湖南大学高数A试题期末试卷
湖南大学高数A1试题(期末试卷)
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
湖南湖南大学课程考试试卷
第 2 页（共 3 页）
4。
当时,与是同阶无穷小， 则【】
(A) (B) (C ） （D ）
5. 设且，记则下列不等式成立的是 【】
三、计算题（每小题5分，共20分）
四、（11分)设试问为何值时，在处二阶导数存在？
五、(7分）若记（即在上的最大值）,求。
六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水。
假设冰山为巨大
的立方体，其表面积成正比。
如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点
后一位，不能使用计算器）
七、（10分）过点作曲线的切线. 试求（1)切线的方程;（2）与所围平面图形的面积；（3）图形的的部分绕
湖南大学课程考试试卷
湖
南大学课程考试试卷
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此结论推广到满足在上连续且关于为偶函数 (即对中的任何有)的任意函数的情形， 请叙述并证明你的结论.
九、(6分）设在上连续， 在内可导,且,试证： 至少存在一点, 使得.。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2024学年湖南省校级联考高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
2024学年湖南省校级联考高三数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =2．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 3．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．124．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且5．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．606．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A 3B 3C 6 D 67．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=8．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2339．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<10．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．2512．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖大高数期末总复习
A
三 计算题
x z z z 2 z 1.设 ln , 求 , , . z y x y xy 2.计算 yd , 其中D为圆域：x 2 y 2 2 Rx 0.
D
3.计算I 4 dx 4
0 x
sin y dy. y
n n 1 4.判定级数 的敛散性. n 1 n 1 ( n 1) 1 5.将f ( x) 展开成x的幂级数. 2 9 x 2 n 1 n 1 x 6.求级数 (1) 的和函数. 2n 1 n 1
5.积分区域D是由直线y x, y 2 x, x 1围成，则二重积分
D
f ( x, y )化成先对y后对x的二次积分是 dx
0
1
2x
x
f ( x, y)dy
y 6.设f ( x, y ) ln( x ), 则f x(1,0) 1 2x 7.设z 3axy x 3 y 3 , 则当a 0 时，点（a, a）为函数的极大值点.
x 2n 22. 的收敛域为 ( 2 , 2 ) n n 1 n 2
23.微分方程( y)3 ( y) 5 xy 7 0的阶是 2 24.微分方程y 3 y 2 y 0的通解是 y C1e x
25.微分方程y sin x y ln y满足定解条件 y ( ) e的特解是 B 2 x tan e （A） ; ( B)e 2 ; (C )esin x ; ( D)e cot x. sin x 26.微分方程yy 2( y) 2 0的通解是 D 1 1 1 1 （A）y ; ( B) y ; (C ) y ; ( D) y . 2 Cx 1 cx C1 C2 x C1 C2 x
湖南大学2012高等数学2期末考试试题
班级
姓名
学号
试求出 ( x0 , y0 );（2）现欲利用此山开展攀岩活动，为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀 岩的起点，即在上述等高线上找一点 M , 使得上述增长率最大，试确定该起点的位置.
14. 如图，设力场 F yi xj ( x y z )k ，(1)求一质点由 A 沿圆柱螺线 L1 到 B 时，力 F 所做的功，
球面的交线在 xOy 坐标面上的投影.
3. 设曲面 是由 yOz 平面上的双曲线 z 2 4 y 2 2 绕 z 轴旋转而成， 曲面上一点 M 处的切平面
与平面 x y z 0 平行，写出曲面 和切平面 的方程.
4. 设函数 z xf ( xy
2z y z z 和 . ) ，其中 f 二阶可微，求 , x x y x y 2z z 2 z 和 . , x x 2 x y
第 13，14 题每题 9 分，第 15 题 10 分，共 16 分.
