拉格朗日插值公式的证明及其应用(最新整理)
拉格朗日多项式插值公式
拉格朗日多项式插值公式拉格朗日多项式插值公式，这可是数学里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是拉格朗日多项式插值公式。
简单来讲，它就是在一堆给定的点之间，找到一个能把这些点都串起来的多项式函数。
就好像你有几个好朋友，他们的身高体重是已知的，然后通过这个公式就能找出一个规律，来预测没测量过的人的身高体重大概是多少。
比如说，有这么一组数据：（1，2），（2，4），（3，6）。
那拉格朗日多项式插值公式就能帮咱们找到一个函数，比如说 f(x) = 2x ，这个函数就能很好地通过这几个点。
那这公式咋来的呢？这可费了数学家们不少脑筋。
它可不是凭空就冒出来的，而是经过了无数次的思考和推导。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我当时就笑了，跟他们说：“同学们，假设你们去买水果，苹果的价格每天都不一样，咱们知道了前几天的价格，用这个公式就能大概算出明天的价格，是不是很神奇？”这时候，孩子们才似懂非懂地点点头。
在实际应用中，拉格朗日多项式插值公式用处可大了。
比如在工程领域，测量数据不连续的时候，就靠它来帮忙拟合出一个比较准确的函数；在经济学里，分析一些数据的趋势也能派上用场。
不过，学习这个公式可不是一件轻松的事儿。
它需要咱们对代数运算很熟练，还得有一定的逻辑思维能力。
有的同学一开始可能会觉得有点晕乎，但别着急，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就能掌握其中的窍门。
就像我之前教过的一个学生，刚开始怎么都搞不明白，作业错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，一点点地讲解，带着他一步步推导。
后来啊，他终于开窍了，在考试中遇到相关的题目都能做对，那高兴劲儿，别提了！总之，拉格朗日多项式插值公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，就能发现它的魅力所在。
说不定在未来的某一天，当你解决一个难题或者完成一个项目的时候，它就会成为你的得力助手呢！所以，同学们，加油吧，和这个有趣的公式交个朋友！。
拉格朗日插值公式变形
拉格朗日插值公式变形
拉格朗日插值公式的变形可以通过改变变量和系数来实现，下面是一个例子：
拉格朗日插值公式可以表示为$f(k)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$。
如果我们将$x_i$代入公式，那么只要第$i$项存在（不为$0$），其他项都是$0$（因为其他项的分子一定会存在$x_j-x_j$或$x_i-x_j$，导致分子是$0$），且$\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$项一定是$1$。
这样我们就得到了一个$n$次多项式。
为了减少计算复杂度，可以采用连续取值的方法，假设$x=1,2,3,\ldots,n$，将这些数代入公式，得到化简版：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-j)(i-j)$
分子可以通过预处理前缀积$\prod_{j=1}^{n}(k-j)\prod_{j=1}^{n}(k-j)$得到；分母可以通过预处理阶乘得到。
这样得到了$O(n)$的算法，公式如下：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\pre{i-1}×suf{i+1}(fac(i)×fac(n-i))$
其中，$\pre{i-1}$和$suf{i+1}$分别表示前缀和后缀运算，$fac(n-i)$表示阶乘运算。
拉格朗日插值的应用
拉格朗⽇插值的应⽤引⾔：什么是拉格朗⽇插值？假设我们现在有三个点 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，现在我们要找⼀条唯⼀的⼆次曲线刚好经过这三个点。
拉格朗⽇给出了⼀个绝妙的⽅法，他把我们要求的曲线的表达式等同于三个函数的累加。
具体是这么操作的：第⼀个函数保证f1(x1)=1,f1(x2)=f1(x3)=0第⼆个函数保证f2(x2)=1,f2(x1)=f2(x3)=0第三个函数保证f3(x3)=1,f3(x1)=f3(x2)=0那么我们所要求的函数即为:f(x)=y1f1(x)+y2f2(x)+y3f3(x)可以保证的是这个函数同时经过(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)并且是唯⼀的满⾜条件的⼆次函数。
公式：如果上⾯的部分你看懂了，那么你已经掌握了拉格朗⽇插值的⽤法和思想。
接下来我们要做的就是寻找⼀个公式使得利⽤现在已有的n个点，来推导出n−1次的函数。
那么这个函数为:f(x)=∑n i=1y i∏nj=1,j≠i x−x j x i−x j实现：⼀般情况下拉格朗⽇插值的复杂度是O(n2)，即：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e6+100;typedef long long ll;const ll mod = 998244353;struct point{ll x,y;}p[N];int n,k;ll qpow(ll a,ll b,ll mod){ll ans=1;while(b){if(b&1){ans=(ans%mod*a%mod)%mod;}a=(a%mod*a%mod)%mod;b>>=1;}return ans%mod;}ll Lagrange(int k){ll ans=0;for(int j=1;j<=n;j++){//ll base1=1;ll