文科立体几何线面角二面角专题-带答案
专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。
立体几何中二面角和线面角
立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。
2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。
求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。
2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．2、如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6EF a =。
（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。
(完整版)异面角,线面角,二面角
B 1D 1A DC 1BCA 11.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为(A) 46(B).36 (C).62 (D).632.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο3.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 46． 4. .如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角;30 (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B所成的角.30DABPCACBADC 1D 1A 1B 1C B1．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．1、证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ． （2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ． △BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角． 又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，则3CE =，12DE =，132cos 33DE CED CE ∠===． 2．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ． （3）若a AC a AB a AD 3,,===，求二面角A DC B --的正弦值2，证明 如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC ＝90°．∴BC ⊥AB ．∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF ⊥CD （三垂线定理）．∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ． （2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD面BCD ．∴面AEF ⊥面BCD ．（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD∩CD＝D ∴AF ⊥平面DBC ，3．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的大小。
高考立体几何文科大题及答案
（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，
求三棱锥 体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形 中， ， 将
沿 折起到 的位置，使平面 平面
（I）求证：
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
2018高考数学真题 文科 8.5考点3 线面角、二面角的求法
第八章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质考点3 线面角、二面角的求法（2018·浙江卷）已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解析】如图，不妨设底面正方形的边长为2，E为AB上靠近点A的四等分点，E′为AB的中点，S到底面的距离SO＝1，以EE′，E′O为邻边作矩形OO′EE′，则∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.由题意，得tan θ1＝SO′EO′＝√52，tan θ2＝SOEO ＝√52＝√5，tan θ3＝1，此时tan θ2＜tan θ3＜tan θ1，可得θ2＜θ3＜θ1.当E在AB中点处时，θ2＝θ3＝θ1.故选D．【答案】D（2018·浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A ＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【解析】方法一 （1）证明 由AB ＝2，AA 1＝4，BB 1＝2，AA 1⊥AB ，BB 1⊥AB ，得AB 1＝A 1B 1＝2√2，所以A 1B 12＋A B 12＝A A 12，故AB 1⊥A 1B 1.由BC ＝2，BB 1＝2，CC 1＝1，BB 1⊥BC ，CC 1⊥BC ，得B 1C 1＝√5.由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，得AC ＝2√3.由CC 1⊥AC ，得AC 1＝√13，所以A B 12＋B 1C 12＝A C 12，故AB 1⊥B 1C 1.又因为A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，A 1B 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.（2）如图，过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，交直线A 1B 1于点D ，连接AD ．由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.由C 1D ⊥A 1B 1，平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，得C 1D ⊥平面ABB 1.所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角．由B 1C 1＝√5，A 1B 1＝2√2，A 1C 1＝√21，得cos ∠C 1A 1B 1＝√427，sin ∠C 1A 1B 1＝√77，所以C 1D ＝√3，故sin ∠C 1AD ＝C 1DAC 1＝√3913. 因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.方法二 （1）证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知各点坐标如下：A （0，－√3，0），B （1,0,0），A 1（0，－√3，4），B 1（1,0,2），C 1（0，√3，1）．因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，2），A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，－2），A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2√3，－3）． 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AB 1⊥A 1B 1.由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AB 1⊥A 1C 1.又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，A 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.（2）设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由（1）可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,2√3，1），AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1，√3，0），BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0,0,2）． 设平面ABB 1的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ）．由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +√3y =0,2z =0, 可取n ＝（－√3，1,0）．所以sin θ＝|cos 〈AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉|＝|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝√3913. 因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.【答案】见解析（2018·天津卷（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝2√3，∠BAD ＝90°.（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（3）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明 由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABD ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（2）如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝√AD 2+AM 2＝√13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC ．在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝√AD 2+AN 2＝√13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝√1326.所以异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为√1326. （3）如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝√3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝√AC 2+AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝√34.所以直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为√34.【答案】见解析。
文科立体几何线面角二面角专的题目-带答案
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
精彩文档
实用标准文案
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体
中，底面 是梯形，四边形 是正方形，
，
，
，
，
（1）求证：平面
平面 ；
（2）设 为线段 上一点，
，求二面角
的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体
中，四边形 为等腰梯形，
，已知
，
，
，四边形 为直角梯形，
，
.
精彩文档
实用标准文案
（1）证明： 平面 ，平面
.
由已知得 .
精彩文档
取平面 的法向量
实用标准文案
设
，则
.
设平面 的法向量为
.
由
得
，可取
，
所以
.由已知得
.
所以 所以
.解得 （舍去）， .
.又
，所以
.
