§4 关于三棱镜最小偏向角的证明

§4 关于三棱镜最小偏向角的证明

图8－19所示表示某三棱镜之主截面，A 为棱镜的顶角，令射入棱镜的光线和射出棱镜之光线均在主截面上，并没有构成棱镜的物质的折射率为n, 棱镜周围的物质是空气。

由几何关系可得偏向角：

()()()////i i i i δγγγγ=-+-=+-+

又/A γγ=+

∴/i i A δ=+-

因为A 为定值，所以偏向角的大小由()

/i i +而定， i 和i /的关系可由折射定律得：sin sin i n γ= (1)

//sin sin i n γ= (2)

（1）＋（2）得：()

//sin sin sin sin i i n γγ+=+ 根据三角函数的和差化积公式将上式变为：

////

2sin cos 2sin cos 2222

i i i i n γγγγ+-+-= 因为：/

A γγ=+

上式变为： ()///

cos 2sin sin 22cos 2i i A n i i γγ-+=- (3)

因为γ及i /与γ/分别对同一情况的单折射平面的入射角与折射角，根据（1）有： ()sin sin 1sin i n γγ-=-

()2sin

cos 1sin 22

i i n γγγ-+=- ()sin 2sin 12cos 2i n i γγγ-=-+ …… （4） 同理根据（2）有：

()//

///

sin 2sin 12cos 2

i n i γγγ-=-+ (5)

图8－19

∵/

/sin sin sin ,sin i i n n

γγ== 当///,sin sin ,i i γγγγ≥≥≥≥/时，sini sini 于是：//

cos cos 22

i i γγ++≤ 所以：////

sin sin ,2222

i i i i γγγγ----≥≥ 即：//

22

i i γγ--≥ 于是：//

cos cos 22

i i γγ--≤ //cos 21cos 2i i γγ-≥+ 当///,sin sin ,i i γγγγ≤≤≤≤/时，sini sini 同理可得：//22i i γγ--≤ //

22

i i γγ--≤ 此时()()

//i i γγ--与均为负值，在取绝对值的条件下，仍有： //1122

i i γγ-≥- 于是：/

/

cos 21cos 2

i i γγ-≥+ 从以上讨论中可知：只有当/i i =时，（此时/

γγ=） /

/

cos 2cos 2

i i γγ-+有极小值1。 依（3）式得：/

sin 2

i i +人极小值。就是/i i +有极小值。故最小偏向角： /min 2i i A i A δ=+-=-

由上式可知，发生最小 向角时的入射角：()min 12

i A δ=+

因为：//,A γγγγ==+ 所以发生最小向角时：/2

A γγ== 又因为：min sin sin 2sin sin 2

A i n A δγ+⎛⎫ ⎪⎝⎭== …… （6） 若能测得最小向角及棱镜的顶角A ，便可应用（6）式求得棱镜的折射率。 若棱镜的顶角甚小，此时三棱镜接近于两块平行板，于是min δ也必然最小。 故：()()min min 11sin 22

A A δδ+≈+ sin 22

A A ≈ ()min min 122

A A n A A

δδ++== 或：()min 1n A δ=-