《大学物理AI》作业 No.01 运动的描述(参考解答)

x1

x2 H
，即 (H h)x2 Hx1
将上式两边求导可得： ( H
h) dx2 dt
H
d x1 dt
其中： d x 2 dt

v影 ,
dx1 v dt
所以： v 影

Hv H h
5
《大学物理 AI》作业 No.01 运动的描述
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************
12
解：由 a dv 4 t2 得： v d v t (4 t2 )dt ，即 v 4 t 1 t 3 1 d x ，再次积分得：
dt
2
3
3
dt
x
dx

t
(4 t

1 t 3 1 ) d t ，得 x 2 t 2
1
t 4 t 0 . 75 （SI）
原运行速率为 180 km/h。求列车减速行驶 x=1.5km 时的加速度大小。（注：x 取值单位为 km）
解：利用求导的链式法则有： a d v d v d x = dt dx dt
v
dv dx
= v02
cos
x（-
sin
x
）
5
55
，
将 x=1.5km， v0 180km / h ,代入可得： a 9680.58km / h2 或者 a 0.75m / s2 。
（SI）
当 t2 = 2 s 时， v 2 4i 5 （j m s-1）
速度对时间 t 求一阶导数可得加速度为
a dv dv x i dv y j 2i （SI） dt dt dt
2.直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站，其速率按
v

v0
cos
x 5
（km/h）规律变化，列车
1、理解运动的绝对性与运动描述的相对性，理解参考系、坐标系、时间、空间等概念在描述物体运动 中的作用； 2、理解质点、质点系、刚体模型的意义，相互关系和适用条件； 3、理解惯性系和非惯性系的物理意义； 4、掌握描述质点运动的物理量：位置矢量、位移、速度、加速度、切向加速度、法向加速度的定义； 掌握描述质点圆周运动和刚体定轴转动运动的物理量：角速度、角加速度的定义及角量与线量的关系； 5、掌握运动学中两类基本问题的求解方法（微分法、积分法），避免只会用中学所掌握的方法去解决 问题； 6、掌握伽利略坐标变换公式、伽利略速度变换公式并能用于解决相对运动的力学问题。
4
3.当一列火车以 10 m·s-1 的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹 偏离竖直方向 30 度，则：
（1）雨滴相对于地面的速率是多少？
（2）雨滴相对于列车的速率是多少？
解：如图所示，
v雨对地

v雨对车
v车对地 ，则：
（1）
v雨对地


v车对地 tg 30o


v02 g cos
。
2.设质点的运动方程为 x x(t), y y(t) 。在计算质点的速度和加速度的大小时有人先求出
r
x2

y2
，然后根据
v

dr dt
和a

d2 r dt2
求出结果；也有人先计算出分量，再合成求解，即
v
(d x )2 (d y )2 ， a dt dt
(
17.32
ms1
（2）
v雨对车


v车对地 sin30o
20 ms1
4. 如下图所示，路灯距离地面高度为 H，行人身高为 h，如果人以匀速 v 背向路灯行走，则人头的影 子 M 移动的速度为多少？
解：建立如图所示坐标系，设某时刻人的坐标为 x1，影的坐标为 x2
由几何关系可得： x 2 h
（1）质点从 t1 = 1 s 到 t2 = 2 s 时间内的位移； （2）质点运动的轨道方程；
（3）质点在 t =2 s 时的速度和加速度。
解：（1）由位移公式
r
=
r
2-
r
1
有
r 2=
22 i +
(5 2 -1) j = 4i 9 j
（SI）
r 1=
12 i +
(5 1-1) j = i 4 j
（１）缆绳上各点的速度相同吗？
（２）有人认为船的速率为 v v0 cos ，对不对？为什么？
答：（1）不相同。以地面为参考系，绳上任找两点 A 和 B，经 t 时间后， A 运动到 A ，B 运动到 B ，如图所示。可以看出两点的位移大小和方向 都不相等，由于移动时间 t 是一样的，所以 A 和 B 移动的速度是不相同的。 A 和 B 移动的速度大小也不是 v0 ，v0 代表的是绳上各点沿绳方向移动的速率，
d2 dt
x
2
)2

