矩阵的初等变换教案

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0831矩阵的初等变换PPT课件

0831矩阵的初等变换PPT课件

程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩

学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元,即非零行的第一个非零
元.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵:
•各非零行首非零元素分布在不同列

物 医
•当有零行时,零行在矩阵的最下端

工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3

初等变换与初等矩阵课件

初等变换与初等矩阵课件

0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O

0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵, 简称标准形,分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形(或行最简形)矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵,我们可以用初等行变换的方法
求A1B:
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1:
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X,使AX B,其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换:
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2

矩阵的初等变换教学设计

矩阵的初等变换教学设计

矩阵的初等变换教学设计引言:矩阵的初等变换是线性代数中重要的基础概念之一。

它被广泛应用于向量空间的研究、线性方程组的求解以及线性变换的描述等领域。

在教学过程中,通过生动有趣的教学设计,能够帮助学生更好地理解矩阵的初等变换的概念和运算规则。

一、教学目标通过本节课的学习,学生应能够:1. 理解初等变换的定义及其应用场景;2. 掌握初等变换的运算规则和性质;3. 能够应用初等变换解决线性方程组问题。

二、教学内容1.初等变换的定义及应用场景;2.初等行变换的运算规则和性质;3.初等列变换的运算规则和性质;4.线性方程组的求解与初等变换的关系。

三、教学过程设计1. 导入(5分钟)引入矩阵的初等变换的概念,通过生活中的例子引起学生的兴趣,例如:两个人通过沟通和交流互相影响,这就是一种变换;沙漏的上下翻转也是一种变换,等等。

2. 知识讲解(20分钟)2.1 初等变换的定义及应用场景学生通过具体例子,了解初等变换的定义和应用场景。

例如,初等变换可以用于求解线性方程组、求矩阵的逆等。

2.2 初等行变换的运算规则和性质详细讲解初等行变换的三种运算规则:交换两行、以非零常数倍乘某行、给某行加上另一行的常数倍。

同时,介绍初等行变换的性质,并结合实例进行说明。

2.3 初等列变换的运算规则和性质详细讲解初等列变换的三种运算规则:交换两列、以非零常数倍乘某列、给某列加上另一列的常数倍。

同时,介绍初等列变换的性质,并结合实例进行说明。

3. 讲解与练习(30分钟)3.1 线性方程组的求解与初等变换的关系通过一个线性方程组的例子,引导学生认识到初等变换与线性方程组之间的密切关系。

讲解如何通过初等变换将线性方程组化简为行阶梯型,进而解决线性方程组。

3.2 练习题讲解与批改设计一些练习题,让学生进行练习,并对答案进行讲解与批改。

通过练习巩固学生对初等变换的理解和应用。

4. 学习总结(5分钟)总结本节课的主要内容,强调初等变换的重要性和应用价值。

线性代数课件 矩阵的初等变换

线性代数课件 矩阵的初等变换



第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列,得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k ),得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点:左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列; 2. 以数 k 0 乘某行或某列; 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去.
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价,记作A ~ B.
等价关系的性质:
(1)自反性 A A;
(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵:
特点: (1)可划出一 条阶梯线,线的 下方全为零; (2)每个台阶 只有一行,
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”).
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换.
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同.
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

7.4矩阵的初等变换.

7.4矩阵的初等变换.

