2021届最新各名校高考数学模拟卷
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
浙江省宁波市2021届新高考数学模拟试题含解析
浙江省宁波市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.2．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r 变形为23AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，由13AN AC =u u u r u u u r 得3AC AN =u u u r u u u r，转化在ABN V 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r(O 为平面内任一点,t R ∈)3．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 4．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4C ．12D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图 7．已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5C 5D ．54【答案】C 【解析】 【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据c e a ==.【详解】已知圆224210x y x y +-++=，所以其标准方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以其渐近线方程为by x a=±， 又因为圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以12b a =.所以c e a ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211bb a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a ba b ->- 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2bb >，所以()()111b b a a -<-，()()211bb a a -<-，所以A,B 两项均错； 又111a b <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李 B ．小王C ．小董D ．小李【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】本题考查推理证明的实际应用.10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 11．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.12．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x xa a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t ）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t=，则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考数学 高考模拟卷含答案
3Z22021 高考模拟卷数学本卷满分150 分，考试时间120 分钟一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i)z =1- 2i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A．1 B．-1 C．i D．-i2．设集合A ={x ∈Z x2 -3x - 4 > 0}，B ={x | e x-2 <1}，则以下集合P 中，满足P ⊆ (C A) B 的是（）A．{-1, 0,1, 2}B．{1, 2} C．{1} D．{2}3.已知非零向量a 、b ，若a = b ，a ⊥(a - 2b)，则a 与b 的夹角是（）πA.6π2πB.C．3 35πD．64.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．12 种5.已知函数y = f (x) 的图象如图所示，则此函数可能是（）A. f (x) =sin 6x2-x - 2xB. f (x) =sin 6x2x - 2-xC. f (x) =cos 6x2-x - 2xD. f (x) =cos 6x2x - 2-x6.已知函数f (x) =x2 +a ln x ，a > 0 ，若曲线y =最小的，则a =（）f (x) 在点(1,1) 处的切线是曲线y = f (x) 的所有切线中斜率A．12B．1 C．D．27.若双曲线C ：y2-x2=1与双曲线C ：x2-y2=的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（）1 3 a 6 9 1 122a 5 9 A.10 2B. 15 3C.5 2D.3 38. 对 n ∈ N * ，设 x n 是关于 x 的方程 nx 3 + 2x - n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x ] 表示不超过x 的最大整数，则 a 2 + a 3 +a 2020= （ ）2019A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（ ）A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -111. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪ ⎝ ⎭b0 0 C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) D. 函数 f '( x ) 的最小值为-312.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭ r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为. 16．已知圆 M :( x - x )2 + ( y - y )2 = 8 ，点T (-2,4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题 10 分）在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题 12 分）2 3 3nn n nn已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N * . nnn（1） 求 a 1 的值； （2） 求数列{a n }的通项公式．19．（本小题 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2 ， D ， E ， F 分别为线段 AC ，A 1 A ， C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.20．（本小题 12 分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本， 计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 y ˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.53721．（本小题 12 分）如图所示，已知椭圆 x a 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运nn∑( x i- x ) i =1202∑ 20 (y - y i )2i =12 22+ + - Z 动.22．（本小题 12 分）设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i ) z = 1- 2i ，其中i 为虚数单位，则 z = （ ）A ．1B ． -1 【答案】DC ． iD ． -i【详解】解：由(2 + i ) z = 1- 2i ，得 z =1- 2i = (1- 2i)(2 - i) = -5i = - i ，2 i (2 i)(2 i) 5故选：D2．设集合 A = {x ∈ Z x 2 - 3x - 4 > 0}， B = {x | e x -2 < 1}，则以下集合 P 中，满足 P ⊆ (C A)B 的是（ ）A ．{-1, 0,1, 2}B ．{1, 2} C ．{1} D ．{2}【答案】C 【详解】集合 A = {x ∈ Z x 2- 3x - 4 > 0}，解得 A = {x ∈ Z x > 4 或 x < -1}，B = {x | e x -2 < 1}，解得 B = {x | x < 2} ，则ðZ A ={-1, 0,1, 2,3, 4} ，3 3 ( )所以(ðZ A )⋂ B = {-1, 0,1, 2, 3, 4}⋂{x | x < 2} = {-1, 0,1}， 对比四个选项可知，只有 C 符合 P ⊆ (ðZ A ) ⋂ B .3. 已知非零向量 a 、b ，若 a =b ， a ⊥ (a - 2b )，则 a 与b 的夹角是（）π A. 6π2πB.C ．335π D ． 6【答案】A【详解】设 a 与b 的夹角为θ，a =b ， a ⊥ (a - 2b )，2则 a ⋅ a - 2b = a 2 - 2a ⋅ b = a 2 - 2 a ⋅ b cos θ= 3 b - 2 2 b cos θ= 0 ，可得cos θ=，2Q 0 ≤θ≤π，∴θ= π.64. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A ．48 种B ．36 种C ．24 种D ．12 种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，根据分步计数原理，共有 2⨯ 3⨯ 6 = 36 不同的选取方法， 故选：B5. 已知函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则此函数可能是（）3 32x ⨯ a x2a 对于 B ， - ==对于 C ， - ==对于D ， - = =A. f (x ) =sin 6x 2- x - 2x B. f (x ) = sin 6x 2x - 2- x C. f (x ) = cos 6x 2- x - 2x D. f (x ) =cos 6x2x - 2- x【答案】D【详解】由函数图象可得 y =f (x ) 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时， f (x ) > 0 ，对于 A ，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 x > 0 ， 2- x < 2x ，故 f (x ) < 0 ，不符合题意，故 A 错误；sin (-6x ) sin 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 B 错误； 2- x - 2x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 2x - 2- x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = - f (x ) ，∴ f ( x ) 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时，cos 6x > 0 ，2x > 2- x ， 2- x - 2x 2- x - 2x∴ f ( x ) > 0 ，符合题意，故 D 正确.6. 已知函数 f (x ) = x2+ a ln x ， a > 0 ，若曲线 y = 最小的，则a =（ ）f (x ) 在点(1,1) 处的切线是曲线 y =f (x ) 的所有切线中斜率A ． 12【答案】DB ．1C ．D ．2【详解】因为 f (x ) = x 2 + a ln x ，定义域为(0, +∞) ， 所以 f '(x ) = 2x + a，x由导数的几何意义可知：当 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，因为 a > 0 ， x > 0 ，所以 f '(x ) = 2x + a≥ 2 = 2 ，x 当且仅当 2x = a即 a = 2x 2 时 f '(x ) 取得最小值， x又因为 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，所以 a = 2 ⨯12 = 2 ， 7. 若双曲线C ： y 2 - x 2 = 1与双曲线C ： x 2- y2= 的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（ ）1 3 a 6 91 12 23 + 23 n +1 =15A.102 B.153C.52D.33【答案】B【详解】C y2 x2 3因为双曲线1 ：3-a=1的渐近线方程为y =±x ，a2双曲线C2 ：6-y29=1的渐近线方程为y =±3x ，2又这两双曲线的渐近线相同，所以3=3，解得a = 2 ，a 2所以双曲线C1 的离心率e =.38.对n ∈N * ，设x n 是关于x 的方程nx3 + 2x -n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x] 表示不超过x 的最大整数，则a2+a3+a2020 =（）2019A．1011 B．1012 C．2019 D．2020 【答案】A【详解】设函数f (x)=nx3 + 2x -n ，则f '(x)= 3nx2 + 2 ，当n 时正整数时，可得f '(x)> 0 ，则f (x)为增函数，因为当n ≥ 2 时，f (n) =n ⨯ (nn +1)3 + 2 ⨯ (nn +1) -n=n⋅(-n2 +n +1) < 0 ，(n+1)3且f (1)= 2 > 0 ，所以当n ≥ 2 时，方程nx3 + 2x -n = 0 有唯一的实数根x 且x ∈( n,1) ，n n n +1 所以n < (n +1)x n <n +1, a n = [(n +1)x n ] =n ，因此a2+a3+a2020 =1 (2 +3 +4 ++ 2020) =1011.2019 2019二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500 元，则下面结论中正确的是（）x2aA. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】 解：退休前工资收入为 8000 元/ 月，每月储蓄的金额占30% ，则该教师退休前每月储蓄支出8000⨯ 30% = 2400元，故 A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x 元/ 月，则 x 15% = 900 ，即 x = 6000 元/ 月，故 C 正确；该教师退休前的旅行支出为8000 ⨯ 5% = 400 元，退休后的旅行支出为6000⨯15% = 900 元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 2.25 倍，故 B 错误；该教师退休前的其他支出为8000 ⨯ 20% = 1600 元，退休后的其他支出为6000 ⨯ 25% = 1500 元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确． 故选：ACD ．10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -1【答案】ABD 【详解】a 2 +b 2 ≥ 2ab ,∴2(a 2 + b 2 )≥ (a + b )2,∴(a + b )2≤ 2 ，又a > 0,b > 0,∴ a + b ≤ 2, 故A 正确；bab 5 9 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，∴0 < a < 1, 0 < b < 1,∴ -1 < a - b < 1,∴ 1< 2a -b < 2 ，故B 正确；2 a 2 - b 2 > -b 2 > -1,故D 正确；C 等价于log ≥ - 1 ，即 1 log ab ≥ - 1 , log ab ≥ -1， 2 2 2 2 22等价于 ab ≥ 1 ,但当 a = 3 , b = 4 时，满足条件 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ， ab = 12 < 1,故 C 错误；2 5 5 25 211. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) ⎝ ⎭D. 函数 f '( x ) 的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A. 因为 y = cos x , y =cos 5x , y = cos 9x 的周期分别是 2π, 2π, 2π ，其最小公倍数为2π，所以函数函数 f (x ) 的最小 5 9 5 9正周期为2π，故错误；cos (- 5π)cos (- 9π)B. 因为 f (- π) = cos (-π)+ 2 + 2 = 0 ，故正确；2 2 5 9C. f '(x ) = -sin x - sin 5 x -sin 9x = f '(π-x ) ，故正确；D. f '(π)= -sin π- sin 5π- sin 9π = -3 ,故正确； 2 2 2 212.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM 【答案】BC 【详解】对于 A ，由图显然 AM 、BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误；对于 B ，由题意 AD ⊥ 平面CDD 1C 1 ， AD ⊂平面 ADM ，故平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1 ，故 B 正确； 对于 C ，取 CD 的中点 O ，连接 BO 、ON ，可知△BON 为等边三角形，且四边形 BB 1MO 为矩形，BO / / B 1M 所以 B 1M 与 BN 所成角60︒ ，故 C 正确；对于 D ， BN / / 平面 AA 1D 1D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】 2x + y - 3 = 0【详解】设 f ( x ) = x α，将⎛ 2,1 ⎫代入， 2α= 1，解得α= -2 ，4 ⎪ 4⎝ ⎭∴ f ( x ) = x -2 ，则 f '( x ) = -2x -3 ，∴ f '(1) = -2 ， 则切线方程为 y -1 = -2(x -1) ，即 2x + y - 3 = 0 . r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.【答案】222 2b 2 2 55 k 1x 0 - y 01 + k 21 k2 x 0 - y 01 + k 222 6 6 6 6 43 C C 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 【详解】r r r r r r r r r r r 2解：由| a + b |=| 2a - b | 得| a + b |2 =| 2a - b |2 ⇒ 2a ⋅b = a ，2 由| a |=| a - 2b | ，故| a |2 =| a - 2b |2⇒ a ⋅b = b ，2 2所 以 a = 2b ⇒ a = b ，cos < 2 a ⋅b b 所以 a ,b >= = = = ， 2 a b a b 2 b15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为.1【答案】2【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： C 3C 3= 400种，小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： C 2C 1C 1= 180 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： C 3= 20 种，C 2C 1C 1 + C 3 ∴他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 P = 6 4 3 6 6 6= 1， 216.