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空 间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
中，
（1）证明： 平面 ；
专题22 异面直线所成的角、线面角与二面角(解析版)
专题22 异面直线所成的角、线面角与二面角一、单选题1．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为A ．12 B ．13 C ．14D ．15【试题来源】【市级联考】安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试 【答案】B 【解析】圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为23π的扇形，则圆锥的母线l 满足：2133l ππ⋅=，故圆锥的母线长为3，又由232r l ππ=，可得圆锥的底面半径为1，故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为13．故选B ．2．直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于 A ．40° B ．50° C ．90°D ．150°【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 必杀技 第8章 【答案】B【解析】两条直线平行，它们与同一平面所成的角相等，直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于050，选B ．3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 A ．全等B ．相似C ．仅有一个角相等D ．全等或相似【试题来源】【新教材精创】人教B 版高中数学必修第四册 【答案】D【解析】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．故选D ．4．在长方体1111ABCD A BC D -中，二面角1D AB D --的大小为60︒，1DC 与平面ABCD 所成角的大小为30，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是A．4BCD【试题来源】2020高考数学压轴题命题区间探究与突破 【答案】B【解析】连接1AB ，由11//AB DC 可得11B AD ∠为异面直线1AD 与1DC 所成角，如图，由二面角1D AB D --的大小为60，可知1160,3D AD AA ∠=∴=， 又1DC 与平面ABCD 所成角的大小为30，1111122,DC CC AA DC ∴===，连接111,AB B D，设1ADAA ==，则AB =，1111=,2,33AD a AB a B D ∴==，在11AB D ∆中，由余弦定理可得，22211444cos a a a B AD +-∠==，∴异面直线1AD与1DC 故选B ．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为A ．3sin θB ．3cos θ C ．12sin θD ．12cos θ【试题来源】江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末【答案】A【解析】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长AB a ，底面内切圆半径OC r =，2ASB θ∠=，则OAB 是等边三角形，3sin 60r a ==，侧面SAB 中，2sin a b θ=，sin r θ∴=，即b r ==．故选A6．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，下列结论正确的是A ．直线1A B 与直线AC 所成的角是45︒ B ．直线1A B 与平面ABCD 所成的角是30 C ．二面角1A BC A --的大小是60︒D ．直线1A B 与平面11A B CD 所成的角是30【试题来源】云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】D【解析】A 选项，连接11AC ，1BC ，因为11ACAC ∥，所以直线1A B 与直线AC 所成的角为11=60C A B ∠，故A 错；B 选项，因为1A A ⊥平面ABCD ，故1A BA ∠为直线1AB 与平面ABCD 所成的角，根据题意1=45A A B ∠；C 选项，因为BC ⊥平面1A AB ，所以1,BC AB BC A B ⊥⊥，故二面角1A BC A --的平面角为1=45A A B ∠，故C 错；用排除法，选D7．正方体1111ABCD A BC D -中，直线AC 与直线1BC 所成的角、直线AC 与平面1A D 所成的角分别为 A ．45,60︒︒ B ．90,45︒︒ C ．60,60︒︒D ．60,45︒︒【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册） 【答案】D【解析】如图：因为11//AD BC ，所以直线AC 与直线1BC 所成角为1D AC ∠，因为1ACD △是等边三角形，所以160D AC ∠=︒，因为CD ⊥平面11ADD A ，所以直线AC 与平面1A D 所成角为CAD ∠， 因为ADC 是等腰直角三角形，所以45CAD ∠=︒，故选D ． 8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是A ．AB 与CF 成60°角 B ．BD 与EF 成60°角C ．AB 与CD 成60°D ．AB 与EF 成60°角【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【解析】由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体， 由CF ⊥ 平面ABC ，AB平面ABC ，所以CF AB ⊥所以AB 与CF 成90︒角，故A 错误；由BD ⊥ 平面1A EDF ，EF ⊂平面1A EDF ，所以BD 与EF 成90°角，故B 错误； 又//AE CD ，所以BAE ∠是AB 与CD 所成角，又ABE △是等边三角形，则60=︒∠BAE ，所以AB 与CD 成60°角，故C 正确； 因为1//AB A D ，又1A D EF ⊥，所以AB 与EF 成90°角，故D 错误．故选C ．9．直线l 与平面α所成的角是45°，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成的角是45°，则l 与m 所成的角是 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°【试题来源】人教B 版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 【答案】C【解析】如图，在平面α内，lA α=，过l 上一点B 作BC α⊥，垂足为C ，则直线AC即为l 在α内的射影'l ，45BAC ∠=，设1AC =，则1BC =，AB =，过C 作CD m ⊥，由题可知45CAD ∠=，则AD CD ==， 在Rt BCD 中，2262BD BC CD ，BAD ∠是l 与m 所成的角，在BAD 中，2221cos 22AB AD BD BADAB AD，60BAD ．故选C ．10．在正方体1111ABCD A BC D -中，下列四个结论中错误的是A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒B ．直线1BC 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒D ．直线1BC 与直线AB 所成的角为90︒【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】B【解析】连接1AB 因为1ABC 为等边三角形，所以160ACB ∠=︒，即直线1BC 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，因为1111AB BC CD AD ===，所以四面体11AB CD 是正四面体，所以点1B 在平面1AD C 上的投影为1ADC 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC ，则3OC BC =，设直线1BC 与平面1AD C 所成的角为θ，则11cos 32BCOC B C θ===≠，故选项B 错误；连接1BC ，因为11AD BC ，且11B C BC ⊥，所以直线1BC 与1AD 所成的角为90°，故选项C 正确；因为AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，即直线1BC 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确．故选B ．11．已知正方体1111ABCD A BC D -和空间任意直线l ，若直线l 与直线AB 所成的角为1α，与直线1CC 所成的角为2α，与平面ABCD 所成的角为1β，与平面11ACC A 所成的角为2β，则A ．