一阶系统与二阶系统
一阶二阶系统的动态响应
常见控制系统输入信号
§3.1.2 时域法常用的典型输入信号
线性系统时域性能指标
稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置 准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小 快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速 延迟时间 t d — 阶跃响应第一次达到终值的5％所需的时间
自动控制原理作业二
2 F (s) 2 s 3s 2 c+3c+2=2r s 2 c ( s ) s c ( 0 ) c ( 0 ) 3 s c ( s ) c ( 0 ) 2 c ( s ) 2 r ( s ) 2 s c ( 0 ) c ( 0 ) 3 c ( 0 ) c(s) 2 r(s) s 3s 2 s2 3s 2 2 1 s 3 2 2 s 3s 2 s s 3s 2 2 1 1 2 1 s1 s 2 s s1 s 2 4 2 1 s1 s 2 s c ( t ) 1 4 e t 2 e 2t u ( t )
特征根S=－1/T，T越小，惯性越小，动特性越好
一阶系统的时间响应及动态性能
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小 到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值
M
m
ia
E
b
M
e
m
G s ) e( 2 M C Ks J s s R Ls e m b m f m a a R a 2 RJ s K C s a m m b f m
m
Ls R a a
电枢控制式直流电动机
例题2-6Mm来自iaEb
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
标题一阶二阶系统的公式推导过程
标题一阶二阶系统的公式推导过程自控前两章的学习主要是打基础，到了第三章才真正开始了自控这门课的核心内容。
在前两章建立起系统模型后，接下来要进行的就是认识系统——即分析系统的性能指标，第三章介绍了三种方法中的第一种——时域分析法。
我们首先要明确本章讲了哪些内容。
时域方法是最基本的方法，也是我们在分析时最先想到的方法，它可以直接提供系统时间响应内的所有内容，直观且明确，但是也有它的缺点，那就是这一方法必须要基于求解系统输出的解析法，过程很是繁琐，这一局限性也就决定了应用时域法进行分析的系统阶数不能太高，所以本章我们研究对象只有一阶系统和二阶系统，其中二阶系统是研究的重点。
接下来分别给出一阶系统和二阶系统典型结构和其性能指标的定义，对系统输入典型输入信号，研究对应响应的情况，在这其中，最重点的是二阶系统的阶跃响应，其余的响应仅作了解即可。
注意到性能指标只能定量的描述一个系统响应的情况，考虑前面所提到的对于一个系统的基本要求：“稳、准、快”。
其中“快”——动态性能；“稳”——基本要求；“准”——稳态要求，往后的内容都是围绕这三个字。
对于“快”，其实就是系统的性能指标，对于“稳”，时域法介绍了赫尔维玆判据和劳斯判据，对于“准”，介绍了稳态误差还有校正方法。
以上就是本章的知识结构，接下来我们来一一介绍。
NO.1一阶系统我们从最简单的一阶系统说起，以下是一阶系统的典型结构：一阶系统中，只有特征参数：时间常数T。
虽然有五个典型输入信号，但一般我们只研究阶跃输入对应的响应，我们把阶跃信号称为“标准输入”，其单位阶跃响应曲线如下：对于一阶系统，对应的性能指标有两个：上升时间和调节时间。
1.上升时间从终值的10%上升到终值的90%所用的时间。
（此定义式基于非振荡的动态过程，要区别于后续的振荡动态过程）。
在一阶系统单位阶跃曲线上表示如下：2.调节时间指第一次进入误差带且信号以后都不出误差带的时间。
在响应曲线上表示为：注意:如上图，调节时间不是到A点的时间，因为曲线在A点以后还有出了误差带的部分。
2.1中 一阶与二阶系统举例
kz 0
0 0
（1）
令 k m , h ( c m )(1 2 ) , 和h 分别称为系统的固有共振频率和阻尼比.
