第三节 泰勒公式
第三节泰勒公式-PPT精选文档
从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该 点处的切线来拟合曲线。--------以直代曲 不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
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因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出 误差公式。 问：若f (x)在 x0 处二阶可导, 会不会有一个二次多项式来近似表示？ 若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？
π
π
x
O
-1
p2(x)
. p8( x)比 p2(在更大的范围内更接近余弦函数 x)
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lim f( x )f( x ) (1) 若 f (x )在 x 连续 , 则有 x 0 0 x
0
由极限和无穷小量间的关系
f ( x ) f ( x ) 0
f( x )f( x ) 用常数代替函 0
第三章
第三节 泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒公式
三、麦克劳林公式
四、泰勒公式的应用
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一、问题的提出
1、关于多项式
2 n 1 n ( x ) a a x a x a x a x 多项式 P 是最 n 01 2 n 1 n
简单的一类初等函数. 由于它本身的运算仅是 有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面， 多项式是人们乐于使用的工具. 因此我们经常用多项式来近似表达函数
O
x
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八次逼近
2 8 p ( x ) a a x a x a x 八次多项式 8 逼近 0 1 2 8 y1 p y=1 1( x) f ( x ) cos x p (x) p ( 0 ) f ( 0 ) 令： ,求出a0 1 8
泰勒公式 (1)
麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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2
(4) f ( x) (1 x) , ( x 1)
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(n) (n) Rn ( n ) Rn ( x0 ) R ( n1) ( ) n (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0 与 xn 之间 )
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Rn ( x) f ( x) pn ( x) Rn ( x) ) ( x x0 ) n1 (n 1) !
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麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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三、泰勒公式的应用
麦克劳林公式
(1 x) 1 x
( 1)
(5) f ( x) ln(1 x) ( x 1) k 1 ( k 1) ! (k ) ( k 1, 2 ,) 已知 f ( x) ( 1) (1 x) k 因此可得 xn x 2 x3 ln(1 x) x ( 1) n 1 Rn ( x) 2 3 n
1 p ( x ) a2 2 ! n 0
2 !a2 n(n 1)an ( x x0 ) n2
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
泰勒公式
f
(k )
(k = 0 , 1 , 2 , … , n) (0) sin(x k ) 2 x 0
k si n 2
0 ,
k = 2m
(－1)m , k = 2m+1
数学分析（上）
可得
x sin x x 3!
3
3
(1)
5
n 1
x n cos x 2 n 1 (1) x (2n 1)! (2n 1)!
数学分析（上）
x 0 I， 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数，
多项式 ( n) f ( x0 ) n Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 , 得到微分近似计算公式 .
2 n 1
x x sin x x 3! 5!
2 4
(1)
n 1
x 2 n 1 o x (2n 1)!
2n
2 n 1
x x n x 2 n 1 cos x 1 (1) o( x ) 2! 4! (2n)!
o( x )
数学分析（上）
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
( n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
高等数学-导数-第三节 泰勒公式
0 (x x )k R (x)
k 0
k!
0
n
称为
f
(x)
按
(x
x 0
)
的幂展开的
n
阶泰勒公式
拉格朗日形式的余项
Rn (x)
f
(n1) ( )
n 1!
(
x
x0
)n1
(
在x0与x之间)
余项也可写为
Rn ( x)
f
(n1)( x0 ( x
(n 1)!
x0 ))
(x
x0 )n1
(0 1)
f '''(0) 1, f (4) (0) 0,...,
sin x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
...
( 1)( m 1)
x 2m1 (2m 1)!
R2m
sin[x (2m 1) ]
其 中 R2m
2 x2m1 (2m 1)!
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x0 0,
在0与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
估计式
由泰勒中值定理可知,用泰勒多项式Pn(x)近似表达 函数f (x)时,其误差为 Rn (x) .如果对于某个固定的n,
之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
3.3 泰勒公式
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) − Rn ( x0 ) = n ( n + 1)(ξ1 − x0 ) ( n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′ Rn′(ξ 2 ) = n( n + 1)(ξ 2 − x0 )n−1 (ξ 2在x0与ξ1之间)
−6
e 1 1 e = 1+1+ +L+ + (0 < θ < 1) n ! (n + 1) ! 2! 由于 0 < eθ < e < 3 , 欲使 3 < < 10−6 Rn (1) (n + 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e ≈ 1 + 1 + + L + = 2.718281 2! 9!
x
代入公式,得
x n+1
x x eθ e = 1+ x + +L+ + x 2! n! ( n + 1)!