122παα+= B ．122παα+≥ C ．122πββ+=D ．122πββ+≥【试题来源】江西省九所重点中学（玉山一中、临川一中等）2021届高三3月联合考试 【答案】B【解析】若//l 平面ABCD ，则10β=，此时2β可以是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的任意值，此时122πββ+≤，故CD 错误；当直线//l BC 时，1,BC AB BC CC ⊥⊥，此时12ααπ+=，故A 错误．故选B ．12．如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE PB E =，且DE AB ⊥，32PA =，PB =PA 与平面CDE所成角的正切值为AB．2CD【试题来源】人教B 版（2019）选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 【答案】A【解析】由勾股定理222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，过P 作PM AB ⊥于M ，由,,DE AB AB DC DE DC D ⊥⊥⋂=可得AB ⊥平面DCE ，所以APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，在直角三角形APB 中， APM PBA ∠=∠，3tan tan APM PBA ∠=∠==．故选A ．13．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，1BC 和1C D 与底面所成的角分别为60和45，则异面直线1BC 和1C D 所成角的余弦值为A．B ．3 CD【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B 版2019选择性必修第一册）【答案】A【解析】如图所示：因为1B B ⊥平面ABCD ，所以1BCB ∠是1BC 与底面所成角，所以160BCB ∠=．因为1C C ⊥底面ABCD ，所以1CDC ∠是1C D 与底面所成的角，所以145CDC ∠=．连接1A D ，11AC ，则11//AD B C ．所以11A DC ∠或其补角为异面直线1BC 与1C D 所成的角．不妨设1BC =，则112CB DA ==，11BB CC CD ==，所以1C D =，112AC =．在等腰11AC D 中，111112cos 4C D A DC A D ∠==，所以面直线1BC 和1C DA ． 14．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为等边三角形，22AB AD BC ===，AB AD ⊥，//AD BC ，点H 为PB 的中点，则直线HD 与底面ABCD 所成的角的正弦值为ABCD【试题来源】江西省临川一中暨临川一中实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】A【解析】作HE AB ⊥于E ，连接,ED BD ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，HE ∴⊥底面ABCD ，ED ⊂底面ABCD ，HE ED ∴⊥，HDE ∴∠即为直线HD 与底面ABCD 所成的角，设22AB AD BC ===，又PAB △为等边三角形，11111,2242BH BP AB BE AB ∴=====，2HE BD ∴===HD ∴sin 14HE HDE HD ∴∠==A 15．如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为A ．13B ．12C D ．34【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】C【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则//OD AC ， 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角，设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得DF ，EF =则DE =因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥，进而可得OE ⊥平面ABC ，因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥，在直角ODE ∆中，可得cos OD ODE DE ∠==，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为2，故选C ．16．如图，已知三棱锥A BCD -，记二面角A BC D --的平面角是θ，直线AB 和CD 所成的角为1θ，直线AB 与平面BCD 所成的角2θ，则A ．1θθ≤B ．1θθ≥C ．2θθ≤D ．2θθ≥【试题来源】浙江省浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】D【解析】结合三棱锥的特征，随着三棱锥顶点A 位置的变化，二面角可为锐角、直角、钝角，可以判断直线AB 和CD 所成角可以是锐角，也可以是直角，所以1,θθ两个角的大小是不确定的，所以A 、B 两项是错误的，排除A 、B 两项； 取棱长为2的正四面体A BCD -，取BC 中点E ，可知,AE BC DE BC ⊥⊥， 做AO ⊥平面BCD ，则O 为△BCD 的中心，所以AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，即AED θ∠=，ABO ∠是直线AB 与平面BCD 所成的角，即2ABO θ∠=，可以判断出2θθ>，当三棱锥侧棱AB 与底面BCD 垂直时，两角相等都是直角，所以有2θθ≥，故选D ． 17．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则 A ．1θθ≥ B ．1θθ≤ C ．2θθ≥D ．2θθ≤【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】A【解析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ==2DC =，所以1cos 3θ==，23AO CO CE ===所以13cos 3AO AD θ===，取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，所以BC ⊥平面AFD ，所以BC AD ⊥，所以290θ=︒，所以21θθθ≥≥，排除B ，C ， 当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ，故选A ．18．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为A ．14B．4CD．2【试题来源】2021届高三数学新高考“8 4 4”小题狂练（18） 【答案】B【解析】设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，PC PD ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE中，PE PD ==，DE r =，所以cos rPDE ∠==．选B ．19．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面1,2,ABC AB AA ==，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为A ．1 BC ．12D 【试题来源】山西省汾阳市2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【解析】如图，作1//BD AB 交11A B 的延长线于D ，连接1DC ：则1DBC ∠就是异面直线1AB 和1BC 所成的角（或其补角），由已知BD ==11BC C D =，由22211BD BC C D +=，知190DBC ∠=，异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，正弦值为1，故选A ．20．如图，已知圆锥CO 的轴截面是正三角形，AB 是底面圆O 的直径，点D 在AB 上，且2AOD BOD =∠∠，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为A B ．12C ．14D ．34【试题来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟） 【答案】A【解析】取AC 的中点E ，劣弧BD 的中点F ，AO 的中点G ，连接OF ，OE ，,O E 分别为,AB AC 中点，//OE BC ∴，2AOD BOD ∠=∠，3BOD π∴∠=，23AOD π∠=， 又OA OD =，F 为BD 中点，∴126FOD BOD ODA π∠=∠=∠=，//AD OF ∴， 则异面直线AD 与BC 所成的角是EOF ∠或其补角． 