则有： d
x
2
z
2
dt
2h 0
dz dt
0 z
2
d X dt
2
2
ax
（2）
式中, a 为被测加速度。 由式(2)可写出被测加速度与相对位移z之间的 传递函数为 z(s) 1 G (s) a (s) s 2h s （3） 由式（3）易得 z ( j ) 1 G ( j ) a ( j ) 2 h j （4）
（3）
式中 τ=mc/kA——为时间常数，它是表征一阶动态系统的重要指标， 正是由于τ的存在，一阶系统的输出跟不上阶跃输入的快速变化，从 而产生测量误差。
二阶系统举例: 许多传感器具有二阶系统的特征，典型的例 子是惯性测振仪，该仪器可用于测量振动加 速度，即基座位移X(t)的二次导数。 惯性测振仪的原理图。
0
一个传感器可能具有一阶、二阶或更高阶 的动态特性。 由于传感器动态特性的非理想性，所以在 测量动态信号时会产生动态误差。 理想特性：传感器传递函数的幅值谱为水 平直线
kA ( T F T ) d [ mc ( T T 0 )] dt
(1)
式中：k——液体和传感器间的总传热系数; A——有效传热面积; m——传感器质量; C——传感器材料比热。 令 T F T F T0 , T T T0 , 由式（1）有
mc .d T kA .dt
2 x 0 2 0
2 x 0 2 0
G ( j )
1 ( 0 ) ( 2 h 0 )
一阶系统和二阶系统区分方法
一阶系统和二阶系统是控制系统中常见的两种类型，它们可以通过以下几个方面进行区分： 1. 数学模型形式：一阶系统的数学模型通常由一个一阶微分方程描述，例如 RC 电路。而二 阶系统的数学模型则由一个二阶微分方程描述，例如振动系统或者 RLC 电路。
2. 阶数：一阶系统的阶数为1，即系统的最高导数为一阶导数。而二阶系统的阶数为2，即 系统的最高导数为二阶导数。
3. 动态响应：一阶系统的动态响应相对简单，通常具有指数衰减的特点。例如，一阶惯性 系统的响应可以用指数函数来描述。而二阶系统的动态响应则更加复杂，通常具有振荡、超调 和稳定性等特点。
一阶系统和二阶系统区分方法
4. 频率响应：一阶系统的频率响应通常是单调递减的，即随着频率的增加，系统的增益逐 渐减小。而二阶系统的频率响应则可能具有共振现象，即在某个特定频率处，系统的增益达 到最大值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. 控制器设计：由于其较简单的动态特性，一阶系统的控制器设计相对简单。而二阶系统 的控制器设计则需要考虑更多的因素，例如稳定性、超调和振荡等。
通过对以上方面的观察和分析，可以较为准确地区分一阶系统和二阶系统。但需要注意的 是，实际系统可能具有更复杂的特性，可能不严格符合一阶或二阶系统的定义，因此在实际 应用中需要综合考虑多种因素。
简单系统的动态：一阶系统和二阶系统
时间下标：J、K、L 时间间隔：DT→→准确度
DYNAMO中的时间下标
DYNAMO模型中各种方程
L 状态（State, level)变量方程 在DYNAMO中计算状态变量（或称积累变量）的方程称为状态变量方程。 L LEVEL.K=LEVEL.J+DT * (INFLOW.JK- OUTFLOW.JK)
则 Td =ln2*T=0.69T
2*2LEV(0) 2LEV(0) LEV(0)
时间常数T与倍增时间Td的关系
正反馈系统——举例
银行利息流图
银行储蓄的本利计算：
LEV的初始值计算RT; RT*DT; RT*DT+LEV初始值，得新的LEV; 新的LEV代替初始值，重复计算。
L RAL.K=RAL.J+(DT)(IPR.JK) N RAL=1 R IPR.KL=FAIR*RAL.K C FAIR=0.2
负反馈系统——参数推导
L LEV.K=LEV.J+(DT)CONST* (GL－LEV.K)
变形： (LEV.K－LEV.J)/DT=CONST*(GL－LEV.K)
DT→0
d LEV(t)/dt = CONST*(GL－LEV(t))
解得：
LEV(t) = GL－[GL－LEV(0)]e﹣CONST*t
负反馈系统的图解模拟
寻的负反馈系统的三种行为模式
• 模式(1)： GL＞0, LEV(0)≥0,（LEV(0)-GL）＜0 状态值渐近增长趋向目标值GL。
• 模式(2)：GL＞0, （LEV(0)-GL）＞0 状态值指数衰减趋向目标值GL。
• 模式(3)：GL=0, LEV(0)＞0 状态值指数衰减至0。
第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统
一二阶系统频率特性测试与分析
