最新57常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。
第七节 常系数齐次线性微分方程
第第七七节节 常常系系数数第齐齐七次次第节线线七性性节常微微常系分分系数数方方齐齐程程次次线线性微性分微方程分方程
例例55* 在在第第六六节节 例1 设有中一，设个物弹体簧只，受它弹的性上恢端复固固力定定，，f 下下
的作用，且在初量瞬为t m= 0的时物的体位. 置当为物体x =处x于0 ，静初止始状速态度时，，作作
dx dt
t 0
v0
.
求反的映重物力体与运弹动性规力律大的小函相数等x、、=方方x(向向t).相相反反.. 这这个个 位置就是物体的平衡位置. 建立如图所示的
解 由于不计的阻坐力标，系所，以原第点六O节为例平1衡中位的置方.程变为
设dd在2t 2x振 动k 2 x过程0 ,中，物体的位置函数为为
该方程叫做无阻x 尼= x自(t)由. 振下动面的来微求分振方动程规.律其. 通解为
两个复根 r1,2 = i
通解
y C1er1x C2er2x y (C1 C2 x)erx y e x ( C 1 c o s x C 2 s in x ) .
第七节 常系数齐次线性微分方程
三、 举第例七节 常系数齐次线性微分方程
例1 求微分方程 y – 2y – 3y = 0 的通解. 解 特征第方七程节为常系数齐次线性微分方程 例例22 求求微微分分方方r2程程– 2yyr–––344=yy0++,44yy == 00 的的通通解解.. 特征解根为特征r第1方=七–程节1为,常r2 系= 3数，齐是次两线个性不微相分等方的程实根，
所以例通3解求为微分方r2 程– 4yr+–44y= 0+,13y = 0 的通解. 特征解根为特征r第1方=七r程y节2 =为C2常1，e系-x是数+ 两C齐2个e次3x相线. 等性的微实分根方，程所以通解为
常系数齐次线性微分方程市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
通解为
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3
第20页
备用题
为特解 4 阶常系数线性齐次微分方程,
并求其通解 .
解: 依据给定特解知特征方程有根 :
所以特征方程为
即
故所求方程为
第16页
例6.
解: 特征方程:
即
其根为
方程通解 :
第17页
例7.
解: 特征方程:
特征根为
则方程通解 :
第18页
内容小结
特征根:
(1) 当
时, 通解为
(2) 当
时, 通解为
(3) 当
时, 通解为
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
第19页
思索与练习
求方程
通解 .
答案:
通解为
其通解为
第21页
第4页
小结:
特征方程:
实根
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
第5页
若特征方程含 k 重复根
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
则其通解中必含
对应项
特征方程:
推广:
第6页
例1.
通解.
解: 特征方程
特征根:
所以原方程通解为
第13页
临界阻尼解特征 :
( n = k )
任意常数由初始条件定,
最多只与 t 轴交于一点;
即随时间 t 增大物体总趋于平衡位置.
2) 无振荡现象 ;
第14页
第15页
例4.
通解.
解: 特征方程
特征根:
所以原方程通解为
常系数齐次线性微分方程
r =1 5
y = C + C2x + C3x2 + C4x3 + C5ex 1
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11
【例6】 求 程 】 方
y(5) + y(4) + 2y(3) + 2y′′ + y′ + y = 0的 解 通 .
【解】 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
有重根 r = r = −1, 1 2
【解】特征方程 r2 + 2r +1 = 0 因此原方程的通解为 利用初始条件得
s = (C +C2 t )e− t 1
C = 4, C2 = 2 1
于是所求初值问题的解为
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9
【例3】 求 程y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解 】 方 通 .
13
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
实根 r1 实根 r1 复根 r
r + pr +q = 0
2
通解的表达式
≠ r2 = r2
1, 2
= α ± iβ
y = C 1e + C 2 e rx y = (C1 + C 2 x )e y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C er1 x +C2er2 x 1
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4
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r = r 特征方程有两个相等实根 1 2
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
高等数学 常系数 齐次线性微分方程
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、y 4 y 0；
2、4
d2 dt
x
2
20
dx dt
25
x
0；
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0.
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0； 2、 y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y e i x , y e i x ,
重新组合 y
1 2
(
y
y
)
e x cos x,
（ 3 ）根据特征根的不同情况 , 得到相应的
通解 .