已知圆 M : ( x - x )2+ ( y - y )2= 8，点T (-2, 4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.【答案】4 ⎡2 - 4, 2 + 4⎤⎣ ⎦ 【详解】由题意可知，直线OP : y = k 1 x ， OQ : y = k 2 x ， 因为直线OP ， OQ 与圆 M 相切， 所以= 2 2 ， = 2 ，两边同时平方整理可得 k2 (8 - x 2) + 2k x y + 8 - y 2= 0 ，11 0 0k 2 (8 - x 2 ) + 2k x y + 8 - y 2 = 0 ，5 5 0 00 0 01 20 0nn n nn所以 k ， k 是方程k 2(8 - x 2) + 2kx y + 8 - y2 = 0(k ≠ 0) 的两个不相等的实数根，所以 k 1k 2 8 - y 2= 0 8 - x 2．又 k 1k 2 = -1，8 - y 2所以8 - x 2= -1 ，即 x 2+ y 2= 16 ，则 OM = 4 ；又 TO = = 2 ，根据圆的性质可得，所以 TO - 4 ≤ TM ≤ TO + 4 ，即 2 - 4 ≤ TM ≤ 2 5 + 4 ．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】若选①，bc ＝4，由于 c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得 ac ＝2c ，可得 a ＝2，因为 b cos C ＝1，1 可得 cos C ＝ ba 2 +b 2 -c 2＝2abπ，整理可得 2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得 b ＝c ＝2，所以 C ＝ ．3若选②，a cos B ＝1，因为 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，解得 a ＝2，1 π 所以 cos B ＝2 ，由 B ∈（0，π），可得 B ＝ 3，又 b cos C ＝1，可得 a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得 a •a 2 + c 2 -b 2 2ac ＝b • a 2 + b 2 - c 2 2abπ ，整理可得b ＝c ，所以 C ＝B ＝ ． 3若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得 a ＝2b ，又 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，可得 a ＝2，所以 b ＝1， 又因为 b cos C ＝1，可得 cos C ＝1，又 C ∈（0，π）， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在．18.已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N *.nnn（1） 求 a 1 的值；x 2+ y 2 0 0 4 + 162 3 3n ＋n+n+n n a （2） 求数列{a n }的通项公式．【详解】（1）由 3T 1＝ S 2＋2S 1，得 3 a 2＝ a 2＋2a 1，即 a 2－a 1＝0.因为 a > 0 ，所以 a = 1 ；11111 1（2）因为 3T n ＝ S 2＋2S n ，① 所以 3T n 1＝ S2＋2S n 1, ② ②－①，得 3 a 2＝ S2－ S 2＋2a n 1，即 3 a 2＝(S n ＋a n 1)2－ S 2 ＋2a n 1.因为a > 0 ， 所以 a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以 a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即 a n ＋2＝2a n ＋1，所以当 n ≥2 时，a n +1a n＝2，又由3T = S 2 + 2S ，得 3(1＋ a 2 )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即 a 2- 2a = 0 ，2222 22因为 a > 0 ，所以 a = 2 ，所以 a 2＝2，所以对任意的 n ∈N *，都有a n +1= 2 成立， 22 1 n所以数列{a }的通项公式为 a = 2n -1.19.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2， D ， E ， F 分别为线段 AC ， A 1 A ，C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.【详解】（1） 如图，取 BC 的中点G ，连结 AG ， FG .a2 333 3在BCC 1 中，因为 F 为C 1B 的中点，所以 FG //C C ， FG = 1C C .12 1在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， A 1 A //C 1C ， A 1 A = C 1C ，且 E 为 A 1 A 的中点， 所以 FG //EA ， FG = EA . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF //AG .因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AG ⊂平面 ABC ， 所以 EF // 平面 ABC .（2） 以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为 AB =，所以 BD = 1,所以 D (0, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， C ⎛ 3 , 0, 2 ⎫ ， E ⎛ - 3 , 0,1⎫,1 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎛ ⎫所以 BC 1 = 3 , -1, 2 ⎪ ， DB = (0,1, 0) ， DE = - 3 , 0,1⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面 BDE 的一个法向量为n = (a , b , c ) ，3 3 3 3 n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2⎧DB ⋅ ⎧b = 0 则⎨ n = 0 ⎪ ，即, ⎩DE ⋅ = 0 ⎨- 3 a + c = 0 n ⎪⎩ 3取 a = 3 ，则c = 1，所以 n = ( 3, 0,1) ，n ⋅ BC 11 + 2所以cos < n , B C 1 >== = 8 ， | n | | BC 1 | 4 ⋅16 3直线C 1B 与平面 BDE 所成角为θ，则θ与< n , BC 1 > 或它的补角互余，所以sin θ= cos < n , BC 1 > =n ⋅ BC 1= . n ⋅ BC 18 20.利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本，计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 yˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表nn∑( x i - x )i =1202∑ 20 (y - y i )2i =14 44n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.537【详解】（ 1）由于回归直线： yˆ =32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以 a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设 H 0：变量 x ，y 不具有线性相关关系， 38所以 r =2040⨯ 32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有 99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20 个样本中不低于 4500m /有 5 个，所以全校高一男生大肺活量的概率为 5 = 120 4设从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，⎛ 1 ⎫2 ⎛ 3 ⎫227 则 p = C 2=. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭128 27所以从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为.12821．如图所示，已知椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x = 2 2222 2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运动. 【详解】（1） 设圆的焦距为 2c .因为椭圆的离心率为 2，一条准线为直线 x = ， 2所以e = c = ， a= ，a 2 c从而 a 2 = 1， c 2= 1 ，从而b 2 = a 2 - c 2= 1.22所以椭圆的标准方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 .（2） 因为点 P 不在坐标轴上，所以直线 OP 的斜率存在且不为 0.设直线 CD 的方程为 y = mx + n ，直线 EF 的方程为 y = kx ，设点C (x 1 , mx 1 + n ) ，点 D ( x 2 , mx 2 + n ) ，点 P ( x 0 , y 0 )， 由题设知 A (-1, 0) .因为点 A 、C 不重合，所以直线 AC 的方程为y = mx 1 + n(x +1) . x 1 +1⎧ y = mx 1 + n (x + 1)mx + n 联立⎪ x +1 ，可得点 E 的横坐标 x = 1 . ⎨ 1 ⎪⎩y = kx (k - m )x 1 + k - nE⎩ ⎩ n同理可得点 F 的横坐标 x =mx 2 + n.(k - m )x 2 + k - n因为OE = OF ，所以 x E + x F = 0 ，整理得2m (k - m ) x 1 x 2 + (mk + nk - 2mn ) ( x 1 + x 2 ) + 2n (k - n ) = 0 （*）⎧ y = mx + n 联立⎨x 2 + 2 y 2= 1，可得(2m 2+1) x 2 + 4mnx + 2n 2 -1 = 0 .所以∆ = 4(2m 2 - 2n 2+1)> 0 ， x + x = -4mn ， x x 2n 2-1 = - ，1 2 2m 2 +11 22m 2+1代入（*）式，有 2m (k - m ) (2n 2-1) - (mk + nk - 2mn ) ⋅ 4mn + 2n (2m 2+1)(k - n ) = 0 ，整理得(n - m )(n + m - k ) = 0 .因为直线 CD 不过点 A ，所以 n - m ≠ 0 ，因而 n + m - k = 0 .联立⎧ y = mx + n ，可得(k - m )x = n .⎨y = kx因为直线 CD 不过原点，所以 n ≠ 0 ，因而 k - m ≠ 0 .所以 x 0 =k - m= 1 ，因而点 P 在直线 x = 1 上运动22．设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.【详解】（1）∵ f (x ) 的图象关于原点对称，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ，∴ a ⋅ 2- x - 2- x + a ⋅ 2x - 2x = 0 ，即(a - 1) ⋅ (2- x + 2x )= 0 ，所以 a = 1 ；令 g (x ) = 2x - 2- x+ 3= 0 ，2则 2 ⋅ (2x)2+ 3⋅ (2x )- 2 = 0 ，∴ (2x+ 2)⋅(2 ⋅ 2x-1)= 0 ，又 2x > 0 ，∴ x = -1 ，F所以满足g (x0 )= 0 的x0 的值为x0 =-1 .（2）h(x) =a ⋅ 2x - 2-x + 4x + 2-x ，x ∈[0,1]，令2x =t ∈[1, 2] ，h(x) =H (t) =t2+at, t ∈[1, 2] ，对称轴t =-a ，0 2①当1 -a≤3，即a ≥-3 时，2 2Hmax(t) =H (2) = 4 + 2a =-2 ，∴a =-3；②当-a>3，即a <-3 时，2 2Hmax(t) =H (1) = 1+a =-2 ，∴a=-3（舍）；综上：实数a 的值为-3 .高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+ 技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
2021年高考数学模拟训练卷 (7)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (7)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. (−∞,32)B. (1,+∞)C. (1,32)D. [32,3)2. 若双曲线方程为x 2−y 23=1，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√3xC. y =±√33xD. y =±12x3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0，则y −x 的最大值为( )A. −2B. −1C. 2D. 44. 函数y =e|x|4x的图象可能是( )A.B.C.D.5. 设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )=1.6，则a 等于( )X 0 1 2 3 P0.1ab0.1A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.36. 已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则4m +1n 的最小值等于( )A. 1B. 32C. 53D. 1368. 若a <b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. lga <lgbD. 3a <3b9. 某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A. 600种B. 480种C. 408种D. 384种10. 在正三棱锥A −BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC =1，则A −BCD 的体积为( )A. √1212B. √224C. √312D. √324二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 在△ABC 中，B =30°，C =120°，则a ：b ：c = ______ ．12. 已知平面向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 之间的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=2，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=________。
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)(附答案详解)
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷（理科）（七）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·广东省·单元测试)已知复数z满足：zi=1+i(i是虚数单位)，则z的虚部为()A. −iB. iC. 1D. −12.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x|ln(x−2)<1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤3}B. {x|2<x<3}C. {x|−1≤x<e+2}D. {x|3<x<e+2}3.(2020·北京市·月考试卷)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“m//β且n//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·全国·模拟题)中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中剪下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为√5−12时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为()A. √5+1B. √5+12C. √5−14D. √5−15.(2021·全国·模拟题)函数f(x)=(x−2)⋅e x的最小值为()A. −2B. −eC. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，则3人从同一入口进站的概率为()A. 15B. 35C. 125D. 3257.(2021·全国·模拟题)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.2]=1，[π]=3，[−2.1]=−3，则执行如图所示的程序框图，输出a的值为()A. 5B. 8C. 11D. 148.(2021·全国·模拟题)下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是()A. f(x)=lnxxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=−x|x|D. f(x)=−lg(√x2+1−x)9.(2019·海南省海口市·月考试卷)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a、b均为正数)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为()A. 54B. 32C. √3D. 2√310.(2021·全国·模拟题)已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过()小时后须再次向病人体内补充这种药物.(已知lg2≈0.30，lg3≈0.48，结果精确到0.1ℎ)A. 1.8B. 1.9C. 2.1D. 2.211.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，点A为函数f(x)图象上的一个最高点，点B，C为函数f(x)的图象与x轴相邻的两个交点.若△ABC周长的最小值为4+2√5，且将函数f(x)的图象向右平移13个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则φ的值为()A. π3B. π4C. π6D. π1212.(2021·全国·模拟题)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知定点A(−2,0)，B(2,0)，动点C满足|AC|=2|BC|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P，已知点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P 于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，当∠DFE=30°时，直线AD的斜率为()A. √3913B. √2613C. √34D. √134二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=√2b=2，且A=π，则a=______ ．