一二阶系统频率特性测试与分析一、引言二阶系统是控制系统中常见的一种类型，它的频率特性对系统的稳定性和性能具有重要影响。
频率特性测试是分析系统动态响应的重要手段之一，通过对二阶系统进行频率特性测试和分析，可以获取系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统的稳定性和性能指标。
本文将介绍二阶系统频率特性测试的基本原理和方法，并通过实例进行分析。
二、二阶系统频率特性测试原理二阶系统是由两个一阶系统级联组成的复合系统，其传递函数可以表示为：G(s)=K/((s+a)(s+b))其中K为系统的增益，a和b为系统的两个极点。
二阶系统的频率特性可以通过系统的幅频特性和相频特性来描述。
1.幅频特性：幅频特性反映了系统对不同频率输入信号的增益响应。
在频率特性测试中，可以通过给系统输入正弦信号，并测量系统输出信号的幅值与输入信号的幅值之比来得到系统的幅频特性。
一般情况下，可以使用频率响应仪或示波器进行测量。
2.相频特性：相频特性反映了系统对不同频率输入信号的相位响应。
在频率特性测试中，可以通过测量系统输出信号与输入信号的相位差来得到系统的相频特性。
一般情况下，可以使用频率响应仪或示波器进行测量。
三、二阶系统频率特性测试方法二阶系统的频率特性测试方法主要有两种，一种是激励法，另一种是响应法。
1.激励法：激励法是通过给系统输入不同频率的正弦信号，并测量系统的输出响应来获取系统的频率特性。
具体步骤如下：（1）设置输入信号的幅值和频率范围；（2）给系统输入不同频率的正弦信号，并记录系统的输出响应；（3）根据记录的数据，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。
2.响应法：响应法是通过给系统输入一个周期或多个周期的脉冲信号，并测量系统的输出响应的特性来获取系统的频率特性。
具体步骤如下：（1）设置输入信号的幅值、频率和脉冲宽度；（2）给系统输入一个周期或多个周期的脉冲信号，并记录系统的输出响应；（3）根据记录的数据，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。
【实验报告】一、二阶系统的电子模拟及时域响应测试
实验名称：一二阶系统的电子模拟及时域响应测试课程名称：自动控制原理实验目录（一）实验目的 (3)（二）实验内容 (3)（三）实验设备 (3)（四）实验原理 (3)（五）一阶系统实验结果 (3)（六）一阶系统实验数据记录及分析 (7)（七）二阶系统实验结果记录 (8)（八）二阶系统实验数据记录及分析 (11)（九）实验总结及感想............................................................................错误!未定义书签。
图片目录图片1 一阶模拟运算电路 (3)图片2 二阶模拟运算电路 (3)图片3 T=0.25仿真图形 (4)图片4 T=0.25测试图形 (4)图片5 T=0.5仿真图形 (5)图片6 T=0.5测试图形 (5)图片7 T=1仿真图形 (6)图片8 T=1测试图形 (6)图片9 ζ=0.25s仿真图形 (8)图片10 ζ=0.25s测试图形 (8)图片11 ζ=0.5s仿真图形 (9)图片12 ζ=0.5s测试图形 (9)图片13 ζ=0.8s仿真图形 (10)图片14 ζ=0.8s测试图形 (10)图片15 ζ=1s仿真图形 (11)图片16 ζ=1s测试图形 (11)表格目录表格1 一阶系统实验结果 (7)表格2 二阶系统实验结果 (11)一二阶系统的电子模拟及时域响应测试（一）实验目的1.了解一、二阶系统阶跃响应及其性能指标与系统参数之间的关系。
2.学习在电子模拟机上建立典型环节系统模型的方法。
3.学习阶跃响应的测试方法。
（二）实验内容1.建立一阶系统的电子模型,观测并记录在不同时间常数T时的跃响应曲线,并测定其过渡过程时间TS。
2.建立二阶系统的电子模型,观测并记录在不同阻尼比ζ时的跃响应曲线,并测定其超调量σ%及过渡过程时间TS。
（三）实验设备HHMN电子模拟机，实验用电脑，数字万用表（四）实验原理一阶系统：在实验中取不同的时间常数T，由模拟运算电路，可得到不同时间常数下阶跃响应曲线及不同的过渡时间。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
第三章 一阶系统、二阶系统、高阶
t 0
n e t
n
1
2
sin d t t 0
2 3.临界阻尼 1 k (t ) n tent
t 0
4.过阻尼 1 k (t )
n
2 2 1
[e
( 2 1)n t
e
( 2 1Biblioteka n t]二阶系统的单位脉冲响应曲线