ห้องสมุดไป่ตู้
( 见下表 )
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
第七节 常系数齐次线性微分方程
n 阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形
式y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准 形y式 py qy f ( x) ( f ( x) 0)
常系数齐次线性微分方程
定理4 （解的叠加原理）
设y P x y Q x y f1 x +f 2 x
而y x 与y x 分别是方程
* 1 * 2
y P x y Q x y f1 x
和 y P x y Q x y f2 x 的特解，
2.非齐次线性方程解的性质
y P x y Q x y f x 0
定理3 （通解的结构）
*
2
设y x 是二阶非齐次线性方程 2的一个特解，
Y x 是与 2 对应的齐次线性方程 1的通解，
那么，非齐次线性方程 2的通解为
其中C1 , C2是任意常数. 问题：
定理1 （解的叠加原理） 如果y1 x 与y2 x 是方程 1的两个解，
y C1 y1 x C 2 y2 x 一定是方程 1 的通解？
问题： y C1 y1 x C2 y2 x 一定是方程1的通解？ C 回顾二阶微分方程通解的概念 y1 若 ＝常数k , 则解y C1ky2 C2 y2 C1k C2 y2 y2 仅有一个任意常数，故不是通解.
2x
C2e
x
xe
x
（3） 将初始条件
2x
y 0 7, y 0 6
x x
x
代入通解及其导数式：
y 2C1e C2e e xe
2x x x
y C1e C2e xe
解得 C1 4, C2 3 从而特解为
2x
y 4e 3e xe
y1 若 常数即函数y1和y2没有倍数关系 y2 则C1和C 2不可能合并, 是通解.
7.7 常系数齐次线性微分方程
例 3：解微分方程
d2y dy 4 6y 0 。 2 dx dx
微分方程
d2y dy 4 6 y 0 的特征方程为 r 2 4r 6 0 2 dx dx
特征方程 r 2 4r 6 0 的两个根分别为 r1 2 2i, r2 2 2i 于是，微分方程
微分方程
d2y dy 4 4 y 0 的特征方程为 r 2 4r 4 0 2 dx dx
特征方程 r 2 4r 4 0 的根为 r1 r2 2 于是，微分方程 常数
d2y dy 4 4 y 0 的通解为 y (C1 C2 x )e 2 dy p qy 0 的通解为 2 dx dx
y (C1 C2 x )e r1 x
其中 C1 , C2 为任意常数。
（3）特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的根的判别式 p 2 4q 0 。 此时， r1 与 r2 为一对共轭复根，即 r1 , r2 皆为复数，且 r1 r2 。比方说， r1 i ，
d2y dy 4 6 y 0 的通解为 y e 2 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ，其 2 dx dx
中 C1 , C2 为任意常数
d2y dy p qy 0 的特征方程 r 2 pr q 0 ； 2 dx dx
二．求出特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的两个根 r1 , r2 ； 三．根据特征方程的根的判别式的取值，分为以下三种情形：
（1）特征方程（一元二次方程） r 2 pr q 0 的根的判别式 p 2 4q 0 。 此时， r1 , r2 皆为实数，且 r1 r2 ，微分方程
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
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要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
常系数齐次线性微分方程
思考与练习
求方程 答案:
a 0: a 0: a 0:
的通解 .
通解为 y C1 C2 x 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x 通解为 y C1 e a x C2 e a x
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
例3.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
例4. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C1 er1 x C 2 er2 x (2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C1 C 2 x ) er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x)
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
常系数齐次线性微分方程
y1 常数 y2
得齐次方程的通解为 y e x ( C 1 cos x C 2 sin x ).
11
常系数齐次线性微分方程
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 称为 特征方程法. 例 求 方 程 y 4 y 4 y 0 的 通 解 . 解 特征方程 特征根
x
故所求通解为
y e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
r1 i , r2 i , 得齐次方程的通解为
y e x ( C 1 cos x C 2 sin x )
13
常系数齐次线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例 解初值问题 y x 0 4, y x 0 2 .
即
d 2uC duC LC RC uC Em sin t , 2 dt dt
常系数齐次线性微分方程
或写成
d 2 uC duC Em 2 2 0 uC sin t. 2 dt dt LC
上式中 R ， 0 2L
1 . LC
上述方程就就串联电路的振荡方程.