base2=1;for(int i=1;i<=n;i++){//lj(k)基函数if(j==i) continue;base1=(base1%mod*((k-p[i].x)%mod+mod)%mod)%mod;base2=(base2%mod*((p[j].x-p[i].x)%mod+mod)%mod)%mod;}ans=(ans%mod+(p[j].y%mod*base1%mod*qpow(base2,mod-2,mod)%mod)%mod)%mod; }return ans;}int main(){cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;cout<<Lagrange(k)<<endl;return 0;}如果已知的坐标是连续的话，那么我们可以通过预处理使得复杂度变为O(n),代码以为例。
【学习笔记】拉格朗日插值
【学习笔记】拉格朗⽇插值学习多项式的第⼀步。
参考资料：1.拉格朗⽇插值法的简介问题：解法1：⾼斯消元显然deg⩾n的多项式有⽆穷个，因为根据⾼斯消元，⼀定会出现⾃由元。
直接把这n个点列出⽅程组，⽤⾼斯消元求解。
求出多项式后再求出f(k)即可。
时间复杂度O(n3).解法2：拉格朗⽇插值法给出⼀个关于点(x i,y i)的基函数：g(k)=1⩽j⩽n∏j≠ik−x jx i−x j容易发现：∀j≠i,g(x j)=0.因为累乘中总有k=x j,使得k−x j=x j−x j=0,g(x j)=0.对于j=i,g(x j)=1.因为累乘中每⼀项均为x i−x jx i−x j=1,g(xj)=1.于是我们的多项式就可以表⽰为：f(k)=n∑i=1y i×1⩽j⩽n∏j≠ik−x jx i−x j这样∀(x i,y i),f(x i)=y i,也可以据此求出f(k).⼤概因为要求逆元，所以时间复杂度为O(n2+n log n)=O(n2). code:#include <bits/stdc++.h>#define ll long longusing namespace std;int n;const ll mod = 998244353;ll x[2011], y[2011], k, ans;ll ksm(ll s1, ll s2) {if(!s2) return 1;if(s2 & 1) return s1 * ksm(s1, s2 - 1) % mod;ll ret = ksm(s1, s2 / 2);return ret * ret % mod;}int main() {scanf("%d%lld", &n, &k);for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &x[i], &y[i]);for(int i = 1; i <= n; i++) {ll sum = 1, mul = 1;for(int j = 1; j <= n; j++) {if(i == j) continue;sum *= (k - x[j]); sum %= mod; sum += mod; sum %= mod;mul *= (x[i] - x[j]); mul %= mod; mul += mod; mul %= mod;}sum *= ksm(mul, mod-2); sum %= mod;ans += (sum * y[i]) % mod; ans %= mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;}2.拉格朗⽇插值法的拓展问题：同上，加⼊x i的值连续的限制。
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。
对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。
可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：形参与函数类型参数意义intn节点的个数doublex[n]（double*x）存放n个节点的值doubley[n]（double*y）存放n个节点相对应的函数值doublep指定插值点的值doublefun()函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值#include<iostream>#include<math.h>usingnamespacestd;#defineN100doublefun(double*x,double*y,intn,doublep);voidmain(){inti,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;doublex[N],y[N],p;cout<<"pleaseinputxiangliangx="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"pleaseinputxiangliangy="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"pleaseinputLagelangrichazhiJieDianp="<<endl;cin>>p;cout<<"TheAnswer="<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause");}doublefun(doublex[],doubley[],intn,doublep){doublez=0,s=1.0;intk=0,i=0;doubleL[N];while(k<n){if(k==0){for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];returnz;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。