y (t ) 1 Ai e sit Bk e k nk t cos(dk t ) Ck e k nk t sin(dk t )
i 1 q k 1 r k 1
q
r
r
1 Ai e sit Dk e k nk t sin(dk t k )
K3
eb
1 Ra
或写成 ia
ea eb Ra
ea
ia
eb
ey
y
r
y
电动机力矩平衡方程式 d 2 d J 0 2 b0 M dt dt 其中 M K 2ia 电磁转矩
ia
M
K2
M
1
s
1 M ( s) s( J 0 s b0 )
( s)
1 J 0 s b0
ey
y
r
y
输入：输入电位计转角r(t)
输出：输出电位计转角y(t)
ey
y
r
y
输入电位计和输出电位计电压: er K0 r ey K 0 y
放大器输入电压 ev 和输出电压 ea ev er e y K 0 (r y ) ea K1ev
r y
K0
ev
K1
ea
ey
一阶二阶系统的动态响应1汇总
一阶二阶系统的动态响应1汇总一阶系统和二阶系统是控制系统中常见的两种动态响应模型。
它们在自然科学、工程技术等领域中具有重要的应用价值。
本文将对一阶系统和二阶系统的动态响应进行详细的介绍和分析，并对其特性进行总结和比较。
一、一阶系统的动态响应一阶系统是指系统的微分方程中只含有一阶导数的控制系统。
一阶系统的动态响应通常由一阶微分方程表示。
一般而言，一阶系统的微分方程可以表示为：$ \frac{dy(t)}{dt} = -ay(t) + bx(t) $其中，$y(t)$表示系统的输出，$x(t)$表示系统的输入，$a$和$b$为系统的参数。
根据方程的特性，可以推导出一阶系统的动态响应的数学表达式。
1.1零输入响应当系统处于零输入状态（即$x(t)=0$）时，系统的输出仅由初始条件决定。
一阶系统的零输入响应表达式为：$ y(t) = y(0)e^{-at} $其中，$y(0)$表示系统初始时刻的输出。
可以看出，在没有输入信号的情况下，一阶系统的输出会随着时间的推移而指数级衰减。
1.2零状态响应当系统处于零状态（即初始条件$y(0)$为0）时，系统的输出完全由输入信号决定。
一阶系统的零状态响应表达式为：$ y(t) = \frac{b}{a}(1 - e^{-at})x(t) $其中，$x(t)$表示系统的输入。
可以看出，在没有初始条件的情况下，一阶系统的输出将随着时间的推移而趋近于输入信号。
1.3一阶系统的阶跃响应阶跃响应是指当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出响应。
一阶系统的阶跃响应表达式为：$ y(t) = b(1 - e^{-at})\cdot u(t) $其中，$u(t)$表示单位阶跃函数。
可以看出，在单位阶跃输入信号的作用下，一阶系统的输出会随时间的推移而逐渐趋近于输入信号的幅值。
二、二阶系统的动态响应二阶系统是指系统的微分方程中含有二阶导数的控制系统。
二阶系统的动态响应通常由二阶微分方程表示。
测试第四章一二阶系统特性
m
d2 y(t) dt 2
c
dy(t) dt
ky(t)
x(t)
固有频率:
n
k m
灵敏度 阻尼比
K1 k
c
2 km
H ()
(
j)2
n2 2n (
j)
n2
2
n2 2 n
j
n2
1
1 2 j / n ( / n )2
A()
1
[1（ )2 ]2 4 2 ( )2
n
n
2
(
)
arctg
( 1
第四节一阶二阶系统的特性 一.一阶系统动特性
以RC滤波电路为例 1.建立微分方程 输入 Ux(t) ------x(t)
输出Uy(t)-------y(t)
U
x
i
iR U c duy
dt
y
RC
du y dt
Uy
Ux
时间常数τ=RC
温度
湿度
酒精
一阶微分方程: dy(t) y(t) x(t)
2n , A()斜率 12dB / 倍频的直线
0.5 / n 2 共振区
不同谐振频率输入作用下二阶系统的稳态输出
第四节 测试系统的动态响应 一.对任意输入的响应 测试系统的输入、输出与传递函数之间有关系式：
从时域来看，系统的输出就是输入与系统的脉冲响应函数的卷积：
y(t) x(t) * h(t) x( )h(t )d
I (s)
Js 2
Ki cs
K
J
Ki / K s2 c s 1
KK
令s=Ki/K 灵敏度
3.频响 令s=1
固有角频率 n
快速性分析一阶二阶系统响应
快速性分析一阶二阶系统响应一阶和二阶系统是控制系统中常见的两种类型。
了解和分析这两种系统的响应特性对于掌握控制工程非常重要。
下面将从理论和实际角度分别讨论一阶和二阶系统的快速性分析。