常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
----- 特征方程法
y p y qy 0
二阶 常系数 齐次 线性方程
设解 y e rx 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得 （代数方程） erx 0, (r 2 pr q)erx 0 故有 r pr q 0 特征方程 (characteristic equation)
二阶常系数齐次线性方程 y p y qy 0 求通解的步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0 (2) 求出特征根
常系数齐次线性微分方程
10/10
作
• 习题12-8 1-(5)(9) 2-(6)
业
2
(4) 的通解为
y C1e
r1 x
C2e ;
r2 x
3/10
2. 有两个相等的实（特征）根 ( 0)
y py qy 0 2 特征方程 r pr q 0
(4) (5)
y2 ( x) u( x) y1 ( x) u( x)e 为 （4）的解 2 u ( 2r1 p)u ( r1 pr1 q )u 0, 即 u 0, rx 可取 u( x ) x, 则 y2 xe , r1 x (4) 的通解为 y (C1 C 2 x )e ;
( n) ( n 1)
(2)
n 1 rx
二、二阶常系数齐次线性方程的代数解法
y py qy 0 2 r pr q 0 特征方程 1. 有两个相异实（特征）根 ( 0)
p
2
(4) (5)
p 4q p p 4q r1 , r2 , 2 2 r2 x r1 x 两个特解 y1 e , y 2 e , （线性无关）
3. 有一对共轭复（特征）根
r1 i , r2 i , 一对复值解 ( i ) x x y1 e e (cosx i sinx) ( i ) x x y2 e e (cosx i sinx) 1 x 其线性组合 y1 ( y1 y2 ) e cos x, 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2i
第八节
常系数齐次线性 微分方程
1. 特征方程
2. 二阶常系数齐次线性方程的代数解法
3. n阶常系数齐次线性方程的代数解法 4. 小结、作业
常系数齐次微分方程求解
x + C4 sin
β
2
x)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例7. 解方程 y(4) + 2y′′ + y = 0 . 解: 特征方程: r 4 + 2 r 2 +1 = 0
即 ( r 2 +1 )2 = 0
特征根为 则方程通解 :
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业： 习题7-7 作业：P- 340习题 习题
dx + 2n + k2 x = 0 dt dt2 x t =0 = x0, dx t =0 = v0 dt
d2 x
o x x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: + k2 x = 0 dt2 特征方程: r 2 + k 2 = 0, 特征根: r , 2 = ±i k 1
例2. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = −2 s t =0 = 4 , dt t = 0
−t
解: 特征方程 r 2 + 2 r +1 = 0 有重根 r = r2 = −1, 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e 利用初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
高等数学
主讲人： 苏本堂
解的特征: 解的特征 简谐振动 A: 振幅,
ϕ : 初相,
周期:
固有频率 (仅由系统特性确定)
dx dx (下图中假设 x t =0 = x0 > 0, dt
t =0
常系数齐次线性方程
04 方程的应用
在物理中的应用
01
简谐振动
电磁学
02
03
热传导
常系数齐次线性方程可以描述物 体在弹簧或阻尼器作用下的振动， 如弹簧振荡器。
在电磁学中，常系数齐次线性方 程可以描述电流和电压的关系， 以及电磁波的传播。
在热传导问题中，常系数齐次线 性方程可以描述热量在物体中的 扩散和传递。
在经济中的应用
因式分解法
总结词
因式分解法适用于具有特定因式结构 的方程。
详细描述
因式分解法是将方程整理为可以因式 分解的形式，然后通过因式分解得到 解。例如，对于形如$(x-a)(x-b)=0$ 的方程，其解为$x=a$或$x=b$。
配方法
总结词
配方法适用于具有特定形式的方程。
详细描述
配方法是将方程整理为可以配方成完全平方的形式，然后通过配方得到解。例 如，对于形如$x^2-2ax+a^2=0$的方程，可以通过配方得到$(x-a)^2=0$， 其解为$x=a$。
示例
$2x + 3y - 4 = 0$ 是一个常系数 齐次线性方程，其中 $x$ 和 $y$ 是未知数，$2$、$3$ 和 $-4$ 是 常数。
形式
一般形式
常系数齐次线性方程的一般形式为 $ax + by + c = 0$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a$、$b$ 不全为零。
三元一次方程
控制理论
在控制工程中，常系数齐次线性方程可以用来描述系 统的动态响应和稳定性。
信号处理
在信号处理中，常系数齐次线性方程可以用来描述信 号的滤波、调制和解调等操作。
05 方程的扩展
方程的扩展
• AGR's son'sijk', I'm not quite sure what you mean by "AGR's son, who I thought might refer to "son's a son's son'sijk', I'm not quite sure what you mean by "son's a son'sijk', and so on, I thought might refer to "son's a son'sijk', I'_seem to be a reference to "son's a son岳这条命题的 真理性黄-儿子'sijk', 我 thought might be a reference to "son's a son'sijk', I thought might be a reference to "son's a son'sijk', I thought might be a reference_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_for_a_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_context: reference_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_context: reference_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_context: reference_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_search() {son's a son'sijk', I thought might be a reference_search_search()
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特征方程的根
通解中的对应项
若是k重根r
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e rx
若是k重共轭 ex[C (1C 2x C kxk 1)coxs 复根 i (D 1D 2x D kxk 1)six n ]
12
5.7 常系数齐次线性微分方程
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各 一个任意常数.
