一元二次方程根与系数的关系教案-人教版(优秀教案)

一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：

() 当2

40b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：

￥

() 当2

40b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：() 当2

40b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

由于可以用2

4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2

4b ac -叫

做一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2

4b ac ∆=-

【例】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

() 2

2310x x -+=

() 2

4912y y +=

() 2

5(3)60x x +-=

解：() 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根．

() 原方程可化为：2

41290y y -+=

2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．

（

() 原方程可化为：2

56150x x -+=

2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例】已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：

() 方程有两个不相等的实数根；

() 方程有两个相等的实数根

()方程有实数根；

() 方程无实数根．

解：2

(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-

() 141203

k k ->⇒<

； () 141203

k k -=⇒=

； &

() 141203

k k -≥⇒≥

； () 141203

k k -<⇒<

． 【例】已知实数x 、y 满足2

2

210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．

解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：

22(2)10x y x y y --+-+=

由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：

222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，

代入原方程得：2

2101x x x ++=⇒=-． 综上知：1,0x y =-=

《

二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：

,22b b x x a a

-+--==

所以：1222b b b x x a a a

-+--+=

+=-，

12244ac c

x x a a

⋅==== 定理：如果一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理

称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥． >

【例】若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

() 22

12x x +；

()

12

11x x +； () 12(5)(5)x x --； () 12||x x -．

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-

() 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

()

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- () 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

() 12||x x -=

===%

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，

121212

11x x x x x x ++=

，22

121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

【例】已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．

() 方程两实根的积为；

() 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

分析：() 由韦达定理即可求之；() 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．

解：() ∵方程两实根的积为 ~

∴2

22121[(1)]4(1)034,41215

4

k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩

所以，当4k =时，方程两实根的积为．

() 由12||x x =得知：

①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3

02

k ∆=⇒=

； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于