连接EG ，GF ，EF ，易得EG GF ⊥，不妨设1OG =，则2OF =，2OE =，EG =56FOG π∠=，22252cos56GF OG OF OG OF π∴=+-⨯⨯⨯=+，则2228EF EG GF =+=+∴在OEF 中，222cos 2OE OF EF EOF OE OF +-∠==⋅异面直线所成角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线AD 与BC A ．21．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．平面SDB ⊥平面SACD ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考 【答案】D【解析】A 选项，可知,AC BD AC SD ⊥⊥可知AC SDB ⊥平面，故AC SB ⊥，正确； B 选项，AB 平行CD ，故正确；C 选项，AC SDB ⊥平面，故平面SDB ⊥平面SAC ，正确；D 选项，AB 与SC 所成的角为SCD ∠，而DC 与SA 所成的角为090，故错误，故选D ． 22．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B D ．直线1AC 与平面BDM 相交【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高二上学期期末考试 【答案】C【解析】设正方体棱长为2，A ． 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=，B ．BM =BD =DM =C ．AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为12d AC ==，直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ，sin5d BM θ===BM 与平面11BDD B D ．如图ACBD O =，OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC ，故直线1AC 与平面BDM 平行，故选C.23．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是A ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷321 【答案】D【解析】作图如下：在空间选取一点O ，过O 作'',a a b b ，设直线'a 、'b 确定的平面为β，将直线l 平移至'l ，使'l 经过点O ，当直线'l β⊥时， 'l 与''a b 、所成的角都是直角，此时所成的角达到最大值；当直线'l 恰好在平面β内，且平分''a b 、所成的锐角时，'l 与''a b 、所成的角都是6π，此时所成的角达到最小值．所以'l 与''a b 、所成的角范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 因为''',,l l a a b b ，所以'l 与''a b 、所成的角等于l 与a b 、所成的角， 即l 与a b 、所成的角范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ． 24．下列命题中，正确的结论有①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 必杀技 第8章 【答案】B【解析】①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；③中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，在空间中，两角大小关系不确定，故③错误；④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；故选B ．25．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，四棱锥S ABCD -为阳马，底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中错误的是A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试 【答案】D【解析】四棱锥S ABCD -为阳马，底面ABCD 为正方形，则AC BD ⊥ 又SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则AC SD ⊥,SD BD D AC ⋂=∴⊥平面SBD ，SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥，A 正确； //,AB CD AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，∴//AB 平面SCD ，B 正确；AC ⊥平面SBD ，∴点,A C 到平面SBD 的距离12dAC =，设SA 与平面SBD 所成的角为α，则sin d SA α=，设SC 与平面SBD 所成的角为β，则sin dSCβ=，又SA SC =，所以sin sin αβ=，即SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角，C 正确；,,,CD SD CD AD SD AD D CD ⊥⊥⋂=∴⊥平面SAD ，SA ⊂平面SAD ，则CD SA ⊥，即DC 与SA 所成的角为90︒，而AB 与SC 所成的角即CD 与SC 所成的角，显然不为直角，D 错误；故选D26．已知平面α内的60APB ︒∠=，射线PC 与,PA PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是A ．- BC ．3D ．-【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过【答案】B【解析】作出如下图形，令2PA PB PC ===，则135CPACPB ，AC BC ∴=，取AB 中点D ，连接PD ，则CPD ∠即为PC 与平面α所成的角的补角，在APC △中，2222cos135842AC PA PC PA PC ，∴在PCD 中，222742CD AC AD ，3PD =2226cos 2PC PD CD CPDPC PD ，∴PC 与平面α所成的角θ 故选B ．27．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】广西南宁市第十中学2020-2021学年度高一12月数学月考试题 【答案】D【解析】A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC ，BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为,ASO CSO∠∠SA SC =所以两角相等，D 中由异面直线所成角的求法可知两角不等28．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为4 D ．若AEB △是直角三角形，则BE ⊥平面ADE【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试【答案】C【解析】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则DE EC ==，//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求cos4CDE ∠==，故C 正确；对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确．故选C ．29．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为，则A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤【试题来源】浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高二上学期期末【答案】A【解析】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点N ，连结DE CE MN EN 、、、，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则,,,DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=2DE CE DC ==，所以13cos α== ，23AO CO CE ===，所以32AO cos AD β=== ，取BC 中点F ，连结DF AF 、， 则DF BC AF BC ⊥⊥，，又DF AF F ⋂=，BC ∴⊥平面AFD ，90BC AD γ∴⊥∴=︒，． γαβ∴≥≥．一般的，DO DO sin sin DEO sin DAO sin DE DA αβ=∠=≥=∠=， 当α为锐角时，由正弦函数的单调性可得αβ≥，当α为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有αβ≥．