14. (2014·浙江省宁波市·模拟题)已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2，则z =2x +y 的最小值是______ ．15. (2021·全国·模拟题)在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ． 16. (2021·全国·模拟题)如图所示，在棱长为2a 的正四面体ABCD中，点E ，F 分别为AC ，BD 的中点，现用一个与EF 垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．18. (2021·全国·模拟题)如图所示，AB 为圆锥S −ABC 底面圆的直径，点C 为底面半圆弧AB ⏜上不与A ，B 重合的一点，设点D 为劣弧BC⏜的中点． (1)求证：BC ⊥SD ；(2)设AB =2，且圆锥的高为3，当∠BAC =60°时，求二面角A −SC −B 的余弦值．19. (2021·全国·模拟题)焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值(满分100分)的测试，根据调查得到如下数据表：(1)我们约定：焦虑值y 关于年龄x 的线性相关系数的绝对值在0.75(含0.75)以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合.试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值y 与年龄x 的相关关系进行拟合.若能，请求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程(回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01)；若不能，请说明理由．(2)现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁(含20岁)以上的人数为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：x −=22.2，y −=71.4，√∑x i 210i=1−10x −2≈15.48，√∑y i 210i=1−10y −2≈40.08，∑x i 10i=1y i −10x −y −=525.2．对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． 线性相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2．20. (2021·全国·模拟题)已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上，点F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.设|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值和最小值分别为4和2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求△MF 1N 内切圆面积的最大值．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=me x ． (1)若关于x 的不等式x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若m >0，且曲线y =f(x)与抛物线x 2=y 有两条公切线，求正数m 的取值范围．22. (2021·全国·模拟题)已知圆C 1：x 2+y 2=4，若C 1上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的√5倍，得到曲线C 2，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)设M ，N 为曲线C 上的两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求1|OM|2+1|ON|2的值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式f(x)≥3x的解集；(2)设f(x)的最小值为m，且1a +4b=m(a>0,b>0)，求a2+b2b+4a的最小值．答案和解析1.【答案】D【知识点】复数的三角形式、复数的四则运算【解析】解：由zi=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为−1．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−1≤x<3}，B={x|0<x−2<e}={x|2<x<e+2}，∴A∩B={x|2<x<3}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】充要条件、面面平行的性质、面面平行的判定【解析】【分析】本题考查简易逻辑，以及立体几何中面面平行的判定和性质，属于基础题．通过立体几何知识，进行判断．【解答】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，推不出“m//β且n//β”，缺少条件m，n相交；若“α//β”，则α内任意一条直线都平行于平面β，正确；故“m//β且n//β”是“α//β”的必要不充分条件，故选：B．4.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，由题意知l2r+l =√5−12，即2l=2(√5−1)r+(√5−1)l，得(3−√5)l=2(√5−1)r，即lr =√5−1)3−√5=√5+1，即弧度数为√5+1，故选：A．设扇形的弧长为l，半径为r，根据条件建立方程进行求解即可．本题主要考查扇形的圆心角的计算，根据条件建立方程，利用弧度角公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【知识点】函数的最值【解析】解：函数f(x)=(x−2)⋅e x则f′(x)=e x+(x−2)⋅e x令f′(x)=0，即e x+(x−2)⋅e x=0可得：x=1．当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)单调递减，∴当x=1，f(x)取得最小值为−e．故选：B．利用导函数研究其单调性即可求解最小值．本题考查了利用导函数研究单调性问题求解最值．属于基础题．6.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，则3人从同一入口进站的概率为P=5125=125．故选：C．基本事件总数n=53=125，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，由此能求出3人从同一入口进站的概率．本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题．7.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：程序开始，i=1，a=5，a−2[a5]=5−2[1]=3，i=2，a=8，a−2[a5]=8−2[1.6]=6，i=3，a=11，a−2[a5]=11−2[2.1]=7>6，即输出的a=11．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：A.函数的定义域为{x|x>0}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，排除A，B.f(1)=2，f(−1)=0，则f(−1)≠−f(1)且f(−1)≠f(1)，即f(x)为非奇非偶函数，排除B，C.f(−x)=−(−x)|−x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=−x2为减函数，不满足条件．排除C，D.f(−x)+f(x)=−lg(√x2+1+x)−lg(√x2+1−x)=−lg(√x2+1+x)(√x2+1−x)=−lg1=0，当x≥0时，f(x)=√x2+1+x=lg(√x2+1+x)为增函数，满足条件，故选：D．分别判断函数的定义域，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】A【知识点】抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、双曲线的概念及标准方程、圆锥曲线中的综合问题、双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于中档题．由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，由△AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax，又∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，∴设A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，∵△AOB的面积为3，∴12×2×4ba=3，∴4b=3a，4c=5a，∴e=ca =54．故选：A．10.【答案】A【解析】解：设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物， 则2000(1−25%)x ≤1200，化简可得(34)x≤35，所以x ≥log 3435=lg35lg 34=lg3−lg5lg3−lg4=lg3+lg2−1lg3−2lg2≈0.48+0.30−10.48−2×0.30≈1.8，所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物． 故选：A ．设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物，由题意列出不等式2000(1−25%)x ≤1200，然后利用对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，对数运算性质的运用，解题的关键是由题意列出不等关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，点A 为函数f(x)图象上的一个最高点，点B ，C 为函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点．若△ABC 周长的最小值为4+2√5， 故有πω+2√1+(π2ω)2=4+2√5，求得ω=π4，故f(x)=sin(π4x +φ)．将函数f(x)的图象向右平移13个单位后，所得函数y =sin(π4x −π12+φ)的图象恰好关于原点对称，∴−π12+φ=kπ，k ∈Z ， 则φ的值为π12， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】A【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：如图所示，设动点C(x,y)，则有√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，化简可得x 2+y 2−203x +4=0，即圆P 的方程为：(x −103)2+y 2=649，由正弦定理可得，DEsin30∘=163，解得DE =83， 所以△DPE 为等边三角形，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，则sin∠PAG =PG PA=4√33163=√34， 所以cos∠PAG =√1−(√34)2=√134，故k AD =tan∠PAG =√34√134=√3913． 故选：A ．设动点C(x,y)，从而求出点C 的轨迹方程P ，然后利用正弦定理求出DE 的值，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，利用边角关系求出sin∠PAG ，由同角三角函数关系求出tan∠PAG ，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．13.【答案】√2【知识点】正弦定理【解析】解：由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∵c =√2b =2，且A =π4， ∴a 2=(√2)2+22−2⋅√2⋅2⋅√22， ∴a =√2． 故答案为：√2．根据已知条件，运用余弦定理，即可求解．本题考查了余弦定理公式的使用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】−5【知识点】最优解问题【解析】解：满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域如图示：由图可知，当x =−1，y =−3时，2x +y 有最小值−5． 故答案为：−5．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x +y 中，求出2x +y 的最小值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】53【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{λ−μ=1λ2+μ=1，解得{λ=43μ=13，∴λ+μ=53． 故答案为：53．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可解决此问题． 本题考查平面向量基本定理及数乘运算，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】8√6π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：将四面体补成正方体，如图， 设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形(四边形)， 因为EF ⊥BD ，EF ⊥平面MNGH ，所以BD//平面MNGH ，由线面平行的性质定理可得MH//BD//NG ，由PQ//平面MNGH ，同理可得MN//AC//HG ， 所以截面四边形MNGH 为平行四边形， 因为该四面体为正四面体，所以MH =AM ，MN =BM ， 所以MN +MH =2a ，由MH//BD ，MN//AC ，可得MH ⊥MN ， 所以四边形MNGH 为矩形， 所以S 四边形MNGH =MH ⋅MN ≤(MH+MN 2)2=a 2=4，当且仅当MH =MN 时取等号， 所以a =2，所以四面体的外接球的体积为V =4π3(√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)22)3=8√6π．将四面体补成正方体，设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形，然后证明四边形MNGH 为矩形，利用基本不等式可得面积的最值，从而可求出a 的值，进而可得正方体的边长，最后利用球的体积公式解之即可．本题主要考查了三棱锥外接球的体积，解题的关键是将四面体补成正方体，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ，整理得：a n+1a n=2(n+1)n，所以a nan−1=2nn−1，......，a 2a 1=2×21，所以a nan−1⋅a n−1a n−2⋅.....⋅a 2a 1=2n−1×(21×32×....×nn−1)，整理得an a 1=2n−1⋅n ， 所以a n =n ⋅2n−1(首项符合通项)， 故a n =n ⋅2n−1．(2)由(1)得：ann =2n−1，所以S n =1×(2n −1)2−1=2n −1．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式中叠乘法的应用求出数列的通项公式； (2)利用等比数列的求和公式的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，则SO ⊥平面ABC ，且OD 垂直平分BC ， 所以SO ⊥BC ，BC ⊥OD ，又因为SO ∩OD =O ，SO ，OD ⊂平面SOD ， 所以BC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， 故BC ⊥SD ；(2)解：因为AB 为底面圆的直径，所以AC ⊥BC ， 以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =2，SO =3，∠BAC =60°，所以AC =1，BC =√3， 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),S(12,√32,3)，所以SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,−3),SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√32,−3)，SB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−3)， 设平面ASC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x −√32y −3z =0−12x −√32y −3z =0，令z =1，则y =−2√3，故n ⃗ =(0,−2√3,1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12a +√32b −3c =0−12a −√32b −3c =0， 令c =1，则a =−6，故m ⃗⃗⃗ =(−6,0,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1√13×√37=√481481， 故二面角A −SC −B 的余弦值为√481481．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面SOD ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ASC 和平面SBC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度， 从而判断是否能用线性回归方程进行拟合． 相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2=525.215.48×40.08≈84.65%>0.75，由题意，y 与x 有较强的线性相关，故可用线性回归对它们的相关性进行拟合， 设回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑x i 10i=1y i −10x −y−∑x i 210i=1−10x−2=55.215.482≈2.19，a ̂=y −−b ̂x −≈22.78，∴焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程为y ̂=2.19x +22.78． (2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5， P(ξ=1)=C 61C 44C 105=142，P(ξ=2)=C 62C 63C 105=521， P(ξ=3)=C 63C 42C 105=1021，P(ξ=4)=C 64C 41C 105=521，P(ξ=5)=C 65C 105=142，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=1×142+2×521+3×1021+4×521+5×142=3．【知识点】回归直线方程、离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度，从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．