2 n
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10 . 解: 已知 e x 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x eθ x x n +1 e =1 + x + + +L + + 2 ! 3! n ! (n + 1) ! (0 < θ < 1) 令x=1,得 θ
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
泰勒公式
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
x
假设
0
P ( x0 ) f
(k ) n
(k )
( x0 )
0
k 0,1, 2,, n
代入 Pn ( x ) 中得
三、泰勒定理
泰勒 (Taylor) 定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某 个开区间(a , b ) 内具有直到( n 1)阶的导数,则
( n) f (x0 ) f (x0 ) 2 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) (x x0 )n 2! n! Rn ( x)
f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x 0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
f ( x ) 在点 x0 处的 n 阶泰勒公式:
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 其中Pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k k!
泰勒多项式
f ( n 1) ( ) 其中Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在x0与x之间) n 1! 拉格朗日形式的余项
Rn ( x) n 由于 lim 0 ， R ( x ) o [( x x ) n 0 ] x x0 ( x x ) n 0
泰 勒 公 式
第三节、泰 勒 公 式
对于一些较复杂的函数，为了方便研究，往往希 望用一些简单的函数来近似表达．在各种函数中，多 项式函数是最简单的一种，只要对自变量进行有限次 加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此， 我们希望用多项式来近似表示函数．那么，如何从理 论上建立一个复杂函数与一个简单的多项式之间的关 系呢？1712年，英国数学家泰勒（Taylor）解决了这 个问题.这正是本节所要介绍的泰勒公式的核心内容．
Rn(x)=o［(x－x0)n］. (3-6) 这样，我们提出的问题完满地得到解决．
二、泰勒公式及其余项
在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也 可以写成
(3-7) Rn(x)的表达式(3-6)称为佩亚诺(Peano)型余 项，式(3-7)称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有佩 亚诺型余项的n阶泰勒公式．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
二、泰勒公式及其余项
由泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f(x)时， 其误差为|Rn(x)|．如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时， |f(n+1)(x)|≤M，则有估计式
(3-5) 及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可见，当x→x0时误差|Rn(x)|是 比(x－x0)n高阶的无穷小，即
一、泰勒中值定理
泰勒首先提出下面的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间 内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于(x－x0)的n次多 项式
pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1） 来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x－x0)n高阶的无 穷小，并给出误差|f(x)－pn(x)|的具体表达式．
泰勒公式
1第三节泰勒(Taylor)公式问题的提出 泰勒中值定理简单应用2一、问题的提出例如 取x 0=0, 当x 很小时, x e x+≈1 , xx ≈+)1ln(（如下图）在微分中我们讲过，当很小时，||x Δ),(x o dy y Δ+=Δ即,)(x x f y Δ′≈Δ令：则,0x x x −=Δ),)((')()(000x x x f x f x f −+≈误差为.|)(|0x x o −上式表明函数f (x )在x 0的附近可用一个线性函数来近似。
且当很小时，误差||0x x −,)()()()(001x x f x f x f x R Δ′−−=也很小。
3xy +=1oxey =oxy =)1ln(x y +=4进一步的问题是：1) 线性近似的误差R 1(x)，如何估计？2)线性近似的理论依据是Δy ≈dy ，几何上意味着在用切线代替曲线，即“以直代曲”，显然精度不够，如何改进能提高局部近似的精度？下面来解决这两个问题。
.0lim ,)]()(21[)(02001=α−α+′′=→x x x x x f x R 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)])(()([)()(:0001x x x f x f x f x R −′+−=记误差1）),)(()()(000x x x f x f x f −′+≈误差为.|)(|0x x o −5200000))((21))(()()(x x x f x x x f x f x f −′′+−′+≈3020)]()(!31[x x x f −α+′′′=]))((21))(()([)()(2000002x x x f x x x f x f x f x R −′′+−′+−=误差300200000))((!31))((21))(()()(x x x f x x x f x x x f x f x f −′′′+−′′+−′+≈因此]))((!31))((21))(()([)()(3002000003x x x f x x x f x x x f x f x f x R −′′′+−′′+−′+−=误差4030)]()(!41[x x x f −α+′′′=2) 提高多项式的次数来改进精度6由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数f (x )的近似程度越好。
高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
吉林大学大一高数第四章第三节 泰勒公式
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f ( x0 ) f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
其中 R2 m ( x)
sin() m x 2 x ) 2 m1 (1 cos(m 1 ) 2 (0 1) x (2m 1) !
