指数函数的图像及性质
指数,对数,幂函数的图像和性质
指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。
指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。
2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。
对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。
2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。
幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。
2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。
3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。
4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。
5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。
指数函数的图像与性质
2.比较a 与a 的大小（a 0且a 1 ）。
3.设 y1 a , y2 a 确定x为何值时，有：
3 x 1 2 x
1 2
1 3
，其中 a 0且a 1，
（ 1 ）y1 y2
（2）y1 y2
例 3：如图是指数函数①y＝ax (a>0，且 a≠1)， ②y＝bx (b>0， 且 b≠1)， ③y＝cx (c>0，且 c≠1)， ④y＝dx (d>0，且 d≠1)的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( ) A．a< b<1< c<d B．b< a<1< d< c C ．1<a< b< c<d D．a< b<1< d< c
x
指数函数y (a 2) 为减函数
0 a 2 1
可得a的取值范围为（ 2,3）
5 a 与 a 变式训练：比较 的大小，其中
a 0且a 1
练习：
0.7 0.9 0.8 a 0 . 8 , b 0 . 8 , c 1 . 2 , 1.已知
b<a<c 则 a , b, c 的大小关系是____________________.
y
(0,1)
y=1 x
(0,1)
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0
x
0 y > 1； 当 x < 0 时，
当 x > 0 时， 0< y < 1。
定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
指数函数图像及性质
指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。
指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。
指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。
即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。
2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。
3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。
4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。
5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。
6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。
7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。
8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
指数函数的图象和性质
1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1
指数函数的图像与性质
细胞分裂问题：
任何有机体都是由细胞作为基本单位组成 的，每个细胞每次分裂为2个，则1 个这样的 细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂 后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细 胞，…。那么，一个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x函数关系是什么？
观 察 细 胞 分 裂 过 程 图 ：
0 0.1 1, y 0.1x 是减函数， 且-0.1 0.1,
0.10.1 0.10.1
巩固练习（P107习题第5题）
5、 比较下列各题中两个值的大小：
(1)30.8
30.7
(2)0.ห้องสมุดไป่ตู้50.2
0.750.2
(3)0.91
0.91.1
(4)1.12
y 1 ax
自变量(R)
大于0，不等于1的常数
y 1 ax
练习：下列哪些函数是指数函数?
√ (1)y=2x,
√ (2)y=(1/2)x, × (3)y=x3,
× (4)y=2·3x, × (5)y=(-10)x, × (6)y=3x+1.
例题解释
例1 已知指数函数f (x) 2x，求f (2), f (1), f (0), f (1)的值。
例题解释
例3 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.60.1与1.60.2
(2)0.70.1与0.70.2
解：(1)考察函数y 1.6x
1.6 1, y 1.6x 是增函数， 且0.1 0.2,
1.60.1 1.60.2
(2)考察函数y 0.7x
解：f (2)
22
1 22
1 4
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
4.2指数函数的图像与性质
第四章：鬲函数、指数函数与对数函数第二节：指数函数的图像与性质【知识讲解】指数函数定义：一般地,函数〔.>0且awl〕叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.特别注意：指数函数中对常数.的要求是不等于1的正实数.指数函数的图像与性质指数函数y =优在底数a > 1及Ova v 1这两种情况下的图象和性质：注意：〔1〕注意指数函数〕,= "〔“ >0且.工1〕与暴函数y = £.〕的区别〔2〕函数/〔幻=与g〔x〕=〔'〕'的图像关于了轴对称〔.> 0且"W 1〕.a〔3〕指数函数/〔%〕,对任意实数x,y都有f@+y〕 = f〔x〕f〔y〕〔4〕指数函数的图像是以x轴为渐进线值得注意的几个问题〔1〕会根据复合函数的单调性特征“同增异减〞,判断形如〕,=.小〕〔4>0且4W1〕函数的单调性: 〔2〕会根据〕'=优〔4 > 0且“ W 1〕的单调性求形如y = /叫xeD, y = f〔a x\xeD的值域：〔3〕解题时注意“分类讨论〞、“数形结合〞、“换元〞等思想方法的应用.题型1.指数函数定义例1、关于x的以下各函数中,指数函数是：〔〕① y = 3-t② y = 〔a + 1〕' > -1,且a * 0〕③ y = x~y④y = 4 ⑤y = ⑥y =例2,以下函数中, 哪些是指数函数?(2) y = x2：(3) y = -x；(5) y = 2-* (6) y = -2x例3、函数〕,=〔.2-34 + 3,/是指数函数,求.的值.题型2,定义域值域例3、设函数/〔x 〕 = x - 4的定义域是{0,—2,—3,4,5},求函数尸〔x 〕 = ——的定义域.21 — 1例4、91—10・3〞+940,求函数y = (l)~4例1.求函数的定义域与值域：〔1〕汽=卜?严 7 _八3«」〔2〕%=〔—〕. 4的定义域与值域4〔；〕*+2的最大值与最小值.例2,求函数〕,=题型3.