导数推广的拉格朗日插值公式及其在密文训练神经网络中的应用
张健毅（１９８２－） ，男，通信作者，博士，主要研究方向为隐私保护。 Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｚｊｙ＠ ｂｅｓｔｉ． ｅｄｕ． ｃｎ
第 ３２ 卷
导数推广的拉格朗日插值公式及其在密文训练神经网络中的应用
· ５１·
全同态加密（ ＦＨＥ） 的密码技术为平衡数据
是个很好的解决上述问题的方案，由于基于全同
深度神经网络是机器学习领域的一种功能
强大的技术。 使用深度神经网络的解决方案包
态加密的密文运算只支持加法和乘法，如何将非
括两个主要阶段，即训练和推理：在识别和管理
线性的激励函数转换为只有加法和乘法的逼近
适当的数据集后，建立网络体系结构，
多项式，同时满足神经网络和密文运算的性能要
完整训练过程，且在安全性、效率和准确性方面
预测实验， 并没有实现真正的密文预测。 ２０１８
还有很多不足之处，因此还需要对传统的方案继
ｇｉｓｔｉｃ 回归方案，设计了基于 ｓｉｇｍｏｉｄ 逻辑函数的
训练落地，以适合更为实际广阔的应用场景。
年，Ｋｉｍ ［５］ 等人设计了基于同态加密的安全 Ｌｏ⁃
最小二乘近似。
过给定插值点个数，给出其插值节点具体的函数
数。 深度神经网络中的训练过程可以分为卷积、
值和导数值，再通过联立方程组求解。
池化、全连接和激励函数操作，卷积层和全连接
埃尔米特插值一般通过要求节点的插值函
层只有加法和乘法操作，可以使用同态加法和同
数值相等，导数值也相等，甚至高阶导数也相等
态乘法来代替；池化层可以使用平均池化来代替
其 中
功能的方法存在不足之处：
（１） 泰勒展开式：虽然一阶的泰勒展开式常
拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值公式的证明及其应用$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i) \cdot \prod_{j=0 \atop j\neqi}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$P(x)$是通过已知点$(x_i,f(x_i))$来近似估计函数的多项式，$n$是已知点的数量。
一.证明拉格朗日插值公式：我们首先定义一个函数：$$L_i(x) = \prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$L_i(x)$称为拉格朗日基函数。
注意到当$x=x_i$时，除了$L_i(x_i)$外，其他$L_j(x_i)$都等于零。
我们假设存在一个函数$P(x)$满足以下条件：$$P(x) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x) \quad \quad (1)$$我们知道$P(x)$为$n$次多项式，同时对所有已知点$(x_i,f(x_i))$有$P(x_i)=f(x_i)$。
现在我们来证明公式(1)中$P(x)$满足以上条件：当$x=x_i$时，我们有：$$P(x_i) = \sum_{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x_i) = f(x_i)\cdot 1 \cdot\prod_{j=0 \atop j\neq i}^{n}\frac{x_i-x_i}{x_i-x_j} = f(x_i) $$所以对于已知点$(x_i,f(x_i))$，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$。
接下来我们证明公式(1)为$n$次多项式。
我们可以注意到，每个$L_i(x)$至多是$n$次多项式，而$f(x_i)$是一个常数。
因此，公式(1)中每一项乘积的次数至多是$n$次。
那么$P(x)$的次数至多也是$n$次。
所以公式(1)中的$P(x)$是一个$n$次多项式。
综上所述，公式(1)满足条件$P(x_i)=f(x_i)$，且$P(x)$为$n$次多项式，所以它是一个满足要求的函数。
拉格朗日插值公式证明过程
拉格朗日插值公式证明过程好嘞，咱来唠唠拉格朗日插值公式的证明。
你可以把函数想象成一个调皮的小怪兽，它在各个点上有着不同的值，就像小怪兽在不同的领地有着不同的魔法力量。
我们呢，就想找到一个魔法公式，能在知道这个小怪兽在几个特定点的魔法力量（函数值）后，推测出它在其他点的魔法力量。
我们先假设有n + 1个点，这些点就像是小怪兽在不同地方的魔法据点。
我们要构造一个多项式，这个多项式就是能打败小怪兽（准确描述函数）的神器。
我们先搞一些小零件，对于每个据点（点），我们构造一个特殊的小魔法（多项式）。
这个小魔法在自己对应的据点上是老大（值为1），在其他据点就像个小透明（值为0）。
这就好比每个据点都有一个专属的小卫士，只在自己的地盘耀武扬威。
然后呢，我们把这些小魔法组合起来，就像把各个小卫士集合起来组成一个超级战队。
这个超级战队就是我们要的拉格朗日插值多项式啦。
从数学上来说，我们设这些点是(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)。
对于每个点xi，我们构造的小魔法Li(x)就像一把特制的钥匙。
这个钥匙的构造可有趣啦，分子是一堆(x - xj)（j不等于i）的乘积，分母是(xi - xj)（j不等于i）的乘积。
这就好像用其他据点的位置关系来确定这个钥匙的形状。
当我们把所有的小魔法Li(x)按照对应的yi加权组合起来，就得到了拉格朗日插值多项式L(x)。
这就像把每个小卫士按照据点的魔法力量（函数值）组合起来。
你看啊，这个L(x)在每个xi点上的值就是yi，就像这个超级战队在每个据点的表现都和小怪兽原本的魔法力量一样。