一、一阶系统响应分析一阶系统是指具有一个可控参数的一阶微分方程。
常见的一阶系统包括RC电路和RL电路。
其方程形式为：τdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
1.理论分析一阶系统的理论响应可通过对微分方程进行求解来得到。
假设输入信号u(t)为单位阶跃函数，即：u(t)=1,t≥0;u(t)=0,t<0此时，微分方程的解为：y(t)=1-e^(-t/τ)根据解析解，可以得到一阶系统的重要性能指标：a) 上升时间（Rise Time）：定义为系统输出从0.1到0.9之间所需的时间。
对于一阶系统，上升时间可以近似为：Tr≈2.2τb) 峰值时间（Peak Time）：定义为系统输出达到峰值的时间。
Tp≈3τc) 超调量（Overshoot）：指系统输出超过其稳态值的最大量。
OS≈(e^(-π/(√(1-ζ^2)))-1)×100%其中，ζ是系统的阻尼比，对于一阶系统，ζ仅能取0，因此一阶系统不存在超调量。
d) 调节时间（Settling Time）：定义为系统输出在误差范围内稳定的时间。
Ts≈4τ2.实际分析除了理论分析，我们还可以通过实验或仿真来评估一阶系统的快速性能。
以下是一些实际分析的步骤：a)根据系统的特性指标选择适当的输入信号，例如单位阶跃、正弦波等。
b)将选定的输入信号施加到系统上，并记录系统的输出响应。
c)根据实际记录的数据，计算系统的性能指标，如上升时间、峰值时间等。
二、二阶系统响应分析二阶系统是具有二阶微分方程的系统，常见的例子包括机械振动系统、电路振荡器等。
其方程形式为：τ^2d^2y(t)/dt^2 + 2ζτdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，ζ是系统的阻尼比，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
一阶和二阶系统的数学模型
一阶和二阶系统的数学模型如果知道测量系统的数学模型，经过适当的运算，通常都可以推算得到该测量系统对任何输入的动态输出响应。
但是测量系统的数学模型中的具体参数确定通常需经实验测定，亦称动态标定。
工程上常用阶跃和正弦两种形式的信号作为标定信号。
阶跃输入信号的函数表达式为式中，A为阶跃输入信号幅值。
采用阶跃输入信号具有适用性广、实施简单、易于操作等特点。
采用正弦输入信号对分析测量系统频率特性十分方便，但在对压力、流量、温度、物位等检测系统的实际应用中一般难以碰到被测参量以正弦方式变化的情况，可把被测参量随时间变化看作是在不同时刻一系列阶跃输入的叠加。
工程上常见的各类检测系统的动态响应特性大都与理想的一阶或二阶系统相近，少数复杂系统也可近似地看作两个或多个二阶系统的串并联。
1.一阶系统的标准微分方程不管是电学、力学，还是热工测量系统，其一阶系统的运动微分方程最终都可化成如下通式（1）式中，Y（t）为测量系统的输出函数；x（t）为测量系统的输入函数；为测量系统的时间常数；k为测量系统的放大倍数。
上述一阶系统的传递函数表达式为（2）上述一阶系统的频率特性表达式为（3）其幅频特性表达式为（4）其相频特性表达式为（5）2.二阶系统的标准微分方程不管是电学、力学或热工测量系统，其二阶系统的运动微分方程最终都可化成如下通式（6）式中，为二阶系统的固有角频率；为二阶系统的阻尼比；K为二阶系统的放大倍数或称系统静态灵敏度。
上述二阶系统的传递函数表达式为（7）上述二阶系统的频率特性表达式为（8）其幅频特性表达式为（9）其相频特性表达式为（10）下面着重介绍一阶和二阶系统的动态特性参数。
一阶系统和二阶系统
0,t 0
A,
t
0
A阶跃幅度，A=1 x(t)
称为单位阶跃函数，A
记为1（t）。
t
其拉氏变换后旳像函数为： L[x(t)] A
s
斜坡函数（速度阶跃函数）：
0,t 0 x(t) Bt,t 0
B=1时称为单位 斜坡函数。
其拉氏变换后旳像函数为：
L[x(t)]
B s2
x(t) x(t) Bt
⒍ 振荡次数N：
在调整时间内，y(t)偏离 旳y(振) 荡次数。或在
0<t<ts时间内，单位阶跃响应穿越其稳态值次数旳二 分之一，定义为振荡次数。
y
ymax
0.05 y()
y()
或
0.02 y()
y() 2
0
td tr tp
t ts
在上述几种性能指标中，t p , tr , ts表达瞬态过程进行旳快慢，是 迅速性指标；而 %, N 反应瞬态过程旳振荡程度，是振荡性指
时域分析是一种在时间域中对系统进行分析旳措施，具 有直观和精确旳优点。因为系统旳输出量旳时域体现式是时 间旳函数，所以系统旳输出量旳时域体现式又称为系统旳时 间响应。