7.4矩阵的初等变换课题: 矩阵的初等变换目的要求:1 •掌握矩阵的初等行变换的概念。

2 •熟练掌握用矩阵初等行变换求逆矩阵。

3 •会用矩阵初等行变换解线性方程组 重点: 用矩阵初等行变换求逆矩阵 难点:用矩阵初等行变换解线性方程组 教学方法: 教学时数:教学进程:讲练结合 4课时、矩阵的初等行变换定义 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三种变换:⑴变换矩阵的某两行位置;⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素; ⑶把矩阵某一行的 K 倍加到矩阵的另一行上去.矩阵A 经过初等行变换得到矩阵B ,通常记作A B ,一般A B •符号 (r )(仃),(rJK,(rJ K(「)分别表示交换A 的第i 行与j 行,第i 行乘K 及第j 行的K 倍加到第i 行上•将定义中所有的“行”字改为“列”字,就得到矩阵的初等列变换的定义,矩阵的初等 行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换•0 8 16如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边,同时没有例1设矩阵A 1 46依次对A 施行如下初等变换:⑷第 2行乘( 】);8⑸第 2行乘-4 加到第 1行上•解2 0 41 4A1 4 6 (rj (「2)2 00 8160 8(「2) (8)1 4 0 86 16弘)80 0 01 0 2(4)(1 ”2)(「)0 1 261 4 6 4( 2)( rj (①816 160 8161 460 1 20 0 0⑴交换A 的第1行与第2 行; ⑵第1行乘-2加到第2行上; ⑶第2行乘1加到第3行;个非零行出现在零行之下,则称这种矩阵为行阶梯形矩阵 •如果行阶梯形矩阵的每一个非零 行的非零首元素都是 1,且非零首元素所在列的其余元素都为 0,则称这种矩阵为简化行阶 梯形矩阵•例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵A 的阶梯形矩阵是不唯一的,但是,一个矩阵的阶梯形矩阵中所 简化行阶梯形矩阵是唯一的•于是,这就为用行初等变换解线性方程组提供了一个明确的目标二、用矩阵初等行变换求逆矩阵若n 阶矩阵A 可逆,矩阵A 总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵,则用同样 的初等行变换就将 I 化为A -1.这就给我们提供了一个计算 A -1的有效方法:若对AI 施 -以 初等行变换将A 变为I , 则 I 就变为A -1 ,即初等行变换11A II A1 2 3例3将矩阵A2 1 2 ,求逆矩阵A -1.1 3 41 2 3 1 0 0⑴)2(A) 1 2 3 1 0 0 解(A,l )2 1 2 0 1 0 (r 3)(G0 3 4 2 1 01 3 4 0 0 10 1 1 1 0 11 2 0 0 2 1 3 0 1A 0 0 1 0 1 ,B0 2 1 00 0 0 1 0 0 0 0 11 2 3 2例2将矩阵A1 2 2 12 4 8 12 解先把A 化为阶梯形矩阵1 2 3 2 1 A1 2 2 1 22 4 8 1242化为阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 4(r i ) (“) 1仏)2(r i ) 02 3 210 1311 2 3 21⑴)2亿)0 0 1 3 1 ;0 0 0 2 4再化为行简化阶梯;形矩阵,即(「1)3(D)如)1 2 0 7 40 0 1 3 10 0 0 1212 0 010 (「1)7(「3)0 0 1050 0 0 1 2由此例可看到,矩阵 含非零行的行数是唯一的,B 不是简化行阶梯形矩阵且A 为简化行阶梯形矩阵,而(「1)2(「2)10 13 0(「3)3(「2)0 1 1 1 00 0 1 5 11 0 02 1 10 1 0 6 1 40 0 15 1 32 