这证明了我们构造的这个多项式是符合要求的。
而且不管这个函数小怪兽原本有多复杂，我们的拉格朗日插值公式就像一个万能的魔法阵，只要知道几个关键的点，就能把这个函数在其他地方的情况给推测出来。
哈哈，这么一解释，是不是感觉拉格朗日插值公式也没那么神秘啦，就像是我们精心打造的一个超级魔法工具，专门用来对付那些调皮的函数小怪兽的。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。
具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。
拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。
但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。
具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。
牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。
此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。
然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。
三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。
下面将对它们进行比较和应用分析。
1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。
而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。
拉格朗日插值公式的证明及其应用
拉格朗日插值公式的证明及其应用一、拉格朗日插值公式的证明：假设给定n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi不等于xj，i≠j。
我们要找到一个满足这些数据点的多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
设P(x)的表达式为P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn，其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。
由于希望P(x)满足P(xi) = yi，可以得到以下等式：a0 + a1x0 + a2x0^2 + ... + anx0^n = y0a0 + a1x1 + a2x1^2 + ... + anx1^n = y1...a0 + a1xn + a2xn^2 + ... + anx0n = yn将这些等式进行展开，可以得到如下的一个线性方程组：a0 + a1x0 + a2x0^2 + ... + anx0^n = y0a0 + a1x1 + a2x1^2 + ... + anx1^n = y1...a0 + a1xn + a2xn^2 + ... + anx0n = yn我们令Li(x)表示一个满足Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (j≠i)的多项式函数。
将P(x)的表达式代入上述的线性方程组，我们可以得到以下等式：y0Li(x) + y1Li(x) + ... + ynLi(x) = P(x)将P(x)表示成等于数据点的线性组合的形式，即拉格朗日插值公式的形式。
二、拉格朗日插值公式的应用：1.数据拟合：拉格朗日插值公式可以通过已知的数据点，得到一个满足数据点的多项式函数。
通过拟合已有数据，可以进行数据的预测和预估。
2.函数逼近：对于已知的函数，可以通过拉格朗日插值公式插值得到一系列的数据点。
这样可以将原函数进行逼近，并在所插入的数据点上进行具体的计算。
3.误差估计：通过拉格朗日插值公式得到的多项式函数可以作为原函数的近似函数。
拉格朗日(Lagrange)插值
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
拉格朗日插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj)拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。
但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
牛顿插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为：fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj)wi(x)是差商，定义为：wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj)牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
拉格朗日插值算法及应用实验报告
拉格朗日插值算法及应用实验报告一、引言拉格朗日插值法是一种常用的数值插值方法，可用于在已知数据点之间估计函数值。
该方法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合，从而实现对函数的插值。
本实验旨在通过实际计算的方式探讨拉格朗日插值法的基本原理与应用。
二、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法利用多项式的性质来对给定的数据进行插值。