系统输出量旳时域表达可由微分方程得到，也可由传递函 数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递 函数间接旳评价系统旳性能指标。
3.1.4 稳态过程旳性能指标
稳态过程旳性能指标
当响应时间t>ts时，系统旳输出响应进入稳态过程。稳 态过程旳性能指标主要是稳态误差。当初间趋于无穷大时， 若系统旳输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态 误差是控制系统精度或抗干扰能力旳一种度量。
ess
lim e(t)
t
一阶系统和二阶系统区分方法 -回复
一阶系统和二阶系统区分方法-回复一阶系统和二阶系统是控制系统理论中常见的两种类型。
在实际应用中，了解如何区分这两种系统对于系统分析和设计具有重要意义。
本文将从数学模型的形式、特征方程的阶数、单位阶跃响应以及系统动态响应等方面逐步回答如何区分一阶系统和二阶系统。
一、数学模型的形式：一阶系统的数学模型通常可以写作以下形式：G(s) = \frac{K}{Ts + 1}其中，G(s)代表系统的传输函数，K为系统的增益，T为系统的时间常数。
二阶系统的数学模型通常可以写作以下形式之一：1. 标准二阶的形式：G(s) = \frac{K}{(T_1s + 1)(T_2s + 1)}其中，K为系统的增益，T_1和T_2分别为系统的两个时间常数。
2. 通用二阶的形式：G(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns +\omega_n^2}其中，K为系统的增益，\omega_n为系统的自然频率，\zeta为系统的阻尼比。
根据数学模型的形式，我们可以初步区分一阶系统和二阶系统。
二、特征方程的阶数：特征方程是描述系统响应的方程，其阶数等于系统的阶数。
对于一阶系统，特征方程的阶数为一，通常为一次多项式。
对于二阶系统，特征方程的阶数为二，通常为二次多项式。
通过观察特征方程的阶数，我们进一步可以区分一阶系统和二阶系统。
三、单位阶跃响应：单位阶跃响应是指当系统输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出响应。
根据单位阶跃响应的形式，我们也可以区分一阶系统和二阶系统。
一阶系统的单位阶跃响应通常具有指数衰减的形式，即在初始时刻系统响应迅速达到稳定，并以指数形式趋于稳定值。
而对于二阶系统的单位阶跃响应，其形式通常包含了振荡（正弦项）和指数衰减（指数项）两部分。
其中，振荡部分描述了系统的振荡行为，而指数衰减部分描述了系统的稳态响应。
通过分析单位阶跃响应的形式，我们可以进一步确认一阶系统和二阶系统的类型。
第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统
R 速率（变化率）方程 速率方程无一定格式； 速率的值在DT时间内是不变的，其时间下标为KL。
A 辅助(Auxiliary)方程 辅助方程定义为在反馈系统中描述信息的运算式； “辅助”的涵义就是帮助建立速率方程。
C T N
赋值予常数 赋值予表函数中Y坐标 为LEVEL方程赋予初始值
LEV与RT的指数增长
正反馈——指数增长的重要特点
以不同大小的时间坐标范围观察指 数增长过程：
t≤15 Td 前，增长趋势不显著， t≥ 15 Td 后，状态变量猛然暴涨。
正反馈——超指数增长
如图，实线表示的非线性情况，其变化率的增长速度较虚线表示的 线性增长情况快得多，这种增长过程称为超指数增长。 系统时间常数变化的非线性系统比起线性系统具有更加突出的指数 增长特性。
L
R
RT.KL=CONST*DISC.K
A DISC.K =GL－LEV.K 式中：
负反馈系统的典型流图
DT——计算时间间隔(时间)； CONST——常数（1/时间）； LEV——状态变量（单位）； RT——速率（单位/时间）； DISC ——偏差（单位）； GL ——目标值（单位）
负反馈系统——参数推导
带有不变外生输入速率的负反馈系统
推导：
RT1.KL=CONST*（GL－LEV.K） RT2.KL=CRT NTRT.KL＝CONST*（GL－ LEV.K）+CRT
系统新的动态平衡
速率—状态变量关系曲线 当NTRT=0时， CRT=－CONST*(GL－LEV.K） =－CONST*GL+LEV*CONST LEV=NGL=（CRT/CONST）+GL 或以时间常数T(T=1/CONST)表示, NGL=T*CRT+GL 系统新的平衡值比原目标值GL增加了T*CRT
自动控制原理系统的型次
自动控制原理系统的型次自动控制原理系统的型次指的是系统的阶次或者等效阶次。
