集合 知识讲解(A)

集合及集合的表示【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“∉”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3．关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4．元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A∉(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A5．集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：∅.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合{}1,2,3,4.【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程290x -=在实数范围内的解；（6.答案：(4)、（5）解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断. “著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.点评：(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集. (1)你所在的班，体重超过75kg 的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。

解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.(1)你所在的班，体重超过75kg 的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集； (2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集. (5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.例2．集合A 由形如(,)m m Z n Z ∈∈A 中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，2=+由题中集合A 可知2,1,m n ==均有,m Z n Z ∈∈，∴2A A .点评：（1）解答本题首先要理解∈与∉的含义，A 中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设Z}∈ (1)若a ∈Z ，则是否有a ∈S ？(2)对S 中任意两个元素x 1，x 2，则x 1+x 2，x 1·x 2，是否属于集合S ？答案：a ∈S 是解析：(1)若a ∈Z ，则有a ∈S ，即n=0时，x ∈Z ，∴a ∈S ；(2)∀x 1，x 2∈S ，则1112221122x =m ,x =m (m ,n ,m ,n Z)∈1212121212())(,)x x m m n n S m m Z n n Z ∴+=++∈+∈+∈12112212121221x x =(m )(m )=m m +2n n n +m n )⋅⋅ ∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴m 1m 2+2n 1n 2∈Z ，m 1n 2+m 2n 1∈Z ∴x 1·x 2∈S.类型二：元素与集合的关系例3.用符号“∈”或“∉”填空．(1)||4}x x x x <>；(2)223___{|1}5___{|1}N N x x n n x x n n ++=+∈=+∈，， ，； (3)22(11)___{|}(11)___{()|}.y y x x y y x -=-=，， ，，解析：给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a A ∈，或者a A ∉，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1)23{|x x =>∴<；324{|4}x x =>=∴>，；(2)令231n =+，则23{|1}N N n x x n n ++=∴∉=+∈，，； 令251n =+，则2225{|1}N N n x x n n ++=±∈∴∈=+∈，其中，，； (3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x 2， ∴22(11){|}(11){()|}.y y x x y y x -∉=-∈=，， ，，点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合2{|1}N x x n n +=+∈，这个“口袋”中是装了些x 呢？还是装了些n 呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x 具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合2{|}y y x =这个“口袋”是由y 构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合2{()|}x y y x =，是由抛物线2y x =上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】 用符号“∈”或“∉”填空（1）若A=Z ,则12-A ；-2 A .（2）若{}2B |210,x x x =--=则12-B ；-2 B . 答案：（1）∉，∈ （2）∈，∉类型三：集合中元素性质的应用 例4.定义集合运算：{}|(),,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈.设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为A. 0B. 6C. 12D. 18 答案： D解析：{}|(),,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，∴当{}{}0,1,2,3A B ==时， {}0,6,12A B =，于是A B 的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.举一反三：【变式1】定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 6 答案：D解析：,,z xy x A y B =∈∈，且{}1,2A =，{}0,2B =，∴z 的取值有：0，2，4 故{}0,2,4A B *=，∴集合A B *的所有元素之和为：0+2+4=6.■高清课程：集合的表示及运算例5. 设集合A ={x R ∈|2210ax x ++=}，当集合A 为单元素集时，求实数a 的值. 答案：0，1解析：由集合A 中只含有一个元素可得，方程ax 2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a ≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a 的值，可求得为a=1.故a 的取值为0，1.例6.已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，求实数a 的值及集合A .答案：0a =，{}1,2,3A =. 解析：（1）若21,a +=则1a =-.所以{}1,0,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则1a =-应舍去.（2）若2(1)1a +=，则0a =或2a =-，当0a =时，{}2,1,3A =满足题意；当2a =-时，{}0,1,1A =，与集合中元素的互异性矛盾，则2a =-应舍去.（3）若2331a a ++=，则1a =-或2a =-，由上分析知1a =-与2a =-均应舍去. 综上，0a =，集合{}1,2,3A =.点评：本题中由于1和集合A 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合{}22,2A a a =++，3A ∈，求实数a 的值答案： 1a =-解析：当21a +=，即1a =-时，{}3,3A =，与集合的概念矛盾，故舍去 当223,a +=即1a =±时，1a =不满足题意舍去，故1a =-. 类型四：集合的表示方法例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程230x -=的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案：（1）；（2）{}16,17,18,19,20,21,22,23,24。