1 11A 6 1 4 .5 1 3值得注意的是,用初等行变换求逆矩阵时,必须始终用初等行变换,其间不能作任何初等列变换•且在求一个矩阵的逆矩阵时,不必考虑这个矩阵是否可逆,只要在用初等行变换的过程中,发现这个矩阵不能化成单位矩阵,则它就没有逆矩阵三、用矩阵初等行变换解线性方程组消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办法,将其运用到解n元线性方程组中也是有效的•它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程,从而求出方程组的解•下面通过例子说明如何解系数行列式不等于零的线性方程组x-i 2 x2 3x37例4用消元法解线性方程组2x1 x2 2x38 •x-i 3x27解把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照方程组的消兀过程增广矩阵的变换过程X1 2x23x3 7 1 2 3 72x1 x22x3 8 2 1 2 83x27 0 0 0 1(「2)2(「J% 2x23x37(「2)2(「J 1 2 3 7(「3)(「1)5x2 4x3 6 (「3)(「1)0 5 4 6X2 3x314 0 1 3 14% 2 X2 3X3 7 1 2 3 7(「2)(「3)X2 3x314 (「2)(「3)0 1 3 145x2 4x3 6 0 5 4 6X1 2X2 3X3 7 1 2 3 7(「3)5(「2X2 3X3 14 (「3)5(「20 1 3 1419x376 0 019 76(「2)(「3)10 130 1 1 1 0 0 15 (rj (b)加3) 19 X 1 X 2 X 32X 2 3x 3 43x 3 147舟亿) 19 1 0 0 2 10 3 3 17 144(rj 3亿)(A) 3(叨X 1 2x 2 51 2 0 5亿)3仏) X 22(r 2)3( r 3)0 1 0 2X 3 40 0 1 4X 1 11 0 0 1(G 2(r 2)X 2 2(r 1)2( r 2)0 1 0 2X 3 40 0 1 4x 1 1 由此得到方程组的解为X 2 2X 3 4由上表可以看出,方程组的消元顺序与增广矩阵的初等变换顺序完全相同x1=c 1 , X 2=C 2,…,X n =C n .这种消元法称为矩阵法2 3 1 1 3 31 1 1〜3 解A11 1 0(rj(「2)2 3 1 1 34 1 1 1 7 4 1 1 1721 1 1 521 1 1517 0 0 0 7 7 (r 1) 1 0 00 1 (A) (「3)2 3 1 1 3(「) 2 3 11 34 1 1 1 74 1 11 72 1 1 1 52 1 11 5(r 2) 2(r 1)(r 3) 4(r 1) 1 0 0 0 11 0 00 1 (L) 2(G0 3 1 1 1(「) (「)0 1 11 311 1 31 11 33x 1 X 2 X 3 X 4 0 4x 1 X 2 X 3 X 4 7 2x 1 X 2 X 3 X 4 52x i 3x 2 X 3 X 43例5用矩阵法解线性方程组般地,对一个n 元线性方程组,当它的系数行列式不等于零时,增广矩阵施以适当的行初等变换,使它成为以下的形式:1 0 0 C 1 0 10 c 22,那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解,即 只要对方程组的0 01 c n0 1 1 1 3 0 3 1 1 1由此可见,用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程,不仅简便而且清晰明了 •归纳起来,用矩阵法求线性方程组的解的过程可以表述为:首先用增广矩阵A 表示线性方程组AX B ,然后将A 用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵,最后写出简化阶梯形 矩阵所对应的线性方程组,从中解出原方程组的解小结本讲内容: 强调1 •矩阵的初等行变换的概念。

