理论力学第三章刚体力学

3）张量积。 M 阶张量A和N 阶张量B可以按照下列方式组成一个 M N 阶张量C : C ... A ... B ... 称为A与B张量积，记为C A B或C AB。这种运算不 不满足交换律，但满足结合律和分配律。 4）内积。 将M 阶张量A的一个指标和N 阶张量B的一个指标取 成重复指标，并对该重复指标求和（称为指标缩并） 可以证明得到的是一个M N－2阶张量C : C A B ＝A B 我们称之为A与B的内积。

a A a A a ( A
)(a B

a
a B

)
(a a )
B

)
上式表明C满足M+N-2阶张量的变换规则，故C为张量。
5）一个张量的收缩（缩并）。 N （ 2）阶张量A的收缩定义为对其自身的两个 指标进行缩并，得到一个N－2阶张量B: B ＝A
r r n r n r
交换转动次序，则有
r r n r n r
已知对线位移，有 r r r r 可得 n r n r n r n r
即
n n r n n r

A



讨论阶数N取几种特定值的张量
1）当N 0时，张量T 只有一个分量，变换规则为 T=T 零阶张量也称为标量。如温度、能量等都是标量。 2）当N 1时，张量T 只有3个分量，变换规则为 =a T T 一阶张量也称为矢量。如位矢、动量等。
矢量常表示为 或记为矩阵形式
第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量
§3.3 欧勒角
§3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 §3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解
§3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
另外，存在行列式为－1的正交变换，如空间反演 1 0 0 x1 x1 x2 ＝ 0 1 0 x2 x 0 0 1 x 3 3 它将所有的右手坐标系化为左手坐标系，但不能反映 刚体位置的连续变化。凡是含有反演操作的正交变换 ˆ 都不能由连续的转动生成，我们把这种变换叫作非正 S 常转动。反映刚体连续变化的转动称为正常转动。非 正常转动可以看作是由反演和正常转动联合组成的变换。
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x3 (或Oxyz) 我们分别用Ox1 x2 x3 (或Oxyz )和Ox1x2 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量 分别为e 和e（ 1, 2,3或x, y, z）。 ＝ 本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， ，e3 在空间系中的9个方向余弦来描写： e2 , e ) e e a （＝1, 2,3） cos(e
ˆ的本征方程 （A ˆ－1 ˆ）X ˆ 0 有一本征值为1， 3）A 相应的本征矢对应于转动操作的转轴，另外两个本 征值为e i , 为转角（这就是Euler定理的矩阵表述）。 ˆ－1 ˆ）A ˆ T＝1 ˆ－A ˆ T 两边取行列式，得 证：对恒等式（A ˆ－1) ˆ det(1 ˆ－A ˆ) det( A 因为行列式是奇数（3）阶的，上式两端一定为零， ˆ的本征值之一 与本征方程的系数行列式比较可知，A ˆ 下保持不变，故一定 为1＝＋1.相应的本征矢在变换A 沿转轴方向。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B
A
C
6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
定轴转动的独立变量只有一个
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
5）一般运动(Chasles定理)
刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上 绕该点的一个转动，即 刚体的一般运动＝基点的平动＋绕基点的转动
刚体一般运动的独立变量有六个
§3.2 角速度矢量
1.有限转动与无限小转动 有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律
无限小转动是矢量， 它满足矢量加法交换律 证明
定义 角位移n，其大小 n
位移矢量 r 0时，垂直于r n 平面
r PM , PM r sin
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性 可知， 9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ， 3个非对角），所以独立的方向余弦数目为 9－6＝3
ˆ的行列式为1.即 det A ˆ 1 ˆ 2）A 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 ˆ T det A ˆ，得 ˆ 1 ˆ det A det A 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
将两个矢量A和B按顺序并在一起，不作任何运算 得到的量称为并矢，记为 AB A B e e 并矢是一种二阶张量，它与矢量的内积定义为 （AB） C A （B C） C（ AB）（ C A）B 一般说来（AB） C C（ AB）。 两个并矢AB和CD的双重内积定义为 ( AB ) : (CD ) ( B C )( A D) 一个特殊的二阶张量是二阶单位张量： 1＝ e e＝e e 它的矩阵表示为单位阵。
转动不改变位矢的长度，所以 ˆ ˆ)T Ar ˆˆr ˆT A ˆ )r ˆT r ˆ ( Ar ˆT ( A ˆr ˆT r ˆ r ˆT A ˆ＝1 ˆ ˆ的任意性可得 A 由r ˆ的逆矩阵就是其转置。 这表明A 这个结论还可以写成 ˆ ˆ T＝A ˆT A ˆ＝1 ˆ AA 或a a (行行正交)a a (列列正交) 这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
...