在自动控制中，我们常常使用阶次的概念来描述系统的复杂程度和动态响应的性质。
型次是指系统传递函数中最高阶导数的次数。
简而言之，这是描述系统动态响应能力的一个度量标准。
阶次越高，系统的动态响应能力越强。
在自动控制原理中，系统的型次主要由系统的传递函数决定。
传递函数可以是一个或多个函数相乘得到的。
下面我们来介绍几种常见的型次：1. 一阶系统：系统传递函数中只有一个一阶导数，例如1/(s+a)。
一阶系统是最简单的系统，具有较低的复杂度和动态响应能力。
2. 二阶系统：系统传递函数中有一个二阶导数项，例如1/(s^2+as+b)。
二阶系统比一阶系统更复杂，具有更强的动态响应能力。
许多机械和电子系统可以近似为二阶系统。
3. 三阶系统：系统传递函数中有一个三阶导数项，例如1/(s^3+as^2+bs+c)。
三阶系统比二阶系统更为复杂，通常用于模拟更复杂的物理系统。
4. 高阶系统：系统传递函数中有更高阶的导数项。
高阶系统具有更复杂的动态响应能力，可以用于描述更复杂的物理现象。
高阶系统在实际应用中比较常见，如电力系统、化学过程控制等。
不同型次的系统具有不同的动态响应特性。
一阶系统具有较慢的动态响应速度和较大的超调量；二阶系统具有较快的动态响应速度和较小的超调量；高阶系统具有更高的动态响应速度和更小的超调量。
在进行自动控制系统设计时，理解系统的型次是非常重要的。
通过研究系统的型次，可以选择合适的控制策略和参数，以实现期望的动态性能。
总之，自动控制原理系统的型次是衡量系统复杂程度和动态响应能力的重要指标。
了解不同型次系统的特点和性能对于系统设计和实际应用都具有重要意义。
一阶和二阶系统的动态特性参数 - 机电一体化
一阶和二阶系统的动态特性参数 - 机电一体化检测系统的时域动态性能指标一般都是用阶跃输入时检测系统的输出响应，即过渡过程曲线上的特性参数来表示。
1．一阶系统的时域动态特性参数一阶测量系统时域动态特性参数主要是时间常数及与之相关的输出响应时间。
（1）时间常数时间常数是一阶系统的最重要的动态性能指标，一阶测量系统为阶跃输入时，其输出量上升到稳态值的63.2％所需的时间，就为时问常数。
一阶测量系统为阶跃输入时响应曲线的初始斜率为1／。
（2）响应时间当系统阶跃输入的幅值为A时，对一阶测量系统传递函数式（1-54）进行拉氏反变换，得一阶测量系统的对阶跃输入的输出响应表达式为（1）其输出响应曲线如图1所示。
从式（1）和图1，可知一阶测量系统响应Y（t）随时间t增加而增大，当t=∞时趋于最终稳态值，即y（∞）=kA。
理论上，在阶跃输入后的任何具体时刻都不能得到系统的最终稳态值，即总是y （t∞）<ka。
因而工程上通常把tr=4（这时有一阶测量系统的输出y （4τ）≈ y （∞）×98.2％=0．982kA）当作一阶测量系统对阶跃输入的输出响应时间。
一阶检测系统的时间常数越小，其系统输出的响应就越快。
顺便指出，在某些实际工程应用中根据具体测量和试验需要，也有把tr=5或tr=3作为一阶测量系统对阶跃输入输出响应时间的情况。
</ka。
因而工程上通常把t图1 一阶测量系统对阶跃输入的响应2．二阶系统的时域动态特性参数和性能指标对二阶测量系统，当输入信号x（t）为幅值等于A的阶跃信号时，通过对二阶测量系统传递函数式进行拉氏反变换，可得常见二阶测量系统（通常有01，称为欠阻尼）的对阶跃输入的输出响应表达式上式右边括号外的系数与一阶测量系统阶跃输入时的响应相同，其全部输出由二项叠加而成。
其中一项为不随时间变化的稳态响应KA，另一项为幅值随时间变化的阻尼衰减振荡（暂态响应）。
暂态响应的振荡角频率wd称为系统有阻尼自然振荡角频率。
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获得，以便于数学分析和实验研究。 • 应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作
为典型的测试信号。
在控制工程中采用下列五种信号作为典型输入信号
脉冲函数： (t) 0 tt 0 0
(t)d t1
L[(t)]1
阶跃函数：
0,t 0 x(t) A,t 0
控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统 的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决 于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
典型初始状态:
规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
.