求出相关系数r ≈84.65%>0.75，从而y 与x 有较强的线性相关，可用线性回归对它们的相关性进行拟合，由此能求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程．(2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查直线回归方程、概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】解：(1)设坐标原点为O ，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由题意可得，|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，所以a =2，b =√3， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)因为三角形内切圆的半径r =2S △MF1N|MF 1|+|NF 1|+|MN|=2S △MF 1N4a=S △MF 1N4，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为π[(S △MF 1N )max 4]2=π[(S △MF 1N )max ]216，设直线l 的方程为x =my +1，联立直线l 的方程与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4， 所以S △MF 1N =12⋅|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12√m 2+1(3m 2+4)2 =12√19m 2+15+1m 2+1=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，令t =m 2+1(t ≥1)，则f(t)=9t +1t (t ≥1)， 所以f′(t)=9−1t 2>0，故f(t)在[1,+∞)上单调递增， 所以f(t)≥f(1)=10， 所以S △MF 1N ≤12×√116=3，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为9π16．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)设坐标原点为O ，利用|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而求出|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，即可得到a 和b 的值，即可得到答案；(2)由三角形内切圆的半径r ，得到△MF 1N 内切圆面积的最大值与△MF 1N 面积的关系，设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出△MF 1N 面积的表达式，利用函数的单调性求解最值，即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立， 令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，则g′(x)=e x +(x −1)e x −2mx =x(e x −2m)，当m ≤12时，若x ≥0，则g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g(x)≥g(0)=0， 即m ≤12符合题意， 当m >12时，2m >1，当0<x <ln(2m)时，g′(x)<0，g(x)在(0,ln(2m))上单调递减， 所以g(ln(2m))<g(0)=0， 所以m >12不符合意义，综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,12]. (2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，则切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 由{x 2=y y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 得x 2−me x 0x +me x 0(x 0−1)=0， 令△=(−me x 0)2−4me x 0(x 0−1)=0， 可得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，则ℎ′(x)=4e x −4e x (x−1)(e x )2=4(2−x)e x，可得ℎ(x)在(1,2]上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(2)=4e 2， 当x >1时，ℎ(x)>0，由题意，直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点， 所以正数m 的取值范围为(0,4e 2).【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)不等式等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立，令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，只需g(x)min ≥0，进而得出m 的取值范围．(2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，结合导数的几何意义可得切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)，联立抛物线，由△=0，得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，只需直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点，即可得正数m 的取值范围． 本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)设圆C 1上任意一点P(x,y)经变换后对应的点为P′(x′,y′)，则{x′=3x y′=√5y ，即{x =x′3y =√5，代入圆C 1：x 2+y 2=4，得(x′3)2+(√5)2=4，化简可得曲线C 2的直角坐标方程为x 236+y220=1，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入，可得曲线C 2的极坐标方程为5ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=180， 即ρ2=1805+4sin 2θ；(2)设M(ρ1,α)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴N(ρ2,α±π2)， 由(1)可得1|OM|2=1ρ12=5+4sin 2α180，1|ON|2=1ρ22=5+4sin 2(α±π2)180，∴1|OM|2+1|ON|2=5+4sin 2α180+5+4sin 2(α±π2)180=14180=790．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由曲线的伸缩变换求得曲线C 2的直角坐标方程，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 2的极坐标方程；(2)设出M 的坐标，由向量数量积为0得N 的坐标，再分别求出1|OM|2与1|ON|2，作和即可求得答案．本题考查曲线的伸缩变换，考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x −x −3≥3x ，解得x ≤−25， 此时原不等式的解集为{x|x ≤−3}；当−3<x <1时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x +x +3≥3x ，解得x ≤43，此时原不等式的解集为{x|−3<x<1}；当x≥1时，不等式f(x)≥3x⇔x−1+x+3≥3x，解得x≤2，此时原不等式的解集为{x|1≤x≤2}．综上，不等式f(x)≥3x的解集为{x|x≤2}；(2)∵|x−1|+|x+3|≥|(x−1)−(x+3)|=4，当且仅当(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1时取等号，∴m=4，则1a +4b=4(a>0,b>0)，即b+4a=4ab，∴a2+b2b+4a =a2+b24ab=14(ab+ba)≥14×2√ab⋅ba=12，当且仅当a=b=54时取等号，故a2+b2b+4a 的最小值为12．【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(1)去绝对值把不等式f(x)≥3x转化为不等式组，求解后取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式求得f(x)的最小值为m，可得b+4a=4ab，代入a2+b2b+4a，再由基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021年全国高考数学模拟试卷(三)(5月份)
2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年浙江省数学高考模拟卷参考答案
2021年高考数学模拟卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1.C解析：{}{}{}1|,20|,1|R >=<<=≤=x x A C x x B x x A ． 2.B解析：i i i i i i z z z -=-+=-+-+=+22)1()1(11222． 3.B 解析：由12<+≤b a ab ，以及21<+⇒<b a ab 不成立，反例：61,5==b a ． 4.B解析：对于A ：过点P 且垂直于α的直线应该垂直于l ，即A 错；对于B ：在β内作一直线1l 垂直于l ，由平面α⊥平面β，l =βα ，可得α⊥1l ，从而有过点P 且垂直于α的直线平行于1l ，进而平行于β，即B 对；对于C,D ：过点P 且垂直于α的平面可以围绕过点P 且垂直于α的直线旋转，从而知C,D 均错．5.B解析：由题意知，当[]b a x ,∈时，x 的值域为]4,0[，故当4=b 时，04≤≤-a ；或当4-=a 时，40≤≤b （不合题意，舍去），即有04,4)(≤≤-==a a g b ，故选B ． 6.D 解析：由3184=S S ，得312886411=++d a d a ，即d a 251=，所以1031201628811168=++=d a d a S S ． 7.C解析：先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有2种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种；再考虑3个商业广告的顺序，有633=A 种，故共有36632=⨯⨯种 ．8.A解析：如图所示，由2z x y =-得2y x z =-，画出2y x =的折线图象，当该折线图像沿y 轴向上平移经过点)1,0(B 时，z -取最大值为1当该折线图像沿y 轴向下平移经过点)1,29(-C 时，z -取最小值为-10， 即101,110≤≤-≤-≤-z z 即，故选A. 9.C解析：连接22,BF AF ，则由对称性及11BF AF ⊥，得矩形11BF AF ，故22221)2(c AF AF =+．由1222112,2AF AF ce AF AF c e -=+=，得2112221=+e e ．令)1(12>=t t e e ，则t t e 2121+=，tt t e t e e 21)8()8(82121++=+=+. 设tt t t f 21)8()(2++=，由0128)('223=+-=t tt t f ，得2=t ，故2105)2()(min ==f t f ，选C ． 10.B解析：设2m B C 2CD ==．()236060=︒+︒=+⋅=⋅． 由于︒=∠+∠180ACD ACB ，将侧面ACD 沿AC 展开到平面ABC ，则三点B 、C 、D 共线，又此三棱锥可看成将ACD ∆沿直线AC翻折而成的，故不难可得m m 33<<．设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛==23,21cos θ，即()︒︒∈6030，θ，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 7，53解析：人数是x ，物价是y (钱)，则由题意得⎩⎨⎧=-=-,47,38x y y x 解得⎩⎨⎧==.53,7y x12. 3212+，32解析：此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱．13. 1，2304解析：设t x =-1，则nn n n t a t a t a a t b bx ++++=++=+ 22101)1(1，由此得⎪⎩⎪⎨⎧====,36,92211n n bC a bC a ，解得⎩⎨⎧==.9,1n b （第9题图）另一方面，等式两边对t 求导，得12112)1(--+++=+n n n t na t a a t bn ，再令1=t ，得230429228121=⋅==+++-n n bn na a a ．14.12527，125122解析：Ｍ中元素有12553=个，这125个三位数（可重复数字）可分以下三类：①0=ξ，即全有奇数字组成的三位数（可重复数字）有2733=个； ②1=ξ即只有一个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有7422333233=+⨯⨯+⨯⨯⨯个，注意不要遗漏形如252，344，222等三位数；③2=ξ即只有两个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有24333313=++⨯A C 个，注意不要遗漏形如242，244等三位数．所以ξ的分布列如下：所以1251252125)(=⨯+=ξE ． 15. 432-解析：由12=+xy x ，得x xy -=1，所以，4324132413222222-=-≥-+=-xx x x xy y ，这里等号能成立．16. 0解析：由AC n AB m AO +=，得+⋅=⋅=⋅+=⋅=,,22AC n AC AB m AC AO AB AC n AB m AB AO 又︒=∠60BAC ，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,2121,2121bn cm b bn cm c 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.332,332b c n c b m2)4(3131042≤+-=+=b c c b n m ，由取等号条件知c b 2=，从而21,0==n m ． 17. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡15215，解析：由21-=⋅，得︒=∠120AOB ． 设52522211y x y x h -+-=表示两点A,B 分别到直线02=-y x 的距离之和．取直线02=-y x 为x 轴重新建立直角坐标系后，则h 表示两点A,B 分别到x 轴的距离之和．在新的直角坐标系下，设))120sin(),120(cos(),sin ,(cos ︒+︒+θθθθB A ，则有)120sin(sin ︒++=θθh ．由对称性，不妨设点B 在x 轴上或上方，即︒≤≤︒-60120θ． 所以⎩⎨⎧︒<≤︒-︒++-︒≤≤︒︒++=.0120),120sin(sin ,600),120sin(sin θθθθθθh由此不难得323≤≤h ，从而得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-+-15,2155222211h y x y x ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2021年天津市高考最新模拟数学试卷-含答案与解析
2021年天津市高考最新模拟数学试卷一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A既参加跳高又参加跳远的甲班同学B既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C参加跳高或跳远的甲班同学D不同时参加跳高和跳远的甲班同学2“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数f（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）ABCD4某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A B C D6已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A B C D7已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2πB函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在[，π]上单调递增D函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称8已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f （x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（﹣∞，﹣3）B C[﹣3，0）D9已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A a＜b＜cB b＜a＜cC b＜c＜aD a＜c＜b二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝11二项式的展开式中的常数项为12已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k＝13由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为14已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是15设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值17如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F 分别为AB和CD的中点（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值18设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b 所围成的区域面积为4（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程19已知数列{a n}的各项均不为零，设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2﹣4S n+T n＝0（n∈N*）（1）求a1，a2的值；（2）设b n＝（2n﹣1）2n，求数列{b n}前n项和B n；（3）证明：数列{a n}是等比数列20已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xlnx（1）求曲线g（x）在x＝1处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x∈（0，a]时，试求方程f（x）＝g（x）的根的个数参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A既参加跳高又参加跳远的甲班同学B既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C参加跳高或跳远的甲班同学D不同时参加跳高和跳远的甲班同学【分析】先求出A∩B表示既参加跳高又参加跳远的甲班同学，由此能求出∁U（A∩B）【解答】解：集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是不同时参加跳高和跳远的甲班同学，故选：D【点评】本题考查交集、补集的求法和基础知识，是基础题2“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合反比例函数，一次函数的性质分别证明充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：∵函数y＝在（0，+∞）上是减函数，∴k＞0，∴函数y＝kx在R上是增函数，故是充分条件；若函数y＝kx在R上是增函数，则：k＞0；推出函数y＝在（0，+∞）上是减函数，故是必要条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查了反比例函数，一次函数的性质，属于基础题3函数f（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的值变化趋势即可求出【解答】解：（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）＝sin