13. 设有一座山的方程为 z 75 x 2 y 2 xy , M ( x0 , y0 ) 是山脚 z 0 （即等高线 x 2 y 2 xy 75
上） 的点. （1） 问 z 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿什么方向的增长率最大， 若记此增长量的最大值为 ( x0 , y0 ),
班级
姓名
学号
2011 级高等数学 A(2)期末考试试卷
第 1~12 题每题 6 分，共 72 分. 1．设 u 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角，求空间向量 a (4, 3, 2) 在 u 轴上的投影.
2.
x 0, 一平面 过球面 x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 的球心，并垂直于直线 l : ，求该平面与该 y z 0
11-高数期末(1)试题答案
Dxz={(x,z)|0≤z≤H,-R≤x≤R}. 于是有
1
x2
dS y2 z2
1 Dxz R 2 z 2
1
(x)2 R2 x2
dxdz
H dz 0 R2 z2
R R
R dx
R2 x2
[1 R
arctan
z R
]0H
[R arcsin
x R
0
h
r
3 dr
2
h2 4
2
h
2
12. 设一个密度均匀的半球体占有空间区域 : x2 y2 z2 R2 , z 0, 试求该半球体质心的坐标.
解：因为密度均匀，故该半球体对 z 轴对称，可知质心在 z 轴上，故有 x y 0 ， 所以只要计算 z .
运用球面坐标有
M(2,-1,-1)；直线
l
的对称式方程为
x 0
y 1
z 1
，
知方向向量 s=(0,-1,-1)，故平面
方程：y-z=0，从而平面
与该球面的交线为
( y
x z
2)
2
0
(
y
1)
2
(z 1)2
6
，
于是该交线向 xOy 面的投影柱面为
(x-2)2+2(y+1)2=6，从而投影曲线为
f
(x
1) x
f
y(x
1 )(x x
1) x
f
2xf
y(x2
湖南大学高数A1试题(期末试题答卷)
f (x)
5
f (x)
5
-5
f (x)
5
x
5
-5
f (x)
5
x
x
-5
5 -5
5 -5
x
x
5 -5
5
(A) -5
(B) -5
(C) -5
）) 4.当 x 0 时, ex ln(1 x) 1 与 xn 是同阶无穷小,则 n 【】
(D) -5
1 2 3 4 (A) (B) (C) (D)
六、（8 分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的 立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一
体积的衰减率与其体积，问融化掉其 位，不能使用计算器)
余
得分 评分人 得分 评分人
: y x 七、（10 分）过点 (1, 5) 作曲线
0
20
装 订
此结论推广到满足在 [a, b] 上连续且关于 x
a b [a, 为偶函数(即对 b] 中的任何
x
有
f(ab
x)
f(ab
x) )的任意函数
f (x) 的
线
2
2
2
（
答 情形,请叙述并证明你的结论.
题
得分
不
评分人
得
超
九、（6 分）设 f (x) 在[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (b) 0 ,试证:至少存在一点 (a,b) , 使得 f ( ) f ( ) 0 .
精心整理
考试中心诚填信应写考,：考试作弊将带来严重后果！
湖南大学高数A试题期末试卷
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！考试中心填写：(A)若lim ,lim ,,n n n n a A b B A B →∞→∞==<则对于充分大的自然数n ,有n n a b ≤(B)设(1,2,...)n n a b n <=,并且lim ,lim ,n n n n a A b B →∞→∞==则A B <(C)若lim n n a A →∞=,则1lim 1n n na a +→∞=(D)若lim n n a A →∞=,则对充分大的自然数n ,有n a A =2.2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)123I I I <<(B)312I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<三、计算题（每小题5分，共20分）.1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10 y t t y +-=++=确定，求0d t y =.四、（11分）设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处二阶导数存在？五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最大值),求lim n n M →∞.六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)七、（10分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数，则有0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将 过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心装订线（答湖南大学课程考试试卷此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。
大学高等数学期末考试题A卷(答案)
广东海洋大学2006 —— 2007 学年第 二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。
（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。
（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共 页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值； （B ）)2,1(f 不是极小值； （C ）)2,1(f 是极大值； （D ）)2,1(f 是极小值。
湖大2013年线性代数A期末试卷
T
T
(此题答在答题纸第 4 页) 在 R 3 中求一非零向量使之在标准基 ε1 , ε 2 , ε 3 和基 α1 , α 2 , α 3 下的坐 五、 五、(
α 2 = ( 2,1, −1) , α 3 = ( −4,1,1) .（8 分） 标相同，其中 α1 = ( 1, −1, 2 ) , ,α ,α
湖南大学期末考试试卷
课程名称：线性代数 A；课程编码：GE03003；考试时间：120 分钟 注意：请在答题纸规定的地方答题，否则计零分.