(
d2 dt
y
2
)2
。你认为哪种解法正确？为什么？
答：第 2 种解法对。第 1 种解法中，r 表示的是矢径大小， d r 表示的是矢径大小的变化率，除直线运 dt
动外，它不是质点的速率。速率的定义为
v

ds dt
v ，

dr dt
。同理：
d2 r d t2
也不代表加速度的大小。
3.在离船的高度为 h 岸边，绞车以恒定速率 v0 收拖缆绳，使船靠岸，如下图所示。讨论以下几个问题：
9
3
3
12
9.如下图所示，当雷达天线以角速度 连续转动时，可借助天线发出的电磁波追踪一艘竖直向上飞行 的火箭，火箭发射台 P 与雷达 R 相距为 l，当天线仰角为 时，火箭的飞行速度为 （ l sec 2 ） 。
解：几何关系可得 s l tan ，两边求导：
v d s d ( l tan ) l sec 2 d l sec 2
4.设质点作半径为 R 的圆周运动，其任一时刻线速度大小 v 与角速度大小 的关系为 （ v R ） ； 其任一时刻加速度大小 a 与角加速度大小 的关系为（ a (R )2 ( v2 )2 ）。
R
5.一般情况下刚体的运动可看成 （平动） 和 （转动） 的叠加；当刚体 （平动） 时，其任一质
dt （2）不变，抛体运动时，
d
v
恒等于
g；
dt
（3）变化，抛体运动时 an g cos ，随着 的变化而变化；
（4）由法向加速度 an

g cos

v2
可知，当法向加速度最小，v
最大时，曲率半径最大。由图
可知，在初始位置

处法向加速度最小，速率 v

v0
最大，此时最大曲率半径为
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一、填空题
1.物体的（空间位置）随 （时间） 的变化称为机械运动；运动是绝对的，运动的描述是 （相对） 的； 用数学的方法定量地描述运动需要三个条件：选定 （参考系）、确定 （时间） 2 得： a

an , 即2.4t 14.4t4
3
3
，解此方程得：t=0.66，代入运动方程
3.15 rad (SI);
由： a an 得 2.4t 14.4t4 ，t=0.55(s)
8.质点沿直线运动，加速度 a 4 t（2 m s2 ） ，如果当 t =3 s 时，质点位于 x = 9 m 处，速度大小为 v 2(m s1) ，则质点的运动方程为（ x 2 t 2 1 t 4 t 0 . 75 ）（SI）。
二、简答题
1.一质点作抛体运动（忽略空气阻力），如右图所示，质点在运动过程中： （１） d v 是否变化？ （２） ddvt 是否变化？
dt
2
（３）法向加速度是否变化？ （４）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？
答：（1）变化， d v 即是切向加速度， a g sin ，随着 的变化而变化；
它不代表绳上各点的运动速率。
简答题 3 图
（2） 不对.这种解法是把船速看成绳子速度的一个分量。而正确的解法中，
绳子速度应是船速的一个分量，正确解是 v v0 / cos 。
3
三、计算题
1.已知质点在 Oxy 坐标系中作平面运动，其运动方程为 r
= t2 i + ( 5t 1) j
(SI 制单位)求：
（SI）
位移
r = r 2- r 1 = 3i 5 j （SI）
（2） 由运动方程可知
x t2
y 5t 1
消去时间 t 后，即可得质点的轨道方程为
x 1 ( y 1)2 （SI） 25
（3）把运动方程对时间 t 求导，便可得到速度
v dr dx i dy j 2ti 5 j dt dt dt
1
解：由 2 4t3 求导数可得： 12t2 ， 24t ；根据线量与角量的关系可得： v 0.112t2 1.2t2 ， a 0.1 2.4t ， an 0.1 2 14.4t4 。