苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题(附答案)

圆的对称性

主要内容：

1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

经过圆心的直线是对称轴。

圆心是它的对称中心。

2. 圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

如图，用几何语言表示如下：⊙O中，

（1）∵∠AOB＝∠A'OB'

（3）∵AB＝A'B'

5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图：几何语言

【典型例题】

例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：

例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA

＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，

利用勾股定理求解。

解：

第8题

例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解：

【模拟试题】一. 选择题。

1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（

）

A.

B. 1

C.

D.

2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的

长为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成

立的是（ ）

A. B.

C. D.

4. 下列命题中正确的是（ ）

A. 圆只有一条对称轴

B. 平分弦的直径垂直于弦

C. 垂直于弦的直径平分这条弦

D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ）

A. AB ＞CD

B. AB ＝CD

C. AB ＜CD

D. 不能确定 二. 填空题。

6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。

7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为

厘米．

第5题

第11题

8. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。

9. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。

10. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，

则AB和CD的距离为___________。

11. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB

＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。

三. 解答题。

12. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求

出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。

13. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。

求证：

14. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O 作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。

15. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。

16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。

（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

17. （12上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【试题答案】

一. 选择题。

1. B

2. A 3 A 4. C 5. B

二. 填空题。

6. 4

7. 10

8. 75°9.

10. 2cm或14cm

11. cm（垂径定理与勾股定理）

三. 解答题。

12 解：过点O作OC⊥AB于C，则

又

∴∠OAB＝30°

13 证明：连结BC

∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径

∴BC＝AC

∴∠CAB＝∠CBA

又EA＝EC

∴∠CAB＝∠ECA

∴∠CBA＝∠ECA

∴△AEC∽△ACB

即