给定n+1个不同的数据点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，其中x_i表示自变量，y_i表示因变量。
拉格朗日插值多项式的表达式为：P_n(x)=y_0*L_0(x)+y_1*L_1(x)+...+y_n*L_n(x)其中L_i(x)为拉格朗日基函数，定义如下：L_i(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_i-1)(x-x_i+1)...(x-x_n)/[(x_i-x_0)(x_i-x_1)...(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)...(x_i-x_n)]三、应用实验本实验选取了不同的数据点集合，并利用拉格朗日插值法计算相应的拟合多项式，从而对函数进行插值。
数据点集合1：(x_0,y_0)=(0,1)(x_1,y_1)=(1,2)(x_2,y_2)=(2,3)(x_3,y_3)=(3,5)利用拉格朗日插值法得到的多项式为：P_3(x)=1*L_0(x)+2*L_1(x)+3*L_2(x)+5*L_3(x)将基函数带入，得到多项式表达式为：P_3(x)=1/6*x^3-3/2*x^2+11/6*x+1数据点集合2：(x_0,y_0)=(0,1)(x_1,y_1)=(1,4)(x_2,y_2)=(2,9)(x_3,y_3)=(3,16)利用拉格朗日插值法得到的多项式为：P_3(x)=1*L_0(x)+4*L_1(x)+9*L_2(x)+16*L_3(x)将基函数带入，得到多项式表达式为：P_3(x)=1/6*x^3+1/2*x^2+1/3*x+1四、实验结果与讨论通过利用拉格朗日插值法，我们得到了不同数据点集合的拟合多项式。
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解
拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y=L 1x ()y=f x ()y k+1y kx k+1x k o yx2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.l k+1x ()xy1x k+1x k ol k+1x ()xy1x k+1x k o3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k ko1x k+1x kx k-1l k-1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k+1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k x ()yx4显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
拉格朗日四点插值公式
拉格朗日四点插值公式拉格朗日四点插值公式是数学中一个相当有趣且实用的工具。
它就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们在数学的世界里打开一些神秘的大门。
先来说说什么是插值。
想象一下，你有几个离散的点，就好像是地图上几个孤立的坐标点，而插值就是要通过这些点画出一条连续的曲线，或者找到一个合适的函数来描述它们之间的关系。
拉格朗日四点插值公式就是针对四个点的情况。
比如说，有四个点分别是(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)，我们想找到一个函数，能让这四个点都在这个函数上。
那拉格朗日四点插值公式到底长啥样呢？它看起来有点复杂，但别怕，咱们一点点来。
假设这四个点是$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，$(x_4,y_4)$，拉格朗日四点插值公式就是：\[P(x) = y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)} + y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)} + y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_4)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_3 - x_4)} + y_4 \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_4 - x_1)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)}\]是不是看着有点晕？其实啊，咱们可以把它拆分开来理解。
就拿前面提到的那四个点(1, 2)，(2, 5)，(3, 7)，(4, 10)来实际算一算。
先算第一项：\[y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)(x_1 - x_4)} = 2 \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)}\]这一项计算起来可能有点繁琐，但耐心点，一步一步来。
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解
拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解假设我们有一组已知的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们要找到一个n次多项式L(x)来逼近函数。