由直线DA 与平面ABC 所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得βγ≤， 由于γ的范围是在β和90︒之间变化，因此α和γ的大小关系不确定．故A 正确，B ，C ，D 错误．故选A ．二、多选题1．如图所示，正四棱锥P ABCD -的各棱长均相等，M N ，分别为侧棱PA PB ，的中点，则下列结论正确的是A ．PC BC ⊥B ．PB ⊥平面ACNC ．异面直线PD 与MN 所成的角为o 60D ．PC 与平面ACN 成的角为o 45【试题来源】海南省临高中学2019-2020学年度高一下学期期末考试【答案】BC【解析】因为正四棱锥P ﹣ABCD 的各棱长均相等，所以∠PCB ＝60°，所以PC 与BC 不垂直，故A 错误；因为正四棱锥P ﹣ABCD 的各棱长均相等，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，所以PB ⊥AN ，PB ⊥CN ，又AN ∩CN ＝N ，所以PB ⊥平面CAN ，故B 正确；因为MN ∥AB ，AB ∥DC ，所以MN ∥DC ，所以异面直线PD 与MN 所成的角为∠PDC ，由已知可得∠PDC ＝60°，所以异面直线PD 与MN 所成的角为60o ，故C 正确；因为PB ⊥平面CAN ，所以PC 与平面ACN 所成的角为∠PCN ，又∠PCN ＝30°，所以D 错误．故选BC ．2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点(不含端点)，且1EC DC B C BC=，则下列说法正确的是A ．//ED 平面1ACCB ．四面体A BDE -的体积是定值C ．当点E 为1BC 的中点时，直线AE 与平面11AA B B 所成的角和直线AE 与平面11A ACC 所成的角相等D ．异面直线1BC 与1AA【试题来源】江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年高三上学期11月学情检测【答案】AD【解析】对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形， 因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，因为ED ⊄平面1ACC ，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC因为1//ED BB ，所以1DE DC BB BC =，所以1DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233122ABD m S ⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭△， 四面体A BDE -的体积为21131322m m m m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误；对于C ，由于AB AC ≠，当点E 为1BC 的中点时，E 到平面11AA B B 和平面11A ACC 的距离不相等，故所成角不相等，故C 错误； 对于D ，因为11//BB AA ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC 中，12B B =，BC =11tan BC BB C BB ∠==D 正确；故选AD ．3．如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下列结论中正确的是A ．AC ⊥平面11BB D DB ．1AC 与侧面11ADD AC ．1AC ⊥平面11B CDD ．过点1A 且与直线AD 与1CB 都成60︒角的直线有2条【试题来源】广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ACD【解析】对于A ，在正方体中，AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，1BB AC ∴⊥， 1BB BD B =，∴AC ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B ，连接1AD ，在正方体中，11C D ⊥平面11ADD A ，11C AD ∴∠即为1AC 与侧面11ADD A所成角，则11111tan C D C AD AD ∠==，故B 错误；对于C ，连接11AC ，可知在正方体中，1111BD AC ⊥，且1AA ⊥平面1111D C B A ，则111AA B D ⊥，则11B D ⊥平面11AAC C ，111B D AC ∴⊥， 同理可得11B C AC ⊥，1111B D B C B =，∴1AC ⊥平面11B CD ，故C 正确；对于D ，//AD BC ，则1BCB ∠即为异面直线AD 与1CB 所成角，且145BCB ∠=，∴过点1A 且与直线AD 与1CB 都成60︒角的直线有2条，故D 正确．故选ACD ． 4．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，下列结论正确的有A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角为4πB ．C 到平面11ABCD 的距离为长2C ．两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4πD ．三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均为直角三角形【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】ABD【解析】正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，对于A ，连接1BC ，则1B C ⊥平面11ABC D ，故由直线与平面夹角的定义得，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为1CBC ∠，正方体中，易见14CBC π∠=，故A 正确；对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1BC 长度的一半，正方体中，易见1BC =C 到面11ABC D 的距离为h =，故B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1DC 和1BC 所成的角，即直线1DC 和1AD 所成的角1ADC ∠，连接AC ，易见1ADC 为等边三角形，则13AD C π∠=，故两条异面直线1DC 和1BC 所成的角为3π，故C 错误；对于D ，三棱锥1D DAB -中，1DD ⊥底面ABCD ，故1DD AD ⊥，1DD DB ⊥，即1ADD ，1BDD 是直角三角形，又AB ⊥平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，AB AD ⊥，即1ABD ，ADB △是直角三角形，故D 正确．故选ABD ．5．如图1111ABCD A BC D -为正方体，下列说法中正确的是A ．三棱锥11B ACD -为正四面体B ．1BC 与1AD 互为异面直线且所成的角为45C ．1AD 与1A B 互为异面直线且所成的角为60D ．1AA 与11B D 互为异面直线且所成的角为90【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】ACD【解析】对于A ，因为三棱锥11B ACD -的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥11B ACD -为正四面体，故A 正确；对于B ，连接1BC ，可知在正方体中，11AB CD C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11BC AD ，因为11BC B C ⊥，故异面直线1BC 与1AD 所成角为90，故B 错误；对于C ，由图可得1AD 与1A B 互为异面直线，连接1A B ，易得四边形11A BCD 是平行四边形，则11A BCD ，则1ADC ∠即为所成角，由1ADC 是等边三角形可得160AD C ∠=，故C 正确；对于D ，由图可知1AA 与11B D 互为异面直线，因为在正方体中，1AA ⊥平面1111D C B A ，且11B D ⊂平面1111D C B A ，故111AA B D ⊥，故D 正确．故选ACD ．6．在正三棱锥A BCD -中，侧棱长为3，底面边长为2，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则下列命题正确的是A ．EF 与AD 所成角的正切值为32B ．EF 与AD 所成角的正切值为23C ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为7212 D ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为79 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）【答案】BC【解析】（1）设AC 中点为G ，BC 的中点为H ，连接EG 、FG 、AH 、DH ，因为AE BE =，AG GC =，CF DF =，所以//EG BC ，//FG AD ，所以EFG 就是直线EF 与AD 所成的角或补角，在三角形EFG 中，1EG =，32FG =， 由于三棱锥A BCD -是正三棱锥，BC DH ⊥，BC AH ⊥， 因为,AH HD ⊂平面ADH ，AH DH H ⋂=，所以BC ⊥平面ADH ， AD ⊂平面ADH ，所以BC AD ⊥，所以EG FG ⊥，所以12tan 332EG EFG FG ∠===，所以A 错误B 正确．