xln（e x+e﹣x），f（﹣x）＝sin x（﹣x）ln（e﹣x+e x）＝﹣sin xln（e x+e﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，∵y＝e x+e﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，∴ln（e x+e﹣x）≥ln2＞ln1＝0，当x∈[0，π）时，sin x≥0，当x∈[π，2π）时，sin x≤0，∴当x∈[0，π）时，f（x）＞0，当x∈[π，2π）时，f（x）≤0，故排除AB，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题4某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解【解答】解：由频率分布直方图得：在A中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A正确；在B中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B正确；在C中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C正确；在D中，新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力5一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A B C D【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2r＝＝，∴r＝，所以R＝＝，所以球的表面积S＝4＝故选：A【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键6已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A B C D【分析】设出椭圆方程与双曲线方程，再设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值【解答】解：不妨设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），双曲线方程为﹣＝1（m ＞0，n＞0）再设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，在三角形F1PF2中，，可得4c2＝s2+t2﹣2st×＝a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m2），即有3a2+5m2＝8c2，可得+＝8，即为+＝8，则e12+e22＝（+）（e12+e22）＝（8++）≥（8+2）＝（8+2）＝1+，当且仅当＝，即e22＝e12，取得最小值1+故选：A【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题7已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2πB函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在[，π]上单调递增D函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ＝kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）＝sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T＝π，故A错误；∵ω＞0∴ω＝2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ＝kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ＝∴f（x）＝sin（2x+）∴由2x+＝kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故C正确由2x+＝kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x＝+，k∈Z，故D错误；故选：C【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题8已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f （x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（﹣∞，﹣3）B C[﹣3，0）D【分析】作出函数数，其中m＜0的图象，分析两侧的函数图象在x＝m处的位置关系，从而得到关于m的不等式，求解即可得到答案【解答】解：当m＜0时，作出函数的图象如下图所示，当x＜m时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则必须6﹣m2＜m2（m＜0），解得，所以m的取值范围是故选：B【点评】本题考查了函数与方程根之间的关系，涉及了根的存在性及根的个数判断、分段函数图象的画法，数形结合思想的运用是关键，分析得到6﹣m2＜m2（m＜0）是难点9已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A a＜b＜cB b＜a＜cC b＜c＜aD a＜c＜b【分析】根据，即可得出a，b，c的大小关系【解答】解：∵0＜0.70.2＜0.70＝1，log20.7＜log21＝0，20.7＞20＝1，∴b＜a＜c故选：B【点评】本题考查了指对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝【分析】先根据复数的运算可得z＝+（a﹣）i，再根据虚部为零，即可求出a的值【解答】解：z＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣）i，因为其虚部为零，所以，即故答案为：【点评】本题考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题11二项式的展开式中的常数项为112【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项式展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C8r，令＝0得r＝2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C82＝112故答案为：112【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题12已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k＝ 2 【分析】根据题意，求出圆C的圆心的坐标，设P（﹣1，3），要求斜率的弦所在的直线为l，求出k CP，由垂径定理分析可得答案【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，其圆心C（1，2），设P（﹣1，3），要求斜率的弦所在的直线为l，若要求弦以P（﹣1，3）为中点，则CP⊥l，又由k CP＝＝﹣，则直线l的斜率k＝2，故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意垂径定理的应用，属于基础题13由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为【分析】P（）＝1﹣P（），由，得a，求出P（）＝，由此能求出的概率【解答】解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，P（）＝1﹣P（），∵，∴a，∴P（）＝，则的概率P（）＝1﹣故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是【分析】设a＝m+2n，b＝+，利用基本不等式可得ab≥，根据a+b＝，即可得到a（﹣a）≥，解得即可【解答】解：正实数m，n满足，设a＝m+2n，b＝+，∴ab＝（m+2n）（+）＝+2++≥+2＝，当且仅当m＝n时取等号，∵a+b＝，∴a（﹣a）≥，解得≤a≤3，故m+2n的最小值为故答案为：【点评】本题考查了不等式的基本应用，考查了转化思想，属于中档题15设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣【分析】向量λ+与﹣2平行，存在实数k使得λ+＝k（﹣2），再利用向量共面基本定理即可得出【解答】解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+＝k（﹣2），化为+＝，∵向量，不平行，∴，解得故答案为：【点评】本题考查了向量共线定理与向量共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cos A、sin A，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A＝﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题17如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F 分别为AB和CD的中点（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值【分析】（Ⅰ）利用线面垂直，将问题转化为证AB与平面PEF垂直的问题；（Ⅱ）先利用二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求出OP，然后利用空间直角坐标系，将问题转化为与平面PAB法向量夹角的问题求解【解答】解：（Ⅰ）∵PA＝PB，∴AB⊥PE而AB⊥EF，所以AB⊥平面PEF，又AB⊂平面PEF，所以平面ABCD⊥平面PEF（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，∠PEF即为二面角P﹣AB﹣C的平面角如图，作PO⊥EF于O，则，∴如图建立空间直角坐标系，则设平面PAB的法向量为，则，令z＝1，则，∴，，∴故PC与平面PAB所成角的正弦值为【点评】本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题主要是运用转化思想实现空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间的夹角问题求解属于中档题18设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b 所围成的区域面积为4（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程【分析】本题第（1）题根据题意可列出关于a2，b2的方程组，解出a2，b2的值，即可得到椭圆C的方程；第（2）题根据题意可得出斜率存在，设斜率为k，则直线l：y＝kx+3联立直线与椭圆方程，消去y整理可得一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝，x1•x2＝再根据弦长公式可得|AB|关于k的表达式，再计算出点M坐标，得到|OM|关于k的表达式，代入|OM|＝|AB|化简计算可得k的值，即可得到直线l的方程【解答】解：（1）由题意，可知c＝，4ab＝4，则，解得∴椭圆C的方程为+y2＝1（2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足|OM|＝|AB|，故斜率存在，设斜率为k，则直线l：y＝kx+3设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（3k2+1）x2+18kx+24＝0则x1+x2＝，x1•x2＝∴|AB|＝•＝•＝设点M（x M，y M），则x M＝＝，y M＝k•+3＝∴|OM|＝＝＝∵|OM|＝|AB|，∴＝•即3＝••化简，整理得3k4﹣32k2﹣11＝0，解得k2＝11，或k2＝﹣（舍去）∴k＝±∴直线l的方程为y＝±x+3【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，直线与椭圆的关系问题，考查了方程思想，转化和化归思想，弦长公式，中点公式的应用，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题19已知数列{a n}的各项均不为零，设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2﹣4S n+T n＝0（n∈N*）（1）求a1，a2的值；（2）设b n＝（2n﹣1）2n，求数列{b n}前n项和B n；（3）证明：数列{a n}是等比数列【分析】（1）由3S n2﹣4S n+T n＝0，令n＝1，可得a1＝1，令n＝2，得a2＝﹣；（2）利用错位相减法求数列{a n}的前n项和S n；（3）由3S n2﹣4S n+T n＝0，得3S n+12﹣4S n+1+T n+1＝0，两式作差得3（S n+1+S n）﹣4+a n+1＝0，有3（S n+S n﹣1）﹣4+a n＝0，进一步得到a n+1＝﹣a n，得数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列【解答】解（1）：∵3S n2﹣4S n+T n＝0，令n＝1，得3a12﹣4a1+a12＝0∵a1≠0，∴a1＝1令n＝2，得2（1+a2）2﹣4（1+a2）+（1+a22）＝0即2a22+a2＝0∵a2≠0，∴a2＝﹣；（2）∵b n＝（2n﹣1）2n，∴B n＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）n•2n，①2B n＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，②①﹣②，得﹣B n＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6+2n+2﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1，∴B n＝（2n﹣3）•2n+1+6证明（3）∵3S n2﹣4S n+T n＝0，①∴3S n+12﹣4S n+1+T n+1＝0，②②﹣①得：3（S n+1+S n）a n+1﹣4a n+1+a n+12＝0，∵a n+1≠0，∴3（S n+1+S n）﹣4+a n+1＝0，③3（S n+S n﹣1）﹣4+a n＝0，④当n≥2时，③﹣④得：3（a n+1+a n）+a n+1﹣a n＝0，即a n+1＝﹣a n，∵a n≠0，∴＝﹣又由（1）知，a1＝1，a2＝﹣，∴＝﹣∴数列{a n}是以1为首项，以﹣为公比的等比数列【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，数列的前n项和的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题20已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xlnx（1）求曲线g（x）在x＝1处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x∈（0，a]时，试求方程f（x）＝g（x）的根的个数【分析】（1）直接求导得g′（x）＝lnx+1（x＞0），利用导数的几何意义即可求出g （x）在x＝1 处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，转化为对任意x∈（0，a]，x2+x﹣lnx﹣a＞0 恒成立，构造函数φ（x）＝x2+x﹣lnx﹣a，x∈（0，a]，分类讨论和的情况，利用导数研究函数的单调性最值和解决恒成立问题，即可求出实数a的取值范围；（3）分类讨论a的取值范围，由（2）得，当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 0，当时，当时，f（x）﹣g（x）＝0，得方程f（x）＝g（x）的根的个数为 1；当时，根据零点存在性定理，即可判断出方程f（x）＝g（x）的根的个数，综合即可得出结论【解答】解：（1）∵g（x）＝xlnx，则g（x）的定义域为（0，+∞），∴g′（x）＝lnx+1，∴g′（1）＝1，∵g（1）＝0，则切点为（1，0），曲线g（x）在x＝1 处的切线方程是：y＝x﹣1（2）∵对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，对任意x∈（0，a]，x2+x﹣a＞lnx恒成立，即x2+x﹣lnx﹣a＞0 恒成立，令φ（x）＝x2+x﹣lnx﹣a，x∈（0，a]，则，①当时，当x∈（0，a]时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在（0，a]上单调递减，∴，∴，②当时，当时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在上单调递减，当时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在单调递增，∴，∴，综上，实数a的取值范围是（3）当时，由（2）得，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 0，当时，由（2）得，当时，f（x）﹣g（x）＝0，∴方程f（x）＝g（x）的根的个数为 1，当时，，φ（e﹣a）＝e﹣2a+e﹣a＞0，根据零点存在性定理，φ（x）在上至少存在 1 个零点，又在上单调递减，φ（a）＝a2﹣lna＞a2﹣a＞0，同理，φ（x）在上只有 1 个零点，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 2，综上，当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 0；当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 1；当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为 2【点评】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决恒成立问题和零点个数问题，还涉及构造函数和零点存在性定理，考查转化思想和分类讨论思想21。
百所名校2021届高考模拟文科数学(详解答案)
16．某小学开展“整本书阅读活动”，其中某班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并 背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学（四名同学编号为 1，2，3，4）了解 能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复：1 说：“2 比 4 背的少”；2 说：“1 比 3 背的多”；3 说：“我比 4 背的多”；4 说：“3 比 2 背的多”.经过老师测验发现， 四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的 一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是____________.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4，集合 A 1, 2,3 ， B 2, 4 ，则 (ðU A) B 为( )