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$,求$A^{-1}$。
答案
首先,对矩阵$A$进行初等行变换,将第一 行乘以-2加到第二行,得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后,对矩阵$B$进行初 等列变换,将第一列乘以-3加到第二列,得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此,矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k,记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵,其主对角线上的元素都是1,其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$,求$A^{-1}$。
VS
答案
首先,对矩阵$A$进行初等行变换,将第 二行乘以-2加到第一行,得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后,对矩阵$B$进行 初等列变换,将第一列乘以-4加到第二列 ,得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此,矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。

高中数学《矩阵及其初等变换》课件

高中数学《矩阵及其初等变换》课件

0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2

AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式: a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式: AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22

2[1].5矩阵的初等变换

2[1].5矩阵的初等变换
E (i ( k )) = ?
(3)将E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上得到的初等矩阵,记作
E(i, j(k)).
1 O ← i行 1 0 E= O ← j行 1 O 1
1 O 1 L k E (i, j (k )) = O M 1 O 1
思考:(1)利用定理2.5.2如何求初等矩阵的逆矩阵? 1 2.5.2 (2) 将矩阵A与B等价用初等矩阵描述?
练习:
0 0 1 0 1 0 1 0 0
2000
1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 0 1 7 8 9 0 1 0
于是, 我们可以采用以下方法求 A−1 : 将 A与 E并排在一起,组成一个 n × 2 n的矩阵( A, E ).
对矩阵(A, E)做一系列行初等变换,将其左半部分化为单 位矩阵E − 1 )
→ LLLLLLLL →
1 0 1 例2.5.3 设A= 2 1 0 用初等行变换法求A−1. −3 2 −5
可以验证,初等矩阵具有以下性质: (1)初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵; (2)初等矩阵皆为可逆矩阵,且其逆矩阵仍为同类型的初 等矩阵。 1 0 0 例2.5.2 设有第二种初等方阵E(3(k )) = 0 1 0 ,(k ≠ 0), 0 0 k a11 a12 a13 以及三阶方阵A= a21 a22 a23 ,试求E(3(k )) A以及AE(3(k )). a a a 31 32 33
(1) 交换E的第、j行(列)(i < j), 得到的初等矩阵记作E(i, j) i
0 0 1 1 1 L 0 ← i行 0 LL 1 M M E (i , j ) = E= M M 1 LL 0 0 L 1 ← j行 0 1 0 1

矩阵初等变换操作

矩阵初等变换操作

矩阵初等变换操作一、课程目标知识目标:1. 理解矩阵初等变换的定义,掌握矩阵的行变换和列变换的基本方法;2. 能够运用矩阵的初等行变换和列变换对矩阵进行简化,求解线性方程组;3. 掌握矩阵的秩的概念,并能够通过初等变换求解矩阵的秩;4. 了解矩阵初等变换在现实生活中的应用。

技能目标:1. 能够熟练运用矩阵的初等行变换和列变换,对矩阵进行简化;2. 能够运用矩阵初等变换解决实际问题,如求解线性方程组、计算矩阵的秩等;3. 能够通过矩阵初等变换,分析矩阵的性质,为后续课程打下基础。

情感态度价值观目标:1. 培养学生主动探索、积极思考的学习态度,增强学生对矩阵初等变换操作的兴趣;2. 培养学生的团队协作意识,学会与他人共同分析问题、解决问题;3. 使学生认识到矩阵初等变换在数学及相关领域的重要性,增强学生的应用意识。

针对课程性质、学生特点和教学要求,本课程将目标分解为以下具体学习成果:1. 学生能够准确描述矩阵初等变换的定义;2. 学生能够独立完成矩阵的行变换和列变换;3. 学生能够求解线性方程组,并计算出矩阵的秩;4. 学生能够通过实例分析,了解矩阵初等变换在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 矩阵初等变换的定义与性质- 矩阵的行变换与列变换- 初等行变换与初等列变换的互逆性质2. 矩阵的行简化- 高斯消元法- 矩阵的行最简形式3. 线性方程组的矩阵求解- 利用初等行变换求解线性方程组- 矩阵的秩与线性方程组的解的关系4. 矩阵的列简化- 矩阵的列最简形式- 列变换在实际问题中的应用5. 矩阵初等变换的应用- 求解线性方程组- 计算矩阵的秩- 矩阵分解教学内容安排与进度:第一课时:矩阵初等变换的定义与性质,重点讲解行变换与列变换的基本方法;第二课时:矩阵的行简化,学习高斯消元法,掌握矩阵的行最简形式;第三课时:线性方程组的矩阵求解,通过实例分析,理解矩阵的秩与线性方程组解的关系;第四课时:矩阵的列简化,了解列变换在实际问题中的应用;第五课时:矩阵初等变换的应用,通过案例教学,使学生掌握矩阵分解等高级应用。

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质,通 过计算伴随矩阵的元素,得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A,其行列式记 为|A|,定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵,同时记录下每一步的变 换,最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程,实际上是消元的过程 ,通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A,其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E,其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵,同时记录下每一步的变换 ,最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积,代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j),其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A,使得$AB=BA=I$, 则称A是B的逆矩阵,记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵,则$A^{-1}$也是可逆的,且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行(列)
如果矩阵A经过交换两行(列) 后得到矩阵B,则$det(A)=det(B)$。
02
某行(列)乘以常 数k
如果矩阵A经过某行(列)乘以 常数k后得到矩阵B,则 $det(A)=k*det(B)$。

