第三节 泰勒公式

f(
k
)
(x) n(n 1)(n k
f (k)(0) n(n 1)(n
1)(1 x)n牛k顿二项展开式是
k 1). 泰勒公式的特例!
ff(1((x x)x))n f(a )
f
1(f
0(a))
( x
f
a
)n(0f )(ax)
(x naf()n2(01))
x2
1!
1! 2!
2!
n(nf
1()k()n(0k )1) xn k!
1!
2!
f (n)(a) (x a)n
多项式 f (x) 的泰勒公式
n!
例1. 按x 1的方幂展开f ( x) x3 3x2 2x 4.
解: f ( x) x3 3x2 2x 4 f (1) 6;
f (x) 3x2 6x 2
f (1) 7;
f ( x) 6x 6
f (x) f (x0) x x0
f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ),
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). (3.1)
一次多项式 p1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(
x0
)
lim
x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
.
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) a2(x x0 )2 o[(x x0 )2].
f
( x)
f
( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 )2
x0 )
a2
o[( x x0 )2 ] ( x x0 )2
第三章
第三节 泰勒( Taylor )公式
一、多项式的泰勒公式 二、泰勒公式的引入
三、泰勒公式 四、泰勒公式的应用
回顾
拉格朗日中值公式:
f ( x) f (a) f ( )( x a)
(在 a 与 x 之 间)
或
f ( x) f (a) f ( )(x a)
问题: 能否推广此公式? 泰勒公式!
令 xa
b0 f (a)
f (x) b1 2b2(x a) nbn(x a)n1
令xa
b1 f (a)
f (x) 2b2 3 2b3(x a) n(n 1)bn(x a)n2
令xa
b2
1 2!
f
(a)
…
bn
1 n!
f
(n) (a)
按
x
–
a
的方
f ( x) f (a) f (a) ( x a) f (a) ( x a)2 幂把 f (x) 展开
说明：在x a邻近,容易计算g( x)的近似值, 也容易讨论g( x)在 x a 的性质.
按 x – a 的方幂把 f (x) 展开:
f (x) b0 b1(x a) b2(x a)2 bn (x a)n
f ( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n
(1) 若 f ( x) 在 x0 处连续,则
f (x0 )
lim
x x0
f (x)
a0 .
f ( x) f ( x0 ) a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2],
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
a2
(
x
x0
)
o[(
x x
x0 x0
)2
]
(2) 若 f ( x0 ) 存在,则
f(
n n)!(a)( x
fa()nnn!) (0) n!
xn
三、泰勒公式的引入
当 x 很小时, ex 1 x,
ye
y ex
x
ln(1 x) x. y x
y 1 x
y ln(1 x)
பைடு நூலகம்
不足: 1. 精确度不高; 2. 误差不能估计.
方法: 试找出一个关于( x x0 )的n 次多项式:
6( 1()x(
x
1)12)4
( x1)f3
.(n0)
(1)
(
x
1)n
4!
n!
例2. 按 x 的方幂展开f ( x) (1 x)n .
解: 按 x 的方幂展开, 即是按 x － 0 展开.
f ( x) (1 x)n
f (0) 1;
f (x) n(1 x)n1
f (0) n;
f (x) n(n 1)(1 x)n2 f (0) n(n 1);
pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n 满足: (1) f ( x) pn( x);
(2) 误差 Rn( x) f ( x) pn( x) o(( x x0 )n ).
设 f ( x) 在 x0 处可导, 即
lim
x x0
f ( x) p1( x)
f (x) 一次近似式
误差： R1( x) f ( x) p1( x) o( x x0 ).
问题：能否找到三个常数 a0 , a1 , a2，使得
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2]?
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[( x x0 )2 ].
(3) 若 f ( x0 ) 存在,则令 x → a, 在上式两端取极限得
f ( x0 ) 2!
一、多项式的泰勒公式 f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn (1)
f (0) a0 f ( x) f (0) a1x a2 x2 an xn f ( x) f (0) a1x a2 x2 a1xn 说明：当| x | 很小时,容易计算f ( x)的近似值,
f (1) 12;
f ( x) 6
f (k)( x) 0 (k 4)
f (1) 6; f (k)(1) 0 (k 4).
f ( x) f 6(1) f 7(1) ( x 1) f12(1) ( x 1)2 f 6(1) ( x 1)3
1!
2!
3!
6
7(
x
1f)
(04)
也容易讨论f ( x)在原点的性质.
问题: 在 x = a (a≠0) 邻近 f (x) 具有什么性质？
g( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n (2)
g(a) b0 g(x) g(a) b1(x a) b2(x a)2 bn(x a)n