（2）过点B 作BO 垂直AF ，垂足为O ．因为CD BF ⊥，CD AF ⊥，,,BFAF F BF AF =⊂平面ABF ， 所以CD ⊥平面ABF ，BO ⊂平面ABF ，所以CD BO ⊥，因为BO AF ⊥，,,AF CD F AF CD =⊂平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ， 所以BAO ∠就是AB 与平面ACD 所成角．由题得3BF AF AB ===，所以cosBAO ∠=== 所以C 正确D 错误．故答案为BC ．7．将正方形ABCD 沿对角线BD 对折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则A ．AC BD ⊥B ．ADC ∆为等边三角形 C ．AB 与CD 所成角为60° D ．AB 与平面BCD 所成角为60° 【试题来源】2020年新高考新题型多项选择题专项训练【答案】ABC【解析】由题意可构建棱长均为a 的正四棱锥C ABED -，对于选项A ，显然有BD ⊥面AEC ，又AC ⊂面AEC ，则AC BD ⊥，即选项A 正确， 对于选项B ，由题意有AD AC CD ==，即ADC ∆为等边三角形，即选项B 正确， 对于选项C ，因为AB DE ∥，则CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角，又EDC ∆为等边三角形，即60CDE ∠=，即选项C 正确，对于选项D ，由图可知，ABD ∠为AB 与平面BCD 所成角，又45ABD ∠=，即AB 与平面BCD 所成角为45，即选项D 错误，故选ABC ．8．正方体1111ABCD A BC D -中，下列叙述正确的有A ．直线1AB 与1BC 所成角为60︒B ．直线1AC 与1CD 所成角为90︒C ．直线1AC 与平面ABCD 所成角为45︒D ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60︒【试题来源】江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2020-2021学年高二上学期期初【答案】AB【解析】正方体中由11A B 与CD 平行且相等得平行四边形11A B CD ，则有11//B C A D ，异面直线1A B 与1BC 所成角是1BA D ∠（或其补角），1BA D 是正三角形，160BA D ∠=︒，A 正确；11A D ⊥平面11CDD C ，则有111A D CD ⊥，又有11CD C D ⊥，则有1CD ⊥平面1ACD ，于是有11C D AC ⊥，所以异面直线1AC 与1C D 所成角为90︒，B 正确；1AA ⊥平面ABCD ，1ACA ∠是直线1AC 与平面ABCD 所成角，此角为是45︒，C 错；11A B ⊥与平11BCC B ，11A BB ∠是直线1A B 与平面11BCC B 所成角，1145A BB ∠=︒，D 错．故选AB ．9．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为2C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【试题来源】福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作2020-2021学年高二12月联考【答案】AD【解析】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误；对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF ．易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以BC =112OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误． 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，故D 正确；故选AD ．三、填空题1．若AB 与平面α所成的角是30°，且A α∈，则AB 与α内过点A 的所有直线所成角中的最大角为___________．【试题来源】人教B 版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何【答案】90【解析】在平面α内，过点A 且与AB 在平面α内的射影垂直的直线与AB 所成的角最大，为90°．故答案为90．2．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若60α︒=，则β=_________．【试题来源】人教B 版（2019） 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步【答案】60︒或120︒【分析】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解．【解析】因为角α与角β的两边分别平行，所以α与β相等或互补．又60α︒=，所以60β︒=或120︒，故答案为60︒或120︒．3．在正方体1111ABCD A BC D -中，给出下列结论：①11AC B D ⊥；②1AC BC ⊥；③1AB 与1BC 所成的角为60；④AB 与1AC 所成的角为45．其中所有正确结论的序号为___________．【试题来源】山东省滨州市北镇中学2018-2019学年高一下学期期末【答案】①③【解析】①，由于11,//AC BD BD B D ⊥，所以11AC B D ⊥，结论成立．②，由于11//BC B C ，所以11AC B ∠是异面直线1,AC BC 所成的角．在11Rt AB C ∆中，1190AB C ∠=，所以11AC B ∠不是直角，所以②错误．③，由于11//BC AD ，所以11B AD ∠是异面直线1AB 与1BC 所成的角，而三角形11AB D 是等边三角形，所以11B AD ∠为60，所以③正确．④，在1Rt ABC ∆三角形中，190ABC ∠=，但1AB BC ≠，所以1Rt ABC ∆不是等腰直角三角形，所以AB 与1AC 所成的角不为45，故④错误．故答案为①③4．正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，平面ABCD 与平面ABEF 所成角为60°，则异面直线AB 与FC 所成角大小等于___________．。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
几何法求二面角、线面角与距离(高三一轮复习)
数学 N
— 26 —
思维点睛►
几何法求距离的转化方法 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面 上的一点到平面的距离； (2)通过换底转化：一般是在三棱锥中，利用等体积法求三棱锥的高，即求顶点 到平面的距离； (3)利用中点转化：如果条件中具有线段的中点，则可将中点到平面的距离转化 为线段的端点到平面的距离．
角度1 轨迹问题 例1 如图， AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且 在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是拋物线；②当λ＝1 时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨 迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序 号)
数学 N
— 29 —
又因为AB＝3，BC＝4，则AC＝5，故在Rt△C1AC中，C1C＝AC×tan
30°＝
53 3
，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离即为棱C1C的
长，即平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为5
3
3 .
数学 N
— 30 —
拓展培优 立体几何中的动态问题
数学 N
— 5—
针对训练
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为( A )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
解析 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，
数学 N
— 6—
DD1⊥平面ABCD，则∠D1AD是直线D1A与平面ABCD所成的角， 在Rt△ADD1中， ∠ADD1＝90°，AD＝DD1，因此∠D1AD＝45°， 所以D1A与平面ABCD所成的角为45°.
