随机变量的基本理论

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1.2 随机变量的定义
• 下面介绍几种典型的离散随机变量的概率分布。 • 1. (0,1)分布 • 设随机变量X 的取值为0和1两个值,其概率分布为
• 称X 服从(0,1)分布。如投掷硬币的试验,假定出现正面用1表示,出现反 面用0表示,用X 表示试验结果,那么X 的可能取值为0、1,X 是一个离 散型随机变量且服从(0,1)分布,即
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1.2 随机变量的定义
• 定义:设随机试验E 的样本空间为S={e},如果对于每一个e∈S,有一个 实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S 上的单值函数X (e),称X (e)是随机变量,简记为X 。
• 从以上的定义可以看出,随机变量是定义在样本空间S 上的一个单值 函数。对应于不同的样本e,X (e)的取值不同,X (e)的随机性在样本e 中体现出来,因为在试验前究竟出现哪个样本事先无法确知,只有试验 后才知道。
定,而只能是多种可能结果中的一种,这种现象称为随机现象。 • 2. 随机试验 • 满足下列3个条件的试验称为随机试验: • (1)试验在相同条件下可重复进行; • (2)试验的结果不止一个,并且事先能明确知道试验的所有可能结果; • (3)试验出现哪种结果,是不可能准确确定的。随机试验通常用E 表示,
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1.2 随机变量的定义
• 2. 二项式分布 • 设随机试验E 只有两种可能的结果A 及 ,且P(A)=p,P( )=1-p=q,
将E 独立重复n 次,这样的试验称为贝努里(Bernoulli)试验,那么在n 次试验中事件A 发生m次的概率为 • 上式刚好是(p+q)n 展开式的第m +1项,故称为二项式分布。
骰子的样本空间为 1,2,3,4,5,6 。
• 6. 频数和频率
• 一般ห้องสมุดไป่ตู้,在相同条件下的n 次重复试验中,事件A 发生的次数nA 称为事
件A 的频数,比值
称为事件A 发生的频率。频率反映了事件A 发
生的频繁程度,若事件A 发生的可能性大,那么相应的频率也大,反之则
小。
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1.1 概率论的基本术语
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1.2 随机变量的定义
• 3. 泊松(Poisson)分布 • 设随机变量X 的可能值为0,1,2,…,且概率分布为
• 则称X 服从参数为λ 的泊松分布。
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 设X 为随机变量,x 为任意实数,定义 • 为X 的概率分布函数或简称为分布函数。 • 分布函数具有如下性质:
比如投掷硬币,就是一个随机试验,它满足随机试验要求的3个条件。
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1.1 概率论的基本术语
• 首先,投掷是可以重复进行的;其次,试验的结果只有正面和反面两种可 能的结果,而且只有这两种结果,事先可以明确;但具体到某次试验,试 验前是不能预知出现哪种结果的。
• 3. 随机事件 • 在随机试验中,对试验中可能出现也可能不出现、而在大量重复试验
中却具有某种规律性的事件,称为随机事件,简称为事件,如投掷硬币出 现正面就是一个随机事件。
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1.1 概率论的基本术语
• 4. 基本事件
• 随机试验中最简单的随机事件称为基本事件,如投掷骰子出现1,2,…,6 是基本事件,出现偶数点是随机事件,但不是基本事件。
• 5. 样本空间
• 随机试验E 中所有基本事件组成的集合称为样本空间,记为S,如投掷
第1章 随机变量的基本理论
• 1.1 概率论的基本术语 • 1.2 随机变量的定义 • 1.3 随机变量的分布函数与概率密度 • 1.4 多维随机变量 • 1.5 随机变量的数字特征 • 1.6 随机变量的函数
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1.1 概率论的基本术语
• 1. 随机现象 • 在一定的条件下,对某种现象进行观察时,所得结果不能预先完全地确
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
•及
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 其中,pi=P(X =xi),U(·)为单位阶跃函数。由式(1.3.13)可以看出,离散型 随机变量的分布函数是阶梯型函数,阶梯的跳变点位于随机变量的取 值点,跳变的高度等于随机变量取该值的概率。
• X 的取值可以是连续的,也可以是离散的。所以,根据X 取值的不同,可 以分为连续型随机变量和离散型随机变量。
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1.2 随机变量的定义
• 所谓离散型随机变量是指它的全部可能取值为有限个或可列无穷个。 离散型随机变量的概率特性通常用概率分布律来描述。
• 称式(1.2.1)为X 的概率分布或分布律,通常如表1.1所示。
• 7. 概率 • 概率是事件发生可能性大小的度量。事件的频率可以刻画事件发生的
可能性大小,但是频率具有随机波动性。对于相同的试验次数n,事件A 发生的频率可能不同,n 越小,这种波动越大,n 越大,波动越小,当n 趋于 无穷时,频率趋于一个稳定的值,可以把这个稳定的值定义为事件A 发 生的概率,记为P A ,即
• 这一定义称为概率的统计定义。概率的统计定义不仅提供了事件A 发 生的可能性大小的度量方法,而且还提供了估计概率的方法,只要重复 试验的次数n 足够大,就可以用式(1.1.1)来估计概率。
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1.2 随机变量的定义
• 概率论是从数量方面来反映随机事件的统计规律性,为了便于从数量 上描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题,就需要 把随机试验的结果数量化。在随机试验中,试验的结果不止一种,如投 掷骰子可能出现的点数,打靶命中的环数及一批产品中的次品数等。 另一些随机试验尽管其可能结果与数值间没有直接的联系,如投掷硬 币出现正面或反面、雷达探测发现“有目标”或“无目标”等,但可 以规定一些数值来表示试验的各种可能结果。如对于投掷硬币,用“1” 表示“正面”, “0”表示“反面”;对雷达探测用“1”表示“有目 标”,“0”表示“无目标”。为了表示这些试验的结果,我们定义一个 变量,变量的取值反映试验的各种可能结果,由于试验前无法确知试验 结果,所以变量的值在试验前是无法确知的,即变量的值具有随机性,称 这个变量为随机变量。下面给出详细的定义。