矩阵的初等变换教案

矩阵的初等变换教案

矩阵的初等变换教案一、教学目标1.理解矩阵的初等变换的概念和背后的数学原理;2.学会应用矩阵的初等变换解决线性方程组和矩阵的行列式问题;3.培养学生抽象思维和逻辑分析能力。

二、教学准备1.教学工具:黑板、彩色粉笔、投影仪;2.教学材料:教科书、课本、习题集。

三、教学过程1.导入(5分钟)通过举一个实际问题引导学生思考:如何用较少的步骤将一副扑克牌从一个排列变换到另一个排列?2.提出问题(10分钟)介绍矩阵的初等变换的概念和定义,然后提问:通过初等变换,能否将一个矩阵变换到另一个矩阵?如果可以,有哪些限制条件?3.讲授知识点(20分钟)根据学生提出的问题,介绍矩阵的初等变换的具体做法和步骤,包括行交换、行倍乘以非零常数、将其中一行的k倍加到另一行上。

然后讲解初等变换的数学原理和作用。

4.解答疑问(10分钟)根据学生提出的问题,解答矩阵的初等变换的相关疑问,强调初等变换的性质和应用。

5.练习训练(30分钟)给学生发放练习题,让学生通过矩阵的初等变换解答线性方程组和矩阵的行列式问题。

监督学生的解题过程,及时给予指导和回答疑问。

6.知识总结(10分钟)总结矩阵初等变换的基本步骤、应用及数学原理,帮助学生理清思路和掌握关键概念。

7.课堂小结和作业布置(5分钟)对本节课的教学内容进行小结,并布置相关作业,以便学生巩固和扩展所学内容。

四、教学反思通过本节课的教学,学生能够初步掌握矩阵的初等变换的概念和基本步骤。

但是教学时间有限,学生的动手能力和实际应用能力还需要进一步提高。

下节课应该增加更多的练习和例题,加强学生对初等变换的理解和应用。

矩阵的初等变换教案

矩阵的初等变换教案
数有加减乘除四则运算,矩阵有没有矩阵的除法
3’
二、讲授新课
例1求下列线性方程组的解:
解用消元法求解,并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表矩阵:
对换④、⑤的位置得
对换④、⑤的位置得
-4×⑤+④得
⑥得
最后,将 代入⑤,得 ;再将 代入①得 .因此,这个方程组的解为 .
通过线性方程组与矩阵对比,总结出结论
1’
课后反思
1、教学方法:
2、教学效果:
3、问题:
4、解决措施:
一、矩阵的初等变换
1定义:①互换矩阵的某两行列的位置
②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行列
③将矩阵中某一行列遍乘一个常数k加到另一行列上
2举例说明具体变化规律
例2
二、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵
1定义矩阵为阶梯型矩阵B满足:
1零行元素全为0的行在最下方;
2首非零元素即非零行的第一个不为零的元素的列标号随行标号的增加而严格递增;每一个非零行的第一个非零元素正下方的元素必须全为零
线性代数教案
周次
课题
课时
课型
教具
矩阵的初等变换与矩阵的秩1
2
新授
教材
教学目的
1、理解矩阵的初等变换定义
2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵教学重点Βιβλιοθήκη 矩阵的初等变换、阶梯型矩阵
教学方法
例证法、启发诱导法、讲授法
教学过程
一、复习与导入
矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法;
若阶梯形矩阵还满足非零行的首行非零元都是1,叫做行简化阶梯型矩阵;
2例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩阵

初等矩阵变换

初等矩阵变换
பைடு நூலகம்
Zhanglizhuo-2016
事实上,数域F上mn矩阵A与B等价 A经过初等变换变成矩阵B 存在F上m阶初等矩阵P1, P2, …,Pt与n阶初等矩阵 Q1, Q2, …,Qm,使得 Pt…P2P1AQ1Q2…Qm=B, 存在F上m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得 PAQ=B, 其中P=Pt…P2P1, Q=Q1Q2…Qm。
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 c 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1/ k 0 0 0 0 1 0 c 0 0 1
Zhanglizhuo-2016
例1 设初等矩阵
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 P1 , P2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 c 1 0 0 0 0 k 0 0 P3 (k 0) 0 0 1 0 0 0 0 1 求 P1P2P3及(P1P2P3)-1。
Zhanglizhuo-2016
二、矩阵的等价(相抵) 引言 任意矩阵都可以经过初等行变换化为简化行阶梯 形矩阵J,如果再对J施以初等列变换,情形会怎样? 请看示例。
1 3 2 1 0 1 1 0 0 A 1 2 1 0 1 1 0 1 0 , 2 4 6 0 0 0 0 0 0
Zhanglizhuo-2016
0 0 1 0 0 kr2 0 k 0 , (k 0) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 r1r3 1 0 0 1 0 . 1 0 0 0 1

矩阵初等变换法解方程组教案

矩阵初等变换法解方程组教案

矩阵初等变换法解方程组教案一、教学目标:1. 理解矩阵初等变换的概念及其作用。

2. 掌握矩阵初等变换的法则,能够进行矩阵的初等变换。

3. 学会运用矩阵初等变换法解方程组,提高解方程组的能力。

二、教学重点与难点:1. 重点:矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 难点:矩阵初等变换的法则,运用矩阵初等变换法解方程组。

三、教学方法:1. 采用讲授法,讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 采用案例分析法,分析并解决实际问题。

3. 采用练习法,巩固所学知识。

四、教学准备:1. 教案、PPT、黑板。

2. 教学素材(如方程组、矩阵等)。

3. 练习题。

五、教学过程:1. 导入:通过一个实际问题,引出矩阵初等变换的概念。

2. 讲解:讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

3. 案例分析:分析并解决实际问题,让学生理解矩阵初等变换在解方程组中的应用。

4. 练习:让学生运用所学知识,解决一些简单的方程组。

5. 总结:回顾本节课所学内容,强调矩阵初等变换在解方程组中的重要性。

6. 布置作业:布置一些有关矩阵初等变换和解方程组的练习题,巩固所学知识。

六、教学反思:在课后,对学生的学习情况进行总结,对自己的教学方法进行反思,以便改进教学,提高教学效果。

七、教学评价:通过课堂讲解、练习题和作业,评价学生对矩阵初等变换的概念、法则及应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的创新能力和合作精神。

八、课时安排:2课时九、教学内容:第一课时:1. 矩阵初等变换的概念。

2. 矩阵初等变换的法则。

3. 矩阵初等变换的应用。

第二课时:1. 运用矩阵初等变换法解方程组。

2. 案例分析与练习。

十、教学拓展:引导学生深入研究矩阵初等变换的性质,探讨矩阵初等变换在实际问题中的应用。

鼓励学生参加相关竞赛,提高自己的数学素养。

六、教学案例与实例分析1. 案例一:解二元一次方程组给定方程组:\[\begin{cases}ax + = c \\dx + ey = f\end{cases}\]通过矩阵表示方程组,并利用初等变换将其化为行最简形式,从而求解未知数。

204_第14讲矩阵的初等变换

204_第14讲矩阵的初等变换


1 1 5 0 0 设 A 0 2 4 3 0 , 求 r ( A) 。 0 0 0 0 1
解 因为 A 是 3 5 阶矩阵 , 所以 , r ( A) min{3, 5} 3 。
1 1 0 而 0 0 2 0 0 1, 1
故 r ( A) 3。
交叉处的k 2 个元素(不改变它们的相互位置 所构成的 k 阶 )
行列式 , 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 ( 1 k min{ m, n }) 。
矩阵 A 的子式是一个行列式。