(此题答在答题纸第 1 页) 填空题（每 小题 3 分，共 12 分） 一、 一、( 填空题（每小
⎛ t 6 4⎞ ⎜ ⎟ 1. 已知 A = 2 1 0 ， B 为 3 × 4 矩阵, 且秩 (B) = 3 , 若秩 (AB) = 2 , 则 t = ⎜ ⎟ ⎜ 1 3 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎜0 0 ⎟ 2. 1⎟ ⎜ ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠
101
.
⎛ a11 a12 ⎜a ⎜ 21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32
a13 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ a23 ⎟ ⎟⎜0 1 0⎟ ⎜ ⎟ a33 ⎟ ⎠⎝1 0 0⎠
A 的元素全为 1, 则 A 的 n 个特征值是
* −1 4．设 A 为 3 阶矩阵, A = 2 , 则 (2A) − 5A =
随矩阵 A * 的逆矩阵 . （8 分） 的逆矩阵.
2 1 0 0
0 0 8 5
0⎞ ⎟ 0⎟ , 试求其伴 3⎟ ⎟ 2⎠
β = ( 1, − 1, 2 ) , A = αβT , 且 kE − A 5 = k 3 + 1 , 试求 k .（8 分） (2) 设 α = ( 1, 0, −1) , ,β
湖南大学期末考试试卷
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南大学课程考试试卷考试中心填写：____年___月___日考 试 用5、若两个实体间的关系是1:m，则进行逻辑设计时实现1:m联系的方法是（）（A）在“m”端实体转换的关系中加入“1”端实体转换的关系的码（B）将“m”端实体转换的关系的码加入“1”端实体转换的关系中（C）在两个实体转换的关系中，分别加入另外一个关系的码（D）将两个实体转换成一个关系6、若数据库中只包含成功事务提交的结果，则此数据库处于（）状态。
（A）安全（B）一致（C）不安全（D）不一致7、关系数据库的规范化理论主要解决的问题是（）（A）如何构造合适的数据逻辑结构（B）如何构造合适的数据物理结构（C）如何构造合适的应用程序（D）如何控制不同用的操作权限8、DBMS普遍采用（）方法来保证调度的正确性。
（A）索引（B）授权（C）封锁（D）日志9、X→A i成立（i=l，2，…，k）是X→A1 A2…A k成立的（）。
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要10、在进行授权时，数据对象的（），授权子系统就越灵活。
（A）粒度越小（B）粒度越大（C）约束越细（D）约束越粗二、简答题（每小题6分，共30分）1、如何判断一个关系是否属于第三范式？2、在数据库设计时，什么是数据字典？数据字典中通常有哪些内容？3、在数据库的查询优化中，什么是代数优化？什么是物理优化？4、在基于检查点的数据库恢复技术中，检查点记录的内容应该包括哪第 2 页（共 4 页）第 3 页 （共 4 页）些？5、什么是死锁？如何解决死锁问题？三、设有关系模式如下：S(Sno, Sname, Age, Sex), SC(Sno, Cno, Grade),C(Cno, Cname, Teacher)。
其中S 表示学生，C 表示课程，SC 表示选课。
Sno 代表学号，Sname 代表学生姓名，Age 代表学生年龄，Sex 代表学生性别，Cno 代表课程号，Grade 代表成绩，Cname 代表课程名，Teacher 代表任课教师姓名。
高等数学1试题及答案
三、解答题(每题7分，共49分)
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解两边取对数得
得分
评阅人
解
得分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
四、综合题(每题9分，共18分)
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
五、证明题(8分)
证 证
闭卷（√）考试时间：2012.12.15
题号
一
二
三
四
五
总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
阅卷人
(全名)
发
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
年
一、填空题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
湖南大学2012—2013学年第一学期考试卷卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(通信工程12级)课程类别：必
14级高数AII期末试卷(A)
六、计算曲面积分和三重积分（共12分，每小题6分）
1.计算 ，其中 是旋转抛物面 介于 及 之间部分的下侧.