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类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
( n1) ( x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界. M为 f
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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《高等数学教学资料》03第三节泰勒公式.docx
笫三节泰勒公式对于一些比较复杂的两数，为了便于研究,往往希望用一些简单的函数來近似表达.多项 式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能 求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒(Taylor. Brook, 1685-1731)在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明: 具有直到n + 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数 值组成的n 次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.分布图示★引言 ★多项式逼近 ★泰勒中值定理★例1★常用函数的麦克劳林公式★例5 ★内容小结 ★习题3・3 ★返回 内容要点问题：设函数/(X )在含有勺的开区间(Q,历内具有直到八+ 1阶导数，问是否存在一个77 次多项式函数/2/J (X )= 6f 0+a 1(X-X O ) + «2(X-X O )2 ++ (3.1)使得 且误差R n M = fM-PnM 是比勺)”高阶的无穷小，并给出误差估计的具体表达式.泰勒中值公式fM = /(勺)+ /©0)(兀一勺)+ / 即)(X-勺尸 + …+ —―(X-x ())" + R n (x) (3.3) 2! tv.拉格朗日型余项 心(兀)=广刊忆)(兀一兀()严 (3.4) (/? + 1)!皮亚诺形式余项R n (x) = o[(x -x ()r 1. (3.6) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式/(X) = /(0) + /z (0)x + /+... + 2^21 疋 + 0(0) (3.9)2! iv. ★例2★例6★课堂练习 (3.2)例题选讲直接展开法例1写出函数/(x) = x 3lnx 在斗)=1处的四阶泰勒公式.解 /(x) = x 3lnx, /(I) = 0,0 = 1 + 1 + 丄+ ••• + 丄, 2! nl其误差从公式(3.11)或(3.⑵可得近似公式心"0) +门0)’+警宀…+畔疋 2!m 误差估计式(3.8)相应变成 I^WI< M S + 1)! I 兀I" (3.13)(3.⑷间.f\x)3x 2 lnx + ^2,/*(x)6xlnx + 5x,/"(x)61nx +11,/%)」，X/⑸(兀)=—2, 兀一 r (i )=u 厂⑴=5, r (i )=n, /⑷(1) = 6, 严)©=-于是小心(-1) +詁-1)2 +牛-1)3 +扣"-召(兀-1P,其中§在1与兀之 例2 (E01)求f(x) = e v 的n 阶麦克劳林公式.解•・• fXx)=f \x)=^=f (n \x)=e x ,••・ /(0)=/z (0)=r (0)=... =/°°(0) =1,注意到/(”"(％) =严代入泰勒公式，得 //+! =l + x + —+ ••• + —+ ——厂 (0<6><1), 2! nl (川+1)!由公式可知e v ~ 1 + X + — + • •・ + 2!其误差=x z,+1 < -------- X(n + 1)! (斤 + 1)!取兀=1,得 /?! 曲(0<6><1)例3 (E02)求/(x) = sinx的//阶麦克劳林公式.解f\x) = cosx,= -sinx, /^(x) = -cosx, /(4>(x) = sinx,P(n\z、• |n 兀'...... , f (x) = sin x + —,\ /丿由此得厂(0) = 1,厂(0) = 0, r(0) = -l,严(0) = 0,……,sinx的各阶导数依序循环地取四个数0,1,0,-1,令n = 2m,则+尺2加⑴,其中sin 6r + (2/72 + 1)—(兀)=― ----------- 兀加+】(ov&vi).取加= 1,2,3的近似函数与原函数图像比较.(2加 + 1)!常用初等函数的麦克劳林公式:e x =1 + 兀 + — + ・・・ + — + x2! nl (n + 1)!ln(l + x) = x ——+ -------- + (—1)〃——+。
3_3 泰勒公式
定理2 Lagrange型余项的 型余项的Taylor 公式） 定理2（带Lagrange型余项的Taylor 公式）
阶导数， 设 f ( x )在含有 x 0的某个开区间 ( a , b ) 内具有 n + 1阶导数，
则有
1 ( 2) f ( x) = f ( x0 ) + f '( x0 ) + f ( x0 )( x - x0 )2 +⋯ 2! 1 ( n) + f ( x0 )( x - x0 )n + Rn ( x) ,∀ ∈(a, b) (3) x n! 1 R f (n+1) (ξ )( x - x0 )n+1 ,ξ介 于 0与之间 x x . 其中 n ( x) = (n +1)!
内 n + 1阶可导，而且公式 阶可导，
( 3 )中的 x 是 ( a , b )内任意一点 ,
内的整体性质。 公式 ( 3 )刻画的是 f ( x ) 在 ( a , b )内的整体性质。
例
求函数
f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 + 3 x + 1在 x = 1 处的
四阶泰勒展式(带拉格朗日余项 带拉格朗日余项). 二、四阶泰勒展式 带拉格朗日余项 解
x ( −1) ln(1 + x ) = x − + ⋯ + 2 n
2
n −1
n
n
1 ( −1)n+1 2 3 n n n +1 x = 1 − x + x − x + ⋯ + ( −1) x + n+ 2 1+ x (1 + θx ) (0 < θ < 1)
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f(
k
)
(x) n(n 1)(n k
f (k)(0) n(n 1)(n
1)(1 x)n牛k顿二项展开式是
k 1). 泰勒公式的特例!
ff(1((x x)x))n f(a )
f
1(f
0(a))
( x
f
a
)n(0f )(ax)
(x naf()n2(01))
x2
1!