A．{1,2,4}
B．{2,3,4}
C．{0,2,4}
D．{0,2,3,4}
2．总体由编号为 01 、02 、03 、 、30 的 30 个个体组成，利用随机数表（以下选取
了随机数表中的第1行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第1行的第 4 列
开始由左向右读取，一行读取完毕后转下一行继续读取，则选出来的第 4 个个体的编号
为（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
z1 z2
_______.
试卷第 3页，总 7页
14．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有 8 辆甲 型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次，乙型车每次最多能运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元.若需要一天内 把 180 吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______ 元.
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|13,|680A x x B x x x =-≤≤=-+<，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．3.函数与在上都是递减的，实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5.在如图所示的算法流程图中，输出的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．156.下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，该多面体的体积是（ ）A ．32B ．16C ．D ．8.在约束条件0024x y y x t y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当时，其所表示的平面区域的面积为，与之间的函数关系用下列图像表示，正确的应该是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数的最小正周期为，给出下列四个命题：（1）的最大值为3；（2）将的图像向左平移后所得的函数是偶函数；（3）在区间上单调递增；（4）的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是（ ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（3）（4）10.已知()()()()4241220126243111x x a a x a x a x ++=+++++++，则的值为：（ ） A ． B ． C ． D ．11.已知定义在的函数，若仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12.将半径都为1的4个彼此相切的钢球完全装入形状为正三棱台的容器里，该正三棱台的高的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共四小题，每题5分，满分20分．13.已知向量与的夹角为120°，，则等于___________．14.数列满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧⎛⎫≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，若，则___________． 15.已知是抛物线上的一条动弦，且的中点横坐标为2，则的最大值为___________．16. 的三个内角的对边分别是，其面积．若，则边上的中线长的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．18.（本小题满分12分）某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如下表：喜爱不喜爱总计男学生60 80女学生总计70 30（1）完成上表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有个男生去观看演出的分布列及期望．附：0.100 0.050 0.0102.7063.841 6.63519.（本小题满分12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面为菱形，点为的中点，若．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于不同的两点，且线段的中点的坐标为．（1）求椭圆的离心率；（2）设为坐标原点，且，求椭圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()()2231,ln 134x f x x e g x a x x a x a a R =+=+++-+∈． （1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知．（1）若，求的值；（2）求证：．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，两点极坐标分别为．（1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上取一点，求的最值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值．参考答案一、选择题CAAC BCDA DBBC二、填空题13. 4 14. 15. 6 16.三、解答题17.（本小题12分）解：（1）由，解得，由假设，因此，故的通项为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由1323133132nb n nn n==+--++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分得前项和1111323132233n nii ib i i n===+-=+∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（本小题12分）解：（1）喜爱不喜爱总计男学生60 20 80女学生10 10 20总计 70 30100将表中的数据代入公式计算，得()2210060102010100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 由于，所以有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意知：这10名学生中有8名男生和2名女生 ，故可取值3，4，5．．．．．．．．．．6分()()()32415082828255510101056214055623,4,5252925292529C C C C C C P X P X P X C C C ============．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分故其分布列为：3 4 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分该分布满足超几何分布，故其期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.（本小题12分）（1）证明：由得，从而，且，又∵，∴平面，而平面，得，又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：如图建立直角坐标系，其中为坐标原点，轴平行于，的中点坐标，连结，又知，由此得到：()333331,,,0,,,2,0,04422GA PB BC ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有， ∴，∵的夹角为等于所求二面角的平面角，20.（本小题12分）解：（1）设，代入椭圆，两式相减：()()()()22121212120b x x x x a y y y y -++-+=，由题意可知：代入上式得，∵，∴，从而所求离心率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）得椭圆的方程为：，与直线联立方程组并化简得：，从而，得，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵，∴，有得：，解得：（满足）．故所求的椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．（本小题12分）解：（1）当，，得，或，得．故所求增区间为和，减区间为………………………………4分（2）由，有()()()2231ln 134xx e a x x a x a +≥+++-+， 令()()()()2231ln 134x h x x e a x x a x a =+-+----， ①当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+， 1°当时，()()()23233012x a h x x e x a x '=+--+-=+， 2°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫<+--+-=+-+-< ⎪++⎝⎭， 3°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫>+--+-=+-+-> ⎪++⎝⎭， 在递减，在递增，∴，②当时，在时，，即，而对于函数，不妨令，有()()()()4223ln 13ln 123ln 112314a a g x a x x a x a a x a a e a -⎛⎫=+++-+>++-=-+++-= ⎪⎝⎭，故在内存在，使得不恒成立，综上：的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（本小题满分10分）（1）证明:由题意可得：四点共圆，∴，∴，∴，又∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵为切线，为割线，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（本小题满分10分）解：（1）由，得，即，故所求参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由已知条件知两点直角坐标分别为，令，()()()()222222cos 12sin cos 12sin 8sin 12AP BP t t t t t +=++++-++=+， 故当，有最小值4，，有最大值20．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（本小题满分10分）解：（1）时，由得，当时，有，得；时，有，解集为空集；时，有，得，综上，所求解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）法一：由的解集为知：是方程一个根，得而当时，由解得，合题意；当时，由解得，合题意．综上：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分法二：不等式可化为：，分别作出及的图象由图可知若的解集为，则有：，解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分•f8 31109 7985 禅f=N36467 8E73 蹳 &23880 5D48 嵈K 36298 8DCA 跊。
天津市2021届高三下学期高考模拟数学试题(含答案解析)
天津市2021届高三下学期高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U ={甲班全体同学}，集合A ={参加跳高的甲班同学}，集合B ={参加跳远的甲班同学}，则()U C A B 表示的是（ ）A ．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B ．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C ．参加跳高或跳远的甲班同学D ．不同时参加跳高和跳远的甲班同学 2．“函数ky x=在(0,)+∞上是减函数”是“函数y kx =在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()()cos ln 2x xf x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新､旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克)，其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（ ）A ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C ．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D ．新､旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．283π B C D6．已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ）A ．1BC ．14D 7．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间3[,]4ππ上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 8．已知函数2226,(),x mx x mf x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩，其中0m <，若存在实数k ，使得关于x 的方程()0f x k -=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．(,-∞C ．[)3,0-D ．()9．已知实数0.20.720.7,log 0.7,2a b c ===，则实数,,a b c 的大小是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．a c b <<二、填空题 10．已知复数()i1i i 1z a =+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =________.11．二项式82)x的展开式中的常数项为______________．12．已知圆22:(1)(2)9C x y -+-=，圆C 以(1,3)-为中点的弦所在直线的斜率k =__________.13．由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则13a b >的概率为______．14．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 15．设向量a ，b 不平行，若向量a b λ+与2a b -平行，则实数λ的值为___________.三、解答题16．在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）若二面角P AB C 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程. 19．已知数列{}n a 的各项均不为零，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且()2*340n n n S S T n N -+=∈.（1）求1a ，2a 的值；（2）设()212nn b n =-，求数列{}n b 前n 项和n B ；（3）证明：数列{}n a 是等比数列.20．已知函数32()()f x x x ax a R =+-∈，()ln g x x x =. （1）求曲线()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当(]0,x a ∈时，试求方程()()f x g x =的根的个数.参考答案1．D 【分析】利用集合的交、补运算的概念即可求解. 【详解】易知A B 表示的是同时参加跳高和跳远的同学，则()U C A B 表示的是甲班不同时参加跳高和跳远的同学， 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，利用集合的交、并、补运算的概念是解题的关键，属于基础题. 2．C 【分析】 由函数ky x=在(0,)+∞上是减函数，得0k >；函数y kx =在R 上是增函数，则0k >，即可得结果． 【详解】 函数ky x=在(0,)+∞上是减函数，则0k >；函数y kx =在R 上是增函数，则0k >，故“函数ky x=在(0,)+∞上是减函数”是“函数y kx =在R 上是增函数"的充分必要条件． 3．C 【分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D 选项，再判断原函数在()0,π及(),2ππ上的正负即可确定答案.【详解】因为()()()πcos ln sin ln 2x x x xf x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()()()()()sin ln sin ln x x x xf x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，又因为2x x y e e -=+≥=，当且仅当0x =时取等号，所以()ln ln2ln10x xe e -+≥>=，当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ． 【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性. 4．D 【分析】根据频率直方图逐一判断可得选项． 【详解】解：由频率分布直方图得：在A 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A 正确； 在B 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B 正确； 在C 中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C 正确； 在D 中，新､旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D 错误. 故选：D. 5．A 【分析】由题知此直棱柱为正三棱柱111ABC A B C -，设其上下底面中心为1,O O '，则外接球的球心O 为线段1O O '的中点，通过计算求出球半径即可. 【详解】由题知此直棱柱为正三棱柱111ABC A B C -，设其上下底面中心为1,O O '，则外接球的球心O 为线段1O O '的中点，112,12AB O A OO O O '''=∴====，OA ∴=O 的表面积为283π. 