对于正常转动，赝张量与张量的变换相同；对于非 正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算： 1）相等。 设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等， 即 A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B. 2）加法。 两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B
理论力学
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第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。 我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
张量
在三维欧氏空间中，N阶张量T定义为具有3 N 个 ˆ 下，按 分量的量T ( N 个下标)，它在正交变换A
...
下列方式变换： ...＝a a a T
T
N阶赝张量的定义与张量类似，只不过在变换式前 面多出一个变换矩阵的行列式，即 ˆ a a a T ＝detA T
r r n sin r n r
若 n 是矢量它应当满足矢量加法交换律
n n n n
1）转动前： r 2）转动 n 后： r n r 3）再转动 n 后：
r n r n r n r
不计二阶微量，则有
T =T e
T1 ˆ T= T2 T 3 一阶赝张量也称为赝矢量，或轴矢量。如角速度 磁感应强度等都是赝矢量。
3）当N 2时，张量T 共有9个分量，变换规则为 =a a T T 二阶张量可记为 或表为矩阵形式 T11 T12 T13 ˆ T= T21 T22 T23 T T T 31 32 33 T =T e e
此时，有
＝ a e e
＝1
3
（＝1, 2,3）
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和， ＝a e e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得 a x （＝1， x 2， 3） 上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以 将它表示成矩阵形式： a11 x1 x2 a21 x a 3 31 a12 a22 a32 a13 x1 a23 x2 x a33 3
n n n n
2.角速度矢量
n dn lim t 0 t dt
dr r n r dn v lim lim r r dt t 0 t t 0 t dt
角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）
证明：设当取A点为基点时，刚体的角速度为 A , 此时刚体上任意一点P的速度为：vP v A A AP 若取B为基点时，设角速度为B，则 vP vB B BP (v A A AB ) B BP 上两式相减，得 0＝ A （AB AP ) B BP A PB B BP (B A ) BP 由于P点选取的任意性，故 与基点选取无关）
ˆˆ ˆ Ar 或简记为 r ˆ 称为转动矩阵或变换矩阵。 矩阵A
转动矩阵的性质：
ˆ 是可逆的，且其逆阵就是自身的转置 A ˆ －1＝A ˆT 1 ）A ˆ，按Euler 证：设从空间系到本体系的变换矩阵为A ˆ ，于是 定理，也存在从本体系到空间系的变换矩阵A ˆ ˆ AA ˆ ˆ r ˆ Ar ˆ r ˆ ˆ ＝1 ˆ ˆ是任意的，所以 AA 因为r ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 1 ˆ 与A ˆ 的位置也可以交换，所以A ˆ 是可逆的，逆阵与 中A 逆变换相对应。
B＝ A （即角速度
§3.3 欧勒角 • 正交变换 对于作定点运动的刚体，如何描述其 转轴的取向？一种可行的方法是，以定点 O为原点，建立两个坐标系：一个固定在 地球上，称为空间坐标系或静止坐标系， 另一个固定在刚体上，称为本体坐标系， 也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以 看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间 坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取 向。
ˆ的另外两个本征值为 ， ，则（将矩阵 3）设A 2 3 对角化的相似变换不改变其行列式的值） ˆ＝ ＝1 det A
1 2 3
上式要求2，3互为共轭复数。如取转轴为z轴，转 角为，则 cos sin 0 ˆ＝ sin cos 0 A 0 0 1 容易验证该矩阵的3个本征值分别为1，ei，e－i ˆ 与上式相差相似变换，但这种变换不改变 一般的A 本征值的性质，故结论仍成立。
求证C为一张量
证：只需证明C是按照一个张量的变换规则变换即可。 由内积的定义，得 A B C ＝（a a a a a a a a a a C