1 0 0 写出矩阵 A 2 3 4 的所有子式。 5 6 7
一阶行列式 | a11 | a11
保秩性定理
矩阵经过初等变换后 , 其秩不变。
或者说 : 两个等价矩阵的秩相等 。
A B , 则 r ( A) r ( B) 。
保秩性定理的证明:
由行列式的性质 , 互换行列式的两行 (列) , 或者将
行列式的某一行乘上一 个不为零的常数 , 都不会改变行
列式为零或不为零的结 论。故第 1 和第2 两种初等变换
2 3 A 的二阶子式 D 0。 2 12

而包含 D 在内的三阶子式 :
2 3 2
r1 2 r3 r2 2 r3
0 9 6 0 1 6 3 4 4
2 12 12 1 3 4
9 6 0。 6 4
故由定理 2 得 r ( A) 2 。
若用定理 1 计算 , 则
要多计算2 个行列式。
且 r ( A) r , r ( B) s 。
矩阵 B 的 r 1 阶子式 M r 1 有三种情形 : 1. M r 1 中不含 B 的第 j 行时 ,

第三节 矩阵的初等变换

第三节 矩阵的初等变换

因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组 因为在上述变换过程中, 的系数和常数进行运算, 的系数和常数进行运算,未知量并未参与运 算. 若记 1 2 2 −1 −1 1 −2 1 4 1 B = (Ab) = 4 −6 2 − 2 4 3 6 −9 7 9 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 方 程组( )的增广矩阵)的变换. 程组(1)的增广矩阵)的变换.
面零元素的个数随行数增大而增多. 面零元素的个数随行数增大而增多 注意: 元素全为零的行只会在最下面. 注意 元素全为零的行只会在最下面
1 2 3 4 5 0 0 7 8 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0
7 0 12 3 1 2 2 1 0 0 8 9 0 0 0 1
2 r2 − 31 1 − 1 r 1 r3 − 21 − 0 − 2 2r 1 B1 = 3 2 −0 −5 1 r4 − 1 3r 3 0 −3 9 6
− 1 4 1 2 2 − 1 2 2 − 1 2 3 5 − 3 − 7 9 4
1 2
3
4
÷2
(1)

1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
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数有加减乘除四则运算,矩阵有没有矩阵的除法
3’
二、讲授新课
例1求下列线性方程组的解:
解用消元法求解,并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵):
对换④、⑤的位置得
对换④、⑤的位置得
(-4)×⑤+④得
⑥得
最后,将 代入⑤,得 ;再将 代入①得 .因此,这个方程组的解为 .
通过线性方程组与矩阵对比,总结出结论
矩阵的初等变换教案
线性代数教案
周次
课题
课时
课型
教具
矩阵的初等变换与矩阵的秩(1)
2
新授
教材
教学目的
1、理解矩阵的初等变换定义
2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学重点
矩阵的初等变换、阶梯型矩阵
教学方法
例证法、启发诱导法、讲授法
教学过程
一、复习与导入
矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法。
1’
课后反思
1、教学方法:
2、教学效果:
3、问题:
4、解决措施:
一、矩阵的初等变换
1定义:①互换矩阵的某两行(列)的位置
②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行(列)
③将矩阵中某一行(列)遍乘一个常数k加到另一行(列)上
2举例说明具体变化规律
例2
二、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵
1定义矩阵为阶梯型矩阵B满足:
(1)零行(元素全为0的行)在最下方;
(2)首非零元素(即非零行的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增。(每一个非零行的第一个非零元素正下方的元素必须全为零)
若阶梯形矩阵还满足非零行的首行非零元都是1,叫做行简化阶梯型矩阵。
2例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩阵
3思考题:同一个矩阵的阶梯型矩阵是否唯一
4例3求矩阵的阶梯型矩阵
5练习p2454(1)
39’
三、小结
1、矩阵的初等变换
2、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵
2’
四、作业:习题(2).5(2)(3)(4)
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