故选：A 【点睛】本题主要考查了直棱柱的外接球的表面积计算，解题的关键是找出直棱柱的外接球的球心，计算出球半径，考查了学生的空间想象能力. 6．A 【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y ax y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， ∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a=，2c e a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a a '''''=++--+-=+， ∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1188188⎛≥+=+= ⎝2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值． 7．B 【详解】图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 8．B 【分析】在平面直角坐标系内画出图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】解：当0m <时，作出函数2226,(),x mx x m f x x x m ⎧-+<=⎨≥⎩的图象如下图所示，当x m <时，2222()26()66f x x mx x m m m =-+=-+-≥-，所以若要存在实数k ，使得关于x 的方程()0f x k -=恰有三个不同的实数根， 则必须226(0)m m m -<<，解得m <，所以m 的取值范围是(,-∞. 故选：B. 9．B 【分析】判断a 、b 、c 与0、1的大小关系进行大小比较. 【详解】 因为0.20.7200.7,log 0.70,21 1.a b c <<==>=<所以b a c <<. 故选：B 【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 10．12 【分析】先对复数化简，再由复数的虚部为零，列方程可求得结果 【详解】解：()i 111i i i 122z a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，12a =. 故答案为：12. 【点睛】此题考查复数的除法运算，考查复数的有关概念，属于基础题 11．112 【详解】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.考点：二项式通项． 12．2 【分析】圆心与(1,3)-连线与弦所在直线垂直，斜率相乘为1- 【详解】圆心()1,2C ，圆心与(1,3)-所在直线的斜率为321112k -==--- 故弦所在直线的斜率为2 故答案为：2 13．16672000【分析】根据题意，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13a b >，分类讨论当1,2,3a =时，对应的b 的值，得出所有取法，即可求出13a b >的概率. 【详解】解：由题可知，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13a b >，则有： 当1a =时，1b =或2，有2种取法；当2a =时，b 的取值增加3、4、5，有2+3种取法； 当3a =时，b 的取值增加6、7、8，有223+⨯种取法；当333a =时，b 有23323+⨯种取法； 当3341000a ≤≤时，b 都有1000种取法.故()()()2223223233236671000131000a P b ++++⨯+++⨯+⨯⎛⎫>=⎪⎝⎭()2333216636671000166710002000⨯+⨯+⨯==. 故答案为：16672000. 【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.14．32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值. 【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当n m m n =时，等号成立，又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤，所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32.故答案为：32.【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．12-【分析】向量a b λ+与2a b -平行，存在实数k 使得()2a b k a b λ+=-，再利用平面向量基本定理列方程组即可得出结果. 【详解】∵向量a b λ+与2a b -平行， ∴存在实数k 使得()2a b k a b λ+=-， 化为()()120k a k b λ-++=，∵向量a ，b 不平行，∴0120k k λ-=⎧⎨+=⎩，解得12λ=-.故答案为：12-.【点睛】本题考查了向量共线定理与平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,若,a b 为非零向量，则,a b 共线的充要条件是存在实数λ使得λa b . 16．（1）2【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以3sin ,5B == 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以6sin 23sin 5AC CAB B⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故43cos 55A =-=因为0A π<<，所以sin A =因此1cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ-=+==【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.17．（1）见解析（2）6【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，cos PEF ∠=建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=， ∴AB ⊥平面PEF ，又AB 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以cos PEF ∠=如图作PO EF ⊥，垂足为O ，则OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则OP =如图，建立空间直角坐标系，则P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10220x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 令1z =，则01x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则(0,11,1)n =-是平面PAB的一个法向量，3(1,,2PC =，则2sin cos ,612n PCn PC n PCθ⋅=〈〉===⋅. 所以PC 与平面PAB6. 【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题. 18．（1）2213x y +=（2）3y =+【分析】（1）由题意,结合椭圆的性质可得,,a b c 的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程. （2）因为直线过定点,设出直线方程,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知OA OB ⊥,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,进而可得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得22222223222c a b a b a b a b c ⎧=⎪⎧=⎪⨯=⇒⎨⎨-=⎩⎪-=⎪⎩,解得223,1a b == ∴椭圆C 的方程为2213x y +=． （2）易知直线l 的斜率存在,并设直线方程为3y kx =+, 联立椭圆,22133x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,化简得()221318240k x kx +++=, 设()11,A x y 、()22,B x y ,()2228(18)961303k k k ∴∆=-⨯+>⇒>,且1212221824,1313k x x x x k k +=-=++, 由三角形几何性质可知OA OB ⊥ 0OA OB ∴⋅=,即()()121212120330x x y y x x kx kx +=⇒+++=, ()()212121390k x x k x x ∴++++=．将1212221824,1313k x x x x k k +=-=++ 代入上式得()222224154901313k k k k+-+=++ 化简得2333k =,所以k =故所求的直线方程为3y =+ 【点睛】本题考查了由,,a b c 关系求椭圆标准方程的求法,直线过定点时与椭圆的位置关系,平面向量与解析几何的综合应用,韦达定理在用坐标研究向量关系中的应用,属于中档题. 19．（1）11a =，212a =-；（2）1(23)26n n B n +=-⋅+；（3）证明见解析.【分析】（1）代入1n =，2n =可得求12,a a ；（2）利用错位相减法可求和n B .（3）并构造211134+0n n n S S T +++-=，和已知两式相减，变形，化简为112n n a a +=-()2n ≥，并求21a a 可得证； 【详解】解（1）：∵2340n n n S S T -+=，令1n =，得22111340a a a -+=，∵10a ≠，∴11a =.令2n =，得()()()22222214110a a a +-+++=，即22220a a +=，∵20a ≠，∴212a =-；（2）∵(21)2nn b n =-，∴23123252(21)2n n B n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，① 23412123252(21)2n n B n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，②①﹣②，得()232122222(21)2n n B n +-=+++⋅⋅⋅+--⋅()112141222(21)262(21)212n n n n n n -+++-=+⋅--⋅=-+--⋅-16(23)2n n +=---⋅，∴1(23)26n n B n +=-⋅+.（3）∵2340n n n S S T -+=，①∴2111340n n n S S T +++-+=，②②﹣①得：()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，∵10n a +≠，∴()11340n n n S S a +++-+=③，()1340n n n S S a -+-+=④， 当2n ≥时，③﹣④得：()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，∵0n a ≠，∴112n n a a +=-.又由（1）知，11a =，212a =-，∴2112a a =-. ∴数列{}n a 是以1为首项，以12-为公比的等比数列.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求和，意在考查转化与化归和计算能力，属于难题，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.20．（1）1y x =-；（2）30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）当30ln 24a <<+时，根的个数为0；当3ln 24a =+时，根的个数为1；当3ln 24a >+时，根的个数为2【分析】（1）直接求导得()()ln 10g x x x '=+>，利用导数的几何意义即可求出()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，转化为对任意(]0,x a ∈，2ln 0x x x a +-->恒成立，构造函数2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，分类讨论102a <≤和12a >的情况，利用导数研究函数的单调性、最值和解决恒成立问题，即可求出实数a 的取值范围； （3）分类讨论a 的取值范围，由（2）得，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，当12x =时，()()0f x g x -=，得方程()()f x g x =的根的个数为1；当3ln 24a >+时，根据零点存在性定理，即可判断出方程()()f x g x =的根的个数，综合即可得出结论. 【详解】解：（1）∵()ln g x x x =，则()g x 的定义域为()0,∞+， ∴()ln 1g x x '=+，∴(1)1g '=， ∵(1)0g =，则切点为()1,0，∴曲线()g x 在1x =处的切线方程是：1y x =-， （2）∵对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立， ∴对任意(]0,x a ∈，2ln x x a x +->恒成立， 即2ln 0x x x a +-->恒成立， 令2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，则1(1)(21)()21x x x x x xϕ+-'=+-=， ①当102a <≤时，当(]0,x a ∈时，()0x ϕ'<，∴()ϕx 在(]0,a 上单调递减，∴211111()ln ()ln ln 2024224a a a a ϕϕ=-≥=+--≥+>，∴102a <≤，②当12a >时，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'<，∴()ϕx 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 当1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴11113()ln ln 2024224a a ϕ=+--=+->，∴13ln 224a <<+， 综上，实数a 的取值范围是30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（3）当30ln 24a <<+时，由（2）得，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，由（2）得，当12x =时，()()0f x g x -=，∴方程()()f x g x =的根的个数为1，当3ln 24a >+时，13()ln 2024a ϕ=+-<，3ln 2ln 2412ae e e ----<<=，2()0a a a e e e ϕ---=+>，根据零点存在性定理，()ϕx 在1,2a e -⎛⎫⎪⎝⎭上至少存在1个零点，又在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴在()ϕx 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有1个零点，22()ln 0a a a a a ϕ=->->，同理，()ϕx 在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上只有1个零点，∴方程()()f x g x =的根的个数为2， 综上，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0； 当3ln 24a =+ 时，方程()()f x g x =的根的个数为1； 当3ln 24a >+时，方程()()f x g x =的根的个数为2. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决恒成立问题和零点个数问题，还涉及构造函数和零点存在性定理，考查转化思想和分类讨论思想.。
2021年高考数学模拟训练卷 (43)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (43)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.2−3i1+i=()A. 12−52i B. −12−52i C. 12+52i D. −12+52i2.设集合A={1,3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知{a n}是公差为3的等差数列，{b n}是公差为4的等差数列，且b n∈N∗，则{a bn}为()A. 公差为7的等差数列B. 公差为12的等差数列C. 公比为12的等比数列D. 公比为81的等比数列4.已知向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗−b⃗ |=2√5，则|a⃗|=()A. 5B. 25C. 2√5D. √55.设变量x，y满足约束条件{x≥1,x+y≤3,2x−y≤3,则z=2x+y的最大值为()A. 1B. 6C. 5D. 46.抛物线x2=2py(p>0)上的点M到抛物线准线的距离为6，到x轴的距离为3，那么抛物线的标准方程是()A. x2=6yB. x2=3yC. x2=13y D. x2=12y7.欲利用随机数表从00，01，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，选取方法是从下方随机数表的第1行第11列开始，向右读取，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 0735A. 38B. 58C. 26D. 258.执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为()A. a ≥2B. a ≥3C. a ≥4D. a ≥59. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E ，F ，G ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为( )A. √2613B. 2√2613C. 2√7839D. 4√783910. 已知x ∈(0,π)，则f(x)=cos2x +2sinx 的值域为( )A. (−1,12]B. [1,32]C. (√22,2) D. (0,2√2)11. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧面积为6+4√3，AA 1⊥平面ABC ，BC =√3，∠BAC =120°，则该三棱柱外接球表面积的最小值为( )A. 16πB. 8πC. 16√3πD. 8√3π12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，点F 为其右焦点．