首先，我们假设L(x)的形式为：L(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)我们的目标是通过选择合适的系数a0, a1, ..., an来满足插值条件，即对于所有的k∈[0, n]，有L(xk) = yk。
为了得到这n+1个插值条件，我们考虑在L(xk)中将x替换为xk。
我们得到以下等式：L(xk) = a0 + a1(xk-x0) + a2(xk-x0)(xk-x1) + ... + an(xk-x0)(xk-x1)...(xk-xn-1) = yk为了解决这个等式，我们需要寻找一个方法将所有的a0, a1,...,an都表示出来。
我们可以使用拉格朗日插值基函数来实现这一点。
Lk(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xk-1)(x-xk+1)...(x-xn) / (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk-xn)其中k∈[0,n]，这个基函数表示在第k个点上的函数值为1，而在其他点上值为0。
我们可以看到，通过这样的基函数组合，我们可以得到n+1个不同的基函数L0(x),L1(x),...,Ln(x)。
现在我们可以使用这些基函数来构建多项式L(x)：L(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)将基函数代入多项式中，然后整理可得：L(x) = ∑[yk∏(x-xj) / ∏(xk-xj)], 其中j≠k这就是拉格朗日插值多项式的具体形式。
通过给定的n+1个点，我们可以得到一个n次多项式来逼近函数。
1.数据插值：当我们只有一些离散的数据点时，我们可以使用拉格朗日插值来估计在数据点之间的数值。
拉格朗日插值法（图文详解）
拉格朗⽇插值法（图⽂详解）拉格朗⽇插值⼊门由⼩学知识可知，n个点(x_i,y_i)可以唯⼀地确定⼀个多项式现在，给定n个点，请你确定这个多项式，并将k代⼊求值求出的值对998244353取模Input第⼀⾏两个正整数n,k，含义如题接下来n⾏，每⾏两个正整数x_i,y_i含义如题。
n≤2000,xi,yi,k≤998244353Output⼀个整数表⽰答案Sample Input3 1001 42 93 16Sample Output10201//样例⼀中的三个点确定的多项式是f(x)=x^2+2x+1，将100代⼊求值得到10201int re=1;while(y){if(y&1) re=(x*re)%mod;x=(x*x)%mod;y>>=1;}return re;}int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;}signed main(){n=read(),k=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++){int tmp=1;for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(a[i]+mod-a[j])%mod; //分母tmp=quickpow(tmp,mod-2);for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j) tmp=tmp*(k+mod-a[j])%mod; //分⼦tmp=tmp*b[i]%mod;ans=(ans+tmp)%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;}#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int mod=998244353;int x[2010],y[2010],a=1,b=0;int powmod(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return ans;}int main(){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);for(int i=1;i<=n;i++){int a1=1,b1=1;//a1代表分母，b1代表分⼦b1=1ll*b1*y[i]%mod;for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=i){b1=1ll*b1*(k-x[j])%mod;a1=1ll*a1*(x[i]-x[j])%mod;}b=(1ll*a1*b+1ll*a*b1)%mod;a=1ll*a*a1%mod;//b/a+b1/a1=(b*a1+a*b1)/(a*a1)}a=(a+mod)%mod,b=(b+mod)%mod;printf("%lld\n",1ll*b*powmod(a,mod-2)%mod);//因为带了除法，所以分母会⽐较⼤，于是在前⾯边乘边取模，最后取逆元return 0;}参考资料。
拉格朗日插值讲解
x=[-2 -1 0 1 3]’; y=[-56 -16 -2 -2 4]’; f=y
-1 -16 40 0 -2 14 -13 1 -2 0 -7
n=length(x);
34 3 1
for k=2:n
for j=n:-1:k
f(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k));
end
依此类推,F ( n+ 1 )(t) 在区间 ( a, b ) 内至少有 一个零点。故存在 ∈ (a, b), 使F(n+1)( )=0
F ( n 1 ) ( t ) f ( n 1 ) ( t ) L ( n n 1 ) ( t ) C n ( n 1 1 ) ( t )
f(n1)()C (n1) !0
C f (n1) ( )
(n 1)!
