研究生数理统计第三章习题答案

习 题 三

1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X

N .现在测试了5炉铁水，其含

碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，(

)

2

4.55,0.108X

N ，5n =，5

1

1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，

()52

2

01

10.095265i i s x μ==-=∑.

1)当00.108σ=已知时，

①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512

1.96u

u α-

==

，临界值12

1.960.0947c α-

=

=

=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.

③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.

2)当0 4.55μ=已知时，

①设统计假设222222

0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.

②当0.05α=时，临界值

()()()()222210.02520.975122

111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为2

2

2

2

0212

2

2

2

0000{

}{

2.56660.1662}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

00.09526

8.16700.108

s

K σ=

=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.

2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X

N μ，问这批元件是否合格()0.05α=？

解 由题意知，()2,100X

N μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.

①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-

，临界值()1.6533c α==

-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.

③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问

1)机器工作是否正常()0.05α=？

2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？

解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知

()

2

500,X

N σ

，方差2

σ未知. 9n =，9

1

1500.88899i i x x ===∑，0.05α=，

()

()

2

2

2

1

1

1133.6111118n

n

i i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52

2

01

130.66679i i s x μ==-=∑

1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.

②()()0.97512

18 2.306t

n t α-

-==

，临界值(

)121 2.306 4.4564c n α-=-==， 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.

③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.

2)当0500μ=已知时，

①设统计假设222222

0010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=.

②当0.05α=时，临界值

()()()()222210.02520.975122

111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-=

=====， 拒绝域为2

2

2

2

0212

2

2

2

0000{

}{

2.11330.3}s

s

s

s

K c c σσσσ=><=><或

或

.

③

2

02

2

030.6667

1.013785.5

s

K σ=

=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.

4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为

()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？

解 由题意知，()23.25,X

N σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.

①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值

(

)11 1.7290.1067c n α-=

-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->

③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.

5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048X

N μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为

1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，

问这天生产的维尼纶纤度的方差2

σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知(

)

2

,0.048X

N μ，8n =，8

1

1 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，

()

()

2

2

2

1

1

110.0122118n

n

i i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.

①设统计假设222222

0010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.