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
16y24y9y0,
例
解初值问题
yx04,
y 2. x0
解 特征方程 1r2 6 2r 490
特征根 r 3 (二重根) 4
所以方程的通解为 4y(C1C2x0)e4 3x0
C14y(4C2x)e4 3x
(ln y)lny,
令 zlny则 zz0二阶常系数齐次线性方程
特征方程 r210 特征根 r1
通解 z C 1 e x C 2 e x ,所以 lnyC 1 exC 2 e x. 此方程属于 yf(y,y)型 .设 yp, y pdp.
dy
18
5.7 常系数齐次线性微分方程
作业
习题5.7(186页）
y 2 3C 24 3C 20x e4 3x 0
3x
C21 特解 y(4x)e4 .
9
5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(二)选择, 4分
函数 y C 1 e x C 2 e 2 x x e x 满足的一个微分
方程是
( A ) y y 2 y 3 x e x . ( B )y y 2 y 3 e x . ( C ) y y 2 y 3 x e x . ( D )y y 2 y 3 e x .
定理5.3 设y是二阶非齐次线性方微程分 y P (x )y Q (x )yf(x )(2 )的一 ,Y 是 个 与(2)对应的齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 ( 1 ) 的通解, 那y 么 Yy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的通解.
10
5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(一)填空, 3分
设 y e x ( C 1 sx i C n 2 cx o ) (C1, s C2为任意常数)
为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解, 则微分 方程为
解 由所给通解的表达式知, r1,21i是所求 由微分方程的特征方程的根, 于是特征方程为 r22 r20 ,故所求微分方程为
y C 1 y 1 C 2 y 2 C n y n .
13
5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求方程 y (4 ) 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程 r4 2 r3 5 r2 0
即
r2 (r2 2 r 5 ) 0
特征根 r1r20和 r3,412i
故所求通解为
yC 1 C 2x e x ( C 3 c2 o x C 4 s s2 i x ) n .
求通解的步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r2p rq0
(2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1r2
y C 1 e r 1 x C 2 e r 2 x
实根 r1r2
复根 r1,2i
y (C 1 C 2 x )e r 2 x
y e x ( C 1 cx o C 2 si x )n
57常系数齐次线性微分方 程
5.7 常系数齐次线性微分方程
一、定义
y p y q 0 y
二阶常系数 齐次线性 方程
y p y q f y ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
2
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
特征根 r11(单根) r2,3i(二重)共轭复根
对应的特解
y1ex, y2c ox,sy3 sinx,y4xcox,sy5 xsin x
故所求通解
yC 1ex(C 2C 3x)co x s(C 4 C 5 x )six .n
15
5.7 常系数齐次线性微分方程
四、小结
二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0
14
5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求 y ( 5 ) 方 y ( 4 ) 2 y 程 2 y y y 0 的 . 通 解 特征方程 (r 5 r 4 ) (2 r 3 2 r 2 ) (r 1 ) 0
r 4 ( r 1 ) 2 r 2 ( r 1 ) ( r 1 ) 0 (r 1 )r 4 ( 2 r 2 1 ) 0 (r 1 )r(2 1 )2 0
y 2 y 2 y 0 .
11
5.7 常系数齐次线性微分方程
三、n阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数 线性微分方程
特征方程 r n P 1 r n 1 P n5.7 常系数齐次线性微分方程
思考题
求微分方程 y y (y )2 y 2ln y的通解.
17
5.7 常系数齐次线性微分方程
求微分方程 y y (y )2 y 2ln y的通解.
思考题解答
因为 y0,所以
y
yy(y)2 y2
lny,
y y
lny,
所以
y (lny)x
y, 所以 y