7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

7.3.4正切函数的性质与图像

课标要求素养要求

1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质.

2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养.

教材知识探究

孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．

那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？

问题类比y＝sin x

，y＝cos x的图像与性质．

（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？

（2）正切函数的图像是连续的吗？

提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的．

函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论

解析式 y ＝tan x

图像

定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π

2＋k π，k ∈Z }

值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数

单调性 在区间（k π－π2，k π＋π

2）（k ∈Z ）都是增函数

对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

k π2，0（k ∈Z ） 零点

x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗

[微判断]

1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×）

提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π

2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数．

2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2.

3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√）

4．函数y ＝2tan x ，x ∈⎣⎢⎡

⎭⎪⎫0，π2的值域是[0，＋∞）.（√）

[微训练]

与函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ）

A ．x ＝π2

B ．x ＝－π

2

C ．x ＝π4

D ．x ＝π

8

解析 ∵2x ＋π4≠π

2＋k π（k ∈Z ），

∴x ≠π8＋k π

2（k ∈Z ），故选D.

答案 D [微思考]

正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示 y ＝tan x 是中心对称图形，对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0（k ∈Z ），不是轴对称图形．

题型一 正切函数的定义域、值域问题

例1 （1）函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－x 4的定义域为 ；

正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方

（2）函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫|x |≤π3的值域为 ．

解析 （1）由π6－x 4≠π

2＋k π，k ∈Z ，

得x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z ，

即函数的定义域为{x |x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z }．

（2）令u ＝tan x ，∵|x |≤π

3，

∴由正切函数的图像知u ∈[－3，3]， ∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，

∵二次函数y ＝u 2－2u ＝（u －1）2－1图像开口向上，对称轴方程为u ＝1， ∴当u ＝1时，y min ＝－1， 当u ＝－3时，y max ＝3＋23， ∴原函数的值域为[－1，3＋23]．

答案 （1）{x |x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z } （2）[－1，3＋23]

规律方法 （1）求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图像或三角函数线．

（2）处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．

【训练1】 函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域为 ，值域

为 ．

解析 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π

18，k ∈Z ，

所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2

＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122

＋34≥34，

所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

34，＋∞.

答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 题型二 正切函数的单调性 探究1 求正切函数的单调区间

解题时注意“ω”的符号对单调区间的影响

【例2－1】 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－14x ＋π4的单调区间．

解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

14x －π4，

由－π2＋k π<14x －π4<π

2＋k π（k ∈Z ）得－π＋4k π

y ＝tan （－14x ＋π

4）的单调递减区间是（－π＋4k π，3π＋4k π）（k ∈Z ）. 规律方法 y ＝tan （ωx ＋φ）（ω>0）的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π

2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 探究2 比较大小 把角转化到同一单调区间内

【例2－2】 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小． （1）tan 13π4与tan 17π

5；

（2）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－16π5.

解 （1）因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π

5，