线线角-线面角-二面角的一些题目
B 1D 1A DC 1BCA 1線線角與線面角習題一、復習目標1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )(A).46 (B).36 (C).62 (D).633.平面α與直線a 所成の角為3π,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是 ．4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是貼於桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值 是 ． 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形ABEF 所在平面成60ο角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線 或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容 易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要 有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.例2.如圖在正方體AC 1中, (1) 求BC 1與平面ACC 1A 1所成の角; (2) 求A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.備課說明:求直線與平面所成角の關鍵是找直線在此平面上の射影,為此必須在這條直線上找一點作平面の垂線. 作垂線の方法常採用:①利用平面垂直の性質找平面の垂線.②點の射影在面內の特殊位置.A CB AD C 1D 1A 1B 1CB D A BPC D A C BF E例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 為棱BB 1上一點,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 為BC の中點,E 為線段AD 上不同於A 、D の任意一點,證明：EF ⊥FC 1; (2)試問:若AB=a 2,線上段AD 上のE 點能否使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角,為什麼?證明你の結論. 備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、回饋練習1設集合A 、B 、C 分別表示異面直線所成の角、平面の斜線與平面所成の角、直線與平面所成の角の取值範圍,則 (A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.2兩條直線a ,b 與平面α所成の角相等,則直線a ,b の位置關係是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設棱長為1の正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分別為AA 1和BB 1の中點，則直線CM 和D 1N 所成角の正弦值為 . 4已知a 、b 是一對異面直線，且a 、b 成60o 角，則在過空間任意點P の所有直線中，與a 、b 均成60o角の直線有 條.5異面直線a 、b 互相垂直，c 與a 成30o 角，則c 與b 所成角の範圍是 .6∠ACB=90ο在平面α內,PC 與CA 、CB 所成の角∠PCA=∠PCB=60o ,則PC 與平面α所成の角為 .7設線段AB=a ,AB 在平面α內,CA ⊥α,BD 與α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同側,CA=BD=b .求: (1)CD の長;(2)CD 與平面α所成角正弦值.A 1CB A B 1DC 1E F課前預習 1. 60ο2.A3. [3π,2π] 4.C 5.46 典型例題例1解:∵CB ∥AD∴∠CBF 為異面直線AD 與BF 所成の角.連接CF 、CE 設正方形ABCD の邊長為α,則BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 為平面ABCD 與平面ABEF 所成の角 ∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=42例2解:(1)設所求の角為α,先證BD ⊥平面ACC 1A 1,則sin α=sin ∠OC 1B=1BC OB =21.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱錐B 1-A 1BC 1是正三棱錐.過B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,連A 1H, ∠B 1A 1H 是直線A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.設A 1B 1=a 則A 1B =a 2得A 1H =a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角為36arccos例3解:(1)連接OF ,容易證明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB の射影,且DF ⊥FC 1, ∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 與平面BB 1C 1C 所成の角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,則ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA の延長線上,而不線上段AD 上;故線段AD 上のE 點不可能使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角.回饋練習1. D2. D3.954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο7.解:(1)作DD ＇⊥α於D ＇,連接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四邊形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 與α所成の角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4322b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 於C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 與α所成の角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''ba bD C AC +=.線面角與面面角練習一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成の角就是斜線與它在平面內の射影の夾角。
文科立体几何线面角二面角专题_带答案解析
【解析】试题分析：（1）由题意，可取 中点 ，连接 ，则易知平面 ∥平面 ,由条件易证 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取 中点 为坐标原点，过 点作平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面 和平面 的法向量，结合图形，二面角 为锐角，从而问题可得解.
6．（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】分析：（1）先证明 ，再证明 平面 .(2)先证明 面 ，再证明平面 平面 .(3)利用异面直线所成的角的定义求直线 与直线 所成角的正弦值为 .
详解：（1）证明：连接 ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵三棱柱 中，∴ ， ，
又 为棱 的中点，∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：∵ 是 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又∵ ，
∴ 面 ，又 面 ，
∴平面 平面 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ 为直线 与直线 所成的角.
设三棱柱 的棱长为 ，则 ，
∴ ，∴ .
即直线 与直线 所成角的正弦值为 .
8．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由题意得 是等边三角形，故得 ，于是 ，从而得 ，所以 ，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由 平面 可得 ，于是 平面 ．又 ，所以直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角，从而得到 即为所求角，然后根据解三角形可得所求．
详解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .
连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ， .
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
BMH S CA_1_A一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1D 1B 1C 1 EDBCA巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（）A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1A 1B 1C 1D ABCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量与平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==,A B d =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccosD ．2π（向量法，传统法）PBCA例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB中，即t a n 2PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππ（图）；若ππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。
线面角、二面角1
线面角 二面角1．正方体中AB 1与平面ABCD 所成的角： ；AB 1与平面AA 1C 1C 所成的角： ；AB 1与平面D C A 11 所成的角是： ；DD 1与平面D C A 11所成的角是： ；2．如图：平面⊥BCD 平面ABC ︒=∠90ACB 求AC 与BD 所成的角： ，若BCD ∆是等边三角形,AC BC =,则CD 与AB 所成的角： ，4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1和BB 1的中点，G 是BC 上一点，若C 1N MG ⊥，则NG D 1∠= .5．在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别是AC ，BC 的中点，G 是AA 1上的点，且 AB ⊥1 1）求><AB ,cos 1的值；2）求二面角G-EF-A 的大小。
6．如图，平面PAB ⊥平面ABC ，∆ABC 是锐角三角形，BC PA ⊥，求证：⊥PA 平面ABC17．在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ，，O 为对角线1AC 的中点， 1）求OD 与底面ABCD 所成的角的大小2）P 为AB 上一动点，当P 在何处时，平面POD ⊥平面CD A 1？并证明你的结论。
5．如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C —DE —C 1的正切值;(2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.ADC B EF G A B 1 C 1 D16．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.10．长方体AC1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M，N分别是AC与BB1的中点，1）求A1B与MN所成的角的大小；2）求A1B与MN的距离。
几何法求线线角,线面角,二面角的10类题型(教师版)
几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
线面角、二面角练习(含答案)
.(10分 ) 如 图 , 在 四 楂 锥 P 一 4BC 丁 中 , 底 面 4BC是D矩 形 ,M7 是 P4 的 中 点 ,PD 平 _ 面 4L BCD,
心 的 M L DN, 即 异 面 直 线 4M 与 DN 所 成 角 大 小 为 90., 故 选 D.