..
y(0)y(0)y(0)0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控 制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
0,t 0
x(t )
1 2
Ct
2
,
t
0
C=1时称为单位 抛物线函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
C s3
x
(t) x(t)
1
Ct 2
2t
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A(t)d d[A t 1 (t) ]d d2 2[tA ] td d3 3[t1 2A2]t
正弦函数：x(t)AS int，式中，A为振幅，为频率。
3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换
在分析和设计控制系统时，需要确定一个对各种控制系 统的性能进行比较的基础，这个基础就是预先规定一些具有 特殊形式的测试信号作为系统的输入信号，然后比较各种系 统对这些输入信号的响应。
选取测试信号时必须考虑的原则： • 选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时的大部分
其拉氏变换后的像函数为：
L[Asint]
A n
s2 2
n
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输 入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函 数为典型输入信号。
讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为 典型输入信号。
描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下，瞬态过程随时 间t的变化状况的性能指标，称为瞬态性能指标，或称为动 态性能指标。
为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作 用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。
稳定控制系统的单位阶跃响应曲线有衰减振荡和单调上升两 种类型。
yt
ymax
y()
y() 2
⒊ 峰值时间 t：p
输出响应超过稳态值达到第 一个峰值ymax所需要的时间。
ymax
y
⒋ 最大超调量(简称超调量)： % y()
3.1 典型输入作用和时域性能指标
3.1.0 时域分析 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 3.1.2 瞬态过程和稳态过程 3.1.3 瞬态过程的性能指标 3.1.4 稳态过程的性能指标
3.1.0 时域分析
时域分析是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据 输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态 性能。
3.1.3 瞬态过程的性能指标
控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标，由瞬态 性能指标和稳态性能指标两部分组成。 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只 有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的瞬态和稳态性能 才有意义。 在工程应用上，通常使用单位阶跃信号作为测试信号， 来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。
典型响应：
⒈ 单位脉冲函数响应：
Y(s)G(s)1
⒉ 单位阶跃函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应：
Y(s) G(s) 1 s
Y(s)
G(s)
1 s2
⒋ 单位抛物线函数响应：
Y(s)
G(s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具 有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时 间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时 间响应。
系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函 数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递 函数间接的评价系统的性能指标。
积分
单位抛物线 函数响应
微分
3.1.2 瞬态响应和稳态响应
在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应 都由瞬态响应和稳态响应两部分组成 。
1．瞬态响应：又称为瞬态过程或过渡过程。是指系统在典 型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态 的响应过程。 由于实际的控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素， 系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，瞬态过程曲线 形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。 瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称 为系统的瞬态性能。 一个可以实际运行的控制系统，瞬态过程必须是衰减的。 即系统必须是稳定的。
2．稳态响应：又称为稳态过程。是指系统在典型输入信号 的作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应状态。 稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包 含了输出响应的稳态性能。 从理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过 程，但这在工程应用中是无法实现的。因此在工程上只讨论 典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过程，在这段时间里， 反映了系统主要的瞬态性能指标。而在这段时间之后，认为 进入了稳态过程。
A阶跃幅度，A=1 x (t )
称为单位阶跃函数，A
记为1（t）。
t
其拉氏变换后的像函数为： L[x(t)] A
s
斜坡函数（速度阶跃函数）：
x(t)
0,t 0 Bt,t 0
B=1时称为单位 斜坡函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
B s2
x(t) x(t) Bt
t
抛物线函数（加速度阶跃函数）：
0
td tr tp
y(t) y()
y % 2或5
t ts
0
ts
y() % ( 2或5)
t
3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
（一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程 如图所示：
⒈ 延迟时间 td：
y
y()
输出响应第一次达到稳
t
态值的50%所需的时间。
t 0 r
⒉ 上升时间 tr ：
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。(或指由稳 态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间)。