二次函数含参问题

一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。

一．含参二次函数最值问题。

例1. 函数2

()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。

（I ）试写出g （t ）的函数表达式；（II ）求出g （t ）的最小值。

变式训练1：讨论函数2()44f x x tx =--在定义域[0，1]上的最小值。

变式训练2：20443p p x px x p x ≤≤+>+-对于满足的所有实数，是不等式都成立，求的取值范围。

二．二次函数根的区间分布归纳。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

变式训练2：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，其横坐标一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例3. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知关于x 的方程012)1(2

2=-+-mx x m 的根在区间[0，1]内，求实数m 的取值范围。

变式训练2 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。