2. ( AP4D 为 直 角 三 角 形 , 且 P4 = 4D, …LP4D 二 90., 即 P4 L 4D, 四 边 形 4B8为C正 D方 形 , - DA L BA, N PANBA= 4, P4 c 面 P4B,PB C 面 P4B,
A. 307
B. 45°
二 、 解 答 题 ( 共 14 小 题 , 每 小 题 10 分 , 共 140分 )
C. 60°
D. 90°
2.(分1) 0如 图 , 平面 P4D L 平 面 4BCD,4B为 C正D方 形 ,AP 是 4 直 角D 三 角 形 , 且 P4 = 4D 二 2, E
、 友 、G 分 别 是 线 段 P4、PD、CD 的 中 点 。
(D) 证 明 , PB平 |面 4BC ) 设 二 面 角 D - 4F - C 为 60“,=4P 1,4一Dv, 求 三 棒 锥 丁 一 4CD 的 体 积 .
三 、 填 空 题 ( 共 1 小 题 ,每小 题 5 分 , 共 5 分 )
16.(5 分 ) 已 知 长 方 体 A4BCD 一 4 BCLD 中 ,4B 万 2,4D = AA; 三 1, 则的 线 BDu 与 平 面
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，
，
，
，
（1）求证：平面
平面 ；
（2）设 为线段 上一点，
，求二面角
的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体
中，四边形 为等腰梯形，
，已知
，
，
，四边形 为直角梯形，
，
.
（1）证明： （2）求三棱锥
平面 ，平面 的体积.
平面 ；
参考答案
1．（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂 直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐 标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面 角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平 面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法. 8．（1）见解析；（2）
【 解 析 】 分 析 ：（ 1 ） 由 题 意 得
是等边三角形，故得
，于是
，从而得
，所以
，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由
平面
可得
，于是
平面 ．又
，所以直线 与平面 所成角即直线
与平面 所成角，从而得到 即为所求角，然后根据解三角形可得所求．
解得 BD＝ ，所以 AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为 DE⊥平面 ABCD，AD 平面 ABCD，∴AD⊥DE.
又因为 BD DE＝D，所以 AD⊥平面 BDEF，又 AD 平面 ABCD，
∴平面 ADE⊥平面 BDEF，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得
，
，则
详解：（1）因为
，
所以 垂直平分线段 ．
又
，
所以
．
在 中，由余弦定理得
，
所以
．
又
，
所以 是等边三角形，
所以
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
．
又 平面
平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为
平面 ，
平面 ，
所以
，
又
，
所以
平面 ．
由（1）知
，
所以直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
故 即为所求的角．
在
中，
，
9．(1)见解析；（2）
.
【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得
，
；又由条件可得到
，
于是
平面 ，可得
，从而得到
平面 ，根据面面垂直的判定定理
得平面
平面 ．（2）由题意得可得 ， ， 两两垂直，故可建立空间直角坐标系，
标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型. 坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几 何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论. 6．（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】分析：（1）先证明
证 指 求.方法二是利用向量法.
7．（1）见解析（2） 【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 ADE⊥平面 BDEF； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值；也可以 应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解. 详解：（Ⅰ）在△ABD 中，∠ABD＝30°，由 AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，
为锐角，从而问题可得解.
试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， ，∵ 是正方形，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
面 ，∴
，
又∵ ， ， 都是中点，∴
，
，∴
面，
∴
；
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得
，
，
，
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则
，
，
，
设平面 的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，
，得
，
同理得平面 的法向量为
，
∴
，所以他的余弦值是 .
点睛：此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐
，再证明 平面 .(2)先证明
面
，再证
明平面
平面
.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线 与直线 所成角的
正弦值为 .
详解：（1）证明：连接 ， ∵ 、 分别是 、 的中点，
∴
，
，
∵三棱柱
中，∴
，
，
又 为棱 的中点，∴
，
，
∴四边形 是平行四边形，∴
，
又∵
平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：∵ 是 的中点，∴
4．如图，在三棱柱
中，点 P，G 分别是 ， 的中点，已知 ⊥平面 ABC，
= =3， = =2.
（I）求异面直线 与 AB 所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面
；
（III）求直线 与平面
所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥
，底面
分别是 ， 的中点.
是正方形，
，
，，
（1）求证
；
（2）求二面角
6．如图，三棱柱
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得
,再根据
线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中 求解. 方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出
,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离． 由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
【解析】分析：（Ⅰ）由题意得 ∥AB，故∠G 是异面直线 与 AB 所成的角，解三角
形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱
中，由 ⊥平面 ABC 可得 ⊥A1G，于是
⊥A1G，又 A1G⊥ ，根据线面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅲ）取 的中点 H，连
接 AH ， HG ； 取 HG 的 中 点 O ， 连 接 OP ，
所以 OM= ，CH=
=．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 ．
【解析】分析：（1）连接 ，欲证
平面 ，只需证明
即可；（2）
过点 作
，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
．由
PO
【解析】试题分析： （1）由题意，可取 中点 ，连接 ，
则易知平面 ∥平面 ,由条件易证
平面 ，则
平面 ，又
平面 ，
根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取 中点 为
坐标原点，过 点作平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，分别
算出平面 和平面 的法向量，结合图形，二面角
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
则
所以
取 x= ，所以 m＝( ，-1，－ )，
取平面 BDEF 的法向量为 n＝(1，0，0)，
由
，解得
，则
，
又
,则
，设 CF 与平面 ABCD 所成角为 ，
则 sin =
.
故直线 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正 弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，
，故
.
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 方法二： （Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直 角坐标系 O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此
由
得
.
由
得
.
所以
平面
.
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 . 由（Ⅰ）可知
设平面 的法向量
（1）证明：
平面 ；
（2）若点 在棱 上，且
，
， 为 的中点．
，求点 到平面 的距离．
3．（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
.
由
即
可取
.
所以