f(x)Ln(x)f(n (n 1)1())!n1(x)
5/18
例5.3 设 y = f(x) 在区间 [a, b]上有连续,且 f (x) 在 (a, b)内具有2阶导数,已知f (x)在区间端点处 的值.如果当x∈ (a, b)时,有|f ’’(x)|≤M. 试证明
f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x)
取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数
F (t) f(t) L n (t) C n 1 (t)
显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,···,n )
4/18
F(t) 有(n+2)个相异零点. 根据Rolle定理, F’(t) 在区间(a, b)内至少有 (n +1)个相异零点.
一阶均差 f[xj,xj1]f(xxjj 11) xfj(xj) ( j = 0,1,…,n-1 )
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１.１. 线性插值的定义
假 定已 知区 间 xk , xk1 的端 点处 的函 数 值 yk f xk , y
yk1 f xk1 ,要 求 线 性 插 值 多 项 式 L1 x 使 它 满 足 yk+1
L1 xk yk , L1 xk1 yk1 ．
yk 1
x xk1
xk x xk1 xk xk1 xk1
+
yk
x xk1 x xk1 xk xk1 xk xk1
+
yk1
x xk1 xk 1 xk 1
x xk xk 1 xk
２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用
例 2. 已知函数 f x ax2 c （ a, c 为实数 ）。若 4 f 1 1 ， 1 f 2 2 ，则
例 1. 已知 sin 0.32 0.314567,sin 0.34 0.333487,sin 0.36 0.352274, 用线性插值计算.
解：由题意取
x0 y0
0.32 0.314567
，
x1 y1
0.34 0.333487
，
x2 y2
0.36
．
0.352274
若取 x0 0.32, x1 0.34 为节点，则线性插值为：
c c
b
3
x c
a a
x c
b b
c
3
x3
x
ax
bx
c
比较等式两边 x2 的系数得
a
a3
ba
c
b
b3
ab
c
c
c3
ac
b
a
b
c
2
p
由海伦公式得
S2
p p
a p
bp
c
p
3
p
a
3
b
c3
p4 27
因为 a, b, c 不全相等，所以，上式等号不成立.
31
31
于是， p 34 S 2 2 p 2 34 S 2
例如 lk1 x ，因为它有两个零点 xk , xk1 ，故可表示为： lk1 x Ax xk x xk1 .
由
lk 1 xk 1
1得
A
x
xk
1
x
xk 1
.
所以， lk1 x
x xk 1
xk xk
x xk1 xk1 xk1
.
同理
lk
x
x xk
xk1 x xk1 ， xk1 xk xk1
例 4．设 a, b, c 为非等腰 AC 的三边长， S 为面积。求证：
a
a3
ba
c
b
b3
ab
c
c
c3
ac
b
2
3
34
S
1 2
分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式
证明：构造二次多项式： f x x3 x ax bx c
则由拉格朗日插值公式得
x a
bx ba
c c
a
3
x b
ax ab
lk1 x
x xk 1
xk1 x xk xk1 xk1
xk
.
函数 lk1 x , lk x , lk1 x 称为二次插值基函数或抛物插值基函数.
在区间 xk1, xk1 上的图形分别为:
y y
y 1
1 1 lk-1(x)
o
xk-1
xk
xk+1 x
lk(x)
o
xk-1
xk
xk+1
o xk-1
sin 0.3367
L10.3367
y0
y1 x1
y0 x0
0.3367
x0
0.314567 0.01892 0.0167 0.330365 . 0.02
若取 x1 0.34, x2 0.36 为节点，则线性插值为：
sin 0.3367
L10.3367
y1
y2 x2
满足条件
6
Ln x j y j j 0,1,, n （１）
为了构造 Ln x ,先定义 n 次插值基函数． 定义：若 n 次多项式 l j x j 0,1,, n 在 n 1个节点 x0 x1 xn 上满足条件
l
j
xk
1, k 0, k
j j
j,
k
0,1,, n
就称这 n 1个 n 次多项式 l0 x,l1 x,,ln x为节点 x0 , x1,, xn 上的 n 次插值基函数．类似 n 1
x0 , y0 , x1, y1 构造 L1x．
L1 x
l0 xy0
l1 x y1
x 4
9 9
2
x 9
4 4
3
2 5
x
9
3 x
5
4
所以 ，
7 L17 2.6
2).用抛物插值多项式
用全部数据构造抛物插值多项式 L2 x
L2 x
l0 xy0
l1xy1
l2 xy2
x 4
9x 94
16 16
lk xk 1， lk xk1 0 ， lk xk 0 ， lk1 xk1 1．
称函数, lk x （图２）及 lk1 x （图３）为一次插值基函数或线性插值基函数.