直线l ：y =x 与双曲线C 的右支交于点A ，且|OA|=|AF|，则双曲线C 的离心率e 为( )A. √2B. √2+√52C. √2+√72 D. √2+√102二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=2x 3的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为______． 14. 在(2−x)(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为______． 15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =1a n−1+2，则a 2=______．16. 已知奇函数y =f(x)的图象关于直线x =2对称，且f(m)=3，则f(m −4)的值为__________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C =4：5：6，且a +b +c =30，求a ．18.某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组人数(单位：人)第一组[20,25)2第二组[25,30)a第三组[30,35)5第四组[35,40)4第五组[40,45)3第六组[45,50]2(1)求a的值并画出频率分布直方图；(2)从被调查的20人且年龄在[20,30)岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动，记这3人中来自于区间[25,30)岁年龄段的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19. 如图，等腰直角△PAD 与梯形ABCD 所在的平面垂直，且PA =PD ，PA ⊥PD ，AD//BC ，AD =2BC =2CD =4，∠ADC =120°，E 为AD 的中点．(1)证明：BD ⊥平面PEC ； (2)求二面角C −PB −D 的余弦值．20. 已知F 是椭圆x 22+y 2=1的右焦点，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．M 是AB 的中点，直线OM 与直线x =2交于点N ． (Ⅰ)求征：AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； (Ⅱ)求四边形OANB 面积的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx ．(1)求函数f(x)的极值；(2)求常数m ，使得g(m)=∫|e1lnx −m|dx 取得最小值．(参考数据：e ≈2.718，lne+12≈0.62)22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρcosθ=3，曲线C 2：ρ=4cosθ(0≤θ<π2)． (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设点Q 在C 2上，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求动点P 的极坐标方程．23. 已知函数f(x)=−|2x −1|−2．(1)求f(x)≥−5的解集；t+1恒成立，求实数t的取值范围．(2)若∀x∈R，f(x)≤−|x+3|−t2+32【答案与解析】1.答案：B解析：解：2−3i1+i =(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−52i．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.答案：B解析：本题考查交集的求法.属于基础题．写出A，B，再取交集即可．解：集合A={1,3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3,5}．故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n}是公差为3的等差数列，{b n}是公差为5的等差数列，可得a n=a1+3(n−1)，b n=b1+4(n−1)，可得a bn，即可得出．解：数列{a n}是公差为3的等差数列，{b n}是公差为4的等差数列，∴a n=a1+3(n−1)，b n=b1+4(n−1)，a bn=a1+3(b n−1)=a1+3[b1+4(n−1)−1]=a1+3b1−3+12(n−1)，∴数列{a bn}为公差是12的等差数列．4.答案：D解析：本题考查了向量的数量积性质，属于基础题．利用数量积的运算性质即可得出．解：∵|a⃗−b⃗ |=2√5，∴a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =20，∵向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，∴a⃗2+(√32+42)2−2×5=20，化为a⃗2=5，则|a⃗|=√5．故选：D．5.答案：C解析：解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内A(2,1)的时候z最大，最大值为5，故选：C．先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点A时，z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6.答案：D解析：解：依题意可知抛物线的准线方程为y=−p2点M与抛物线的准线的距离为6，到x轴的距离为3，=3，解得p=6．∴p2所以抛物线的标准方程为：x2=12y先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点M到x轴的距离为3，求出P，进而根据抛物线的定义求得答案．本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．7.答案：B解析：本题考查简单随机抽样的应用，属于基础题．依次写出前4个被读取的样本编号，即可得到答案．解：随机数表的第1行第11列开始，向右读取，相同的跳过，每次读两位，则前4位数为：18，00，38，58．则第4个被抽取的样本的编号为58．故选B．8.答案：C解析：解：框图首先给变量a和s赋值，a=5，s=1．判断，判断框中的条件成立，执行s=1×5=5，a=5−1=4；判断，判断框中的条件成立，执行s=5×4=20，a=4−1=3；此时的s值为程序运行结束输出的值，再判断时判断框中的条件应不满足，即a=3不大于等于4．所以你判断框中的条件应是a≥4．故选：C．框图在给变量a和s赋值后首先进行判断，满足判断框中的条件，执行运算s=s×a，a=a−1，不满足输出s，然后再进行判断，执行，我们可线假定满足判断框中的条件，执行运算，当运算到s 的值为20时，看此时a的值，此时a的值应不满足判断框中的条件，由此可得结论．本题考查了程序框图，是当型结构，当型结构是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，此题是基础题．9.答案：D解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点分别为：D 1，BC 的中点，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)，假设D 1与G 重合，BC 的中点为E ，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)为F ， 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则E(1,2，0)，F(32,2，2)，G(0,0，2)，A(2,0，0)，C 1(0,2，2)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,2)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，2)， 设平面EFG 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +2z =032x +2y =0，取x =4，得n⃗ =(4,−3,−1)． 设直线AC 1与平面EFG 所成角为θ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为sinθ=|cos <n ⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=4√7839． 故选：D ．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点分别为：D 1，BC 的中点，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)，假设D 1与G 重合，BC 的中点为E ，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)为F ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：B解析：本题考查了三角函数定义域和值域，二倍角公式及其运用，属于中档题． 根据题意将原函数化简为二次函数的形式求解即可． 解： 因为，所以由，得，。
2021年高考数学模拟训练卷 (86)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (86)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4}，A ={1,2}，B ={2,4}，则(∁U A)∪B = ______ ．2. 已知2a+i =1−i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，则a =______．3. 若实数x ，y 满足：{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =3x −y 的最大值是______；4. 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为______ ．5. 执行如图的程序框图，若输入m 的值为2，则输出的结果i = ______ ．6. 以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点(2,√2)，则该双曲线的方程是______ ．7. 已知一圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的体积为 ．8. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1+1，a 2+1，a 4+1成等比数列，且a 2+a 3=−12，则a n = ______ ．9. 如图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 10. 已知正实数x ，y 满足2x +y =1，则xy 的最大值为______．11. 已知函数f(x)满足：当x ∈[1,3]时，f(x)=lnx ，当x ∈[13,1)时，f(x)=2f(1x ).若在区间[13,3]内，函数g(x)=f(x)−ax(a >0)恰有一个零点，则实数a 的取值范围是______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是________．13.在△ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则a2+b2c2=____．14.已知函数f(x)={2x 2−2,x≤1lgx,x>1，若f(f(a))≤0，则实数a的取值范围是______ ．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+12+m的图象过点(5π12,0)(1)求实数m的值及f(x)的周期及单调递增区间；(2)若x∈[0,π2]，求f(x)的值域．16.如图，在三棱锥S−ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，点E、F、G分别是棱SA、SB、SC的中点．求证：(1)平面EFG//平面ABC；(2)BC⊥平面SAB．17.如图，在等腰直角▵OPQ中，∠POQ=90∘，OP=2√2，点N在线段PQ．(1)若ON=√5，求PN的长；(2)若点M在线段PN上，且∠MON=30∘.问：当∠PON取何值时，▵OMN的面积最小？并求出面积的最小值．18.已知直线l：x−y−1=0与圆C：x2+y2=13交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点(x1>x2).(Ⅰ)求交点A，B的坐标；(Ⅱ)求△AOB的面积．19.已知正项等比数列{a n}是单调递增数列，且4a3与3a5的等差中项为4a4，a3与a7的等比中项为16．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=log2a n+1，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=2x2+x+2，求函数f(x)的极值．e x21.已知矩阵A=[1a]的一个特征值为2．−14(1)求实数a的值；(2)求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=4(cosθ+sinθ)，点P 是曲线C 1上的动点，点Q 在射线OP 上，且满足|OP|=2|OQ|，动点Q 的轨迹为曲线C 2． (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，求α的值．23. 某工厂在两个车间A ，B 内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品．(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；(2)若从车间A ，B 选取的产品中随机抽取2个产品，用X 表示车间B 内产品的个数，求X 的分布列与数学期望．24.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=n(a n+1−1)，n∈N∗．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1S1+1S2+⋯+1S n<74．【答案与解析】1.答案：{2,3，4}解析：解：∵集合U ={1,2，3，4}，A ={1,2}，∴∁U A ={3,4}，∵B ={2,4}，∴(∁U A)∪B ={2,3，4}．故答案为：{2,3，4}由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：1解析：解：∵2a+i =1−i ，∴a +i =21−i∴a =21−i −i =2(1+i)(1−i)(1+i)−i =1．故答案为：1．根据复数的代数运算性质，求出a 的值即可．本题考查了复数的代数运行法则的应用问题，是基础题目． 3.答案：5解析：解：作出实数x ，y 满足：{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，对应的平面区域如图：z =3x −y ，得y =3x −z ，平移直线y =3x −z ，由图象可知当直线y =3x −z 经过点A(3,4)时，直线y =3x −z 的截距最小，此时z 最大，z max =3×3−4=5．即z的最大值是5，故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，通过z=3x−y，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．4.答案：π48解析：解：根据几何概型知识，其概率为体积之比，正方体的体积为64，与正方体中心的距离不超过1构成半径为1的球，体积为4π3即P=4π364=π48；故答案为：π48根据安全飞行的定义，则安全的区域为以正方体中心为球心，半径为1的球的内部，则概率为两几何体的体积之比，进而计算可得答案．本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．5.答案：4解析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件A>B，计算输出i的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．解：第一次循环，得到i=1，A=2，B=1；第二次循环，得到i=2，A=4，B=2；第三次循环，得到i=3，A=8，B=6；第四次循环，得到i=4，A=16，B=24；不满足A>B，退出循环；故答案为：4．6.答案：x22−y22=1解析：设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0.把点(2,√2)代入解得λ即可．熟练掌握等轴双曲线的标准方程是解题的关键．解：设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0．把点(2,√2)，代入可得：4−2=λ，解得λ=2．∴要求的等轴双曲线的方程为x22−y22=1．故答案为x22−y22=1．7.答案：12π解析：本题考查圆锥的几何计算，圆锥的体积的求法，考查计算能力．求出圆锥的底面半径，然后利用圆锥的体积公式求解即可．解：圆锥的母线长为5，高为4，可得圆锥的底面半径为：√52−42=3，所以圆锥的体积是：13×32×π×4=12π．故答案为：12π．8.答案：−2n−1解析：解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，且a2+a3=−12，∴{(a1+d+1)2=(a1+1)(a1+3d+1) a1+d+a1+2d=−12d≠0，解得a1=−3，d=−2，a n=−3+(n−1)×(−2)=−2n−1．故答案为：−2n−1．由等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．9.答案：−32解析：本题考查平面向量数量积的运算，用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示向量是解决问题的关键，属中档题． 由平面向量基本定理向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示向量已知向量，由数量积的运算可得． 解：由题意可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =14(−2×22−2×1×cos120°+12) =−32故答案为：−32 10.答案：18解析：解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18， 当且仅当2x =y =12，时等号成立，即xy 的最大值为18；故答案为：18．根据题意，由基本不等式的性质分析可得xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2，计算即可得答案． 本题考查基本不等式的性质，关键是将xy 变形为12(2x)y ，配凑基本不等式的使用条件．11.答案：1e <a ≤6ln3。