上）第一章 函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由： （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y =与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。
解：判断两个函数的定义域和对应法则是否相同。
（2）)sin(arcsin x y =定义域不同，因此两个函数不同； （4）x x y ==2，两个函数相同；（6）)arctan(tan x y =定义域不同，因此两个函数不同；（8）)(x f y =与)(y f x =定义域和对应法则都相同，因此两个函数相同。
2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（2）xx x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）xey xln 111-+=。
解：（2）)0,2[-∈x ；（3）]1,0()0,1[22--⋃-∈e e x ； （7）),(),0(+∞⋃∈e e x 。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ，求)()(x f x f -+。
解：按0>x ，0=x ，0<x 时，分别计算得，⎩⎨⎧=-≠=-+0200)()(x x x f x f 。
4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）： （2）24x x y -=； （4）x x y -=。
解：（2）22)2(44--=-=x x x y 单增区间为]2,0[，单减区间为]4,2[。
（4）⎩⎨⎧≥<-=-=002x x x x x y ，定义域为实数集，单减区间为),(+∞-∞。
5、讨论下列函数的奇偶性：（2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=； （7）⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。
(完整版)《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 .5、=-∞→x e x x arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=.14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~.3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
高等数学习题详解-第1章 函数
习题1-11. 求下列函数的定义域： (1) 21x y x =- ; (2) 2112++-=x xy ；(3) y = (4) lg(2)y x =-+.解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足210x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。
⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩ 因此函数的定义域是[2,1)(1,1)(1,---+∞ 。
⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2sin 0,160 ,x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),4 4 ,k x k x ππ≤≤+⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[4,][0,]ππ-- 。
⑷ 要使式子有意义，x 必须满足220,320 ,x x x ->⎧⎨+-≥⎩即2,1 3 ,x x <⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[1,2)-2. 判断下列各组函数是否相同? (1) 2142x y x -=-，22y x =+；(2) 21lg y x =，22lg y x =,(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()22sec tan g x x x =-． 解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若()232f x x x =-+，求()1f ，()1f x -.解：()10f =，()221(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+4. 若()2132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()22131256f t t t t t =---+=-+，所以()256f x x x =-+，()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。
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习题1-11. 求下列函数的定义域： (1) 21xy x =- ;(2) 2112++-=x xy ； (3) 2sin 16y x x =+-； (4) 2lg(2)32y x x x =-++-.2. 判断下列各组函数是否相同?(1) 2142x y x -=-，22y x =+；(2) 21lg y x =，22lg y x =,(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()22sec tan g x x x =-．3. 若()232f x x x =-+，求()1f ，()1f x -.4. 若()2132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.5. 设1()1xf x x-=+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
6. 设1,20,()1,02x x f x x x --≤<⎧=⎨+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.7．作出下列函数的图形：(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<>⎪⎩或8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为34k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.习题1-21. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1) ()3cos f x x x =； (2) 2x xe e y -+=；（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+-2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数； (2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.3. 证明函数1xy x=-在(1,)+∞内是单调增加的函数..4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期.5．已知函数)(x f 的周期为2，并且()0,10;,0 1.x f x x x -<<⎧=⎨≤≤⎩试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.6．验证函数xx f 1)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.习题1-31. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11x y x-=+； (2) 312x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x xx xy --+=+-．2. 证明：()321f x x =-和()g x =互为反函数.3. 已知符号函数1,0sgn 0,0,1,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求x x y sgn )1(2+=的反函数.4.指出下列复合函数的复合过程? (1) sin 2xy =； (2) ()2lg 1y x =+；(3)y =5.设()1xf x x =-()1x ≠,求()()f f x 。
6.设函数2,1(),1,2,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=-≤⎨⎪->⎩求()21f x +的表达式.7.设1,1()0,1,1,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩()2x g x = ，求(())(()).f g x g f x ，习题1-41. 求下列函数的定义域：(1) ()arccos 32y x =-； （2） ()3arccos 1y x =-; （3）21()ln(1)arcsin3x f x x -=++； （4）2()ln(1)tan 2f x x x =-+ 2. 将下列函数分解成简单函数的复合.(1) ln ln ln y x = (2);sin ln 2x y = (3) ;2arctan x e y =(4) ).12ln(cos 22x y ++=习题1-51. 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?2. 某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.5.某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 求出本年的收益(入)函数.6.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.7.某企业生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该企业生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元.(1)求利润函数；(2)为获得最大利润, 出厂价格应为多少?8.已知某产品的成本函数与收入函数分别是254C x x =-+，2R x = 其中x 表示产量，试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.复习题1 （A ）1.下列函数不相等的是( ) （A ） ()33f x x =，()g x x =； （B ） ()2f x x =，()g x x =；（C ） ()2sin 31y x =+，()2sin 31u t =+；（D ）21()1x f x x -=-，()1g x x =+.2.求下列函数的定义域： （1）12arcsiny x x=-； （2） 13ln(1)y x x =+-;（3）()sin 2cos y arc x =.3. 函数1sin ,0,0,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域为 ，值域为 . 4. 设1,10,()1,02x f x x x -≤≤⎧=⎨+≤≤⎩，则()1f x -= .5.判断下列函数的奇偶性： （1） ()f x =；（2） 22sin x xy e e x -=-+.6.判断下列函数在定义域内的有界性及单调。
(1) 21xy x =+； （2） ln y x x =+.7.设y =f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域： (1) ()2f x ； (2) ()sin f x ；(3) ()f x a + ()0a >； (4) ()()f x a f x a ++- ()0a > .8. 设()2xf x =，()lng x x x =，求()()f g x ，()()g f x ，()()ff x 和()()g g x .9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） ()1231y x =+；（2）11arccos3y x=+.10.设()f x 定义在(),-∞+∞上，证明： （1）()()f x f x +-为偶函数； （2）()()f x f x --为奇函数.11.邮局规定国内的平信，每20g 付邮资0.80元，不足20g 按20g 计算，信件重量不得超过2kg ，试确定邮资y 与重量x 的关系.（B ）1. 求函数245sin )3lg()(x x xx x f -++-=的定义域.2．设,21,210,1)(⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f 求函数)3(+x f 的定义域.3．下列函数是奇函数的是 ( )，是偶函数的是 ( ).A . 11ln (11)11x xe xy x e x--=-<<++；B . )1ln(2x x y ++=；C . +cos 2x xe e y x --=；D . 2sin x xe e y x x-+=+.4. 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求).(x f5. 设函数)(x f 为定义域(,+)-∞∞上的奇函数，(1)f k =，且对任意x 满足(2)(2)().f x f f x +-=(1) 求(2)f 与(5)f ；(2) 问k 为何值时，)(x f 是以2为周期的函数.6. 设函数)(x f 的定义域为(,)a a -，证明必存在(,)a a -上的偶函数)(x g 及奇函数),(x h 使得 ).()()(x h x g x f +=7．若)(x f 对其定义域上的一切x , 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x = 证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.8. 已知(sin )3cos 2f x x =-, 求(cos )f x .9. 已知()ln(1)f x x =-, [()]f g x x =, 求()g x .10. 设1()3()21x f f x x x +=--，求)(x f .。