2.计算 ，其中Ω是第一卦限中球面 与球面 之间的部分．
七、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛
（共10分，每小题5分）
1. 2.
八、求幂级数 的收敛域及和函数．（本题8分）
1.空间直线 与平面 的位置关系是[ ].
．平行 ．垂直 ．不平行也不垂直 ．直线在平面上
2.设 为连续函数， ，则 等于[ ].
． ． ． ．
3.设 是旋转抛物面 ， 的外侧， 是 平面上圆域 ，则曲面积分
可化为二重积分[ ].
． ．
． ．
4.正项级数 收敛是级数 收敛的[ ].
．必要，但非充分条件 ．充分，但非必要条件 ．充要条件 ．无关条件
三、求下列微分方程的解（共10分，每小题5分）
1． .
2．
四、求解下列各题（共15分，每小题5分）
1.求通过点 且与直线 垂直相交的直线方程．
2.求函数 在点A(1, 0, 1)处沿点A指向点 方向的方向导数.
3.求二元函数 的极值.
五、求下列各积分（共15分，每小题5分）
1. ．
2.计算 ，其中 是圆周 的上半部分 .
集美大学试卷纸
2014—2015学年第二学期
课程名称
高等数学AⅡ
试卷
卷别
A卷
适用
学院、专业、年级
2014级电子、通信、电科、物理、光电、电气
等专业
考试
方式
闭卷
开卷□
备注
1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间120分钟。
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
2024年湖南省校级联考数学高三第一学期期末调研试题含解析
2024年湖南省校级联考数学高三第一学期期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+2．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．143．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π4．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1B ．5C ．3D ．55．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元6．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162B ．15C ．3D ．837．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．128．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．89．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛-⎝⎭ 12．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高等数学1试题及答案
三、解答题(每题7分，共49分)
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解两边取对数得
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
四、综合题(每题9分，共18分)
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
五、证明题(8分)
证 证
湖南大学2012—2013学年第一学期考试卷卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(通信工程12级)课程类别：必
闭卷（√）考试时间：2012.12.15
题号
一
二
三
四
五
总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
998来自阅卷人(全名)发
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
年
一、填空题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
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湖南湖南大学课程考试试卷
；课程编码：试卷编号：A；考试时间：120分钟
,则
2.
2()d f x x x C =+⎰
，则2(1)d xf x x -=⎰【】
(A)
222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221
(1)2
x C --+
3.设函数
()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()
f x 的图形可能是【】
4.当
0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】
(A)
1(B)2(C)3(D)4
5.设
[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记
110
()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430
(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】
(A)I I I <<(B)2I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<
5分，共20分）
.
1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
(1)0,
10
y t t y +-=++=确定，求0
d t y =.
四、（11分）设2sin ,0,
()ln(1), 0,
ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在
0x =处二阶导数存在？
五、（7分）若
()2(1),n f x nx x =-记[0,1]
max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]
的最大值),求
lim n n M →∞
.
六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨
的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点
后一位，不能使用计算器)
七、（10分）过点
(1,5)作曲线3
:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所
超过此线）
湖南大学课程考试试卷
湖南大学湖南大学课程考试试卷
围平面图形
D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若
()f u 是连续函数，则有
(sin )d (sin )d 2xf x x f x x π
π
π=⎰
⎰.现要求将
此结论推广到满足在
[,]a b 上连续且关于2
a b
x +=
为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有(
)()22
a b a b
f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.
九、（6分）设
()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈使得()
()0()
f f a ξξξ'+
=-.。