1! 2!
2!
n(nf
1()k()n(0k )1) xn k!
1!
2!
f (n)(a) (x a)n
多项式 f (x) 的泰勒公式
n!
例1. 按x 1的方幂展开f ( x) x3 3x2 2x 4.
解: f ( x) x3 3x2 2x 4 f (1) 6;
f (x) 3x2 6x 2
f (1) 7;
f ( x) 6x 6
f (x) f (x0) x x0
f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ),
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). (3.1)
一次多项式 p1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(
x0
)
lim
x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
.
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) a2(x x0 )2 o[(x x0 )2].
f
( x)
f
( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 )2
x0 )
a2
o[( x x0 )2 ] ( x x0 )2
第三章
第三节 泰勒( Taylor )公式
一、多项式的泰勒公式 二、泰勒公式的引入
三、泰勒公式 四、泰勒公式的应用
回顾
拉格朗日中值公式:
f ( x) f (a) f ( )( x a)
(在 a 与 x 之 间)
或
f ( x) f (a) f ( )(x a)
问题: 能否推广此公式? 泰勒公式!
令 xa
b0 f (a)
f (x) b1 2b2(x a) nbn(x a)n1
令xa
b1 f (a)
f (x) 2b2 3 2b3(x a) n(n 1)bn(x a)n2
令xa
b2
1 2!
f
(a)
…
bn
1 n!
f
(n) (a)
按
x
–
a
的方
f ( x) f (a) f (a) ( x a) f (a) ( x a)2 幂把 f (x) 展开
说明：在x a邻近,容易计算g( x)的近似值, 也容易讨论g( x)在 x a 的性质.
按 x – a 的方幂把 f (x) 展开:
f (x) b0 b1(x a) b2(x a)2 bn (x a)n
f ( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n
(1) 若 f ( x) 在 x0 处连续,则
f (x0 )
lim
x x0
f (x)
a0 .
f ( x) f ( x0 ) a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2],
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
a2
(
x
x0
)
o[(
x x
x0 x0
)2
]
(2) 若 f ( x0 ) 存在,则
f(
n n)!(a)( x
fa()nnn!) (0) n!
xn
三、泰勒公式的引入
当 x 很小时, ex 1 x,
ye
y ex
x
ln(1 x) x. y x
y 1 x
y ln(1 x)
பைடு நூலகம்
不足: 1. 精确度不高; 2. 误差不能估计.
方法: 试找出一个关于( x x0 )的n 次多项式:
6( 1()x(
x
1)12)4
( x1)f3
.(n0)
(1)
(
x
1)n
4!
n!
例2. 按 x 的方幂展开f ( x) (1 x)n .
解: 按 x 的方幂展开, 即是按 x － 0 展开.
f ( x) (1 x)n
f (0) 1;
f (x) n(1 x)n1
f (0) n;
f (x) n(n 1)(1 x)n2 f (0) n(n 1);
pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n 满足: (1) f ( x) pn( x);
(2) 误差 Rn( x) f ( x) pn( x) o(( x x0 )n ).
设 f ( x) 在 x0 处可导, 即
lim
x x0
f ( x) p1( x)
f (x) 一次近似式
误差： R1( x) f ( x) p1( x) o( x x0 ).
问题：能否找到三个常数 a0 , a1 , a2，使得
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2]?
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[( x x0 )2 ].
(3) 若 f ( x0 ) 存在,则令 x → a, 在上式两端取极限得
f ( x0 ) 2!
一、多项式的泰勒公式 f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn (1)
f (0) a0 f ( x) f (0) a1x a2 x2 an xn f ( x) f (0) a1x a2 x2 a1xn 说明：当| x | 很小时,容易计算f ( x)的近似值,
f (1) 12;
f ( x) 6
f (k)( x) 0 (k 4)
f (1) 6; f (k)(1) 0 (k 4).
f ( x) f 6(1) f 7(1) ( x 1) f12(1) ( x 1)2 f 6(1) ( x 1)3
1!
2!
3!
6
7(
x
1f)
(04)
也容易讨论f ( x)在原点的性质.
问题: 在 x = a (a≠0) 邻近 f (x) 具有什么性质？
g( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n (2)
g(a) b0 g(x) g(a) b1(x a) b2(x a)2 bn(x a)n