图像例1、设a,"c,d都是不等于1的正数,y = = = 在同一坐标系中的图像如下图那么的大小顺序是〔〕A.ci <b<c <dB.a <h<d <cCh <a<d <c D.h <a <c <d例2、〔1〕画出函数y= 3、-1的图像,并指出攵为何值时,方程3〞一1 =左无解？有一解？有二解?〔2〕设函数/〔x〕 = 2i—l,xeR；1〕分别作出函数y = f〔国〕和y = \f〔x〕\的图像.2〕求实数〃的取值范围,使得方程/〔国〕=〃与|/〔x〕|=a都有且仅有两个实数解.例3. (1)作出函数),=2回与y = 2卜r的图像⑵ 设函数/'(X)=2TT-〃7,假设方程/(x) = 0的有实数根,求实数〃？的取值范围.例4.方程2511-4乂5*" + 2〃7-1有实数解,求实数〃？的范围例5、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.毅,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,那么y=f(X) 的图像大致为( )例6、要使函数),=22+机的图像不经过第二象限的机的取值范围()B、rn < -1 C^ m < -2 D、m > -2例7、假设函数/(x) = "—3 + l) (〃>O且〃工1)的图像在第一、三、四象限,那么必有()A、Ovc/vl且Z?>0B、Ovavl且.vO C^且Z?vO D、且.>0题型4.性质:比拟大小、单调性、奇偶性例1、比拟以下各题中两个值的大小：(1) 1.72\1.73(2)0.8-.」.尸(4) 1.1〞与 L/3 ⑸0.5〞与ON (6) 0.7°s 与0.8°7例2.判断或讨论以下函数的奇偶性:⑴ /(x )=「1+6例3、函数/(x) = —(.＞0且a +a (1)求/(幻的定义域和值域；(7)设.、b w R ： 试比拟〃时与.好的大小.(3) Ohiowa (4) 1.7°\0.931(2) /(x) = a —2 2V + 1〔2〕讨论/〔x〕的奇偶性.〔3〕讨论/〔、〕的单调性.综合：复合函数、分类讨论例1、〔1〕求函数,,=d〕八2、的单调递增区间. 〔2〕求函数〕,=33+2"2的单调区间和值域(3)求函数y=- 的单调区间与值域.< 2 ；(4)函数),=3—+限+.*£火)的值域为R,,求常数a,〃,c满足的条件.例2,函数/“)= (/—1)］在R上是减函数,求实数.的取值范闱,例3、(1)假设函数),=4'一3・2〞+3的最小值为1,最大值为7,试确定x的取值范围.〔2〕设.是实常数,求函数y = 4*+4-,2a〔2、2-］〕的最小值.例4、求函数/〔X〕=,产二〃 > 0,.w 1〕在x e ［0,1］的最值.a例5、函数/〔x〕 = a・Z/+c, xe［0,+s〕的值域为［―2,3〕,那么/〔x〕的一个可能的解析式为例6、定义：区间［彳〔*<4〕的长度为马―』,函数丁 = 2忖的定义域为伍力］,值域为求区间口,勿的长度的最大值与最小值的差为例7.函数/'.〕= 3"一〔％ + 1〕・3'+2,当xeR时,/〔x〕的值恒大于0,求实数攵的范围.例8.、假设函数/.〕=,产+24、一1〔“>0,4.1〕在［-1,1］上的最大值为14,求实数a的值.。
课件6：4.1.2 指数函数的性质与图像
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
指数函数图像和性质_课件
0.4
2.5
10 20.2
比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值（常用的特殊值是0和1），再利用单调性比较大小
a>1
图
6
0<a<1
6
5
5
4
4
3
3
象
1
-4 -2
2
2
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
0
-1
2
4
6
1.定义域：R
性
2.值域：（0，+∞） 3.过点（0，1），即x=0时，y=1
x
x
-2
-1
0 1
1 2
2 4
3 8
2
1 2 x
1 8 8 1 27 1 27
1 4
4
1 2 2 1 3 3
1
1 1
3
1 3
x
1 9 9
1 2 3 1 3
1 4 9 1 9
1 8 27 1 27
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
x>0时，0<y<1 x<0时， y>1 在R上是减函数
比较下列各题中两个值的大小： ①
1 .7
2 .5
，
1.7
3
解 ：利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值；
5
；
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 在R上是增函数， 而2.5<3，所以，
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
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讲 义
教材与考点分析：
本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。
考点1：分数指数幂
我们规定分数指数幂的意义：
负分数指数幂的意义：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
考点2：有理数指数幂的运算性质
),,0,0())(3(,))(2(,
)1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===⋅+
考点3：指数函数及其性质
a>1 0<a<1
图
象
图
像
特
征 图像分布在一、二象限，与轴相交，落在轴的上方。
都过点（0，1） 第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1。
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1。
从左向右图像逐渐上升。
从左向右图像逐渐下降。
性
质
(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1 (4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1. （5）在 R 上是增函数 （5）在R 上是减函数
练习 指数函数
第1题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ）
Ａ．()()()f xy f x f y =
Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+
第2题. 若11()()23
x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥
第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y =
Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+
第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ）
第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ．
第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ．
第7题. 当0x >时，函数()()21x
f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ．
第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围．
第9题. 指数函数x
b y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．
第10题. (1)已知12()3a a -+=，求33a a -+；
(2)
已知21x a =，求33x x
x x
a a a a --++； (3)已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值．。