图象为：
y y
1 lk+1(x)
1 lk+1(x)
o
xk
xk+1
x
o
xk
xk+1
x
图 2
图3
１.２. 线性插值例题
f x x2 bx c 求证：
f 1,
f 2,
f
3
中至少有一个值不小于
1 2
．
证明：根据二次函数的插值公式
f
x
x2
bx
c
x 1
2x 3 21 3
f
1
x 2
1x 12
13 2
f
3
比较上式两边 x2 的系数，有 1 f 1 f 2 1 f 3 1
2
2
假若 f 1, f 2, f 3 都小于 1 ，
2
f
10
x 6
10x 10 6
2 2
f
6
x 2
6x 62
10 10
f
2
例６．已知 4 2, 9 3, 16 4, 求 7 的近似值
解：令 y x ，列表
x
x0 4
x1 9
x2 16
5
y x
y0 2
y1 3
y2 4
1).用线性插值多项式
三 组 数 据 中 ， 可 以 任 取 两 组 数 据 构 造 线 性 插 值 多 项 式 L1 x． 鉴 于 插 值 点 所 处 的 位 置 ， 应 选 取
的取值范围.
f 1 a b c
分析：解决本题关键是用
f
1,
f
2,
f
3表示
f
4
，用高中知识联立方程组
f
2
4a
2b
c
f 3 9a 3b c
求出 a,b, c 并代入 f 4 16a 4b c ，从而确定 f 4的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次
函数的拉格朗日公式却恰到好处.
解：由二次拉格朗日公式得
yk
x xk xk 1 xk
yk 1
(两点式)．
由两点式方程看出， L1
x
由两个线性函数 lk
x
x xk1 xk xk 1
, lk 1
x
x xk 的线性组合 xk 1 xk
得到,其系数分别为 yk 及 yk1 ,即 L1 x yk lk x yk1lk1 x ．
显然, lk x 及 lk1 x 也是插值多项式,在节点 xk 及 xk1 上满足条件
f x 1 f 1x 2x 3 f 2x 3x 1 1 f 3x 1x 2
2
2
则 f 4 f 1 3 f 2 3 f 3
由已知得 19 f 4 38
3. n 次 Lagrange 插值多项式
上面对 n 1及 n 2 的情况,得到一次与二次插值多项式 L1 x及 L2 x, 用插值基函数表示的 方法容易推广到一般情形.下面讨论 n 1个节点 x0 x1 xn 的 n 次插值多项式 Ln x ,假定它
2
x 9
4x 49
16 16
3
x 16
4x 9 416 9
4
所以，
7
L2 7
3 5
81 53
2 7
2.6286
结论：对比 n 1, n 2 时，抛物插值更精确．
例 7.已 知 f x ax2 bx ca 0满 足 7 f 1 1,5 f 2 3,1 f 3 8, 求 f 4
8 18 2 111 2
27
l2
8
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
8 2
18 12
1 1
21
f 8 7 f 1 27 f 1 21 f 2 7 f 1 27 f 1 21 f 1 122
注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.
例 3.
已知
f 8 的最大值是多少？
提示：由 f x ax2 c 是偶函数，得 f 1 f 1.
令节点 x0 1, x1 1, x2 2 ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得
l0
8
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2